江西省重点中学协作体(鹰潭一中、上饶中学等)2021届高三下学期第一次联考数学(理)试题

江西省重点中学协作体2021届高三第一次联考数学(理)试卷

考试时间：120分钟分值：150分

一?选择题：本题共12小题，每题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的．

1. 已知集合{0,1,2,3}A =，集合{}2|B x x x ==，则A B =（ ） A. {0,1,

2.3} B. {1,0,1}-

C. {1.2}

D. {0,1}

D

利用集合交集的定义计算即可．

{}

{}2|0,1B x x x ===，则{}0,1A B =故选：D

2. 已知复数5

11i z i

-=+，z 的虚部是（ ）

A. 1-

B. i -

C. 1

D. i

C

利用复数的乘方和除法法则化简复数z ，利用共轭复数的概念以及复数的概念可得出复数z 的虚部.

()()()2

5111211112

i i i

i z i i i i i ----=====-+++-，z i ∴=，因此，z 的虚部是1.故选：C.

3. 已知1

::

P p a

≤1，2:10q a -≥则P 是q 的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

B

根据题意，化简,p q ，即可利用集合之间的关系，判定得到结论.

1

:

p a

≤1，化简可得:0p a <或1a ≥， 2:10q a -≥，化简可得:1q a ≤-或1a ≥，

由{|1a a ≤-或1}a ≥ {|0a a <或1}a ≥， 可知,p

q q p ?，

故p 是q 的必要不充分条件，故选：B

方法点睛：判断充要条件的方法是：

①若p ?q 为真命题且q ?p 为假命题，则命题p 是命题q 的充分不必要条件； ②若p ?q 为假命题且q ?p 为真命题，则命题p 是命题q 的必要不充分条件； ③若p ?q 为真命题且q ?p 为真命题，则命题p 是命题q 的充要条件；

④若p ?q 为假命题且q ?p 为假命题，则命题p 是命题q 的即不充分也不必要条件． ⑤判断命题p 与命题q 所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p 与命题q 的关系．

4. sin155sin35cos25cos35??-??=（ ）

A. B. 12

-

C.

12

B

根据诱导公式，以及两角和的余弦公式直接化简，即可得出结果.

sin155sin35cos25cos35sin 25sin35cos25cos35??-??=??-??

()1

cos 2535cos602

=-?+?=-?=-.故选：B.

关键点点睛：该题主要考查利用两角和的余弦公式化简求值，涉及诱导公式，正确解题的关键是熟练掌握公式.

5. 在6

()2x y x y ??-+ ???的展开式中，25x y 的系数是（ ）

A. 20

B.

152

C. 12-

D. 252

-

C

将原式变形为666

()()()22x x y x y x y y x y =??-++-+ ???

，再根据6()x y +的展开式的通项公式

616r

r r r T x y C -+=，分别令=5r ， 4r =求解.

6

66()()()22x x y x y x y y x y =??-++-+ ?

??， 6()x y +的展开式的通项公式为616r

r r r T x y C -+=，

令=5r 时，25x y 的系数是

5

6

123C =； 令4r =时，25x y 的系数是4

615C =--，

所以6

()2x y x y ??-+ ???

的展开式中，25x y 的系数是3-15=-12，故选：C

6. “干支纪年法”是我国历法的一种传统纪年法，甲?乙?丙?丁?戊?己?庚?辛?壬?癸被称为“十天干”；子?丑?寅?卯?辰?巳?午?未?申?酉?戌?亥叫做“十二地支”“天干”以“甲”字开始，“地支”以“子”字开始，两者按干支顺序相配，组成了干支纪年法，其相配顺序为甲子?乙丑?丙寅……癸酉；甲戌?乙亥?丙子…癸未；甲申?乙酉?丙戌…癸巳；…，共得到60个组合，称六十甲子，周而复始，无穷无尽．2021年是“干支纪年法”中的辛丑年，那么2121年是“干支纪年法”中的（ ） A. 庚午年 B. 辛未年

C. 庚辰年

D. 辛巳年

D

根据“干支纪年法”的规则判断．

2021年是辛丑年，则2081年是辛丑年，天干10个一循环，地支12个一循环，2082年到2121年共40年，天干正好又是辛，因为40除以12的余数为4，故地支为丑后的第四个巳，因此2021年是辛巳年．故选：D ．

7. 已知|1|

3()5x f x -??= ?

??

，则下列不等关系正确的是（ ）

A. ()()20.5log 71 2.5(1)f f f <∞<

B. ()()0.52log 2.5log 7(1)f f f <<

C. ()()0.52(1)log 2.5log 7f f f <<

D. ()()20.5(1)log 7log 2.5f f f <<

B

根据|1|

3()5x f x -??

= ?

??，分别求得()()0.52log 2.5,log 7,(1)f f f ，再利用35x

y ??

= ???在R 上递减求解.

因为|1|

3()5x f x -??

= ?

??

，

所以()0.50.50.50.5|log 2.51|

|log 2.51|

og 5

og 0502

..3333log 2.55555l l f ---??

??????= ?

? ? ?===????

??

??

，

()22|log 71|

log 2 3.5

33log 755f -=??

??= ?

???

??

，0

3(1)5f ??

= ???

，

又因为0.50.5222log 0.2log 0.252,1log 2log 3.5log 42>==<<=，

所以0.52log 0.2log 3.50>>，又35x

y ??

= ???

在R 上递减，

所以

0.52

og log0

0.2 3.5

333 555 l

?????? ?

? ?

????

<

??

<，

即()()

0.52

log 2.5log7(1)

f f f

<<，故选：B

8. 若函数sin2

3

y x

π

ω

??

=+

?

??

的图象向右平移

6

π

个单位后与函数cos2

y x

ω

=的图象重合，则ω的值可能为（）

A. 1-

B. 2-

C.

1

2

- D.

1

4

-

C

写出平移的函数解析式，根据诱导公式求得ω的表达式，比较可得．

函数sin2

3

y x

π

ω

??

=+

?

??

的图象向右平移

6

π

个单位后得图象的解析式为

1

sin2()sin2

633

y x x

ππω

ωωπ

-

????

=-+=-

?

??

????

，它与cos2

y x

ω

=相同，

则

1

2

32

k

ωπ

ππ

-

-=+，

1

6,

2

k k Z

ω=--∈，只有C满足．故选：C．

9. 如图ABCDEF为五面体，其中四边形ABCD为矩形，//

EF AB，

3

33

2

AB EF AD

===，ADE和BCF

△都是正三角形，则该五面体的体积为（）

A.

2

3

B.

2

3

2 D.

32

2

A

把该五面体分割为两个等体积的四棱锥和一个直三棱柱，结合棱锥和棱柱的体积公式，即可求解.

过点F作FO⊥平面ABCD，垂足为O，取BC的中点P，连接PF，

过点F作FQ AB

⊥，垂足为Q，连接OQ，交CD于G，得到四棱锥F BCGQ

-，

同理得到四棱锥E ADMN

-，可得F BCGQ E ADMN

V V

--

=，

如图所示，因为ADE 和BCF △都是边长为2的等边三角形，

所以11

()1,3,122

OP AB EF PF OQ BC =-====，

可得222OF PF OP =-=，

所以1122

12233E ADMN F BCGQ BCGQ V V S OF --==?=???=，

中间部分三棱柱FGQ EMN -为直三棱柱， 其体积为 122122

FGQ EMN FGQ

V S

EF -=?=???=， 所以该五面体的体积为2272

2233

FGQ EMN E ADMN F BCGQ V V V V ---=+==+?

=

.故选：A.

求空间几何体的表面积与体积的求法：

（1）公式法：对于规则的几何体的表面积和体积，可直接利用公式进行求解；

（2）割补法：把不规则的图形分割成规则的图形，然后进行体积的计算，或不规则的几何体补成规则的几何体，不熟悉的几何体补成熟悉的几何体，便于计算；

（3）等体积法：等体积法也称积转化或等积变形，通过选择合适的底面来求几何体体积的一种方法，多用来解决锥体的体积，特别时三棱锥的体积.

10. 在三角形ABC 中，E ?F 分别为AC ?AB 上的点，BE 与CF 交于点Q 且2AE EC →→=，3AF FB →→

=，AQ 交BC 于点D ，AQ QD λ→→

=，则λ的值为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6

C

由题得2(1)3AQ x AB x AC →

→

→=+-，3

(1)4

AQ y AC y AB →→→=+-，求出,x y 的值，再根据

1+123AD AB AC λλλλ

→→→+=+，,,B D C 共线，得解.

因为,,B Q E 三点共线，所以2

(1)(1)3

AQ x AB x AE x AB x AC →→→→→=+-=+-,

因为,,C Q F 三点共线，所以3

(1)(1)4

AQ y AC y AF y AC y AB →

→

→

→

→=+-=+-,

所以3(1)114

,.223(1)3x y x y y x ?=-??∴==?

?=-??， 所以11=

,231AQ AB AC AD λλ→

→→→

=++ 所以1+123AD AB AC λλλλ

→→→

+=+， 因为,,B D C 共线， 所以

1+11,523λλλλλ

++=∴=.故选：C 结论点睛：如果,,A B C 三点共线，则1212(1)OA OB OC λλλλ→

→

→

=++=，要根据已知条件灵活运用这个结论解题.

11. 已知A ．B ．C 是双曲线22

221(0,0)x y a b a b

-=>>上的三个点，AB 经过原点O ，AC 经过右焦点

F ，若BF AC ⊥且3||||AF CF =，则该双曲线的离心率是（ ）

A. B.

53

C.

D.

94

A

根据题意，连接','AF CF ，构造矩形'FAF B ；根据双曲线定义表示出各个边长，由直角三角形勾股定理求得a c 、的关系，进而求出离心率． 设左焦点为'F ，AF m =，连接','AF CF ，

则3FC m = ，'2AF a m =+ ，'23CF a m =+，'2FF c =， 因为BF AC ⊥，且AB 经过原点O ， 所以四边形'FAF B 为矩形，

在Rt △'AF C 中，222'+'AF AC F C =， 将边长代入得()()()2

2

2

2+4=23a m m a m ++， 化简得m a =，

所以在Rt △'AF F 中，222'+'AF AF F F =，代入边长得()()()2

2

2

22a a a c ++=

化简得2252

c a =，即10

e ，故选：A.

关键点点睛：该题考查的是有关双曲线的离心率的求解问题，根据题意画出草图，分析出

'FAF B 为矩形是解题关键，然后根据垂直和已知边长关系及双曲线定义写出每条线段长度，

最后借助勾股定理形成等式求解离心率即可.

12. 设k 、b R ∈，若关于x 的不等式()ln 1x x k x b +≤++在()0,∞+上恒成立，则22

1

k b k +--的最小值是（ ） A. 2e - B. 1

1

e -

+ C. 1e -+ D. 1e --

C

令()()ln 1f x x x k x =+-+，分析得出()max b f x ≥，分1k ≤、1k >两种情况讨论，可得出

()()max ln 11f x k k =----，进而可得出()ln 1222

111

k k b k k -++-≥-

--，令10t k =->，利用导数求出函数()ln 2

1t g t t

+=-

的最小值，即可得解. 令()()ln 1f x x x k x =+-+，则()f x b ≤对任意的()0,x ∈+∞恒成立，所以，()max b f x ≥. ①当1k ≤时，()1

10f x k x

'=+->，函数()f x 在()0,∞+上单调递增，函数()f x 无最大值，不合乎题意；

②当1k >时，令()0f x '=，可得11

x k =-. 当1

01

x k <<-时，()0f x '>，此时函数()f x 单调递增， 当1

1

x k >

-时，()0f x '<，此时函数()f x 单调递减， 所以，()()max 1111ln 1ln 111111f x f k k k k k k k ????==+-+=---- ? ?----????

， 即()ln 11b k k ≥----，

()()ln 11ln 12222211111

k k k k b b

k k k k -++-++-∴

=+≥-=-----，

设10t k =->，令()ln 21t g t t +=-

，则()2ln 1

t g t t

+'=， 当1

0<

当1

t e

>时，()0g t '>，此时函数()g t 单调递增.

所以，()min 11g t g e e ??

==- ???

，因此，221k b k +--的最小值是1e -.故选：C.

结论点睛：利用参变量分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解： （1）x D ?∈，()()min m f x m f x ≤?≤； （2）x D ?∈，()()max m f x m f x ≥?≥； （3）x D ?∈，()()max m f x m f x ≤?≤； （4）x D ?∈，()()min m f x m f x ≥?≥.

二?填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分

13. 已知实数x ，y 满足约束条件222440x y x y x y +≥??

-≤??-+≥?，则3z x y =-的最大值为_____．

10

作出可行域，作出目标函数对应的直线，平移该直线可得最优解．

作出可行域，如图ABC 及其内部（含边界），其中()0,1A ，()2,0B ，()4,2C ，

作直线30x y -=，由3z x y =-得3y x z =-，直线向下平移时截距减小，z 增大， 当直线l 过()4,2C 时，max 34210z =?-=， 故答案为：10.

14. 已知函数()f x 是奇函数，当0x <时，()sin 1f x x =-，则函数() f x 在2

x π=处的切线方程

为_____．

2y =

先求出切线的斜率，再求出切线的方程.

详解】当0x <时，()=cos f x x '，所以()=cos()022f ππ

'--=，

因为函数是奇函数，所以对称点处的导数相同，

所以()()=022f f ππ

''=-，

所以切线的斜率为0，

又因为()()[sin()1]2222f f πππ

=--=---=， 所以切线方程为2y =. 故答案为：2y =

结论点睛：曲线()y f x =在点00(,())x f x 处的切线方程为000()()()y f x f x x x '-=-，这个结论要

理解记住并熟练利用.

15. 过抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点F 的直线l 与C 相交于A.B 两点，且A.B 两点在准线上的射影分别为M.N ，AFM △的面积与BFN 的面积互为倒数，则MFN △的面积为_____． 2

根据题意，画出图形，结合抛物线的定义以及三角形的面积公式，根据题中所给的条件，列出等量关系，求得结果.

【

详解】设,,MAF AF a BF b θ∠===，由抛物线定义可得,AM a BN b ==， 且180********AFM BFN ?-∠+?-∠=?，故90AFM BFN ∠+∠=?， 故90MFO NFO ∠+∠=?即MF NF ⊥.

设MAF θ∠=，则由余弦定理得2

22(1cos )MF a θ=-，2

22(1cos )NF b θ=+，

2

211

sin ,sin 2

2

MAF

NBF

S

a S

b θθ=

= 因为AFM △的面积与BFN 的面积互为倒数，

所以有22

11sin sin 122

a b θθ?=，即222sin 4a b θ=，

所以222222

1()()sin 44

MFN S MF NF a b θ===，

所以MFN △的面积为2， 故答案

：2.

关键点点睛：该题考查的是有关抛物线中的三角形的面积的求解问题，正确解题的关键是熟练

掌握抛物线的定义，得到其相应的性质.

16. 在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是直角梯形，//,AB CD AB AD ⊥，

22CD AD AB ===，若动点Q 在平面P AD 内运动，使得CQD ∠与BQA ∠相等，则三棱锥

- Q ACD 的体积最大时的外接球的体积为_____． 4010

3

π 根据题意推出AB QA ⊥，CD QD ⊥，再根据CQD BQA ∠=∠推出2QD AQ =，在平面PDA 内，建立直角坐标系求出Q 点轨迹是圆22(3)8x y -+=，从而可求出点Q 到DA 的距离最大为22，即三棱锥 - Q ACD 的高的最大值为22，再寻找三棱锥的外接球球心，计算球半径，进而计算球的体积即得结果.

因为PA ⊥平面ABCD ，所以平面PAD ⊥平面ABCD ，

因为//AB CD ，AB ⊥AD ，所以AB ⊥平面PAD ，CD ⊥平面PAD ， 因为Q 在PAD △内及边上，所以QA 、QD 在平面PAD 内， 所以AB QA ⊥，CD QD ⊥， 所以在Rt CDQ △内，tan CD CQD DQ ∠=

，在Rt ABQ △内，tan AB

BQA QA

=，

因为CQD BQA ∠=∠，所以CD AB DQ QA

=，因为2,2CD AB ==， 所以2QD AQ

=，

在平面PDA 内，以DA 的中点为原点O ，线段DA 的垂直平分线为y 轴，建立平面直角坐标系： 则(1,0)D -，(1,0)A ，设(,)P x y ，

则22||(1)DQ x y =++，22||(1)QA x y =-+，

由2QD AQ =得2222(1)2(1)x y x y ++=?-+，化简得22(3)8x y -+=， 所以动点Q 在平面P AD 内运动，Q 点轨迹是圆22(3)8x y -+=，如图所示，

当Q 在过圆心的垂线时点Q 到DA 的距离最大为半径22，也就是三棱锥Q ACD -的高的最大值为22，下面的计算不妨设点Q 在x 轴上方，QAD 外接圆圆心在DA 中垂线上，即y 轴上，设外接圆圆心N ，半径r ，则2sin DQ

r DAQ

=∠，而22,2,4QS AS DS ===，

故()

()

2

2

22222

23,422

26AQ DQ =+==+=，

222sin sin 233QS DAQ QAS AQ ∠=∠===，所以3

2266sin 2

DQ r DAQ ==?=∠，故3AN r ==，则223122ON =-=.

如图三棱锥Q ACD -，CD ⊥平面PAD ，2CD AD ==，ACD △的外接圆圆心在斜边中点M 上，过M ，N 作平面ACD 和平面QAD 的垂线，交于点I ，即是三棱锥外接球球心，因为

1

2,222

DM AC IM ON =

===， 所以三棱锥Q ACD -外接球半径()(

)

2

2

222

22

10R DI DM IM ==+=

+=，

所以三棱锥Q ACD -

的外接球的体积为

3

344

33

3

V R ππ

===

.

故答案为：

3

. 方法点睛：求空间多面体的外接球半径的常用方法：

①补形法：侧面为直角三角形，或正四面体，或对棱二面角均相等的模型，可以还原到正方体或长方体中去求解；

②利用球的性质：几何体中在不同面均对直角的棱必然是球大圆直径，也即球的直径； ③定义法：到各个顶点距离均相等的点为外接球的球心，借助有特殊性底面的外接圆圆心，找其垂线，则球心一定在垂线上，再根据带其他顶点距离也是半径，列关系求解即可. 三?解答题：共70分．解答应写出文字说明?证明过程或演算步骤．第T ~22为必考题，每个试题考生都必须作答，第22?23题为选做题，考生根据要求作答． (一)必考题：共60分

17. 已知等差数列{}n a 为递减数列且首项15a =，等比数列{}n b 前三项依次为11a -，22a +，33a ．

（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式； （2）求数列{}n n a b +的前n 项和n S ．

（1）6n a n =-，1

342n n b -??

=? ?

??

；（2）211388222n

n n n S ??

=-+-+ ???

.

（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，由题设求出d 即可求得n a ，进而求得等比数列{}n b 的首项1b 和公比q ，即可求得n b ；

（2）先由（1）求得n n a b +，再利用分组求和法求得其前n 项和n S 即可. （1）设等差数列{}n a 的公差为d ，

由题意得：2(7)4(156),1d d d +=?+∴=-，或11d =（舍）

6n a n ∴=-

又11254,6b a b =-==，∴公比1

33422n n q b -??

=∴=? ???

（2）

1

3 6,4

2

n

n n

a n b

-

??

=-=? ?

??

1122

n n n

S a b a b a b

=++++??????++

()()

1212

n n

a a a

b b b

=++????+++???

2113

88

222

n

n

n n

s

??

∴=-+-+ ?

??

．

思路点睛：该题考查的是有关数列的问题，解题思路如下：

（1）首先设出数列的公差，利用题中所给的条件，建立等量关系式，求得公差，根据首项，写出{}n a的通项，进而求得{}n b的首项和公比，求得其通项公式；

（2）结合（1）的结论，利用分组求和法，求得其前n项和n S.

18. 如图，在三棱锥A BCD

-中，ABD

△是等边三角形，2

AC=，2

BC CD

==，BC CD

⊥，E为空间内一点，且CDE

△为以CD为斜边的等腰直角三角形．

（1）证明：平面ABD⊥平面BCD；

（2）若2

BE=，试求平面ABD与平面ECD所成锐二面角的余弦值．

（1）证明见解析；（2

6

（1）取BD的中点O，连接OC，OA，证明二面角A BD C

--的平面角AOC

∠是直角，得面面垂直；

（2）以O为原点，OC为x轴，OD为y轴，OA为z轴建立空间直角坐标系，不妨令E在平面BCD上方，取CD的中点F，连接OF，EF，可证明CD⊥平面EOF，得证平面EOF⊥平面OCD，EFOπθ

∠=-，得出各点坐标，由2

BE=求得cosθ，得出E点坐标，再求出两个平面的法向量，由法向量夹角得二面角．

解：（1）取BD的中点O，连接OC，OA，

因为ABD △是等边三角形，2BD =，所以AO BD ⊥，且3AO =，

又因为2BC CD ==，所以OC BD

⊥112

CO BD ==，又2AC = 222AO OC AC AO OC ∴+=∴⊥ 又

AO BD ⊥，因为CO BD O ?=，

二面角A BD C --的平面角AOC ∠是直角， ∴平面ABD ⊥平面BCD ；

（2）由（1）以O 为原点，OC 为x 轴，OD 为y 轴，OA 为z 轴建立空间直角坐标系， 不妨令E 在平面BCD 上方

取CD 的中点F ，连接OF ，EF ，则,OF CD EF CD ⊥⊥．

OF EF F ?=，,OF EF ?平面EOF ，

∴CD ⊥平面EOF ，CD ?平面OCD ，∴平面EOF ⊥平面OCD ，

22

OF =

，6EF =，

设EFO πθ∠=-，

则(0,0,0)O ，(1,0,0)C ，(0,1,0)D ，3)A ，(0,1,0)B -

1111211132

cos ,cos ,cos ,cos 22222222E BE θθθθθθ????++=++ ? ? ? ?????， 13336232cos 2,cos ,sin ,,,22444BE E θθθ?=+=∴=∴=∴ ??

所以(1,1,0)CD =-

，13,,444CE ?=- ??

，

设平面ECD 的一个法向量为(,,)n x y z =，

则0

CD n CE n ??=??=?， 013604

4x y x y z -+=??∴?-++=?

?， 令1x =

，则1,1,3n ?=- ??

因为平面ABD 的一个法向量为

(1,0,0)OC =，

所以

|cos ,|4OC n

??=

=

，

即平面ECD 与平面ECD 方法点睛：本题考查证明面面垂直，考查向量法求二面角．求二面角的方法：

（1）几何法（定义法）：根据定义作出二面角的平面角并证明，然后解三角形得出结论； （2）空间向量法：建立空间直角坐标系，写出各点为坐标，求出二面角两个面的法向量，由两个平面法向量的夹角得二面角（它们相等或互补）．

19. 已知椭圆22

22:1(0)x y C a b a b +=>>，长轴为4，不过原点O 且不平行于坐标轴的直线l 与C

有两个交点A ，B ，线段AB 的中点为M ，直线OM 的斜率与直线l 的斜率的乘积为定值3

4

-．

（1）求椭圆C 的方程；

（2）若直线l 过右焦点2F ，问y 轴上是否存在点D ，使得三角形ABD 为正三角形，若存在，求出点D ，若不存在，请说明理由．

（1）22

143

x y +=；（2）不存在这样的点D ，理由见解析.

（1）由题意可得2a =，设点()11,A x y ，()22B x y ，利用点差法可得2

2AB OM

k k b a

=-?，即可求出

b ，从而得解；

（2）设直线:(1)l y k x =-，联立直线与椭圆方程，消元、列出韦达定理，即可表示出点M ，假设存在点D ，求出MD 的

直线方程，从而得到D 点坐标，利用弦长公式求出AB 、MD ，由

ABD △为等边三角形，则||||MD AB =

，即可得到方程，即可判断； 解（1）由题意可知：24a =，所以2a =

设点()11,A x y ，()22B x y ，A ，B 在椭圆上

22

11221x y a b

∴+=．

．．．．．．．．．．．．．① 2222

22

1x y a b +=．．．．．．．．．．．．．．．② 因为3

4AB OM k k ?=-

211221123

4

y y y y x x x x -+∴

?=--+．．．．．．．．．．．．．．③ 由①-②得2222121222220x x y y a a b b -+-=，即2222

1212

22

0x x y y a b

--+=，所以2211222112y y y y b x x x x a -+?=--+ 由③得223

4

b a -=-

23b ∴=

∴椭圆C 方程为：22

143

x y +=

（2）设直线:(1)l y k x =-联立22

143

(1)x y y k x ?+=???=-?

得()2222

3484120k x k x k +-+-= 22121222

8412

,3434k k x x x x k k

-∴+==++ ()()()212121222

8623112344k k

y y k x x x k k k k x k k k =-+-=-∴=-

+?++-=+ 22243,3434k k M k k ??

∴- ?++??

，

假设存在点D ，则MD 的直线方程为：22

23143434k k y x k k k ??

+=-- ?++?? 20,34k D k ?

?∴ ?+??

所以()2

122

121||34k AB x k +=-==+．

||0MD =-=

若ABD △为等边三角形则：||||MD AB =

()2

22

1214||23434k k k k

+=++即2

23270k +=，方程无实数解， ∴不存在这样的点D

(1)解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x (或y )建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．

(2)涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形． 20. 某超市计划按月订购一种预防感冒饮品，每天进货量相同，进货成本每瓶5元，售价每瓶8元，未售出的饮品降价处理，以每瓶3元的价格当天全部处理完．根据一段时间以来的销售经验，每天需求量与当天最高气温(单位：C ?)有关．如果最高气温不低于30，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[25,30)，需求量为300瓶；如果最高气温低于25，需求量为200瓶．为了确定七月份的订购计划，统计了前三年七月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：

以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率． （1）求七月份这种饮品一天的需求量x (单位：瓶)的分布列；

（2）若七月份一天销售这种饮品的利润的数学期望值不低于700元，则该月份一天的进货量n (单位：瓶)应满足什么条件? （1）答案见解析；（2）267400n ≤≤.

（1）根据题意，求得随机变量X 的所有可能取值为500，300，200，求得相应的概率，即可求得随机变量的分布列；

（2）由题意得出200500n ≤≤，分别求得300500n ≤≤和200300n ≤<时，12(,)()E Y E Y ，再令

1)(700E Y ≥和2)(700E Y ≥，即可求解.

（1）依题意，可得随机变量X 的所有可能取值为500，300，200，． 由表格数据知

273627

(500)0.3,(300)0.4,(200)0.3909090

P x P x P x ==

=======， 因此分布列为

（2）由题意可知，这种饮品一天的需求量最多为500瓶，最少为200瓶， 因此只需考虑200500n ≤≤， 当300500n ≤≤时，

1(0.3[20032(200)]0.4[3003(300)2]0.339000.5)E Y n n n n =??--+?--?+?=-，

令1)(700E Y ≥，即9000.5700n -≥，解得400n ≤． 当200300n ≤<时，

2()0.3[20032(200)]0.73 1.5n 300E Y n n =??--+?=+

令2)(700E Y ≥，即1.5n 300700+≥，解得 800

3

n ≥， 因为n Z ∈，所以267n ≥， 综上可得267400n ≤≤. 21. 已知函数ln()

()ax f x ax

=

． （1）讨论函数()f x 的单调区间． （2）若当1a =时，()

9

()2()f x F x f x e

x

=+，求证：()0F x > （1）答案见解析；（2）证明见解析.

（1）对函数()f x 求导，分0a >和0a <两种情况，结合函数的定义域得出函数的单调性；

（2）要证()0F x >，由于0x >，即证ln 2ln e

90x x

x +>．令ln ()2ln e

9(0)x x

m x x x =+>，对函数

求导并化简，构造()(1ln )ln h x x x x =-+二次求导，令分子为()2ln 1x x x ?=-+，利用导数判断出单调性和最小值，得出函数()h x 的单调性，由零点存在定理知极小值即为最小值，利用导数判断出最小值的范围，命题得证． （1）()

2

1ln ()ax f x ax -'=

， 当0a >，定义域为(0,)+∞，令()0f x '>，得0e x a <<

，()0f x '<得e x a

> ()f x ∴在0,e a ?

? ???单调递增，在,e a ??+∞ ???

单调递减

当0a <，定义域为(,0)-∞，令()0f x '>，得e

x a <

，()0f x '<得0e x a

<< ()f x ∴在,e a ??-∞ ???单调递增，在,0e a ??

???单调递减

（2）要证()0F x >，0x

，即证ln 2ln e

90x x

x +>．

令ln ()2ln e

9(0)x x

m x x x =+>，则

ln ln ln 2

21ln 12m ()2ln 2[ln (1ln )]x

x

x x

x

x

x

e

x e

x e x x x x x x

-'=?

?+?

=-+， 设()(1ln )ln h x x x x =-+，则12ln 2ln 1()1x x x h x x x x

'

-+=

-+=， 令()2ln 1x x x ?=-+，其中0x >，22

()1x x x x

?-'=-

=． 当02x <<时，()0x ?'<，此时函数()?x 单调递减；

所以，min ()(2)32ln 20x ??==->，则对任意的0x >，()0h x '>， 所以，函数()h x 在(0,)+∞上为增函数，

因为11111ln ln 02222h ????=-+< ? ?????，(1)10h =>，由零点存在定理可知，存在01,12x ??

∈ ???

使得()()00001ln ln 0h x x x x =-+=，可得

000ln 1

ln 1

x x x =-．