2015步步高理科数学选修4-1
选修4－1几何证明选讲
1．平行截割定理
(1)平行线等分线段定理
如果一组__________在一条直线上截得的线段______，那么在任一条(与这组平行线相交的)直线上截得的线段也________．
(2)平行线分线段成比例定理
两条直线与一组平行线相交，它们被这组平行线截得的对应线段成________．
2．相似三角形的判定与性质
(1)相似三角形的判定定理
①两角对应________的两个三角形________；
②两边对应成________且夹角________的两个三角形________；
③三边对应成________的两个三角形________．
(2)相似三角形的性质定理
①相似三角形的对应线段的比等于____________．
②相似三角形周长的比等于____________．
③相似三角形面积的比等于________________________．
3．直角三角形射影定理
直角三角形一条直角边的平方等于________________________________，斜边上的高的平方等于________________________________．
4．圆中有关的定理
(1)圆周角定理：圆周角的度数等于其所对弧的度数的________．
(2)圆心角定理：圆心角的度数等于________________的度数．
(3)切线的判定与性质定理
①切线的判定定理
过半径外端且与这条半径________的直线是圆的切线．
②切线的性质定理
圆的切线________于经过切点的半径．
(4)切线长定理
从圆外一点引圆的两条切线，切线长________．
(5)弦切角定理
弦切角的度数等于其所夹弧的度数的________．
(6)相交弦定理
圆的两条相交弦，每条弦被交点分成的两条线段长的积________．
(7)割线定理
从圆外一点引圆的两条割线，该点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积________．(8)切割线定理
从圆外一点引圆的一条割线与一条切线，切线长是这点到割线与圆的两个交点的线段长的________________．
(9)圆内接四边形的性质与判定定理
①圆内接四边形判定定理
(ⅰ)如果四边形的对角________，则此四边形内接于圆；
(ⅱ)如果四边形的一个外角________它的内角的对角，那么这个四边形的四个顶点共圆．②圆内接四边形性质定理
(ⅰ)圆内接四边形的对角________；
(ⅱ)圆内接四边形的外角________它的内角的对角．
1．如图，F为?ABCD的边AD延长线上的一点，DF＝AD，BF分别交DC，AC于点G，E，EF＝16，GF＝12，则BE的长为________．
第1题图 第2题图
2．如图，在直角梯形ABCD 中，DC ∥AB ，CB ⊥AB ，AB ＝AD ＝a ，CD ＝a
2，点E ，F 分别
为线段AB 、AD 的中点，则EF ＝________.
3. 如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，BC 是直径，MN 与⊙O 相切，切点为A ，∠MAB ＝30°，则∠D ＝________.
4．如图所示，EA 是圆O 的切线，割线EB 交圆O 于点C ，C 在直径AB 上的射影为D ，CD ＝2，BD ＝4，则EA ＝________.
第4题图第5题图
5．(2012·湖南)如图所示，过点P的直线与⊙O相交于A，B两点．若P A＝1，AB＝2，PO ＝3，则⊙O的半径等于________.
题型一相似三角形的判定及性质
例1如图，已知在△ABC中，点D是BC边
上的中点，且AD＝AC，DE⊥BC，DE与AB相交于点E，EC与AD相交于点F.
(1)求证：△ABC∽△FCD；
(2)若S△FCD＝5，BC＝10，求DE的长．
思维升华(1)三角形相似的证明方法很多，解题时应根据条件，结合图形选择恰当的方法．一般的思考程序：先找两对内角对应相等；若只有一个角对应相等，再判定这个角的两邻边是否对应成比例；若无角对应相等，就要证明三边对应成比例．
(2)证明等积式的一般方法是化为等积的比例式，若题目中无平行线，需利用相似三角形的性质证明．
如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝CD，DE∥CA，且交BA的延长线于E，求证：ED·CD ＝EA·BD.
题型二直角三角形的射影定理
例2如图，Rt△ABC中，∠BAC＝
90°，AD⊥BC于D，BE平分∠ABC交AC于E，EF⊥BC于F.
求证：EF∶DF＝BC∶AC.
思维升华已知条件中含直角三角形且涉及直角三角形斜边上的高时，应首先考虑射影定理，注意射影与直角边的对应法则，根据题目中的结论分析并选择射影定理中的等式，并分清比例中项．
如图所示，在△ABC 中，∠CAB ＝90°，AD ⊥BC 于D ，BE 是∠ABC 的平分线，交AD 于F ，求证：DF AF ＝AE EC .
题型三 圆的切线的判定与性质
例
3如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BE平分∠ABC交AC于点E，点D在AB上，DE⊥EB，且AD＝23，AE＝6.
(1)判断直线AC与△BDE的外接圆的位置关系；
(2)求EC的长．
思维升华证明直线是圆的切线的方法：若已知直线经过圆上某点(或已知直线与圆有公共点)，则连结圆心和这个公共点，设法证明直线垂直于这条半径；如果已知条件中直线与圆的公共点不明确(或没有公共点)，则应过圆心作直线的垂线，得到垂线段，设法证明这条垂线段的长等于圆半径．
(2013·广东改编)
如图，AB是圆O的直径，点C在圆O上，延长BC到D使BC＝CD，过C作圆O的切线交AD于E.若AB＝6，ED＝2，求BC的长．
题型四与圆有关的比例线段
例
4(2012·辽宁)如图，⊙O和⊙O′相交于A，B两点，过A作两圆的切线分别交两圆于C，D两点，连结DB并延长交⊙O于点E.证明：
(1)AC·BD＝AD·AB；
(2)AC＝AE.
思维升华(1)应用相交弦定理、切割线定理要抓住几个关键内容：如线段成比例与相似三角形、圆的切线及其性质、与圆有关的相似三角形等．
(2)相交弦定理、切割线定理主要用于与圆有关的比例线段的计算与证明．解决问题时要注意相似三角形知识及圆周角、弦切角、圆的切线等相关知识的综合应用．
如图，⊙O的半径OB垂直于直径AC，M为AO上一点，BM的延长线交⊙O于N，过N点的切线交CA的延长线于P.
(1)求证：PM2＝P A·PC；
(2)若⊙O的半径为23，OA＝3OM，求MN的长．
与圆有关的几何证明问题
典例：(10分)
(2012·课标全国)如图，D，E分别为△ABC边AB，AC的中点，直线DE交△ABC的外接圆于F，G两点．若CF∥AB，证明：
(1)CD＝BC；
(2)△BCD∽△GBD.
思维启迪(1)连结AF，利用平行关系构造平行四边形可得结论；
(2)先证△BCD和△GBD为等腰三角形，再证明两三角形顶角相等即可．
规范解答
证明
(1)因为D，E分别为AB，AC的中点，
所以DE∥BC.
又已知CF∥AB，
故四边形BCFD是平行四边形，
所以CF＝BD＝AD.
而CF∥AD，连结AF，
所以四边形ADCF是平行四边形，故CD＝AF.[5分]因为CF∥AB，所以BC＝AF，故CD＝BC.[6分] (2)因为FG∥BC，故GB＝CF.
由(1)可知BD＝CF，所以GB＝BD，
所以∠BGD＝∠BDG.[8分]
由BC＝CD知∠CBD＝∠CDB，
又因为∠DGB＝∠EFC＝∠DBC，
所以△BCD∽△GBD.[10分]
处理与圆有关的比例线段的常见思路：
(1)利用圆的有关定理；
(2)利用相似三角形；
(3)利用平行线分线段成比例定理及推论；
(4)利用面积关系等．
温馨提醒(1)解决几何证明问题需用各种判定定理、性质定理、推理和现有的结论，要熟悉各种图形的特征，利用好平行、垂直、相似、全等的关系，适当添加辅助线和辅助图形，这些知识都有利于问题的解决．
(2)证明等积式时，通常转化为证明比例式，再证明四条线段所在的三角形相似．另外也可利用平行线分线段成比例定理来证明．
(3)弦切角定理与圆周角定理是证明角相等的重要依据，解题时应根据需要添加辅助线构造所需要的角．
(4)圆内接四边形的性质也要熟练掌握，利用该性质可得到角相等，进而为三角形的相似创造了条件．
方法与技巧
1．证明等积式成立，应先把它写成比例式，找出比例式中给出的线段所在三角形是否相似，若不相似，则进行线段替换或等比替换．
2．圆幂定理与圆周角、弦切角联合应用时，要注意找相等的角，找相似三角形，从而得出线段的比．由于圆幂定理涉及圆中线段的数量计算，所以应注意代数法在解题中的应用．失误与防范
1．在应用平行截割定理时，一定要注意对应线段成比例．
2．在解决相似三角形时，一定要注意对应角和对应边，否则容易出错.
A组专项基础训练
1．已知△ABC中，BF⊥AC于点F，CE⊥AB于点E，BF和CE相交于点P，求证：