《新编基础物理学》第一章习题解答和分析

新编基础物理学王少杰顾牡主编上册

第一章课后习题答案

QQ:970629600

习题一

1-1.质点运动学方程为：cos()sin(),r a t i a t j btk ωω=++

其中a ，b ，ω均为正常数，求质

点速度和加速度与时间的关系式。

分析：由速度、加速度的定义，将运动方程()r t

对时间t 求一阶导数和二阶导数，可得到速度和加速度的表达式。

解：/sin()cos()==-++

v dr dt a t i a t j bk ωωωω

2

/cos()sin()a dv dt a t i t j ωωω??==-+??

1-2. 一艘正在沿直线行驶的电艇，在发动机关闭后，其加速度方向与速度方向相反，大小与速度平方成正比，即2/d d v v K t -=， 式中K 为常量．试证明电艇在关闭发动机后又行驶x 距离

时的速度为 0K x

v v e -= 。 其中0v 是发动机关闭时的速度。 分析：要求()v v x =可通过积分变量替换dx

dv v

dt

dv a ==，积分即可求得。

证：

2

d d d d d d d d v x

v v

t

x x

v t v K -==?

=

d K dx v

=-v ??

-=x

x K 0d d 10

v v

v

v , Kx -=0

ln

v v

0K x

v v e -=

1-3．一质点在xOy 平面内运动，运动函数为2

2,48x t y t ==-。（1）求质点的轨道方程并画出轨道曲线；（2）求t =1 s t =2 s 和时质点的位置、速度和加速度。

分析：将运动方程x 和y 的两个分量式消去参数t ，便可得到质点的轨道方程。写出质点的运

动学方程)(t r

表达式。对运动学方程求一阶导、二阶导得()v t 和()a t ，把时间代入可得某时刻

质点的位置、速度、加速度。

解：（1）由2,x t =得：,2

x t =代入2

48y t =-

可得：2

8y x =-，即轨道曲线。 画图略

（2）质点的位置可表示为：2

2(48)r ti t j =+-

由/v dr dt = 则速度：28v i tj =+

由/a dv dt = 则加速度：8a j =

则：当t=1s 时，有24,28,8r i j v i j a j =-=+=

当t=2s 时，有48,216,8r i j v i j a j =+=+=

1-4．一质点的运动学方程为2

2

(1)x t y t ==-，，x 和y 均以m 为单位，t 以s 为单位。（1）求

质点的轨迹方程；（2）在2t s =时质点的速度和加速度。 分析同1-3.

解：（1）由题意可知：x ≥0，y ≥0，由2x t =，，可得t =

,代入2(1)y t =-

1=

-，即轨迹方程

（2）质点的运动方程可表示为：22

(1)r t i t j =+-

则：/22(1)v dr dt ti t j ==+-

/22a dv dt i j ==+

因此, 当2t s =时，有242(/),22(/)v i j m s a i j m s =+=+

1-5．一质点沿半径为R 的圆周运动，运动学方程为2

012

s v t bt =-

，其中v 0，b 都是常量。

（1）求t 时刻质点的加速度大小及方向；（2）在何时加速度大小等于b ； （3）到加速度大小等于b

时质点沿圆周运行的圈数。

分析：由质点在自然坐标系下的运动学方程()t s s =，求导可求出质点的运动速率dt

ds v =，因

而，dt

dv a =

τ，2

n v

a ρ

=

，00n a a a n ττ=+

，2

2n a a a +=

τ，当b a =时，可求出t ，代入运动

学方程()t s s =，可求得b a =时质点运动的路程，R

s π2即为质点运动的圈数。

解：（1）速率：0ds

v v bt dt ==-，且dv

b dt

=-

加速度：2

2

00000()v bt dv v a n b n dt R

ττρ-=+=-+

则大小：a ==

……………………①

方向：()bR bt v 2

tan --

=θ （2）当a=b 时，由①可得：0v t b

=

（3）当a=b 时，0v t b

=

，代入2

01,2

s v t bt =-

可得：2

2v s b

=

则运行的圈数 2

24=

=

v s N R

bR

ππ

1-6．一枚从地面发射的火箭以2

20m s -?的加速度竖直上升0.5min 后，燃料用完，于是像一个

自由质点一样运动，略去空气阻力，试求（1）火箭达到的最大高度；（2）它从离开地面到再回到地面所经过的总时间。

分析：分段求解：s t 300≤≤时，2

20s m a =，求出v 、a ；t ＞30s 时，g a -=。求出2()v t 、

2()x t 。当02=v 时，求出t 、x ，根据题意取舍。再根据0x =，求出总时间。

解：（1）以地面为坐标原点，竖直向上为x 轴正方向建立一维坐标系，且在坐标原点时，t=0s ，且0.5min=30s

则：当0≤t ≤30s ，由x x dv a dt

=

, 得2

,20(/)x

t

v x x x a dt dv a m s =

=??

，

20(/),30()x v t m s t s ==时，1600(/)v m s = 由x dx v dt

=

，得130

=

??

x x v dt dx ，则：19000()x m =

当火箭未落地, 且t ＞30s,又有：21

2

22230

,9.8(/)x t

v x x x v a dt dv a m s =

=-??

，

则：28949.8(/)x v t m s =- 且：1

230t

x x x v dt dx =

??

，则：2

4.989413410()x t t m =-+-…①

当20x v =，即91.2()t s =时，由①得，m ax 27.4x km ≈

（2）由（1）式，可知，当0x =时，166()t s ≈，t ≈16(s)＜30(s)（舍去）

1-7. 物体以初速度120m s -?被抛出，抛射仰角60°，略去空气阻力，问（1）物体开始运动后的1.5s 末，运动方向与水平方向的夹角是多少？ 2.5s 末的夹角又是多少？（2）物体抛出后经过多少时间，运动方向才与水平成45°角？这时物体的高度是多少?（3）在物体轨迹最高点处的曲率半径有多大？（4）在物体落地点处，轨迹的曲率半径有多大？

分析：（1）建立坐标系，写出初速度0v

，求出()v t 、θtan ，代入t 求解。

（2）由（1）中的θtan 关系，求出时间t ；再根据y 方向的运动特征写出()t y ，代入t 求y 。 （3）物体轨迹最高点处，0=y v ，且加速度2

n v

a a g ρ

==

=，求出ρ。

（4）由对称性，落地点与抛射点的曲率相同 ρθ2

cos v

g a n =

=，求出ρ。

解：以水平向右为x 轴正向，竖直向上为y 轴正向建立二维坐标系

（1）初速度00

020cos 6020sin 6010(/)v i j i m s =+=+ ， 且加速度29.8(/),a j m s =-

则任一时刻：109.8)(/)v i t j m s =+

………………①

与水平方向夹角有tan 10

θ=

当t=1.5(s)时，tan 0.262,1441'θθ==? 当t=2.5(s)时，tan 0.718,3541'θθ=-=-? （2）此时tan 1θ=, 由②得t=0.75(s)

高度2

2

110.759.80.7510.23()2

2

yo y v t gt m =-

=-

??=

（3）在最高处，

2

10(/),10(/),

n v v i m s v m s a g ρ====

，

则：2

10.2()=

=v

m g

ρ

（4）由对称性，落地点的曲率与抛射点的曲率相同。 由图1-7可知：

cos cos x n v a a g g

v

θθ===

2

10 4.9(/)20

g

m s ==

2

40082()4.9

n

v

m a ρ=

=

=

1-8．应以多大的水平速度v 把一物体从高h 处抛出， 才能使它在水平方向的射程为h 的n 倍？ 分析：若水平射程hn vt =，由gt h 2

1=

消去t ，即得()h v 。

解：设从抛出到落地需要时间t

则，从水平方向考虑vt hn =，即

从竖直方向考虑2

1,2

h gt =消去t ，

则有：

v =

1-9．汽车在半径为400m 的圆弧弯道上减速行驶，设在某一时刻，汽车的速率为-110m s ?，切向加速度的大小为-20.2m s ?。求汽车的法向加速度和总加速度的大小和方向。 分析：由某一位置的ρ、v 求出法向加速度n a ，再根据已知切向加速度τa 求出a 的大小和方向。 解：法向加速度的大小2

2

2

10

0.25(/),400

=

=

=n v

a m s ρ

方向指向圆心

总加速度的大小

2

0.32(/)=

==a m s

如图1-9，tan 0.8,3840',n

a a ταα=

==?

则总加速度与速度夹角9012840'θα=?+=?

1-10. 质点在重力场中作斜上抛运动，初速度的大小为0v ，与水平方向成α角．求质点到达抛

出点的同一高度时的切向加速度，法向加速度以及该时刻质点所在处轨迹的曲率半径（忽略空

气阻力）．已知法向加速度与轨迹曲率半径之间的关系为2

/ n a v ρ=。 分析：运动过程中，质点的总加速度 a g =。由于无阻力作用，所以回落到抛出点高度时 质点的速度大小0v v =，其方向与水平线夹角也是α。可求出 n a ，如图1-10。再根据关系

2

/ n a v ρ=求解。

解：切向加速度 a g a sin =τ 法向加速度 a g a n cos =

图1-10

因 α

ρρ

cos 2

2

2

g a a n

n v v

v

=

=

∴=

1-11．火车从A 地由静止开始沿着平直轨道驶向B 地，A ，B 两地相距为S 。火车先以加速度a 1作匀加速运动，当速度达到v 后再匀速行驶一段时间，然后刹车，并以加速度大小为a 2作匀减速行驶，使之刚好停在B 地。求火车行驶的时间。

分析：做v-t 图，直线斜率为加速度，直线包围面积为路程S 。 解：由题意，做v-t 图（图1-11）

则梯形面积为S ，下底为经过的时间t ， 12tan ,tan a a αβ== 则：[](cot cot )2

v S t t v v α

β=+--

则：1

2

111()2S t v v

a a =++

1-12. 一小球从离地面高为H 的A 点处自由下落，当它下落了距离h 时，与一个斜面发生碰撞，并以原速率水平弹出，问h 为多大时，小球弹的最远？

分析：先求出小球落到A 点的小球速度，再由A 点下落的距离求出下落时间，根据此时间写出小球弹射距离l ,最后由极植条件求出h 。

解：如图1-12，当小球到达A 点时，有2

2v gh =

则速度大小：v =

设从A 点落地的时间为t ，则有2

12H h gt -=，

则t =

小球弹射的距离，===l vt 则当12

h H =

时，l 有最大值。

1-13．离水面高为h 的岸上有人用绳索拉船靠岸，人以恒定速率v 0拉绳子，求当船离岸的距离为s 时，船的速度和加速度的大小。

分析：收绳子速度和船速是两个不同的概念。小船速度的方向为水平方向，由沿绳的分量与垂直绳的分量合成，沿绳方向的收绳的速率恒为0v 。可以由0v 求出船速v 和垂直绳的分量1v

。再

根据2

1

n v a ρ

=

关系，以及n a 与a 关系求解a 。

解：如图1-13，20v v = 船速2sec v v θ= 当船离岸的距离为s 时，

00

12,tan v h v v v v s

s

θ===

则，2

2

1

cos n v a a a

θρ

=

=== 即：2

2

03

=v h a s

1-14. A 船以-130km h ?的速度向东航行，B 船以-1

45km h ?的速度向正北航行，求A 船上的人观察到的B 船的速度和航向。

分析：关于相对运动，必须明确研究对象和参考系。同时要明确速度是相对哪个参照系而言。画出速度矢量关系图求解。

解：如图1-14，30(/),45(/)==

A B v i km h v j km h

B 船相对于A 船的速度4530(/)=-=-

BA B A v v v j i km h

则速度大小：54.1(/)==BA v km h

方向：arctan

56.3==?B A

v v θ，既西偏北56.3?

1-15. 一个人骑车以-1

18km h ?的速率自东向西行进时，看见雨滴垂直落下，

当他的速率增加至

-1

36km h ?时，看见雨滴与他前进的方向成120°角下落，求雨滴对地的速度。

分析：相对运动问题，雨对地的速度不变，画速度矢量图由几何关系求解。

解：如图1-15，r v 为雨对地的速度， 12,p p v v

分别为第一次，第二次人对地的速度，

12,r p r p v v --

分别为第一次，第二次雨对人的速度

120θ=?

由三角形全等的知识，可知：18012060αβ==?-?=

三角形ABC 为正三角形，则：236(/)r p v v km h ==，方向竖直向下偏西30?。

1-16如题图1－16所示，一汽车在雨中以速率1v 沿直线行驶，下落雨滴的速度方向偏于竖直方向向车后方θ角，速率为2v ，若车后有一长方形物体，问车速为多大时，此物体刚好不会被雨水淋湿？

分析：相对运动问题，画矢量关系图，由几何关系可解。 解：如图1-16（a ），车中物体与车蓬之间的夹角 arctan

l h

α=

若θ＞α，无论车速多大，物体均不会被雨水淋湿 若θ＜α，则图1-16（b ） 则有||||||v BC AC AB ==-车

=sin sin cos tan sin v v v v αθθαθ-=-雨雨雨雨对车 又2v v =雨 则：2cos (

sin )l v v h

θθ=-车

1-17，渔人在河中乘舟逆流航行，经过某桥下时，一只水桶落入水中，0.5h 后他才发觉，即回头追赶，在桥下游5.0km 处赶上，设渔人顺流及逆流相对水划行速率不变，求水流速率。

分析：设静水中船、水的速率分别为1212,()v v v v >，从桶落水开始记时，且船追上桶时为t 时刻。取水速的反方向为正方向，则顺水时，船的速率为12=+v v v ，逆水时船的速率为12=-v v v ,做v -t 图，见图1-17

解： ABD C D EG F S S =即：[][]{}122212()()0.5()()(0.5)v v v v v v t ---?=---+?- 则： 1.0()t h = 又：2 5.0?=v t

则：水流速率

2=5.0(km /h)v

1-18．一升降机以2g 的加速度从静止开始上升，在2.0s 末时有一小钉从顶板下落，若升降机顶板到底板的距离h=2.0m ，求钉子从顶板落到底板的时间t, 它与参考系的选取有关吗？ 分析：选地面为参考系，分别列出螺钉与底板的运动方程，当螺丝落到地板上时，两物件的位置坐标相同，由此可求解。

解：如图1-18建立坐标系，y 轴的原点取在钉子开始脱落时升降机的底面处，此时，升降机、钉子速度为o v ,钉子脱落后对地的运动方程为： 2

112

o y h v t gt =+-

升降机底面对地的运动方程为：

2

2122

=+

?o y v t gt

且钉子落到底板时，有12=y y ，即0.37()=t s

t 与参考系的选取无关。