2021年高中数学第一章1周期变化课后习题含解析北师大版必修二.docx

第一章三角函数

§1 周期变化 课后篇巩固提升

基础达标练

1.

如图所示的是一个单摆,让摆球从A 点开始摆,最后又回到A 点,单摆所经历的时间是一个周期T ,则摆球在O →B →O →A →O 的运动过程中,经历的时间是( )

A.2T

B.T

C.3T

4

D.T

2

,所以运动的时间是T.

2.0.428 571 428 571…的小数点后第545位上的数字是 ( )

A.5

B.4

C.8

D.7

6,而545=6×90+5,故小数点后第545位上的数字是7.

3.设f (x )是定义在R 上的周期为3的函数,当x ∈[-2,1)时,f (x )={4x 2-2,-2≤x ≤0,

x ,0

52

=( )

A.0

B.1

C.1

2

D.-1

解析因为f (x )是周期为3的周期函数,所以f 52

=f -12

+3=f -12

=4×-

12

2

-2=-1,故选D .

4.如图,从左向右按照一定规律摆放的黑球和白球.已知第1,2个是黑球,第3个是白球,……,以此类推,第2 019个球是 (填“白球”或“黑球”).

,第3,6,9,…个球都是白球,其余的都是黑球.因为2019=673×3,所以第2019个球是白球.

5.已知函数f (x )的图象是以10为周期重复出现的,若f (1)=2 020,则f (41)= .

,知f (x )的周期为10,所以f (41)=f (4×10+1)=f (1)=2020.

6.如图为某简谐运动的图象,试根据图象回答下列问题:

(1)这个简谐运动需要多长时间往复一次?

(2)从点O 算起,到曲线上的哪一点表示完成了一次往复运动?如果从点A 算起呢?

由图象易知这个简谐运动需要0.8s 往复一次.

(2)如果从点O 开始算起,那么到曲线上的点D 表示完成了一次往复运动.如果从点A 开始算起,那么到曲线上的点E 表示完成了一次往复运动.

能力提升练

1.(多选)按照规定,奥运会每4年举行一次.2008年夏季奥运会在北京举办,那么下列年份中举办夏季奥运会的应该是( ) A.2019

B.2024

C.2026

D.2032

=2008+4×2+3,2026=2008+4×4+2.显然2019,2026不是4的倍数.2024=2008+4×4,2032=2008+4×6,显然2024与2032是4的倍数,故选BD .

2.已知f (x )是R 上最小正周期为2的周期函数,且当0≤x<2时,f (x )=x 3-x ,则函数y=f (x )的图象在区间[0,6]上与x 轴的交点的个数为( ) A.6

B.7

C.8

D.9

f (x )是最小正周期为2的周期函数,且0≤x<2时,f (x )=x 3-x=x (x-1)(x+1),所以当0≤x<2时,f (x )=0有两个根,即x 1=0,x 2=1.由周期函数的性质知,当2≤x<4时,f (x )=0有两个根,即x 3=2,x 4=3;当4≤x ≤6时,f (x )=0有三个根,即x 5=4,x 6=5,x 7=6,故f (x )的图象在区间[0,6]上与x 轴的交点个数为7.

3.(2019哈尔滨六中期中)设f (x )是定义在R 上的周期为3的函数,当x ∈[-2,1)时,f (x )={4x 2-2,-2≤x ≤0,

x ,0

214= . 解析由题意可得f 214

=f 6-

34

=f -34

=4×-342-2=14,f 1

4

=1

4

.

4.已知奇函数y=f (x )(x ∈R ),且f (x )=f (x+4),f (1)=2,则函数f (x )的周期为 ,f (2)+f (3)+f (4)= .

y=f (x )(x ∈R )是奇函数,所以f (0)=0.

又f (x )=f (x+4),

所以f (4)=f (0)=0,f (3)=f (-1+4)=f (-1)=-f (1)=-2, 而f (-2)=f (-2+4)=f (2),f (-2)=-f (2),

所以f (2)=0,故f (2)+f (3)+f (4)=-2.

-2

5.设函数f (x )是定义在R 上的奇函数,对任意实数x 有f 3

2

+x =-f 32

-x 成立.

(1)证明:y=f (x )是周期函数,并指出其周期; (2)若f (1)=2,求f (2)+f (3)的值. (1)证明由f

3

2

+x =-f 3

2

-x ,且f (-x )=-f (x ),知f (3+x )=f 3

2

+3

2

+x =-f

32

-

32

+x =-f (-x )=f (x ),

所以y=f (x )是周期函数,且T=3是其一个周期.

f (x )为定义在R 上的奇函数,所以f (0)=0,且f (-1)=-f (1)=-2,

又T=3是y=f (x )的一个周期, 所以f (2)+f (3)=f (-1)+f (0)=-2+0=-2.

素养培优练

已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数,且它的图象关于直线x=1对称.

(1)求证:f (x )是周期为4的周期函数;

(2)若f (x )=√x (0

f (x )的图象关于直线x=1对称,

有f (x+1)=f (1-x ),即有f (-x )=f (x+2). 又函数f (x )是定义在R 上的奇函数, 故有f (-x )=-f (x ).故f (x+2)=-f (x ). 从而f (x+4)=-f (x+2)=f (x ), 所以f (x )是周期为4的周期函数.

f (x )是定义在R 上的奇函数,有f (0)=0.

当x ∈[-1,0)时,即-x ∈(0,1],f (x )=-f (-x )=-√-x . 故x ∈[-1,0]时,f (x )=-√-x . 当x ∈[-5,-4]时,x+4∈[-1,0], f (x )=f (x+4)=-√-x -4.

从而,x ∈[-5,-4]时,函数f (x )=-√-x -4.