2020-2021学年北京市朝阳区高一上学期期末数学试题(解析版)

2020-2021学年北京市朝阳区高一上学期期末数学试题

一、单选题

1．已知集合{}

12A x x =-<<，{}2,1,0,1,2B =--，则A B =（ ）

A ．{}1,0-

B ．{}0,1

C ．{}1,0,1-

D ．

1,0,1,2

【答案】B

【分析】利用集合的交运算即可求解.

【详解】由{}

12A x x =-<<，{}2,1,0,1,2B =--， 则A

B ={}0,1.

故选：B

2．命题“0,sin 1x x ?≥≤”的否定是（ ） A ．0,sin 1x x ?<> B ．0,sin 1x x ?≤> C ．0,sin 1x x ?<> D ．0,sin 1x x ?≥>

【答案】D

【分析】根据全称命题的否定是特称命题，sin 1x ≤的否定是sin 1x >，即可得到答案. 【详解】因为全称命题的否定是特称命题，sin 1x ≤的否定是sin 1x >， 所以命题“0,sin 1x x ?≥≤”的否定是0,sin 1x x ?≥> 故选：D

【点睛】本题主要考查全称命题的否定，属于简单题.

3．下列函数中，既是奇函数又在区间()0,1上单调递增的是（ ）

A ．sin y x =

B ．y =

C ．3y x =-

D ．lg y x =

【答案】A

【分析】根据解析式可直接判定奇偶性和单调性，得出答案.

【详解】对A ，根据正弦函数的性质可得sin y x =是奇函数，在()0,1单调递增，故A 正确；

对B ，y =

[)0,+∞，不关于原点对称，故不是奇函数，故B 错误；

对C ，3

y x =-在()0,1单调递递减，故C 错误；

对D ，lg y x =的定义域为()0,∞+，不关于原点对称，故不是奇函数，故D 错误. 故选：A.

4．函数()3

7f x x x =--的零点所在的区间是（ ）

A ．()0,1

B ．()1,2

C ．()2,3

D ．()3,4

【答案】C

【分析】先判断函数()f x 在()0,1上的范围，排除A ；再判断()f x 在区间()1,+∞上的单调性，根据函数零点存在性定理，即可判定出结果.

【详解】因为()()

3

2

717f x x x x x =--=--是定义在R 上的连续函数，

当()0,1x ∈时，()

2

10x x -<，所以()()

2

170f x x x =--<，即零点不可能在()

0,1内；

任取121x x <<，则

()()()()()3333121122121277f x f x x x x x x x x x -=-------=- ()()122221121x x x x x x =++--，

因为121x x <<，所以120x x -<，22

112210x x x x ++->，即

()()()()221121212210f x x x f x x x x x ++---<=，即()()12f x f x <，

所以()3

7f x x x =--在()1,+∞上单调递增；

又()111770f =--=-<，()282710f =--=-<，()32737170f =--=>，

()46447530f =--=>，

根据零点存在性定理，可得()3

7f x x x =--在()2,3内有零点，

故选：C.

5．已知函数()2

cos f x x x =+.若120x x +=，则（ ）

A ．()()12f x f x <

B ．()()12f x f x >

C ．()()120f x f x +=

D ．()()120f x f x -=

【答案】D

【分析】判断函数为偶函数，根据题意可得1x 与2x 是一对互为相反数，由奇偶性定义即可求解.

【详解】由()2

cos f x x x =+，则()()()()2

2cos cos f x x x x x f x -=-+-=+=，

所以函数为偶函数，又120x x +=，则12x x =-， 所以()()()

2

2

112122cos cos x x x f x f x x +-=+-

()()()()

2

22222222222cos cos cos cos 0x x x x x x x x =-+--+=+-+=.

故选：D

6．已知0.5a =，0.60.5b =，0.6log 0.5c =，则（ ） A ．a b c << B ．b a c << C ．c a b << D ．c b a <<

【答案】A

【分析】利用指数函数、对数函数的单调性进行判断即可. 【详解】0.5a =，

由0.5x

y =是单调递减函数，

00.610.50.50.5>>，所以1b a >>

0.6log y x =是单调递减函数，

0.60.6log 0.5log 0.61c =>=，

所以a b c << 故选：A

7．已知函数()y f x =可表示为（ ）

则下列结论正确的是（ ） A ．()()43f

f =

B ．()f x 的值域是{}1,2,3,4

C ．()f x 的值域是[]1,4

D ．()f x 在区间[]4,8上单调递增

【答案】B 【分析】()()42f

f =，所以选项A 错误；由表得()f x 的值域是{}1,2,3,4，所以选

项B 正确C 不正确；()f x 在区间[]4,8上不是单调递增，所以选项D 错误. 【详解】A. ()()(4)3,4(3)2f f

f f ===，所以该选项错误；

B. 由表得()f x 的值域是{}1,2,3,4，所以该选项正确；

C. 由表得()f x 的值域是{}1,2,3,4，不是[]1,4，所以该选项错误；

D. ()f x 在区间[]4,8上不是单调递增，如：54>，但是(5)=(4)=3f f ，所以该选项错误. 故选：B

【点睛】方法点睛：判断函数的性质命题的真假，一般要认真理解函数的定义域、值域、单调性等的定义，再根据定义分析判断.

8．在有声世界，声强级是表示声强度相对大小的指标.声强级y （单位：dB ）与声强度

I （单位：2

W /m ）之间的关系为0

10lg

I y I =，其中基准值122

010W /m I -=.若声强级为60dB 时的声强度为60I ，声强级为90dB 时的声强度为90I ，则90

60

I I 的值为（ ）

A ．10

B ．30

C ．100

D ．1000

【答案】D

【分析】根据题意，把

90

60

I I 转化为对数运算即可计算． 【详解】由题意0

10lg

I

y I =可得： 906000

9010lg

6010lg I I I I ==， 906090600000

30=906010lg

10lg =10lg lg I I I I

I I I I ∴-=--（） 9060900900006060

3=lg

lg 3=lg ?=lg I I I I I

I I I I I ∴-∴，（） 390

60

=10=1000I I ∴

故选：D

【点睛】数学中的新定义题目解题策略： (1)仔细阅读，理解新定义的内涵； (2)根据新定义，对对应知识进行再迁移.

9．已知α，β均为第一象限角，则“αβ<”是“sin sin αβ<”的（ ）

A ．充分不必要条件

B ．必要不充分条件

C ．充分必要条件

D ．既不充分也不必要条件

【答案】D

【分析】利用充分性和必要性分别讨论即可. 【详解】由π7π,33

αβ=

=均为第一象限的角， 满足αβ<，但sin sin αβ=， 因此不充分； 由sin sin αβ<，

得π-5π,66αβ==均为第一象限的角， 得到αβ>，

因此不必要； 故选：D.

10．设函数()4sin

2

x

f x π=，若存在实数12,,,n x x x ，满足当12n x x x <<<时，

()()()()()()231122021n n f x f x f x f x f x f x --+-+-=，则正整数n 的最小值

为（ ） A ．505 B ．506

C ．507

D ．508

【答案】C

【分析】根据正弦函数的性质，确定()4sin

2

x

f x π=的最值，根据题中条件，得到

()()()111,i i f x f x i n i N ++-≤≤-∈尽可能多的取得最大值4，即可求解.

【详解】因为()[]4sin

0,42

x

f x π=∈，即()min 0f x =，()max 4f x =，所以

()()124f x f x -≤，当()1f x 与()2f x 一个等于0，另一个为4时，()()

12f x f x -取得最大值4；

为使满足()()()()()()231122021n n f x f x f x f x f x f x --+-+-=的正整数n 最小，只需()()()111,i i f x f x i n i N ++-≤≤-∈尽可能多的取得最大值4， 而505420202021?=<，

所以至少需506个()()()111,i i f x f x i n i N ++-≤≤-∈，才能使

()()()()()()231122021n n f x f x f x f x f x f x --+-+-=，

此时1506n -=，即507n =. 故选：C.

【点睛】关键点点睛：

求解本题的关键在于根据三角函数的性质，确定()f x 的最大值，得到

()()()111,i i f x f x i n i N ++-≤≤-∈中有505项取得最大值4时，即可求解.

二、填空题

11．函数()()lg 1f x x =-的定义域为______.

【答案】()1,+∞

【分析】根据对数型复合函数定义域可得：0

10x x ≥??->?

，解不等式即可求解.

【详解】由()()lg 1f x x -，

则0

10x x ≥??

->?

，解得1x >，

所以函数的定义域为()1,+∞. 故答案为：()1,+∞

12．已知0x >，0y >，且2x y +=，则xy 的最大值为______. 【答案】1

【分析】利用基本不等式直接求解即可. 【详解】解：因为0,0,2x y x y >>+=，

所以2x y =+≥1xy ≤，当且仅当1,1x y ==取等号， 所以xy 的最大值为1， 故答案为：1

【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；

（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；

（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.

13．在平面直角坐标系中，角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终

边经过点P

??

，则tanα=______.

【答案】1 2

【分析】根据正切函数的定义即可求出.

【详解】α

终边经过点P

??

，

1

tan

2

α

∴==.

故答案为：

1

2

.

14．若函数()()

cos2

f x xφ

=+的图象关于直线

3

x

π

=对称，则常数?的一个取值为______.

【答案】

3

π

（答案不唯一，满足

2

,

3

k k Z

π

?π

=-∈即可）

【分析】令2,

x k k Z

?π

+=∈，将

3

x

π

=代入可求出?.

【详解】令2x k

?π

+=，k Z

∈，解得,

22

k

x k Z

π?

=-∈，

()

f x

∴关于,

22

k

x k Z

π?

=-∈对称，

3

x

π

=是()

f x的对称轴，

,

322

k

k Z

ππ?

∴=-∈，解得

2

,

3

k k Z

π

?π

=-∈，

令1

k=得

3

π

?=.

故答案为：

3

π

（答案不唯一，满足

2

,

3

k k Z

π

?π

=-∈即可）.

15．设0

a b

<<，给出下列四个结论：

①a b ab

+<；

②23

a b

<；

③22

a b

<；

④a a b b

<.

其中所有正确结论的序号是______. 【答案】①③④

【分析】利用不等式性质直接判断①④正确，利用指数函数2x

y =的单调性判断③正确，利用特殊值验证②错误即可. 【详解】由0a b <<知，0ab >，11

0a b +<，故110a b a b ab

++=<，得a b ab +<，故①正确；

取3,2a b =-=-，满足0a b <<，但26,36a b =-=-，不满足23a b <，故②错误； 由指数函数2x

y =单调递增可知，0a b <<，则22a b <，故③正确； 由0a b <<知，0a b ->->，0a b >>，根据不等式性质可知，

()()0a a b b -?>-?>，故0a a b b <<，故④正确.

故答案为：①③④.

三、双空题

16．已知函数()221

x x m

f x +=+.

①当0m =时，()f x 的值域为______；

②若对于任意,,a b c ∈R ，()f a ，f b ，()f c 的值总可作为某一个三角形的三边长，则实数m 的取值范围是______. 【答案】()0,1；

1

22

m ≤≤. 【分析】①当0m =时，先利用分离常数法整理函数， 再利用20x >逐步计算

1

01112

x

<-

<+，即得值域； ②先分析知()f a +f b ()f c >恒成立，再利用定义法讨论函数单调性，并结合单调性求得值域，根据恒成立关系列关于参数的不等关系，解得参数范围即可.

【详解】①当0m =时，函数()221

1212112x x x x x

m f x +===-

+++，定义域为R ， 由20x >知，121x +>，则10112

x

<

<+，即11012x -<-<+，故101112x <-<+， ()f x 的值域为()0,1；

②依题意，作为某一个三角形的三边长，()f a +f b ()f c >恒成立，

函数()22111

1212112

x x x x x

m m m f x +++--===++++，定义域为R ， 任取1212,,x x R x x ∈<，则

()()121211111212x x

m m f x f x --?

???-=+-+ ? ?++????()121

111212x x m ??=-- ?++??

()()()

21

122211212x x x x m -=-?++，

由12x x <可知12022x x <<，即21220x x ->，故()()

21

12

2201212x x x x ->++， 当10m ->，即1m 时，()()120f x f x ->，即()()12f x f x >，()f x 在R 上单调递减，又10112

x

<<+，则10112x m m -<<-+，1

1112x m m -<+<+，即()f x 的值域为()1,m ，

故()()1,1a f f b >>，则()()2f a f b +>，又()f c m <，要使()f a +f b ()f c >恒成立，则需2m ≤，故m 的取值范围是12m <≤； 当10m -=，即1m =时，()1f x =，()f a +112f b

，()1f c =，显然

()f a +f b ()f c >恒成立，故1m =符合题意；

当10m -<，即1m <时，()()120f x f x -<，即()()12f x f x <，()f x 在R 上单调递增，又10112

x

<

<+，则11012x m m --<<+，1

1112x m m -<+<+，即()f x 的值域为(),1m ，故()()2f a f b m +>，()1f c <， 要使()f a +f b ()f c >恒成立，则21m ≥，即1

2

m ≥

，故m 的取值范围是1

12

m ≤<； 综上所述：m 的取值范围是1

22

m ≤≤. 故答案为：()0,1；

1

22

m ≤≤. 【点睛】关键点点睛：

本题解题关键在于讨论函数的单调性来确定值域，才能将()f a +f b ()f c >恒成立的问题转化到取值范围上，以突破难点.

四、解答题

17．已知全集U =R ，集合{

}2

230A x x x =--<，{

}

1216x

B x =<<. （Ⅰ）求

(

)U

A B ?；

（Ⅱ）设非空集合{}

23,D x a x a a =<<+∈R ，若U

D A ?，求实数a 的取值范围.

【答案】（Ⅰ）{}

34x x ≤<；（Ⅱ）(][

)3,23,--?+∞.

【分析】（Ⅰ）分别解不等式，化简两集合，再由交集和补集的概念，即可求出结果； （Ⅱ）由（Ⅰ），根据集合D 非空，且U

D A ?

，列出不等式求解，即可得出结果.

【详解】（Ⅰ）因为{

}{

}

2

23013A x x x x x =--<=-<<，

{}

{}121604x B x x x =<<=<<，

所以

{1U

A x x =≤-或}3x ≥，则(){}34U A

B x x ?=≤<；

（Ⅱ）因为非空集合{}

23,D x a x a a =<<+∈R ，且U

D A ?

，

所以233

a a a <+??≥?或23231a a a <+??+≤-?，

解得3a ≥或32a -<≤-，

即实数a 的取值范围是(][

)3,23,--?+∞.

18．已知函数()()sin 0,0,02f x A x A πω?ω??

?

=+>><<

??

?只能同时．．．．

满足下列四个条件中的三个：①最小正周期为2π；②最大值为2；③()01f =-；④03f π??

-= ???

. （Ⅰ）请指出()f x 同时满足的三个条件，并说明理由； （Ⅱ）求()f x 的解析式； （Ⅲ）求()f x 的单调递增区间.

【答案】（Ⅰ）①②④，见解析；（Ⅱ）()2sin 3f x x π?

?

=+

??

?

； （Ⅲ）52,2,66k k k Z ππππ??

-

+∈???

?

【分析】（Ⅰ）代入③计算，可判断不成立，故满足的三个条件为①②④；（Ⅱ）由①②④，分别计算,,A ω?的值，可得函数()f x 解析式；（Ⅲ）利用整体法列不等式计算单调递

增区间.

【详解】（Ⅰ）因为()0sin f A ?=，0A >，02

π

?<<

，所以()0sin 0f A ?=>，

故③不成立；所以()f x 满足的三个条件为：①②④； （Ⅱ）由（Ⅰ）知，最小正周期为2π，最大值为2，可得212π

ωπ

=

=，2A =，所以()()2sin f x x ?=+，又因为03f π??

-= ???

，02π?<<，则

2sin 033f ππ?????-=-+= ? ?????，即03π?-+=，得3π

?=，所以()2sin 3f x x π??=+ ??

?.

（Ⅲ）由22,2

3

2

k x k k Z π

π

π

ππ-

≤+

≤+

∈，得522,66

k x k k Z ππ

ππ-

≤≤+∈， 所以()f x 的单调递增区间为52,2,66k k k Z ππππ?

?

-

+∈???

?

. 【点睛】求三角函数的解析式时，由2T

π

ω=

即可求出ω；确定?时，若能求出离原点最近的右侧图象上升（或下降）的“零点”横坐标0x ，则令00x ω?+=（或0x ω?π+=），即可求出?，否则需要代入点的坐标，利用一些已知点的坐标代入解析式，再结合函数的性质解出ω和?，若对A ，ω的符号或对?的范围有要求，则可用诱导公式变换使其符合要求.

19．已知函数()2

2sin cos 213f x x x π?

?

=+-

- ??

?

. （Ⅰ）求6f π??

???

的值； （Ⅱ）若0,2x π??∈????

，求()f x 的最大值和最小值； （Ⅲ）将函数()f x 的图象向左平移()0m m >个单位长度，所得函数图象与函数

cos 2y x =的图象重合，求实数m 的最小值.

【答案】（Ⅰ）

1

2；（Ⅱ）最小值为12-，最大值为1；（Ⅲ）3

π 【分析】（Ⅰ）利用二倍角公式、差的余弦公式和辅助角公式化简函数可得

()sin 26f x x π?

?=- ??

?，代入6x π=可求；

（Ⅱ）由0,

2x π??

∈????

可得52,666x πππ??-∈-????，在利用正弦函数的性质即可求解； （Ⅲ）求出平移后的解析式，可得22,6

2

m k k Z π

π

π-=

+∈，即可解出m ，得出最小

值.

【详解】（Ⅰ）()2

2sin cos 213f x x x π?

?

=+-

- ??

?

cos 2cos 2cos

sin 2sin

3

3

x x x π

π

=-++

1

2cos 222

x x =

- sin 26x π?

?=- ??

?，

1

sin 26662f πππ????∴=?-= ? ????

?；

（Ⅱ）当0,2x π??

∈????

时，52,666x πππ??-∈-????， 则当26

6

x π

π

-=-

，()f x 取得最小值为1

2

-

， 当22

6x π

π-

=，()f x 取得最大值为1； （Ⅲ）将函数()f x 的图象向左平移()0m m >个单位长度，可得

sin 226y x m π?

?=+- ??

?，

则sin 226y x m π?

?

=+-

??

?

和cos 2y x =的图象重合， 22,6

2

m k k Z π

π

π∴-

=

+∈，解得,3

m k k Z π

π=

+∈，

0m >，则当0k =时，m 取得最小值为

3

π. 【点睛】本题考查利用三角恒等变换化简求三角函数性质，解题的关键是利用二倍角公式、差的余弦公式和辅助角公式化简函数可得()sin 26f x x π??

=- ??

?

. 20．设函数()()2

m

f x x m x

=+

∈R ，且()212f =. （Ⅰ）求实数m 的值；

（Ⅱ）判断()f x 在区间()2,+∞上的单调性，并用函数单调性的定义证明你的结论； （Ⅲ）若关于x 的方程()f x a =恰有三个实数解，写出实数a 的取值范围（不必证明）. 【答案】（1）16；（2）()f x 在区间()2,+∞上为增函数，证明见详解；（2）()12,a ∈+∞

【分析】（1）将2x =直接代入即可求解.

（2）根据证明函数单调性的步骤：取值、作差、变形、定号即可证明. （3）根据()f x 的单调性，即可得出结果. 【详解】（1）由()()2

m

f x x m x

=+

∈R ，()212f =， 即4122

m

+

=，解得16m =. （2）()f x 在区间()2,+∞上为增函数，

由（1）可知()2

16f x x x

=+

， 任取()12,2,x x ∈+∞，且12x x <， 则()()()()()212

2121212121212

161616

x x f x f x x x x x x x x x x x --=+

--=-++ ()()12121212

16

x x x x x x x x +-=-?

，

由120x x -<，124x x +>，124x x >， 所以()()120f x f x -<，即()()12f x f x <， 所以函数为增函数.

（3）由()2

16

f x x x

=+

，可知()12,a ∈+∞. 21．“函数()x ?的图象关于点(),m n 对称”的充要条件是“对于函数()x ?定义域内的任意x ，都有()()22x m x n ??+-=”.若函数()f x 的图象关于点()1,2对称，且当

[]0,1x ∈时，()21f x x ax a =-++.

（Ⅰ）求()()02f f +的值； （Ⅱ）设函数()42x

g x x

=

-. （i ）证明函数()g x 的图象关于点()2,4-对称；

（ii ）若对任意[]10,2x ∈，总存在22,13x ??∈-????

，使得()()12f x g x =成立，求实数a

的取值范围.

【答案】（Ⅰ）4（Ⅱ）（i ）证明见详解；（ii ）[]1,3-

【分析】（Ⅰ）计算()()2224f x f x +-=?=，令0x =，即求. （Ⅱ）（i ）计算()()4g x g x +-，由新定义即可证明；

（ii ）求出()g x 的值域，设()f x 在[]0,2上的值域为A ，存在与恒成立思想可得A 是

()g x 的值域的子集，再由二次函数的最值以及对称性求出A ，结合集合的包含关系即

可求出范围.

【详解】（Ⅰ）由题意，若函数()f x 的图象关于点()1,2对称， 则()()2224f x f x +-=?=， 令0x =，可得()()024f f +=. （Ⅱ）（i ）由()42x

g x x

=

-， ()()()()4444224x x g x g x x x -+-=+--- ()4164816

824222x x x x x x

--=

-==-=?----， 所以函数()g x 的图象关于点()2,4-对称. （ii ）()48422x g x x x =

=-+--，函数在2,13??

-????

上单调递增， 所以()[]1,4g x ∈-，

不妨设()f x 在[]0,2上的值域为A ， 对任意[]

10,2x ∈，总存在22,13x ??

∈-????

，使得()()12f x g x =成立， 则[]1,4A ?-，

当[]0,1x ∈时，()2

1f x x ax a =-++，且()12f =，

当

02

a

≤时，即0a ≤，函数()f x 在[]0,1上单调递增，

由对称性可知，()f x 在(]

1,2上单调递增， ()f x ∴在[]0,2上单调递增，由()01f a =+，()()024f f +=，

所以()23f a =-，

[]1,3A a a ∴=+-，

由[]1,4A ?-，可得11430a a a +≥-??

≥-??≤?

，解得10a -≤≤，

当012

a

<

<时，即02a <<， 函数()f x 在0,2a ??????上单调递减，在,12a ?? ???

上单调递增， 由对称性可知()f x 在1,22a ?

?-

???上单调递增，在2,22a ?

?-

???

上单调递减， ()f x ∴在0,2a ??

????

上单调递减，在,222a

a ??

- ???上单调递增，在2,22a

?

?

- ???上单调递减，

结合对称性可得()()2,0A f f =????或,222a a A f f ????

?

?=- ? ?????????

，

02a <<，()()011,3f a ∴=+∈，

又()()024f f +=，()()231,3f a ∴=-∈，

[]2

11,224a a f a ??

=-++∈ ???，

又2422a a f f ??

?

?+-= ? ???

?

?，()22,32a f

?

?∴-∈ ??

?，

∴当02a <<，[]1,4A ?-成立；

当

12

a

≥，即2a ≥时，()f x 在[]0,1上单调递减， 所以()f x 在[]1,2上单调递减，

由()01f a =+，()()024f f +=，所以()23f a =-，

[]3,1A a a ∴=-+，

由[]1,4A ?-，可得31412a a a -≥-??

≥+??≥?

，解得23a ≤≤，

综上所述，实数a 的取值范围为[]1,3-.

【点睛】关键点点睛：本题考查了函数的新定义，考查了二次函数的最值以及函数对称性，解题的关键是将问题转化为两函数值域的包含关系，考查了任意性、存在性问题，同时考查了分类讨论的思想以及转化与化归的思想.