关于解决城市交通堵塞问题的数学模型的探究

城市交通拥阻的分析与治理

摘要

随着经济的高速发展和城市化进程的加快，机动车拥有量急剧增加。城市道路交通拥堵问题成为困扰世界各大城市的主要社会问题之一，严重影响着城市的可持续发展和人们的日常工作与生活。快速、准确地发现路网中发生的交通拥堵，并估计出拥挤在未来一段时间内的扩散范围和持续时间，对于制定合理有效的交通拥挤疏导策略具有重要意义。

本文通过调查洛阳市中州中路与定鼎路交叉口车流量与红绿灯的设置等情况，发现此路口南北方向的车辆主要是由关林与洛阳站方向的往返车辆，东西方向的车辆主要是由中央百货大楼与老城方向的往返车辆，且南北方向的车流量大于东西方向的车流量。

模型一，通过我们的调查发现，造成此路口交通拥堵的原因之一是黄灯时间较短，黄灯时间只有3秒，这样会造成有些车辆因来不及停车而越过十字路口的停车线, 又由于红灯亮了而过不了路口, 故而造成交通混乱。针对此问题，我们在力学与动力学原理的基础上，提出一种调整黄灯时间的模型，利用微分方程列出黄灯时间的求解公式，并计算出黄灯闪亮的最佳时间为7秒。

模型二，道路的增长速度跟不上车辆增长速度，这就导致了车辆静止平均密度逐年增大，结果花费了大量人力物力财力修路架桥，但换来的不是交通顺畅，而是越来越严重的交通拥挤。针对此现象，我们以交通工具为研究对象，运用线性规划方法并结合LINGO软件，得出人们出行选用自行车和大型机动车有利于缓解当前交通拥堵现象。

模型三，为了使交通部门有充分的时间来预防交通拥堵，应该在交通流高峰到来之前做出预测, 进而采取及时的措施并通过交通控制系统削减交通流高峰、避免拥堵的发生，我们采用径向基函数预测功能的神经网络[5],对十字路口的车流量进行实时预测，应用MATLAB软件编程[4]预测出交通高峰期可能通过每个路口的车流量，从而可以给交通部门提供数据，让他们有更充分的时间预防交通拥堵的发生。

关键词：微分方程;线性规划;神经网络; LINGO; MATLAB

城市道路交通问题是一个复杂的社会系统工程，它不仅与市民的生活密切相关, 而且关系到经济的发展和社会的进步。交通道路拥挤已成为众所周知的“都市顽症”，许多大中城市的交通拥阻造成了时间的浪费、工作的耽误和心理的烦躁，严重影响了人们的学习生活，直接、间接带来了相当大的经济损失。因此如何缓解交通拥阻、综合治理越来越成为民生的焦点。现在我们就洛阳市中州中路与定鼎路交叉口的交通现状，应用数学建模方法提出、分析并探讨解决城市交通拥阻问题的办法。下面就是我们在该十字路口的典型环境中相当简化的情形下所要解决的问题。

(1)如图，到达十字路口的四队车流的每一队，都有直行、左转、右转三个方向。在交通高峰时间实际调查这些车流的数据，以及现行的交通调度方案（包括路口三个方向行车道的划分、红绿灯的控制等）。

(2)分析交通堵塞的原因，提出治理方案。.

(3)对你的方案作计算机模拟，评价其效果。

(4)将调查、分析和解决方案写成一篇简明、通俗的文章，投给当地的报刊。

二、模型假设

（1）假设车的长度对交通没有影响，所有车的通过路口的速度一样，同一转向的车辆时间相同；

(2）假设所有的司机都遵守交通规则，没有交通事故发生；

(3）不考虑汽车发动时间的影响；

(4）只考虑机动车辆，不考虑其他影响不大的交通工具的影响；

(5）不考虑天气和车辆状况的影响；

3.1、交通拥堵的概念

交通堵塞是指一定时间内道路的承载能力不能满足车辆的通行需求，即道路上的车流量大于道路的最大车流量，是超出部分滞留在路上的交通现象。

针对此问题我们选择的是洛阳市中州中路与定鼎路交叉口，此路口当前是采用红黄绿色灯，根据交叉路流量的具体情况，有色灯分配通行权。交通高峰时间每个路口的车流量如下表（1）：

表（1）

3.2、现行色灯分配方案如下

此次调查的中州中路与定鼎路交叉口有12个相位，如下表（3）：（例如D25意为从车道2开往车道5）

表（3）

3.3、造成交通堵塞的原因

定鼎路与中州中路十字路口，是关林连接洛阳站与火车站的主要交叉口，同样也是老城连接王城广场与中央百货大楼的主要交叉口，南面连接立交桥与洛阳桥，车流量很大，主要为由南向北、由北向南、由南向西和由南向东。这些方向车流量大，但黄灯时间较短，会造成有些车辆因来不及停车而越过十字路口的停车线, 但又由于红灯亮了而过不了路口, 故而造成交通混乱。再加上目前我国大多数城市都存在的问题即城市道路建设严重滞后，不能满足机动车的迅猛发展，交通流量日益加的需求；城市非交通占道

严重，加剧了城市的交通压力；城市交通结构的不合理，交通工具发展的不平衡，红绿灯时间短的安排不合理也加剧了交通的紧张状况；交通事故是导致交通堵塞特别是重大交通堵塞的重要原因；交通管理职能作用不到位，管理效率不高，是造成交通拥堵的重要原因。

3.4、十字路口车辆调度问题分析

十字路口就是给各相位个分配一定的绿灯段，使得在每一个绿灯时段内冲突的相位不同时放行；十字路口的情况下，通常是相位1和相位3轮流现实的两种相位。如果因左转车数量多，需要设置左转相位时再加相位2而成为三个相位。这里，图上实线表示车辆，虚线表示行人。

图（4）

四、符号说明

T：驾驶员的反应时间；

1

T：汽车通过十字路口的时间；

2

T：停车距离的驾驶时间；

3

v：法定行驶速度；

I：十字路口的长度；

L：车长；

f：刹车摩擦系数；

m：汽车质量；

()

x t：为行驶距离；

x：第j种交通工具(辆)；

j

c：第j 种交通工具单车费用系数；

j

a：第j 种交通工具单车载客量(人/辆)；

1j

b：A 城市瞬时交通流量的最大值(人)；

1

a：第j种交通工具单车按规定的最大速度安全行驶时所必须占用的最小道路面积(平2j

方米/辆)；

b：A 城市道路总面积(平方米)；

2

五、模型的建立与求解

模型一、通过延长黄灯时间来缓解交通拥堵

在最早的交通灯设计中是没有黄灯的。 由于没有黄灯的缓冲作用, 司机在交通路口必须及时做出停车或启动车辆的准备； 行人在通过马路的时候, 也必须准确地判断通行时间和红绿灯的转换时间, 因此, 通常行人过马路是很危险的。红灯停、绿灯行, 黄灯则告诫人们马上要转变灯的颜色, 正在过马路的行人要抓紧时间通过. 当绿灯转变为黄灯时, 司机和行人应准备停下来; 当红灯转变为黄灯时, 司机和行人应准备启动. 由于黄灯的缓冲作用, 行人、司机就有更充足的时间来从容应付, 提高了交通安全的保障系数, 黄灯时间的确定对交通路口的安全行使起举足轻重的作用. 时间少了, 会造成有些车辆因来不及停车而越过十字路口的停车线, 但又由于红灯亮了而过不了路口, 势必造成交通混乱. 而黄灯亮的时间过长又会浪费时间, 降低道路利用率, 甚至造成交通堵塞.下面我们将根据实际调查在力学与动力学的基础上给出一种计算黄灯闪烁的模型[1]。

记1T ------ 驾驶员的反应时间；

2T ------ 汽车通过十字路口的时间； 3T ------ 停车距离的驾驶时间；

则123T T T T =++为黄灯应亮的时间。下面计算2T 、3T ：

设法定行驶速度为0v ，十字路口的长度为I ，车长为L ，则汽车通过十字路口的时

间为20

I L

T v +=.

注意，车的尾部必须通过路口，这样路口的实际长度就是I L + .

停车过程是驾驶员踩刹车踏板产生的一种摩擦力，使汽车减速直至停止。设为汽车质量，f 为刹车摩擦系数，()x t 为行驶距离，刹车制动力为fmg （g 为重力加速度）。有牛顿第二定律，刹车过程满足下述运动方程：

22d x

m fmg dt

=- 初始条件为：00(0)0,|t dx x v dt ===.对微分方程积分一次，并代入条件00|t dx

v dt

==，得

0dx

fgt v dt =-+.令末速度为零，的刹车时间为01v t fg

=对上式子在积分一次，并代入条件(0)0x = ,得201()2x t gt v t =-+.故停车距离为22000101

1()()22v v v x t fg v fg fg fg

=-+=

. 所以 0

130()12v x t T v fg

==.

驾驶员的反应时间，可根据统计数据经验得到，通常为1到2秒。这样，求得黄灯应

亮时间为0

102v I L T T v fg

+=++.

根据我们对定鼎路与中州中路十字路口的调查统计数据有，汽车通过路口的行驶速度大约为20km/h ，路口长度26m ，车身长度为5m,汽车平均质量1300kg ，通过红灯口出的车次是每分钟约为65辆，沥青路面刹车摩擦系数为0.8。

由上述公式代入数据，有01050

26591750220.8109

v I L T T v fg ++=++=++≈??，即黄灯应

该设置的最佳时间约为7秒。

模型二、线性规划的数学模型

在人们传统的观念中解决城市道路交通拥堵的指导思想是，在车辆任意增加的前提下增加道路，以减小车辆静止平均密度，实现交通畅通，但是，随着经济的发展，汽车生产技术的提高，使道路的增长速度跟不上车辆增长速度，这就导致了车辆静止平均密度逐年增大，结果花费了大量人力物力财力修路架桥，但换来的不是交通顺畅，而是越来越严重的交通拥挤。可见错误的规划思路是城市交通发展走上恶性循环的直接原因。根据可持续发展的战略思想我们下面根据调查洛阳市中州中路与定鼎路交叉口的具体交通状况建立线性规划[2]的数学模型。如下:

11min n n f c x x =+……+c (1)

目标函数（1）表示所有交通工具的总费用（包括固定资产费用、维持运行费用和污染费用）。

11111

211221.0,,0n n n n n a x a x b st a x a x b x x ++≥??

++≤??≥≥?…………… (2)(3)(4) 约束条件（2）表示所有交通工具所能承载的人数大于等于该十字路口瞬时交通流

量的最大值(人)。

约束条件（3）表示所有交通工具所占有的总面积小于等于该十字路口的总面积。 其中j x 表示第j 种交通工具(辆),( j = 1, ?, n )。j c 表示第j 种交通工具单车费用系数(包括固定资产费用、维持运行费用和污染费用) (元/年. 辆)。1j a 表示第j 种交通工具单车载客量(人/辆)。1b 表示A 城市道瞬时交通流量的最大值(人)。2j a 表示第j 种交通工具单车按规定的最大速度安全行驶时所必须占用的最小道路面积(平方米/辆)。2b 表示A 城市道路总面积(平方米)。

该线性规划模型对城市道路交通规划的解释为: 求该线性规划问题的最优可行解, 确定交通工具的种类和数量, 使其在现有人口和道路的条件下(1b 和2b 为已知) , 能安全快速行驶( (3) 式成立) , 能充分满足市民的交通需求( (2) 式成立) , 并且实现资源消耗最少、环境污染最小(f 达到最小)。

当人口增加时, 1b 随之增大. 解决问题的办法是: 1) 适当增大1j a , 使对增大后的1b , 有11111n n a x a x b ++≥……；

2) 对增大后的1b , 在其他参数不变的前提下, 求模型的新的最优可行解； 3) 如果对增大后的1b 可行解集是空集, 则适当增大2b , 即增加道路面积, 使可行解集非空。

为简化计算, 我们把交通工具按机动车辆和非机动车辆分成两类. 机动车辆(以公共汽车为代表) 用1x 表示, 非机动车辆(以自行车为代表) 用2x 表示。则模型变为： 1122min f c x c x =+ (1)

目标函数（1）表示公共汽车和自行车的总费用（包括固定资产费用、维持运行费用和污染费用）。

1111221

21122221

2.0,0a x a x b st a x a x b x x +≥??

+≤??≥≥? (2)(3)(4) 约束条件（2）表示公共汽车和自行车所能承载的人数大于等于该十字路口瞬时交

通流量的最大值(人)。

约束条件（3）表示公共汽车和自行车所占有的总面积小于等于该十字路口的总面积。

给出一组实验数据, 设150000c =,2100c =, 1150a =,121a =，15800000b =,

21100a =,225a =,278000000b =.则最优可行解为10x =,25800000x =.

比较斜率12c c - ,1112a a - ,2122a

a - 不难看出，最优最优可行解1210,x x

b ==，对

1b ，2b ，1c ，2c 是非常稳定的。

从节约能源和保护环境的角度来看, 作为交通工具, 自行车是最佳选择. 但自行车有它的缺点, 如速度慢, 需要出行者本人驾驶等. 可见, 把自行车作为唯一的选择是不可行的.继续上面的讨论. 设已选定非机动车数量为2000000, 把非机动车的因素从模型中去掉, 只剩下机动车. 而进一步把机动车再分为大型机动交通工具(以公共汽车为代表, 记为11x ) 和小型机动交通工具(以小汽车为代表, 记为12x ) 两类, 则模型变为：

111212min f c x c x =+ (1)

目标函数（1）表示公共汽车和小汽车的总费用（包括固定资产费用、维持运行费用和污染费用）。

111112121

2111221221112.0,0a x a x b st a x a x b x x +≥??

+≤??≥≥? (2)(3)(4) 约束条件（2）表示公共汽车和小汽车所能承载的人数大于等于该十字路口瞬时交

通流量的最大值(人)。

约束条件（3）表示公共汽车和小汽车所占有的总面积小于等于该十字路口的总面积。

其中11000000b =，210000000b =，150000c =, 250000c =, 111a =, 12150a =,

21150a =,2280a =.用LINGO 编写出程序计算的最优可行110x =, 126667x =.所以该可行解是非常稳定的。

由模型二再结合节约能源保护环境的理念我们可以得出：为了解决城市交通拥堵问题和交通的可持续发展，为了发展和谐社会建设城市文明，提高人们的生活质量，在洛阳市的对交通工具的最佳选择是自行车和大型机动交通工具。

模型三、神经网络模型

对定鼎路与中州中路交叉口在下一周期内的车流量进行预测,特别是在交通流高峰到来之前做出预测, 进而采取及时的措施并通过交通控制系统削减交通流高峰、避免拥堵的发生, 是ITS 智能交通系统( Intelligent Traffic System) 对城市道路进行智能化管理中一个重要的环节。但是, 由于交通车流具有非线性、很大的不确定性、随机性

和离散性, 以常规数学模型为基础建立的十字路口车流量预测算法在预测精度和实时性方面还存在不少问题, 这在一定程度上限制了智能交通系统管理和协调控制城市交通的能力。我们根据实地调查的数据, 采用RBF 径向基函数网络[3]进行训练, 然后对交叉口下一个时间段内的车流量进行预测。应用预测结果采取适当措施避免交通拥堵现象的发生。

下表（5）为该十字路口的车流量统计表，所采用数据为一天中交通高峰期的车流量，每组统计时间为20分钟。

表（5）

训练方法: 为了提高神经网络预测的准确性, 训练时对输入进行了归一化处理, 输出为下一个时间段内路口各个方向的车流量, 并对BP 算法进行了改进, 采用有回弹的BP 算法, 以消除梯度模值对网络训练的影响。通过MATLAB 编程[4]实现神经网络的训练及仿真。BP 神经网络与径向基BP 神经网络的预测效果分别如图（6）和图（7）

图（6）

图（7）

由下图（8）训练及仿真结果表明, 我们采用基于径向基函数的神经网络控制方法对十字路口车流量进行预测, 能够达到在短时间内完成实时预测的要求, 预测精度也令人满意。当车流量的变化较大时, 采用本方法可较好地改善十字路口的交通拥堵问题。

00.20.40.60.8

1 1.

2 1.4 1.6 1.82

100

200

300

400

500

600

700

o 为真实值，*为预测值

道路

交通量

图（8）

致XXX 报刊的一封信

敬爱的编辑:

您好!

我们是XXX 学校的学生，在做一个关于如何解决城市交通拥堵问题的数学建模题。我们调查了洛阳市中州中路与定鼎路交叉路口现行的交通情况，发现此路口高峰期容易出现交通拥堵现象。对此，我们分析了出现交通拥堵的原因，并提出了相应的解决方案，现将我们的方案寄给您，方案如下：

方案一，针对该十字路口信号灯的时间分配问题，我们发现黄灯时间只有3秒太短，会造成有些车辆因来不及停车而越过十字路口的停车线, 又由于红灯亮了而过不了路口, 故而造成交通混乱。我们在力学与动力学原理的基础上，提出一种调整黄灯时间的模型，利用微分方程列出黄灯时间的求解公式，并计算出黄灯闪亮的最佳时间为7秒。

方案二，由于道路的增长速度跟不上车辆增长速度，这就导致了车辆静止平均密度逐年增大，结果花费了大量人力物力财力修路架桥，但换来的不是交通顺畅，而是越来越严重的交通拥挤。针对此现象，我们以交通工具为研究对象，运用线性规划方法并结合LINGO 软件，得出人们出行选用自行车和大型机动车有利于缓解当前交通拥堵现象。

方案三，为了使交通部门有充分的时间来预防交通拥堵，应该在交通流高峰到来之前做出预测, 进而采取及时的措施并通过交通控制系统削减交通流高峰、避免拥堵的发生，我们采用径向基函数预测功能的神经网络,对十字路口的车流量进行实时预测，应用MATLAB 软件编程预测出交通高峰期可能通过每个路口的车流量，从而可以给交通部门提供数据，让他们有更充分的时间预防交通拥堵的发生。

城市是我们每一个人的家，我们都有义务和责任来维护它的良好秩序。希望我们的方案能为缓解该路口的交通拥堵现象出一份力。

此致

敬礼

六、模型评价

在模型一中，综合考虑驾驶员的时间、车身长度及摩擦系数等多种因素，结合物理学和微分方程的知识使计算的黄灯闪烁时间更加准确。但是，将车速定为法定车速忽略了车辆变速行驶的情况，可能会使计算的黄灯闪烁时间不那么的精确。

在模型二中，把城市道路交通中的关键因素人，车，路，资源，环境有机的联系在一起，很好的体现了节约能源保护环境的理念。但是，计算使用的数据是根据交警多年的经验得出来的，可能与洛阳市定鼎路与中州中路交叉口实际的车流量有出入。

在模型三中，对BP算法进行了改进, 采用有回弹的BP算法, 以消除梯度模值对网络训练的影响。RBF相对于BP网络, 具有运算量小、收敛快、无局部极小等优点, 在一定程度上克服了BP 网络存在的问题，能够更好的解决交通拥堵问题。

参考文献

[1] 马锐，十字路口黄灯闪亮时间的数学建模分析，云南民族大学学报，第13卷第4期，

2004年4月

[2] 胡运权，运筹学基础及应用，北京市西城区：高等教育出版社，2008年第五版。

[3] 唐艳王洪博王万新，基于高斯径向基函数神经网络的十字路口车流量预测，农业装备与车辆工程，总第176期，2006年第3期。

[4] 刘卫国，MATLAB程序设计教程（第二版），中国水利水电出版社。

[5] 高宁张建中，MATLAB在RBF神经网络模型中的应用，农业网络信息，2009年第2期。

[6] 金松野，市交通网络与交通流的协调、优化与控制研究[M] . 上海:上海交通大学出版社,1998. 88 – 91。

[7] 白峥，学建模案例分析[M] . 北京:海洋出版社,2000. 171 – 176。

[8] 任善强雷鸣，数学模型[M],重庆：重庆大学出版社1998.60 – 65。

[9] 朱德通，型与实验[M] . 上海:同济大学出版社,2003. 79 – 107。

[10] 国强. 数学建模优秀案例选编[M] . 广州:华南理工大学出版社,177 – 204。

附录:

程序一

min 50000*x1+100*x2;

-50*x1-x2<=-5800000;

100*x1+5x2<=78000000;

程序二

min 50000*x11+50000*x12;

-x11-150*x12<=-1000000;

150*x11+80*x12<=10000000;

程序三

p=[880,978,690,439,515,390,865,990,734;

198,250,210,156,112,98,198,243,200;

845,920,65,480,427,360,902,890,654;

210,265,234,134,165,120,270,298,312;

980,1010,1005,580,690,634,976,1140,1230;

203,256,198,102,110,198,235,365,247;

1380,1204,1032,699,687,723,1000,1300,1106;

170,204,198,128,102,149,290,347,589];

t=[239 356 467 278 489 198 1032 128];

[m,ps]=mapminmax(p);

[n,ts]=mapminmax(t);

testPercent=0.15;

validatePercent=0.15;

[trainSamples,validateSamples,testSamples]=dividevec(m,n,validatePercent,te stPercent);

NodeNum1=20;

NodeNum2=40;

TypeNum=1;

TF1='tansig';TF2='logsig';TF3='tansig';

net=newff(minmax(m),[NodeNum1,NodeNum2,TypeNum],{TF1 TF2 TF3},'traingdx'); net.trainParam.epochs=10000;

net.trainParam.goal=1e-6;

net.trainParam.lr=1;

net.trainfcn='traingdm';

[net,tr]=train(net,trainSamples.P,trainSamples.T,[],[],validateSamples,test Samples);

[normTrainOutput,Pf,Af,E,trainPerf]=sim(net,trainSamples.P,[],[],trainSampl es.T);

[normValidateOutput,Pf,Af,E,validatePerf]=sim(net,validateSamples.P,[],[],v alidateSamples.T);

[normTestOutput,Pf,Af,E,testPerf]=sim(net,testSamples.P,[],[],testSamples.T );

trainOutput = mapminmax('reverse',normTrainOutput,ts);

trainInsect = mapminmax('reverse',trainSamples.T,ts);

validateOutput = mapminmax('reverse',normValidateOutput,ts);

validateInsect = mapminmax('reverse',validateSamples.T,ts);

testOutput = mapminmax('reverse',normTestOutput,ts);

testInsect = mapminmax('reverse',testSamples.T,ts);

figure

plot(1:1,[trainOutput validateOutput],'-',1:1,[trainInsect

validateInsect],'--',1:1,testOutput,'*',1:1,testInsect,'o');

title('o 为真实值，*为预测值') xlabel('道路');

ylabel('交通量');