标准曲线最小二乘法拟合与相关系数
标准曲线的最小二乘法拟合和相关系数
（合肥工业大学控释药物研究室 尹情胜）
1目的
用最小二乘法拟合一组变量（, i = 1-n ）之间的线性方程（y = ax+b ）,表示两 变量间的函数关系；（开创者：德国数学家高斯）个人收集整理勿做商业用途
一组数据（，，i = 1-n ）中，两变量之间的相关性用相关系数（R ）来表示。（开 创者：英国统计学家卡尔 皮尔逊）个人收集整理勿做商业用途
2最小二乘法原理
用最小二乘法拟合线性方程时，其目标是使拟合值（ 方和（Q ）最小。
n
n
Q=g
（并-E （Yj —axj-b/
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3拟合方程的计算公式与推导
当Q 最小时，加 ％ ；得到式（2）、式（3）:
n
n n ai =
+ b￡xj 一 ￡xiyj = 0
1 = 1
[ = 1 i = 1
dQ
db = 2
由式（3）和式（4），得出式（4）和式（5）:
忖）与实测值（）差值的平
式（ 1）个人收集
式（2）
n
n
(aj^x.+nb-
i = i
j = i
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式（3）个人收集
n n n
^Vi=a^\ + b^x i i = 1 i = 1 i = 1 理勿做商业用途
n n
S y i = a E X i + nb i = 1 i = 1
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截距b的计算公式为公式（5）,也即：
I 11n
i= 1 i = 1 式（4）个人收集整
式（5）个人
n
式（4）乘以门，式（5）乘以已1,两式相减并整理得斜率a：
n n n
i = 1 i = 1 i = 1
斜率(k = xy /xx , n* 积和-和积)式(6)截距 b =（y-x） / n,差平均差）式（7）
4相关系数的意义与计算公式
相关系数（相关系数的平方称为判定系数）是用以反映变量之间相关关系密切程度 的统计指标。
相关系数（也称积差相关系数）是按积差方法计算，同样以两变量与各自平均值的 离差为基础，通过两个离差相乘来反映两变量之间相关程度；着重研究线性的单相关系 数。个人收
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相关系数r xy 取值在-1到1之间。r xy = 0时，称x,y 不相关；| r xy | = 1时，称x,y 完 全相关，此时，x,y 之间具有线性函数关系；| r xy | < 1时，X 的变动引起Y 的部分变动， r xy 的绝对值越大，x 的变动引起y 的变动就越大，|r xy | > 0.8时称为高度相关，当0.5< | r xy |<0.8时称为显著相关，当
0.3<| r xy |<0.5时，成为低度相关，当| r xy | < 0.3时，称为
无相关。个人收集整理勿做商业用途
式（7）
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5临界相关系数的意义
5.1临界相关系数中显著性水平（a ）与置信度
显著性水平取0.05，表示置信度为95%;取0.01，置信度就是99%。个人收集整理勿做
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在正常的分布条件下，一般要求实际值位于置信区间的概率应该在 95%以上，这个 置信区间为丫 土 2S ，从而置信区间的上下限分别为：Y 1=a+bX+2S , Y 2=a+bX-2S 。个人收 集整理
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5.2临界值表中自由度（f ）
自由度（degree of freedom, f 在数学中能够自由取值的变量个数，如有3个变量x 、y 、 z ，但x+y+z=18，因此其自由度等于2。在统计学中，自由度指的是计算某一统计量时， 取值不受限制的变量个数。通常f=n-k 。其中n 为样本含量，k 为被限制的条件数或变量 个数，或计算某一统计量时用到其它独立统计量的个数。自由度通常用于抽样分布中。
Lxy/VLxxLyy)
P ）的关系
i = 1
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f=n—p—1
其中：n为样本数（点的个数）,p为因子数（p元回归，一元线性回归, P= 1) 0
5.3相关系数临界值表
附表7. 相关系数临界值表（自由度f = n-2）
n —2 a
0.10 0.05 0.02 0.01 0.001
1 2 3 4 5 6 7 8 9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20 25 30 35 40 45 50 60 70 80 90 100 0.987 69
0.900 00
0.805 4
0.729 3
0.669 4
0.621 5
0.582 2
0.549 4
0.521 4
0.497 3
0.476 2
0.457 5
0.440 9
0.425 9
0.412 4
0.400 0
0.388 7
0.378 3
0.368 7
0.359 8
0.323 3
0.296 0
0.274 6
0.257 3
0.242 8
0.230 6
0.210 8
0.195 4
0.182 9
0.172 6
0.163 8
0.099 692
0.950 00
0.878 3
0.811 4
0.754 5
0.706 7
0.666 4
0.631 9
0.602 1
0.576 0
0.552 9
0.532 4
0.513 9
0.497 3
0.482 1
0.468 3
0.455 5
0.443 8
0.432 9
0.422 7
0.380 9
0.349 4
0.324 6
0.304 4
0.287 5
0.273 2
0.250 0
0.231 9
0.217 2
0.205 0
0.194 6
0.999 507
0.980 00
0.934 33
0.882 2
0.832 9
0.788 7
0.749 8
0.715 5
0.685 1
0.658 1
0.633 9
0.612 0
0.592 3
0.574 2
0.557 7
0.542 5
0.528 5
0.515 5
0.503 4
0.492 1
0.445 1
0.409 3
0.381 0
0.357 8
0.338 4
0.321 8
0.294 8
0.273 7
0.256 5
0.242 2
0.230 1
0.999 877
0.990 00
0.958 73
0.917 20
0.874 5
0.834 3
0.797 7
0.764 6
0.734 8
0.707 9
0.683 5
0.661 4
0.641 1
0.622 6
0.605 5
0.589 7
0.575 1
0.561 4
0.548 7
0.536 8
0.486 9
0.448 7
0.418 2
0.393 2
0.372 1
0.354 1
0.324 8
0.301 7
0.283 0
0.267 3
0.254 0
0.999 998 8
0.999 00
0.991 16
0.974 06
0.950 74
0.924 93
0.898 2
0.872 1
0.847 1
0.823 3
0.801 0
0.780 0
0.760 3
0.742 0
0.724 6
0.708 4
0.693 2
0.678 7
0.665 2
0.652 4
0.597 4
0.554 1
0.518 9
0.489 6
0.464 8
0.443 3
0.407 8
0.379 9
0.356 8
0.337 5
0.321 1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
25
30
35
40
45
50
60
70
80
90
100