高中理科数学解题方法篇(圆锥曲线)

攻克圆锥曲线解答题的策略

摘要:为帮助高三学生学好圆锥曲线解答题，提高成绩，战胜高考，可从四个方面着手：知识储备、方法储备、思维训练、强化训练。 关键词：知识储备 方法储备 思维训练 强化训练 第一、知识储备：

1. 直线方程的形式

（1）直线方程的形式有五件：点斜式、两点式、斜截式、截距式、一般式。 （2）与直线相关的重要内容 ①倾斜角与斜率tan ,[0,)k ααπ=∈

②点到直线的距离d = ③夹角公式：2121

tan 1k k k k α-=

+

（3）弦长公式

直线y kx b =+上两点1122(,),(,)A x y B x y 间的距离：12AB x =-

=或12AB y =- （4）两条直线的位置关系

①1212l l k k ⊥⇔=-1 ② 212121//b b k k l l ≠=⇔且 2、圆锥曲线方程及性质

(1)、椭圆的方程的形式有几种（三种形式）

标准方程：22

1(0,0)x y m n m n m n

+

=>>≠且

2a = 参数方程：cos ,sin x a y b θθ== (2)、双曲线的方程的形式有两种

标准方程：22

1(0)x y m n m n

+

=⋅<

距离式方程：2a = (3)、三种圆锥曲线的通径你记得吗

22

222b b p a a

椭圆：；双曲线：；抛物线：

(4)、圆锥曲线的定义你记清楚了吗

如：已知21F F 、是椭圆13

42

2=+y x 的两个焦点，平面内一个动点M 满足221=-MF MF 则动点M 的轨迹是（ ）

A 、双曲线；

B 、双曲线的一支；

C 、两条射线；

D 、一条射线 (5)、焦点三角形面积公式：122tan

2

F PF P b θ

∆=在椭圆上时，S 122cot

2

F PF P b θ

∆=在双曲线上时，S

（其中222

1212121212||||4,cos ,||||cos ||||

PF PF c F PF PF PF PF PF PF PF θθθ+-∠==•=⋅）

(6)、记住焦半径公式：（1）00;x a ex a ey ±±椭圆焦点在轴上时为焦点在y 轴上时为，可简记为“左

加右减，上加下减”。

（2）0||x e x a ±双曲线焦点在轴上时为

（3）11||,||22

p p

x x y +

+抛物线焦点在轴上时为焦点在y 轴上时为 (6)、椭圆和双曲线的基本量三角形你清楚吗 第二、方法储备

1、点差法（中点弦问题）

设

()

11,y x A 、()22,y x B ，()b a M ,为椭圆13

42

2=+y x 的弦AB 中点则有 1342

12

1=+y x ，1342

22

2=+y x ；两式相减得(

)()03

4

2

2

2

1

2

2

21=-+-y y

x x

⇒

()()

()()

3

4

21212121y y y y x x x x +--

=+-⇒AB k =b

a 43-

2、联立消元法：你会解直线与圆锥曲线的位置关系一类的问题吗经典套路是什么如果有两个参数

怎么办

设直线的方程，并且与曲线的方程联立，消去一个未知数，得到一个二次方程，使用判别式

0∆≥，以及根与系数的关系，代入弦长公式，设曲线上的两点1122(,),(,)A x y B x y ，将这两点代入曲线方程得到○1○2两个式子，然后○1-○2，整体消元······，若有两个字母未知数，则要找到它们的联系，消去一个，比如直线过焦点，则可以利用三点A 、B 、F 共线解决之。若有向量的关系，则寻找坐标之间的关系，根与系数的关系结合消元处理。一旦设直线为y kx b =+，就意味着k 存在。

例1、已知三角形ABC 的三个顶点均在椭圆805422=+y x 上，且点A 是椭圆短轴的一个端点（点A 在y 轴正

半轴上）.

（1）若三角形ABC 的重心是椭圆的右焦点，试求直线BC 的方程; （2）若角A 为0

90，AD 垂直BC 于D ，试求点D 的轨迹方程.

分析：第一问抓住“重心”，利用点差法及重心坐标公式可求出中点弦BC 的斜率，从而写出直线BC 的方程。第二问抓住角A 为090可得出AB ⊥AC ，从而得016)(14212121=++-+y y y y x x ，然后利用联立消元法及交轨

法求出点D 的轨迹方程；

解：（1）设B （1x ,1y ）,C(2x ,2

y ),BC 中点为(00,y x ),F(2,0)则有

116

20,116202

2

222121=+=+y x y x 两式作差有

16)

)((20))((21212121=+-+-+y y y y x x x x 04

500=+k

y x (1) F(2,0)为三角形重心，所以由

2321=+x x ，得30=x ，由03421=++y y 得20-=y ，代入（1）得5

6

=k 直线BC 的方程为02856=--y x

2)由AB ⊥AC 得016)(14212121=++-+y y y y x x （2）

设直线BC 方程为8054,2

2

=++=y x b kx y 代入，得080510)54(2

2

2

=-+++b bkx x k

2

215410k

kb

x x +-=+，222154805k b x x +-= 22

22122154804,548k k b y y k k y y +-=+=+ 代入（2）式得

054163292

2=+--k

b b ，解得)(4舍=b 或94

-=b 直线过定点（0，)94-，设D （x,y ），则1494

-=-⨯+

x

y x y ，即016329922=--+y x y 所以所求点D 的轨迹方程是)4()9

20()916(222

≠=-+y y x 。

4、设而不求法

例2、如图，已知梯形ABCD 中CD AB 2=，点E 分有向线段AC 所成的比为

λ，双曲线过C 、D 、E 三点，且以A 、B 为焦点当4

3

3

2≤

≤λ时，求双曲线离心率e 的取值范围。

分析：本小题主要考查坐标法、定比分点坐标公式、双曲线的概念和性质，推理、运算能力和综