线性代数模试题试题库(带答案)
第一套线性代数模拟试题解答
一、填空题(每小题4分,共24分)
1、 若12335544i j a a a a a 是五阶行列式中带正号的一项,则,12
i j =
=。
令1,2i j ==,(12354)(13524)134τπ+=+=,取正号。 2、 若将n 阶行列式D 的每一个元素添上负号得到新行列式D ,则D =
(1)n D
- 。
即行列式D 的每一行都有一个(-1)的公因子,所以D =
(1)n D
-。
3、设1101A ??= ???
, 则100A =110001?? ???。
23
111112121113,,010*********A A ????????????====
??? ? ??? ?????????????
L 可得
4、设A 为5 阶方阵,5A =,则5A =1
5n +。
由矩阵的行列式运算法则可知:1
555
n
n A A +==。
5、A 为n 阶方阵,T AA E =且=+ 由已知条件:2 11,1T T T AA E AA A A A E A A =?====?=±?=-, 而 :0T T A E A AA A E A A A E A E A E +=+=+=+=-+?+=。 6、设三阶方阵2000023A x y ?? ? = ? ??? 可逆,则,x y 应满足条件32x y ≠。 可逆,则行列式不等于零:200 2(32)032023 A x y x y x y ==?-≠?≠。 二、单项选择题(每小题4分,共24分) 7、设033 3231 232221 131211 ≠=M a a a a a a a a a ,则行列式=---------23 22213332 3113 1211222222222a a a a a a a a a A 。 A .M 8 B .M 2 C .M 2- D .M 8- 由于 ()()111213 111213111213 3 31 32 3331323321 2223212223 21 22 23 31 32 33 22222228(1)8222a a a a a a a a a a a a a a a a a a M a a a a a a a a a ------=-=--=--- 8、设n 阶行列式n D ,则0n D =的必要条件是 D 。 A .n D 中有两行(或列)元素对应成比例 B .n D 中有一行(或列)元素全为零 C .n D 中各列元素之和为零 D .以n D 为系数行列式的齐次线性方程组有非零解 9、对任意同阶方阵,A B ,下列说法正确的是 C 。 A .111 ) (---=B A AB B .B A B A +=+ C . T T T A B AB =)( D .AB BA = 10、设,A B 为同阶可逆矩阵,0λ≠为数,则下列命题中不正确的是 B 。 A .11 () A A --= B .11()A A λλ--= C .111()AB B A ---= D .11()()T T A A --= 由运算法则,就有1 11 ()A A λλ --= 。 11、设A 为n 阶方阵,且0A a =≠,则A *= C 。 A .a B . 1a C .1n a - D .n a 因为1 1 111n n n A A A A A A A A A A A --* -*--=?===?=。 12、矩阵12103102122a ?? ?- ? ?--?? 的秩为2,则a = D 。 A . 2 B . 3 C .4 D .5 通过初等变换,由秩为2可得:12101210310207321220500a a ???? ? ?--- ? ? ? ?---???? : 三、计算题(每小题7分,共42分) 13、计算行列式: 4111 141111411114 。 解:341117111111111111411 741114110300==== ====7 =====7 =73=189 11417141114100301114 7114 1114 0003 ?各列加到第一列提第一行乘-1到外面第一列上加到各行上 。 14、计算行列式: 4 4 332211 00000 00a b a b b a b a 。 解:先按第一行展开,再按第三行展开,有: 4 433221 10 00 000a b a b b a b a =2222 133 331414232344 1()()a b a b a b a b b a a a b b a a b b a b -=--。 15、问λ取何值时,齐次线性方程组12312312 3(1)2402(3)0(1)0 x x x x x x x x x λλλ--+=?? +-+=??++-=?有非零解。 解:齐次线性方程组有非零解,则系数行列式为零: ()()23 13 2 1232(1)12 4034(1)0=231=====011+232,0,2,31 1 1111r r r r λλλλ λλλλλλλλλ λ -----------=---?===-- 16、设矩阵2011,3125A B -????== ? ????? ,计算2211 ()B A B A ---。 解:因为2,7A B ==-,所以都可逆,有 22112212311152()()1425919B A B A B A A B B AB B A B -----?????? -=-=-=-== ??? ?-?????? 。 17、解矩阵方程AX B X +=,求X ,其中A =??? ? ? ??--=????? ??---350211,101111010B 。 解:1 ()()AX B X A E X B X A E B -+=?-=-?=--, 102313()1231301313A E ---?? ??-=--? ? ?-?? 131()2011X A E B --?? ?=--= ? ?-?? 。 18、设5 20 02 10000120011A ?? ? ? = ? - ? ?? ? ,利用分块矩阵计算1A -。 解: 1 1 1 1 11221 111205212121323,0 21251113112002500000132300011A A A A A A A A ---------??????????=?==== ? ? ? ? ?--?? ????????-?? ? -?? ?== ? ? ?? ? ?-? ? 四、证明题(每小题5分,共10分) 19、设n 阶方阵A 满足()3 0A E +=,证明矩阵A 可逆,并写出A 逆矩阵的表达式。 证明:因为()3 3 2 2330 (33)A E A A A E A A A E E +=+++=?++=-, 从而2 12(33)33A A A E E A A A E ----=-? =---。 20、若矩阵T A A =-,则称矩阵A 为反对称矩阵,证明奇数阶反对称矩阵一定不是满秩 矩阵。 证明:设A 为n 阶反对称矩阵,n 为奇数,则 (1)0T T n T A A A A A A A =-? =-=-=-?=, 所以A 不可逆,即A 不是满秩矩阵。 第二套线性代数模拟试题解答 一、填空题(每小题4分,共24分) 1、 A 为3阶方阵,且2,A =-*A 是A 的伴随矩阵,则1*4A A -+= -4 。 因为:11111112442284A A A A A A A A A A *---*----==-?+=-===-。 2、A 为5×3矩阵,秩(A )=3,B = ??? ? ? ??300020201,则秩(AB )= 3 。 因为B 可逆,AB 相当于对A 作列初等变换,不改变A 的秩。 3、12123,,,,ααβββ均为4维列向量,1123(,,,)A αβββ=,2123(,,,)B αβββ=, 1A =,4B = ,则A B += 40 。 ()12123121231212311232123(,2,2,2)(,2,2,2) 8,,,)8,,,,,,8(14)40 A B A B ααβββααβββααβββαβββαβββ+=+?+=+=+=+=+=。 4、121α?? ?= ? ???,32t β?? ?= ? ???,且4T αβ=,则t = -4 。 ()121362442T t t t αβ?? ?==++=?=- ? ??? 。 5、如果n 元非齐次线性方程组AX B =有解,()R A r =,则当 n 时有唯一解; 当 < n 时有无穷多解。 非齐次线性方程组有解的定义。 6、设四元方程组AX B =的3个解是123,,ααα。其中1231213 ,1415ααα???? ? ? ? ?=+= ? ? ? ? ? ????? ,如 ()3R A =,则方程组AX B =的通解是 01112131k ???? ? ? ? ?+ ? ? ? ? ? ????? 。 因为()3R A =,所以0AX =的基础解系含4-3=1个解向量;又2131,αααα-- 都是0AX =的解,相加也是0AX =的解,从而可得0AX =的一个解为: ()()()213123121031122412513ξααααααα?????? ? ? ? ? ? ?=-+-=+-=-= ? ? ? ? ? ? ? ? ???????, 于是AX B =的通解为:10111 2131X k k ξα???? ? ? ? ?=+=+ ? ? ? ? ? ????? 。 二、单项选择题(每小题4分,共24分) 7、对行列式做 D 种变换不改变行列式的值。 A .互换两行 B .非零数乘某一行 C .某行某列互换 D .非零数乘某一行加到另外一行 8、n 阶方阵,,A B C 满足ABC E =,其中E 为单位矩阵,则必有 D 。 A .ACB E = B .CBA E = C .BAC E = D .BCA E = 矩阵乘法不满足变换律,而D 中1 1 ABC E A ABCA A EA BCA E --=?=?=。 9、矩阵12103 1021122t ?? ? - ? ?---?? 的秩为2,则t = D A . 3 B . 4 C .5 D .6 通过初等变换,由秩为2可得:121012103102073211220600t t ???? ? ?--- ? ? ? ?----???? :。 10、若方阵n n A ?不可逆,则A 的列向量中 C 。 A . 必有一个向量为零向量 B . 必有二个向量对应分量成比例 C . 必有一个向量是其余向量的线性组合 D . 任一列向量是其余列向量的线性组合 方阵n n A ?不可逆,则A 的列向量线性相关,,由定义可得。 11、若r 维向量组m αααΛ21,线性相关,α为任一r 维向量,则 A 。 A . αααα,,21m Λ线性相关 B . αααα,,21m Λ线性无关 C . αααα,,21m Λ线性相关性不定 D . m αααΛ21,中一定有零向量 由相关知识可知,个数少的向量组相关,则个数多的向量组一定相关。 12、若矩阵54?A 有一个3阶子式为0,则 C 。 A .秩(A )≤2 B . 秩(A )≤3 C . 秩(A )≤4 D . 秩(A )≤5 由矩阵秩的性质可知:()45min{4,5}R A ?≤,而有一个3阶子式为0,不排除 4阶子式不为0。 三、计算题(每小题7分,共42分) 13、计算行列式 100110011 1a b c d ---。 解:1000101011 101101 11 10 110110 10 1 10011(1)(1)1 1 1a ab a ab a ab a ad b b c c c d c c d d d ab ad ab cd ad abcd ab cd ad cd +++--= =-=-+------+= =+++=++++-+ 14、设100021011A ?? ?=- ? ?-??,123120C ?? ? = ? ? ?? ,1223B ??= ???,AYB C =,求矩阵Y 。 解:11 1 1 21 03211311121122053Y A CB --??????-?? ??? ?==-=- ? ??? ?-?? ??? ?--?????? 。 15、已知三阶方阵A =111011001-?? ? ? ?-?? ,且2 A A B E -=,计算矩阵B 。 解: 21||1,111112021 011011000001001000A A AB A E B A A -=-=-? ---?????? ? ? ?=-=-= ? ? ? ? ? ?--?????? 可逆, 16、求矩阵321312131370518---?? ?-- ? ?--?? 的秩,并找出一个最高阶非零子式。 解:321311344213442134422131321313071197071197705187051802133272200001---------???????? ? ? ? ?--------- ? ? ? ? ? ? ? ?-------???????? :: ()3R A =, 最高阶非零子式是125,,ααα。 17、写出方程组123412341234 21 2223x x x x x x x x x x x x +-+=?? ++-=??+++=?的通解。 解:211111121310334100321121120112101121010320112130151500636001121-???? ?? ?? ? ? ? ?-------- ? ? ? ? ? ? ? ?-------???? ???? :: : 33 3321321 32032()121121 10x x X c c R x -???? +? ? ?? ? ???=+∈? ? ?-?+ ? ?? ? ????? 123 x =-x =x =- 18、已知R 3中的向量组321,,ααα 线性无关,向量组112223,b k b αααα=-=+, 331b k αα=+线性相关,求k 值。 解: ()()() ()()()1122331122233311311222330 b b b k k k k λλλλααλααλααλλαλλαλλα++=-++++=++-+++=, 由321,,ααα 线性无关,得131122233010010000 11k k k k λλλλλλλλλ+=????? ? ??? -+=?-=? ???? ???+=????? , 因为123,,b b b 相关,所以123,,λλλ有非零解,故系数行列式=0,得1±=k 。 四、证明题(每小题5分,共10分) 19、设,A B 为n 阶方阵,若0AB =,则秩()A +秩()B n ≤。 证明:因为线性方程组0=Ax ,当秩r A =时,基础解系为r n -个,由 0),,,(),,,(2121===n n Ab Ab Ab b b b A AB ΛΛ 则有),,2,1(0n j Ab j Λ==,即B 的列均为0=Ax 的解,这些列的极大线性无关组的向量个数≤,r n -即秩(r n B -≤),从而秩n B A ≤+)()(秩。 20、如果1234,,,αααα线性相关,但其中任意3个向量都线性无关,证明必存在一组全不 为零的数1234,,,k k k k ,使得112233440k k k k αααα+++=。 证明:因为1234,,,αααα线性相关,所以存在一组“ 不全为零”的数1234,,,k k k k , 使得 112233440k k k k αααα+++=, 如果10k =,则 2233440k k k ααα++=,且由于 234,,k k k 不全为零,所以234,,ααα 线性无关,与题设矛盾,所以10k ≠; 同理,可证明2340,0,0k k k ≠≠≠。 第三套线性代数模拟试题解答 一、填空题(每小题4分,共24分) 1、已知三阶行列式123 456789 D =,ij A 表示它的元素ij a 的代数余子式,则与 212223aA bA cA ++对应的三阶行列式为 1237 8 9 a b c 。 由行列式按行按列展开定理可得。 2、,A B 均为n 阶方阵,3A B ==,则 112AB -=1 ()2 n 。 由于: 1111111()()()2222 n n n AB A B A B ---===。 3、A = 300140003?? ? ? ???,则1(2)A E --=10012120001?? ?- ? ??? 。 由于 1 1 3001001001 00140201012012120003001001001--?????????? ? ? ? ? ?-==- ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ?????????。 4、向量组123(1,2,3),(1,2,1),(2,0,5)ααα==--=线性 无 关。 因为:112 11 211 22 200040 4103 1 5 41 04 ----=-=--≠--。 5、设6阶方阵A 的秩为5,,αβ是非齐次线性方程组Ax b =的两个不相等的解,则 Ax b = 的通解为()X k βαα=-+。 由于()5R A =,所以0Ax =的基础解系只含一个向量:βα-,故有上通解。 6、已知111x ?? ?= ? ? -?? 为2125 312A a b -?? ? = ? ?--??的特征向量,则3;0 a b =-=。 21211115 31123121110Ax x a a a b b b λλλλλλ--=-???????????? ??? ? ? ?=?=?+=?=-? ??? ? ? ?? ??? ? ? ?----+-=??????????? 。 二、单项选择题(每小题4分,共24分) 7、11 121321 2223 21 222311 1213131 32 333111 3212 3313010,,100001a a a a a a A a a a B a a a P a a a a a a a a a ?????? ? ? ?=== ? ? ? ? ? ?+++?????? , ??? ? ? ??=1010100012P ,则 D 。 A . B P AP =21 B .B P AP =12 C .B A P P =12 D .B A P P =21 对A 作行变换,先作2P ,将第一行加到第三行上,再作1P ,交换一二行。 8、n 元齐次线性方程组0AX =有非零解的充分必要条件是 B 。 A .()R A n ≤ B .()R A n < C .()R A n ≥ D .()R A n > 齐次线性方程组0AX =有非零解的定理。 9、已知m n ?矩阵A 的秩为1n -,12,αα是齐次线性方程组0AX =的两个不同的解,k 为任意常数,则方程组0AX =的通解为 D 。 A .1k α B .2k α C .12()k αα+ D .12()k αα- 基础解系只含一个解向量,但必须不等于零,只有D 可保证不等于零。 10、矩阵A 与B 相似,则下列说法不正确的是 B 。 A .秩(A )=秩( B ) B . A =B C . B A = D . A 与B 有相同的特征值 相似不是相等。 11、若n 阶方阵A 的两个不同的特征值12,λλ所对应的特征向量分别是1x 和2x ,则 B 。 A . 1x 和2x 线性相关 B . 1x 和2x 线性无关 C . 1x 和2x 正交 D . 1x 和2x 的内积等于零 特征值,特征向量的定理保证。 12、n 阶方阵A 具有n 个线性无关的特征向量是A 与对角矩阵相似的 C 条件。 A .充分条件 B . 必要条件 C . 充分必要条件 D . 既不充分也不必要 矩阵A 与对角矩阵相似的充分必要定理保证。 三、计算题(每小题7分,共42分) 13、设A 与B 均为3阶方阵,E 为3阶单位矩阵, 2AB E A B +=+,且201020101A -?? ? = ? ??? ; 求B 。 解:因为AB+E=A 2+B ))(()(E A E A B E A +-=-? ??? ? ? ??-=????? ??----=-00 1 010 10 1 11010120 1012E A , , 1=-E A E A -可逆 所以E A B +=???? ? ? ?-=20 1030 103 。 14、k 满足什么条件时,方程组??? ??=++=++-=++0 2223221 2321321x k x x k kx x x k x x x 有唯一解,无解,有无穷多解? 解:??? ? ? ??+++---????? ??--+--????? ??-k k k k k k k k k k k k k k k k k k )3()3)(2(0021 0211~2410210211~0122121122222 当2≠k 且3-≠k 时,方程组有惟一解。当2=k 时方程组无解。 当0)3(=+k k 时方程组),()(B r A r =当0=k 时??? ? ? ??????? ??020*********~001200210211 这时方程组只有零解。 当3-=k 时,??? ? ? ??-????? ??---????? ??-000065103211~65106510321 1~0912********这时方程组有无 穷多解。 15、向量组1234(1,3,2,0),(7,0,14,3),(2,1,0,1),(5,1,6,2),T T T T αααα===-= 5(2,1,4,1)T α=-,(1)计算该向量组的秩,(2)写出一个极大无关组,并将其余向 量用该极大无关组线性表示。 解:12345(,,,,)3R ααααα=, 123,,ααα为一个极大无关组, 412321 33 αααα=++,512311033αααα=-++ 16、设矩阵01001000 0010012A y ?? ? ? = ? ? ?? ?的一个特征值为3,求y 。 解:3 1001300|3|8 (20 2.00310 1 1 A E y y y ---= =-=?=--), 17、计算矩阵110430102-?? ?- ? ??? 的特征值与特征向量。 解:()2110||430(2)(1)(3)4(2)(1)1 2A E λ λλλλλλλλ ---= --=----+=---, 所以得:特征值12 1 λλ==,解方程组()0A E X -=, 只得一个对应特征向量为:()1,2,1T --; 3 2λ=, 解方程组()20A E X -=,可得特征向量为()0,0,1T 。 18、当t 为何值时,3231212 32221 32142244),,(x x x x x tx x x x x x x f +-+++=为正定二次型? 解:21 11 4210; 40;4 12 4t t f t t t -?? ???>=-> ? ?-? ? ()2221111 4 20 42123(2)2(2)(1)012 4 23 t t t t t t t t t t --=-+=--+=+->-+ 解不等式:240 (2)(1)021t t t t ->∧ +->? -<<。 四、证明题(每小题5分,共10分) 19、设向量b 能由321,,ααα这三个向量线性表示且表达式唯一, 证明:向量组321,,ααα线 性无关。 证明:(反证法)如果321,,a a a 线性相关,则有一组不全为0的系数321,,λλλ使 332211a a a λλλ++= (1),由已知设332211αβαβαβ++=b ,结合(1)式得 333222111)()()(0a a a b b λβλβλβ+++++==+ (2) 由于321,,λλλ不完全为零,则11λβ+,22λβ+,33λβ+必与321,,βββ不同,这样b 已有两种表示,与表示法惟一相矛盾,证毕。 20、设321,,ααα是n 阶方阵A 的3个特征向量,它们的特征值不相等,记123βααα=++, 证明β不是A 的特征向量。 证明:假设()123123112233A A A A A A βλβ βααααααλαλαλα=?=++=++=++, 又:123112233A λβλαλαλαβλαλαλα=++==++ 从而:()()()1122330λλαλλαλλα-+-+-=,由于特征值各不相等,所以 321,,ααα线性无关,所以的1231230λλλλλλλλλλ-=-=-=?===,矛盾。 一、填空题。(每小题 5 分,共 30 分) 1、在四阶行列式中,包含因子31a 的项是__________________________ 。 2、设()x x x x x x x f 4124 1 21021 32= ,则4 x 项的系数为 8 3、已知1α, 2α,3α,4α是线性无关的4维向量, {} R k k k k k k k V ∈+++==432,1332211,,ααα,则V 是 4 维向量空间。 4、已知阶3方阵A 的3个特征值分别为1,2-,3,则=A ___________ 。 ()44434224 23 22 1413123141a a a a a a a a a a -6- 5、若是方阵A 的特征向量,那么________ 是方阵AP P 1-的特征向量。 6、线性方程组0654321=+++++x x x x x x 的基础解系含有_______个解向量。 二、选择题。(每小题 5 分,共 30 分) 1、设A ,B 为n 阶方阵,满足0=AB ,则___________。 ()0==B A A ,()0=+B A B ,() 0=A C 或0=B ,() 0=+B A D 。 2、已知A 为n 阶方阵,且满足关系式0432 =++E A A ,则() =+-1 E A ___________。 ()E A A +-1, ()A E B 21+ , ()A E C 2 1 -- , ()E A D 4+。 3、A 为3阶可逆方阵,且各列元素之和均为2,则___________。 ()A A 必有特征值2,()B 1-A 必有特征值2,() C A 必有特征值2-, () D 1-A 必有特征值2-。 1、 设β可由1α,2α,s αΛ 线性表出,但不能由向量组()I :1α,2α,1-s αΛ线性 表出,记向量组()II :1α,2α,1-s αΛ,β,则s α___________。 ()A 不能由()I ,也不能由()II 线性表出, ()B 不能由()I ,但能由()II 线性表出, () C 能由()I ,也能由()II 线性表出, () D 能由()I ,但不能()II 线性表出。 6、设A 为n m ?的非零矩阵,方程=A 存在非零解的充分必要条件是___________。 ()A A 的行向量组线性无关, ()B A 的行向量组线性相关, () C A 的列向量组线性无关, () D A 的列向量组线性相关。 三、已知???? ? ??--=130210005A ,求1 -A 。(10分) 解:??? ? ??=2211 A O O A A --------------3' x P ρ1-5C C A B D 5 11 11-=-A ------------5' =???? ??----== * -132******** 1 22 A A A ???? ? ? ??- 717 3 7271------------8' ∴ ???? ??? ? ??-- =???? ? ?=---71730727100051 122111 1A O O A A ------------01' 四、a 为何值时,线性方程组?? ? ??=++=++=++11az y x z y ax a z y x 有解,并求其解。(10分) 解:对增广矩阵作初等行变换如下 () ??? ? ? ??--→?→? ????? ??==a a a a a a a b A B r 1110011111111111111Λρ--------------5' 易见当1=a 时,()()1==B R A R ,方程组有解, --------------7' 保留方程组为:1=++z y x 原方程组通解为:??? ? ? ??+????? ??-+????? ??-=00110101121C C X --------------01' 五、已知向量()1,0,1-=α,()0,2,2-=β,()2,5,3-=γ, (10分) ()1 求γβα+-42 ()2 判断向量α,,是线性相关还是线性无关。 解:(1)()0131342-=+---------------3' (2)由() ???? ? ??-→?→?????? ??---=000520321201520321Λρ ρρ r γβ α --------------7' ( ) 32<=γβα ρ ρ ρ ΘR , γβαρ ρρ,,∴是线性相关的。-------------01' 六、求矩阵??? ? ? ??=633312321A 的特征值和特征向量。(10分) 解:()()9163 3 312321-+-=---= -λλλλ λλ λE A --------------2' 特征值为:9,1,0321=-==λλλ--------------3' 当01=λ时,解方程组0ρ ρ=x A 得: ????? ??→?→?????? ??=000110101633312321Λr A 得基础解系 ???? ? ??--=1111p ρ ∴对应于01=λ的全部特征值为()01111111≠?? ??? ??--=k k p k ρ --------------6' 当12-=λ时,解方程组()0ρ ρ=+x E A 得: ??? ?? ??→?→?????? ??=+000100011733322322Λr E A 得基础解系 ??? ? ? ??-=0112p ρ ∴对应于12-=λ的全部特征值为()00112222≠?? ??? ??-=k k p k ρ --------------8' 当93=λ时,解方程组()09ρ ρ=-x E A 得: ??? ?? ??--→?→?????? ??--=-0001200113333823289Λr E A 得基础解系 ??? ? ? ??=2113p ρ ∴对应于93=λ的全部特征值为()02113333≠?? ?? ? ??=k k p k ρ --------------01' 线性代数(A 卷) 一﹑选择题(每小题3分,共15分) 1. 设A ﹑B 是任意n 阶方阵,那么下列等式必成立的是( ) (A)AB BA = (B)222()AB A B = (C)222()2A B A AB B +=++ (D)A B B A +=+ 2. 如果n 元齐次线性方程组0AX =有基础解系并且基础解系含有()s s n <个解向量,那么矩阵A 的秩为( ) (A) n (B) s (C) n s - (D) 以上答案都不正确 3.如果三阶方阵33()ij A a ?=的特征值为1,2,5,那么112233a a a ++及A 分别等于( ) (A) 10, 8 (B) 8, 10 (C) 10, 8-- (D) 10, 8-- 4. 设实二次型11212222(,)(,)41x f x x x x x ?? ??= ? ?-???? 的矩阵为A ,那么( ) (A) 2331A ??= ?-?? (B) 2241A ??= ?-?? (C) 2121A ??= ? -?? (D) 1001A ?? = ??? 5. 若方阵A 的行列式0A =,则( ) (A) A 的行向量组和列向量组均线性相关 (B)A 的行向量组线性相关,列向量组线性无关 (C) A 的行向量组和列向量组均线性无关 (D)A 的列向量组线性相关,行向量组线性无关 二﹑填空题(每小题3分,共30分) 1 如果行列式D 有两列的元对应成比例,那么该行列式等于 ; 2. 设100210341A -?? ? =- ? ?-?? ,*A 是A 的伴随矩阵,则*1()A -= ; 3. 设α,β是非齐次线性方程组AX b =的解,若λαμβ+也是它的解, 那么λμ+= ; 4. 设向量(1,1,1)T α=-与向量(2,5,)T t β=正交,则t = ; 5. 设A 为正交矩阵,则A = ; 线性代数考试题库及答案 一、单项选择题(共5小题,每题2分,共计10分) 1.在111 ()111111 x f x x x -+=-+-展开式中,2x 的系数为 ( ) (A) -1 (B) 0 (C) 1 (D) 2 2.A 是m ×n 矩阵,(),r A r B =是m 阶可逆矩阵,C 是m 阶不可逆矩阵,且 ()r C r <,则 ( ) (A) BAX O =的基础解系由n-m 个向量组成 (B) BAX O =的基础解系由n-r 个向量组成 (C) CAX O =的基础解系由n-m 个向量组成 (D) CAX O =的基础解系由n-r 个向量组成 3.设n 阶矩阵,A B 有共同的特征值,且各自有n 个线性无关的特征向量,则( ) (A) A B = (B) ,0A B A B ≠-=但 (C) A B (D) A B 与不一定相似,但 A B = 4.设,,A B C 均为n 阶矩阵,且AB BC CA E ===,其中E 为n 阶单位阵,则 222A B C ++= ( ) (A) O (B) E (C) 2E (D) 3E 5.设1010,0203A B ???? == ? ????? ,则A B 与 ( ) (A)合同,且相似 (B)不合同,但相似 (C)合同,但不相似 (D )既不合同,又不相似 二、填空题(共 二、填空题(共10小题,每题 2分,共计 20 分) 1.已知11 122 233 30a b c a b c m a b c =≠,则1111 22223333 232323a b c c a b c c a b c c ++=+ 。 2.设 1 010 2010 1A ?? ?= ? ?? ? ,若三阶矩阵Q 满足2,AQ E A Q +=+则Q 的第一行的行向量是 。 3.已知β为n 维单位列向量, T β为β的转置,若T C ββ= ,则 2C = 。 4.设12,αα分别是属于实对称矩阵A 的两个互异特征值12,λλ的特征向量,则 12T αα= 。 5.设A 是四阶矩阵,A * 为其伴随矩阵,12,αα是齐次方程组0AX =的两个线 性无关解,则()r A *= 。 6.向量组1 23(1,3,0,5,0),(0,2,4,6,0),(0,3,0,6,9)T T T ααα===的线性关系 是 。 7.已知三阶非零矩阵B 的每一列都是方程组1231231 23220 2030 x x x x x x x x x λ+-=?? -+=??+-=?的解,则 λ= 。 8.已知三维向量空间3R 的基底为123(1,1,0),(1,0,1),(0,1,1)T T T ααα===,则向量 (2,0,0)T β=在此基底下的坐标是 。 9.设21110012100,112004A a a ?? ?? ? ?== ? ? ? ????? 则 。 10.二次型2 2 2 123123121323(,,)222222f x x x x x x x x x x x x =++++-的秩为 。 第一套线性代数模拟试题解答 一、填空题(每小题4分,共24分) 1、 若12335544i j a a a a a 是五阶行列式中带正号的一项,则,12 i j = =。 令1,2i j ==,(12354)(13524)134τπ+=+=,取正号。 2、 若将n 阶行列式D 的每一个元素添上负号得到新行列式D ,则D = (1)n D - 。 即行列式D 的每一行都有一个(-1)的公因子,所以D = (1)n D -。 3、设1101A ??= ??? , 则100A =110001?? ???。 23 111112121113,,010*********A A ????????????==== ??? ? ??? ????????????? L 可得 4、设A 为5 阶方阵,5A =,则5A =1 5n +。 由矩阵的行列式运算法则可知:1 555 n n A A +==。 5、A 为n 阶方阵,T AA E =且=+ 2011-2012-2线性代数46学时期末试卷(A) 考试方式:闭卷 考试时间: 一、单项选择题(每小题 3分,共15分) 1.设A 为m n ?矩阵,齐次线性方程组0AX =仅有零解的充分必要条件是A 的( A ). (A ) 列向量组线性无关, (B ) 列向量组线性相关, (C )行向量组线性无关, (D ) 行向量组线性相关. 2.向量,,αβγ线性无关,而,,αβδ线性相关,则( C )。 (A ) α必可由,,βγδ线性表出, (B )β必不可由,,αγδ线性表出, (C )δ必可由,,αβγ线性表出, (D )δ必不可由,,αβγ线性表出. 3. 二次型()222 123123 (,,)(1)1f x x x x x x λλλ=-+++,当满足( C )时,是正定二次型. (A ) 1λ>-; (B )0λ>; (C )1λ>; (D )1λ≥. 4.初等矩阵(A ); (A ) 都可以经过初等变换化为单位矩阵;(B ) 所对应的行列式的值都等于1; (C ) 相乘仍为初等矩阵; (D ) 相加仍为初等矩阵 5.已知12,, ,n ααα线性无关,则(C ) A. 12231,, ,n n αααααα-+++必线性无关; B. 若n 为奇数,则必有122311,,,,n n n αααααααα-++++线性相关; C. 若n 为偶数,则必有122311,,,,n n n αααααααα-++++线性相关; D. 以上都不对。 二、填空题(每小题3分,共15分) 6.实二次型()232221213214,,x x x x tx x x x f +++=秩为2,则=t 7.设矩阵020003400A ?? ? = ? ??? ,则1A -= 线性代数考试题库及答案 第一部分 客观题(共30分) 一、单项选择题(共 10小题,每小题2分,共20分) 1. 若行列式11 121321 222331 32 33 a a a a a a d a a a =,则212223 11 121331 32 33 232323a a a a a a a a a 等于 ( ) (A) 2d (B) 3d (C) 6d (D) 6d - 2. 设123010111A ?? ? =- ? ??? ,ij M 是A 中元素ij a 的余子式,则313233M M M -+=( ) (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3 3. 设A 为n 阶可逆矩阵,则下列各式恒成立的是( ) (A) |2|2||T A A = (B) 11(2)2A A --= (C) *1A A -= (D) 11[()][()]T T T T A A --= 4. 初等矩阵满足( ) (A) 任两个之乘积仍是初等矩阵 (B) 任两个之和仍是初等矩阵 (C) 都是可逆矩阵 (D) 所对应的行列式的值为1 5. 下列不是..n 阶矩阵A 可逆的充要条件为( ) (A) 0≠A (B) A 可以表示成有限个初等阵的乘积 (C) 伴随矩阵存在 (D) A 的等价标准型为单位矩阵 6. 设A 为m n ?矩阵,C 为n 阶可逆矩阵,B AC =,则 ( )。 (A) 秩(A )> 秩(B ) (B) 秩(A )= 秩(B ) (C) 秩(A )< 秩(B ) (D) 秩(A )与秩(B )的关系依C 而定 7. 如果向量β可由向量组12,, ,s ααα线性表示,则下列结论中正确的是( ) (A) 存在一组不全为零的数12,,s k k k ,使得1122s s k k k βααα=+++ 成立 (B) 存在一组全为零的数12,,s k k k ,使得1122s s k k k βααα=++ + 成立 (C) 存在一组数12,, s k k k ,使得1122s s k k k βααα=+++ 成立 (D) 对β的线性表达式唯一 8. 设12,ξξ是齐次线性方程组0AX =的解,12,ηη是非齐次线性方程组AX b =的解,则( ) (A) 112ξη+为0AX =的解 (B) 12ηη+为AX b =的解 (C) 12ξξ+为0AX =的解 (D) 12ηη-为AX b =的解 9. 设110101011A ?? ? = ? ??? ,则A 的特征值是( )。 (A) 0,1,1 (B) 1,1,2 (C) 1,1,2- (D) 1,1,1- 10. 若n 阶方阵A 与某对角阵相似,则 ( )。 (A) ()r A n = (B) A 有n 个互不相同的特征值 (C) A 有n 个线性无关的特征向量 (D) A 必为对称矩阵 二、判断题(共 10小题,每小题1分,共10分 )注:正确选择A,错误选择B. 11. 设A 和B 为n 阶方阵,则有22()()A B A B A B +-=-。( ) 12. 当n 为奇数时,n 阶反对称矩阵A 是奇异矩阵。( ) WORD 格式整理 2009-2010学年第一学期期末考试 《线性代数》试卷 答卷说明:1、本试卷共6页,五个大题,满分100分,120分钟完卷。 2、闭卷考试。 评阅人:_____________ 总分人:______________ 一、单项选择题。(每小题3分,共24分) 【 】1.行列式=----3111131111311113 (A)0 (B) 1 (C) 2 (D)3 【 】2.设A 为3阶方阵,数2-=λ,3=A ,则=A λ (A) 24 (B) 24- (C) 6 (D) 6- 【 】3.已知,,B A 为n 阶方阵,则下列式子一定正确的是 (A)BA AB = (B)2222B)(A B AB A ++=+ (C)BA AB = (D) 22))((B A B A B A -=-+ 【 】4.设A 为3阶方阵, 0≠=a A ,则=*A (A) a (B) 2a (C) 3a (D) 4a __ __ ___ __ __ ___ __ __ 系_ __ __ ___ __ 专业_ __ __ ___ __ _班级 姓名_ __ ___ __ __ ___ __ 学号__ ___ __ __ ___ __ _ ………… … … … … … … … … ( 密) … … … … … … … … … … … … ( 封 ) … … … …… … … … … … … … ( 线 ) … … … … … … … … … … … … (A) )()(B R A R < (B) )()(B R A R > (C) )()(B R A R = (D) 不能确定)(A R 和)(B R 的大小 【 】6.设n 元齐次线性方程组0=Ax 的系数矩阵A 的秩为r ,则0=Ax 有非零解 的充分必要条件是 (A) n r = (B) n r ≥ (C) n r < (D) n r > 【 】7. 向量组)2(,,,21≥m a a a m 线性相关的充分必要条件是 (A) m a a a ,,,21 中至少有一个零向量 (B) m a a a ,,,21 中至少有两个向量成比例 (C) m a a a ,,,21 中每个向量都能由其余1-m 个向量线性表示 (D) m a a a ,,,21 中至少有一个向量可由其余1-m 个向量线性表示 【 】8. n 阶方阵A 与对角阵相似的充分必要条件是 (A)n A R =)( (B)A 有n 个互不相同的特征值 (C)A 有n 个线性无关的特征向量 (D)A 一定是对称阵 二、填空题。(每小题3分,共15分) 1.已知3阶行列式D 的第2行元素分别为1,2,1-,它们的余子式分别为2,1,1-,则=D 。 2.设矩阵方程??????-=???? ??12640110X ,则=X 。 3.设*=ηx 是非齐次线性方程组b Ax =的一个特解,21,ξξ为对应齐次线性方程组 0=Ax 的基础解系, 则非齐次线性方程组b Ax =的通解为 . 4.设n m ?矩阵A 的秩r A R =)(,则n 元齐次线性方程组0=Ax 的解集S 的最大无关组S 的秩=R 。 《线性代数B 》 2010~ 2011 学年第 一 学期课程试卷A 一、填空 1. 125 642782516945 4321111= 12 . 2. 设A 、B 为4阶方阵,且,2||1 =-A 813=B ,则=||AB 1/2 . 3. 给定矩阵A ,且E A -可逆,满足B A E AB +=+2,则=B E A + . 4.设??????????=210110001A ,则=-1A ???? ??????--11012000 1 . 5.已知321,,ααα线性相关,3α不能由21,αα线性表示,则21,αα线性 相关 . 6.设???? ? ?????=??????????=??????????=120,61,321321αααt ,且1α,32αα,线性相关, 则=t 8 . 7.设A 是34?矩阵,且2)(=A R ,???? ? ?????=213010321B 则=)(AB R __2___ 8.设三阶方阵A 的每行元素之和均为零,又2)(=A R ,则齐次线性方程组O Ax =的通解为 )(111R k k ∈???? ?????? . 9. 向量组,11011????????????-=α,02132????????? ???-=α,31103????????????-=α???? ? ? ??????-=01014α的一个最大线性无关组为 421,,ααα . 10. 设A 为n 阶方阵,0=Ax 有非零解,则A 必有一个特征值为 0 . 二、单项选择 1..若=---+=--1 2 1 203242,112 2013z y x z y x 则( A ) )A ( 1- ; )B ( 2 ; )C ( 1 ; )D ( 0. 2.设C B A ,,均为二阶方阵,AC AB =,则当(C )时,可以推出C B =. .1111)D (;0110)C (;0011)B (;0101)A (? ? ? ???=? ?? ???=? ?? ???=? ?? ???=A A A A 3. 下列结论正确的是( A ) . )A ( s ααα,,,21 线性无关的充要条件是其中任意一个向量都不是其余向量的线性组合; )B ( 若向量321,,ααα线性相关,则21,αα线性相关; )C ( 若n 阶方阵A 与对角阵相似,则A 有n 个不同的特征值; )D ( 若方程组O Ax =有非零解,则b Ax =有无穷多解. 4. 已知321,,ηηη是四元方程组b Ax =的三个解,其中,3)(=A R ? ? ??? ???????=43211η,???? ????????=+444432ηη, 则以下不是方程组b Ax =的通解为( D ) . )A (;43214202???? ?? ??????+????????????--k )B ( ;43212101????????????+????????????--k )C (;22222101???? ????????+????????????--k )D (????? ? ??????+????????????43210123k . 5. 设向量组321,,ααα线性无关,则下列向量组中线性无关的是( B ) )A (133221,,αααααα--- ; )B (1321,,αααα+ ; )C (212132,,αααα- ; )D (32322,,αααα+. 6.若n 阶矩阵B A ,有共同的特征值,且各有n 个线性无关的特征向量,则(A ) 线性代数习题和答案 第一部分选择题(共28分) 一、单项选择题(本大题共14小题,每小题2分,共28分)在每小题列出の四个选项中只有 一个是符合题目要求の,请将其代码填在题后の括号内。错选或未选均无分。 1.设行列式a a a a 1112 2122 =m, a a a a 1311 2321 =n,则行列式 a a a a a a 111213 212223 + + 等于() A. m+n B. -(m+n) C. n-m D. m-n 2.设矩阵A= 100 020 003 ? ? ? ? ? ? ? ,则A-1等于() A. 1 3 00 1 2 001 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? B. 100 1 2 00 1 3 ? ? ? ? ? ? ? ? ?? C. 1 3 00 010 00 1 2 ? ? ? ? ? ? ? ?? D. 1 2 00 1 3 001 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 3.设矩阵A= 312 101 214 - - - ? ? ? ? ? ? ? ,A*是Aの伴随矩阵,则A *中位于(1,2)の元素是() A. –6 B. 6 C. 2 D. –2 4.设A是方阵,如有矩阵关系式AB=AC,则必有() A. A =0 B. B≠C时A=0 C. A≠0时B=C D. |A|≠0时B=C 5.已知3×4矩阵Aの行向量组线性无关,则秩(A T)等于() A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 6.设两个向量组α1,α2,…,αs和β1,β2,…,βs均线性相关,则() A.有不全为0の数λ1,λ2,…,λs使λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0和λ1β1+λ2β2+…λsβs=0 B.有不全为0の数λ1,λ2,…,λs使λ1(α1+β1)+λ2(α2+β2)+…+λs(αs+βs)=0 C.有不全为0の数λ1,λ2,…,λs使λ1(α1-β1)+λ2(α2-β2)+…+λs(αs-βs)=0 D.有不全为0の数λ1,λ2,…,λs和不全为0の数μ1,μ2,…,μs使λ1α1+λ2α2+…+ λsαs=0和μ1β1+μ2β2+…+μsβs=0 7.设矩阵Aの秩为r,则A中() A.所有r-1阶子式都不为0 B.所有r-1阶子式全为0 C.至少有一个r阶子式不等于0 D.所有r阶子式都不为0 8.设Ax=b是一非齐次线性方程组,η1,η2是其任意2个解,则下列结论错误の是() A.η1+η2是Ax=0の一个解 B.1 2 η1+ 1 2 η2是Ax=bの一个解 东 北 大 学 考 试 试 卷(A 卷) 2010 — 2011学年 第二学期 课程名称:线性代数 (共2页) ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄ (15分) 设三阶矩阵()321,,ααα=A , ()3323214,3,32αααααα+-+=B , 且A 的行列式1||=A ,求矩阵B 的行列式||B . 解 因为()3323214,3,32αααααα+-+=B =? ???? ??-413031002),,(321ααα, 所以,24413031002||||=-=A B 分) 设向量组????? ??-=2111α,????? ??=1122α,????? ??=a 213α线性相关,向量 ???? ? ??=b 13β可由向量组321,,ααα线性表示,求b a ,的值。 解 由于 ????? ??-=b a 1212113121),,,(321βααα????? ??---→62304330312 1b a ? ???? ??-+→210043303121b a 所以,.2,1=-=b a 三分) 证明所有二阶实对称矩阵组成的集合V 是R 2? 2 的子空间,试在 V 上定义内积运算,使V 成为欧几里得空间,并给出V 的一组正交基. 解 由于任意两个二阶实对称矩阵的和还是二阶实对称矩阵,数乘二阶实对称矩阵还是 二阶实对称矩阵,即V 对线性运算封闭,所以V 是R 2? 2 的子空间。 对任意V b b b b B a a a a A ∈??? ? ??=???? ??=2212121122121211,,定义内积:[A,B]=222212121111b a b a b a ++, 显然满足:[A,B]=[B,A], [kA,B]=k[A,B], [A,A]≥0且[A,A]=0当且仅当A=0. ???? ??=00011A ,???? ??=01102A ,???? ??=10003A 就是V 的一组正交基. 注:内积和正交基都是不唯一的. 2-1 第一部分选择题(共28分) 一、单项选择题(本大题共14小题,每小题2分,共28分)在每小题列出的四个选项中只有 一个是符合题目要求的,请将其代码填在题后的括号内。错选或未选均无分。 1.设行列式a a a a 1112 2122 =m, a a a a 1311 2321 =n,则行列式 a a a a a a 111213 212223 + + 等于() A. m+n B. -(m+n) C. n-m D. m-n 2.设矩阵A= 100 020 003 ? ? ? ? ? ? ? ,则A-1等于() A. 1 3 00 1 2 001 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? B. 100 1 2 00 1 3 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? C. 1 3 00 010 00 1 2 ? ? ? ? ? ? ? ?? D. 1 2 00 1 3 001 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 3.设矩阵A= 312 101 214 - - - ? ? ? ? ? ? ? ,A*是A的伴随矩阵,则A *中位于(1,2)的元素是() A. –6 B. 6 C. 2 D. –2 4.设A是方阵,如有矩阵关系式AB=AC,则必有() A. A =0 B. B≠C时A=0 C. A≠0时B=C D. |A|≠0时B=C 5.已知3×4矩阵A的行向量组线性无关,则秩(A T)等于() A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 6.设两个向量组α1,α2,…,αs和β1,β2,…,βs均线性相关,则() A.有不全为0的数λ1,λ2,…,λs使λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0和λ1β1+λ2β2+…λsβs=0 B.有不全为0的数λ1,λ2,…,λs使λ1(α1+β1)+λ2(α2+β2)+…+λs(αs+βs)=0 C.有不全为0的数λ1,λ2,…,λs使λ1(α1-β1)+λ2(α2-β2)+…+λs(αs-βs)=0 D.有不全为0的数λ1,λ2,…,λs和不全为0的数μ1,μ2,…,μs使λ1α1+λ2α2+…+ λsαs=0和μ1β1+μ2β2+…+μsβs=0 7.设矩阵A的秩为r,则A中() A.所有r-1阶子式都不为0 B.所有r-1阶子式全为0 C.至少有一个r阶子式不等于0 D.所有r阶子式都不为0 8.设Ax=b是一非齐次线性方程组,η1,η2是其任意2个解,则下列结论错误的是() A.η1+η2是Ax=0的一个解 B.1 2η1+1 2 η2是Ax=b的一个解 C.η1-η2是Ax=0的一个解 D.2η1-η2是Ax=b的一个解 9.设n阶方阵A不可逆,则必有() 线性代数期末考试试卷 答案合集 文档编制序号:[KKIDT-LLE0828-LLETD298-POI08] ×××大学线性代数期末考试题 一、填空题(将正确答案填在题中横线上。每小题2分,共10分) 1. 若02 2 1 50 1 31 =---x ,则=χ__________。 2.若齐次线性方程组??? ??=++=++=++0 00321 321321x x x x x x x x x λλ只有零解,则λ应满足 。 3.已知矩阵n s ij c C B A ?=)(,,,满足CB AC =,则A 与B 分别是 阶矩阵。 4.矩阵??? ? ? ??=3231 2221 1211 a a a a a a A 的行向量组线性 。 5.n 阶方阵A 满足032=--E A A ,则=-1A 。 二、判断正误(正确的在括号内填“√”,错误的在括号内填“×”。每小题2分,共10分) 1. 若行列式D 中每个元素都大于零,则0?D 。( ) 2. 零向量一定可以表示成任意一组向量的线性组合。( ) 3. 向量组m a a a ,, , 21中,如果1a 与m a 对应的分量成比例,则向量组s a a a ,,, 21线性相关。( ) 4. ? ? ??? ???? ???=010********* 0010 A ,则A A =-1。( ) 5. 若λ为可逆矩阵A 的特征值,则1-A 的特征值为λ。 ( ) 三、单项选择题 (每小题仅有一个正确答案,将正确答案题号填入括号内。每小题2 分,共10分) 1. 设A 为n 阶矩阵,且2=A ,则=T A A ( )。 ① n 2 ② 12-n ③ 12+n ④ 4 2. n 维向量组 s ααα,, , 21(3 s n )线性无关的充要条件是( )。 ① s ααα,, , 21中任意两个向量都线性无关 ② s ααα,, , 21中存在一个向量不能用其余向量线性表示 ③ s ααα,, , 21中任一个向量都不能用其余向量线性表示 ④ s ααα,, , 21中不含零向量 3. 下列命题中正确的是( )。 ① 任意n 个1+n 维向量线性相关 ② 任意n 个1+n 维向量线性无关 ③ 任意1+n 个n 维向量线性相关 ④ 任意1+n 个n 维向量线性无关 4. 设A ,B 均为n 阶方阵,下面结论正确的是( )。 ① 若A ,B 均可逆,则B A +可逆 ② 若A ,B 均可逆,则 A B 可逆 ③ 若B A +可逆,则 B A -可逆 ④ 若B A +可逆, 则 A ,B 均可逆 5. 若4321νννν,,,是线性方程组0=X A 的基础解系,则4321νννν+++是0=X A 的( ) ① 解向量 ② 基础解系 ③ 通解 ④ A 的行向量 四、计算题 ( 每小题9分,共63分) 1. 计算行列式 x a b c d a x b c d a b x c d a b c x d ++++。 线性代数期末考试题样卷 一、填空题(将正确答案填在题中横线上。每小题2分,共10分) 1. 若02 2 1 50 1 31 =---x ,则=χ__________。 2.若齐次线性方程组??? ??=++=++=++0 00321 321321x x x x x x x x x λλ只有零解,则λ应满足 。 3.已知矩阵n s ij c C B A ?=)(,,,满足CB AC =,则A 与B 分别是 阶矩阵。 4.矩阵??? ? ? ??=32312221 1211 a a a a a a A 的行向量组线性 。 5.n 阶方阵A 满足032 =--E A A ,则=-1A 。 二、判断正误(正确的在括号内填“√”,错误的在括号内填“×”。每小题2分,共10分) 1. 若行列式D 中每个元素都大于零,则0?D 。( ) 2. 零向量一定可以表示成任意一组向量的线性组合。( ) 3. 向量组m a a a ,, ,Λ21中,如果1a 与m a 对应的分量成比例,则向量组s a a a ,,,Λ21线性相关。( ) 4. ? ? ??? ???? ???=010********* 0010 A ,则A A =-1。( ) 5. 若λ为可逆矩阵A 的特征值,则1 -A 的特征值为λ。 ( ) 三、单项选择题 (每小题仅有一个正确答案,将正确答案题号填入括号内。每小题2分,共10分) 1. 设A 为n 阶矩阵,且2=A ,则=T A A ( )。 ① n 2 ② 1 2 -n ③ 1 2 +n ④ 4 2. n 维向量组 s ααα,,,Λ21(3 ≤ s ≤ n )线性无关的充要条件是( )。 ① s ααα,, ,Λ21中任意两个向量都线性无关 ② s ααα,, ,Λ21中存在一个向量不能用其余向量线性表示 ③ s ααα,, ,Λ21中任一个向量都不能用其余向量线性表示 《 线性代数A 》试题(A 卷) 试卷类别:闭卷 考试时间:120分钟 考试科目:线性代数 考试时间: 学号: 姓名: 题号 一 二 三 四 五 六 七 总 分 得分 阅卷人 一.单项选择题(每小题3分,共30分) 1.设A 经过初等行变换变为B ,则( ).(下面的(),()r A r B 分别表示矩阵,A B 的秩)。 () A ()()r A r B <; () B ()()r A r B =; ()C ()()r A r B >; () D 无法判定()r A 与()r B 之间的关系。 2.设A 为 (2)n n ≥阶方阵且||0A =,则( )。 () A A 中有一行元素全为零; () B A 有两行(列)元素对应成比例; () C A 中必有一行为其余行的线性组合; () D A 的任一行为其余行的线性组合。 3. 设,A B 是n 阶矩阵(2n ≥), AB O =,则下列结论一定正确的是: ( ) () ;A A O B O ==或 ()AX B B 的每个行向量都是齐次线性方程组=O 的解. ();C BA O = ()()().D R A R B n +≤ 4.下列不是n 维向量组12,,...,s ααα线性无关的充分必要条件是( ) () A 存在一组不全为零的数12,,...,s k k k 使得1122...s s k k k O ααα+++≠; () B 不存在一组不全为零的数12,,...,s k k k 使得1122...s s k k k O ααα+++= 12(),,...,s C ααα的秩等于s ; 12(),,...,s D ααα中任意一个向量都不能用其余向量线性表示 5.设n 阶矩阵(3)n ≥1...1................1a a a a a a A a a a ?? ? ? ?= ? ? ???,若矩阵A 的秩为1n -,则a 必为( )。 ()A 1; () B 11n -; () C 1-; () D 11 n -. 6.四阶行列式 1 1 2 2334 4 0000 000 a b a b b a b a 的值等于( )。 ()A 12341234a a a a b b b b -; ()B 12341234a a a a b b b b +; () C 12123434()()a a b b a a b b --; () D 23231414()()a a b b a a b b --. 7.设A 为四阶矩阵且A b =,则A 的伴随矩阵* A 的行列式为( )。 ()A b ; () B 2b ; () C 3b ; () D 4b 8.设A 为n 阶矩阵满足23n A A I O ++=,n I 为n 阶单位矩阵,则1 A -=( ) () n A I ; ()3n B A I +; ()3n C A I --; ()D 3n A I + 9.设A ,B 是两个相似的矩阵,则下列结论不正确的是( )。 ()A A 与B 的秩相同; ()B A 与B 的特征值相同; () C A 与B 的特征矩阵相同; () D A 与B 的行列式相同; 诚实考试吾心不虚 ,公平竞争方显实力, 考试失败尚有机会 ,考试舞弊前功尽弃。 上海财经大学《 线性代数 》课程考试卷(B )闭卷 课程代码 105208 课程序号 姓名 学号 班级 一、单选题(每小题2分,共计20分) 1. 当=t 3 时,311244s t a a a a 是四阶行列式中符号为负的项。 2. 设A 为三阶方阵,3A = ,则* 2A -=__-72__。 3. 设矩阵01000 01000010 00 0A ????? ?=?????? ,4k ≥,k 是正整数,则=k P 0 。 4. 设A 是n 阶矩阵,I 是n 阶单位矩阵,若满足等式2 26A A I +=,则 () 1 4A I -+= 2 2A I - 。 5. 向量组()()()1,2,6,1,,3,1,1,4a a a +---的秩为1,则 a 的取值为__1___。 6. 方程组1243400x x x x x ++=??+=? 的一个基础解系是 ???? ? ? ? ??--??????? ??-1101,0011 。 7. 设矩阵12422421A k --?? ?=-- ? ?--??,500050004A ?? ? = ? ?-?? ,且A 与B 相似,则=k 4 。 …………………………………………………………… 装 订 线………………………………………………… 8. 123,,ααα是R 3 的一个基,则基312,,ααα到基12,αα,3α的过渡矩阵为 ???? ? ??001100010 。 9. 已知413 1 210,32111 a A B A A I -===-+-, 则B 的一个特征值是 2 。 10. 设二次型222 12312132526f x x x tx x x x =++++为正定, 则t 为 5 4||< t 。 二.选择题(每题3分,共15分) 1. 设A 为n 阶正交方阵,则下列等式中 C 成立。 (A) *A A =; (B)1*A A -= (C)()1T A A -=; (D) *T A A = 2. 矩阵 B 合同于145-?? ? - ? ??? (A) 151-?? ? ? ??? ; (B )????? ??--321;(C )???? ? ??112;(D )121-?? ? - ? ?-?? 3. 齐次线性方程组AX O =有唯一零解是线性方程组B AX =有唯一解的( C )。 (A )充分必要条件; (B )充分条件; (C )必要条件; (D )无关条件。 4.设,A B 都是n 阶非零矩阵,且AB O =,则A 和B 的秩( B )。 (A )必有一个等于零;(B )都小于n ;(C )必有一个等于n ;(D )有一个小于n 。 5.123,,ααα是齐次线性方程组AX O =的基础解系,则__B___也可作为齐次线性方程组 AX O =的基础解系。 (A) 1231231222,24,2αααααααα-+-+--+ (B )1231212322,2,263αααααααα-+-+-+ 线性代数习题一 说明:本卷中,A -1表示方阵A 的逆矩阵,r (A )表示矩阵A 的秩,||α||表示向量α的长度,αT 表示向量α的转置,E 表示单位矩阵,|A |表示方阵A 的行列式. 一、单项选择题(本大题共10小题,每小题2分,共20分) 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的,请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1.设行列式11 121321 222331 3233a a a a a a a a a =2,则1112 13 31323321312232 2333 333a a a a a a a a a a a a ------=( ) A .-6 B .-3 C .3 D .6 2.设矩阵A ,X 为同阶方阵,且A 可逆,若A (X -E )=E ,则矩阵X =( ) A .E +A -1 B .E -A C .E +A D . E -A -1 3.设矩阵A ,B 均为可逆方阵,则以下结论正确的是( ) A .?? ???A B 可逆,且其逆为-1-1 ?? ???A B B .?? ??? A B 不可逆 C .?? ? ??A B 可逆,且其逆为-1-1?? ??? B A D .?? ???A B 可逆,且其逆为-1-1?? ?? ? A B 4.设α1,α2,…,αk 是n 维列向量,则α1,α2,…,αk 线性无关的充分必要条件是 ( ) A .向量组α1,α2,…,αk 中任意两个向量线性无关 B .存在一组不全为0的数l 1,l 2,…,l k ,使得l 1α1+l 2α2+…+l k αk ≠0 C .向量组α1,α2,…,αk 中存在一个向量不能由其余向量线性表示 D .向量组α1,α2,…,αk 中任意一个向量都不能由其余向量线性表示 5.已知向量2(1,2,2,1),32(1,4,3,0),T T +=---+=--αβαβ则+αβ=( ) A .(0,-2,-1,1)T B .(-2,0,-1,1)T C .(1,-1,-2,0)T D .(2,-6,-5,-1)T 6.实数向量空间V ={(x , y , z )|3x +2y +5z =0}的维数是( ) 线性代数期末考试试题含 答案 The final edition was revised on December 14th, 2020. 江西理工大学《线性代数》考题 一、 填空题(每空3分,共15分) 1. 设矩阵??????????=333222 111 c b a c b a c b a A ,??????????=333 222111d b a d b a d b a B 且4=A ,1=B 则=+B A ______ 2. 二次型233222213214),,(x x tx x x x x x f +-+=是正定的,则t 的取值范围__________ 3. A 为3阶方阵,且2 1=A ,则=--*12)3(A A ___________ 4. 设n 阶矩阵A 的元素全为1,则A 的n 个特征值是___________ 5. 设A 为n 阶方阵,n βββ ,,21为A 的n 个列向量,若方程组0=AX 只有零解,则向量组(n βββ ,,21)的秩为 _____ 二、选择题(每题3分,共15分) 6. 设线性方程组?????=+=+--=-032231 3221ax cx bc bx cx ab ax bx ,则下列结论正确的是( ) (A)当c b a ,,取任意实数时,方程组均有解 (B)当a =0时,方程组无解 (C) 当b =0时,方程组无解 (D)当c =0时,方程组无解 7. 同为n 阶方阵,则( )成立 (A) B A B A +=+ (B) BA AB = (C) BA AB = (D) 111)(---+=+B A B A 8. 设??????????=333231232221 131211 a a a a a a a a a A ,??????????+++=331332123111131211232221a a a a a a a a a a a a B ,??????????=1000010101P , ???? ??????=1010100012P 则( )成立 (A)21P AP (B) 12P AP (C) A P P 21 (D) A P P 12 9. A ,B 均为n 阶可逆方阵,则AB 的伴随矩阵=*)(AB ( ) (A) **B A (B) 11--B A AB (C) 11--A B (D)**A B 10. 设A 为n n ?矩阵,r A r =)(<n ,那么A 的n 个列向量中( ) 《线性代数A 》试题(A 卷) 试卷类别:闭卷考试时间:120分钟考试科目:线性代数考试时间:学号:姓名: 《线性代数A》参考答案(A卷)一、单项选择题(每小题3分,共30分) 二、填空题(每小题3分,共18分) 1、 256; 2、 132465798?? ? --- ? ???; 3、112 2 112 21122 000?? ?- ? ?-?? ; 4、 ; 5、 4; 6、 2 。 三. 解:因为矩阵A 的行列式不为零,则A 可逆,因此1X A B -=.为了求1A B -,可利用下列初等行变换的方法: 2312112 01012 010******* 12101 141103311033102321102721 002781 002780 11410 101440 10144001103001103001103---?????? ? ? ? -??→-??→-- ? ? ? ? ? ?--? ?? ?? ?-?????? ? ? ? ??→--??→-??→-- ? ? ? ? ? ??????? ―――――(6分) 所以1 278144103X A B -?? ?==-- ? ??? .―――――(8分) 四.解:对向量组12345,,,,ααααα作如下的初等行变换可得: 12345111 4 3111431132102262(,,,,)21355011313156702262ααααα--???? ? ? ----- ? ? = → ? ? --- ? ? ? ?---???? 11 1 431 2 12011310 1131000000 0000000000 0000--???? ? ? ---- ? ? →→ ? ? ? ? ? ?? ???――――(5分) 从而12345,,,,ααααα的一个极大线性无关组为12,αα,故秩 12345{,,,,}ααααα=2(8分)线性代数测试试卷及答案
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