杆的模型应用及受力情况分析

1

杆的模型应用及受力情况分析

彭兆光

江苏省苏州市第一中学215006

中学物理研究问题的思想方法，虽然在课本中没有明确指出，但它已经渗透到各部分内容的叙述中，只要留心就会发现这样的事实，物理学研究问题时，往往先从大量的事实中，抽象出它们的化身———理想化模型(如描述物体的有：质点、点电荷等；描述运动的有：匀变速直线运动、匀速圆周运动、简諧振动等；描述过程的有：弹性碰撞、等温变化、等幅振荡等；描述状态的有：热学中的平衡状态、电学中的静电平衡等；描述器件的有：如单摆、理想电表、理想变压器等……)，再对模型进行研究，得出有关的定义、概念、规律等知识，最后用这些规律性的知识去解决问题，这就是中学物理研究问题的基本方法。即从实际问题分析 总结得出 模型 研究得出 规律 运用解决 实际问题。因此，在解决实际问题时，能否全面的掌握已经学过的模型（条件、范围、意义等）,是否能从问题所设定的情境中恰当地确认模型、正确地建立模型、熟练地应用模型是解决问题的关键。 物理学中杆是很常见的。由于杆在实际中往往起到传递力和力矩的作用，它受到的可能是压力、拉力，有时可能是切力。其方向可能沿杆的方向，也可能和杆有一定的夹角。正是因为这样，实际中在没有明确给出杆的质量的情况下，我们通常将杆简化为：没有质量，不考虑粗细及形变的轻质细杆，即轻质细杆模型。但实际问题是复杂的，在有些情况下只能将杆简化为：没有质量、没有形变，但必须考虑粗细的轻质粗杆，即轻质粗杆模型。 对杆的这两种模型来说，无论杆受力怎样，运动状态如何，总有：其合力为零；力矩的代数和为零，这是分析轻质杆受力问题的依据。现举例分析两种模型的应用。

例1． 小车上有轻质杆支架，B 端固定一质量为m 的小球，ADC 端为铰链，D 为AB 的中点，CB 两点在同一水平线上，如图1所示，则1）当小车静止时，球和CD 杆对AB 加速度a 小球和CD 如图1a 即小球给大小为 以CD 和D （CD 受力如图CD 相反，与因此AB 以A F 1‘所以 N 1‘

2量和mg 如图1d tg θ＝故对AB 为轴，由ΣF 2‘ABsin(＝0 所以 N 2’

＝m(gtg α-a)/sin α 可见，当a

B 端F 2‘

不沿杆。

当a ＝gtg α时，θ＝α，CD 杆中无力，AB 杆B 端F 2‘

沿AB 杆。 当a>gtg α时，θ>α,CD 杆中有拉力，沿CD 方向，AB 杆B 端F 2‘

的反向延长线在∠ABC 内。 例2．如图2所示，质量均为m 的小球ABCD 分别用轻质杆相连，AB ＝CD ＝2L ，AC 、BD 、OE 为细绳，且AC ＝BD ＝L ，E 为AB 的中点，试求：BD 2a,合力矩为零），而a 1a 2a 3一定 相等（因为间绳不可伸长 AE ＝BE ） mg ＋T 1—N 2－mg ＝ma ② Mg －T 1＝ma ③ N 1L ＝N 2L ④ 解得：N 1＝N 2＝4mg/3 所以 T ＝N 1＋N 2＝8mg/3 例3端可绕A 体C 动摩擦因数(g ＝10m/s 2)

力情况如图三个共点力过A 、E 力情况如图以为A ΣM ＝0mg2R ＝N2R f ＝μN 解得：N ＝所以，f ＝故将F A 分解为竖直分量F A y ＝mg －N ，水平

分量F A x ＝f,则：

F A ＝2

2)(N mg f -+＝105N 方向与水平成 tg α＝1/2

同理，球受到两点，受力如图3b F D 方向与水平成F 与球接触处为C

D 处必被折断。所以这种情况杆与球接触处应为一个面，当拉动C 时，杆与球之间有两个力F D1、F D2，且这两个力要产生一个扭转力矩，即这种情况下杆的粗细不能忽略。杆球受力如图3c ，建立正确的杆的模型以后，所存在的问体都迎刃而解了。

3

分析：a 、b 两球在下摆的过程中系统机械能守恒。因为是轻质硬杆连接，所以任意时刻两球绕O 转动的角速度相等，故a 、b 两球在竖直位置时速度关系为：

V b ＝ω?2L ＝2ω?L ＝2 V a ① 以过O 点的水平面为零势面，由系统机械能守恒得：

21 m 2a V ＋2

1m 2

b V －mgL －mg2L ＝0 ② 解①②得：V a ＝

56gL V b ＝5

24gL

杆对a 球做的功等于a 球的机械能增

量，即W a ＝

21m 2

a V －mgL ＝－5

2mgL 即杆对a 球做负功5

2

mgL 。

杆对b 球做的功等于b 球的机械能增

量，即W b ＝

21m 2

b V －mg2L ＝5

2mgL 即杆对b 球做正功5

2

mgL 。可见杆对a 、b

两球做功的代数和为零。

既然杆AB 对a 、b 球都做功，那么杆的受力情况怎样呢？这又牵涉到杆的模型

这种情况对a 问题，但对看出F '

a 和F '

b 将被折弯，不在一直线上，这与题设硬杆不符。

问题出在哪里呢？问题还出在对AB 杆的模型应用上。在这种情况下，杆的粗细不能被忽略，接触处不再是一个点，而是一个面。杆受力情况应为图4b 所示。图中a 球受到杆给的F a1、F a2的作用，其切向分量对a 球来说与运动方向相反，故做负功；F a1、F a2径向分量和重力的径向分量、轴对杆拉力共同提供a 球做圆周运动的向心力。对b

球来说，杆给它的力F b1、

F b2的切向分量与

速度方向相同，故做正功；其径向分量和重力的径向分量共同提供b 球做圆周运动的向心力。对杆AB 来说，A 端受到F a1’、F a2’作用，B 端受到F b1’、F b2’作用，其中F a1’ ＝

F b1’ 、 F a2’ ＝ F b2’ ，而力偶F a1’ 、 F b1’ ，

F a2’ 、F b2’ 的力矩大小相等，转动方向相反，这样对杆合力为零，合力矩也为零，满足平衡条件。

综上所述，在分析轻杆的受力时，要根据实际情况，正确应用杆的模型，才能得出正确的结论,才能解开有些问题的症结。

F a1 F a2

’