第一讲 实数的有关概念和计算(讲练)(原卷版)

备战2020年中考数学总复习一轮讲练测

第一单元数与式

第一讲实数的有关概念和计算

1、了解：平（立）方根、算术平方根的概念；无理数、实数的概念；近似数、有效数字的概念；

2、理解：有理数的意义；借助数轴理解相反数和绝对值的意义；了解a 的含义；实数与数轴上的点一一对应；有理数的运算律.

3、会：比较有理数大小；能求实数的相反数与绝对值；用根号表示数的平（立）方根；求平（立）方根；进行简单的实数运算.

4、掌握：有理数的加、减、乘、除、乘方及简单的混合运算；能用有理数估计一个无理数的大致范围.

5、能：用有理数的运算解决简单问题；用有理数估计无理数的大致范围.

1．（2018?朝阳区模拟）如图所示，数轴上表示绝对值大于3的数的点是( )

A ．点E

B ．点F

C ．点M

D ．点N

2．（2019?北京中考）4月24日是中国航天日.1970年的这一天，我国自行设计、制造的第一颗人造地球卫星“东方红一号”成功发射，标志着中国从此进入了太空时代，它的运行轨道，距地球最近点439000米，将439000用科学记数法表示应为( )

A ．60.43910?

B ．64.3910?

C ．54.3910?

D ．343910?

3．（2019?丰台区模拟）实数a ，b ，c 在数轴上的对应点的位置如图所示，如果0a b +=，那么下列结论正

确的是( )

A ．||||a c >

B ．0a c +<

C ．0abc <

D ．0a b

= 4．（2019?海淀区一模）实数a 、b 、c 在数轴上的对应点的位置如图所示，若||||a b =，则下列结论中错误的是( )

A ．0a b +>

B ．0a c +>

C ．0b c +>

D ．0ac <

5．（2019秋?海淀月考）下列说法正确的是( )

A ．有理数和数轴上的点一一对应

B ．不带根号的数一定是有理数

C ．一个数的平方根仍是它本身

D ．4的平方根是2± 6．（2018?海淀区二模）实数a ，b ，c 在数轴上的对应点的位置如图所示，若||||a b >，则下列结论中一定

成立的是( )

A ．0b c +>

B ．2a c +<-

C ．1b

a < D ．0abc …

7．（2019秋?朝阳区模拟）下列计算错误的是( )

A ．30.0080.2=

B ．3621010-=-

C ．9

3

11164= D ．2(3)3-=

8．（2019秋?大兴区期中）若2(2)2x +=，则x 的值是( )

A ．24+

B ．22-

C ．22+或22-

D ．22-或22

--

9．（2019秋?东城期中）若21(2)0x y -++=，则2020()x y +等于( )

A ．1-

B ．1

C ．20203

D ．20203-

10．（2019?北京中考）计算：011

|3|(4)2sin 60()4π----+?+．

1．实数的有关概念

（1） 和 统称为有理数.

（2） 和 统称实数.

（3）数轴的三要素为 、 和 . 数轴上的点与 一一对应.

（4）实数a 的相反数为 .若a ，b 互为相反数，则b a += . （5）非零实数a 的倒数为 . 若a ，b 互为倒数，则ab

= .

（6）绝对值???????<=>=)

0()0()0(a a a a ．若=a a ，则a 为 ；若a a =-，则a 为 . （7）科学记数法：把一个数表示成 的形式，其中1≤a ＜10的数，n 是整数.

2.实数的计算

（1）n a 表示n 个a 相乘，n

a 称为幂，其中a 叫做 ，n 叫做 . =0a （其中a 0）；0的任何非零次幂都等于0；

=-p a （其中a 0，p 为整数）

（2）平方根：如果一个数x 的平方等于a ，即2x a =，那么这个数x 叫做a 的平方根或二次方根，记为a ±．

一个正数有 平方根，它们互为 ；负数没有平方根；0的平方根是 ．

（3）算术平方根：如果一个正数x 的平方等于a ，则这个正数x 为a 的算术平方根，记为a ±．

一个正数有 算术平方根，0的算术平方根是 ．

（4）立方根：一个数x 的立方等于a ，那么这个数x 叫做a 的立方根或三次方根，记为3a ．

一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个 的立方根；0的立方根是 ．

3. 实数运算顺序及运算律

（1）先算 ，再算 ，最后算 ；如果有括号，先算 里面的，同一级运算按照从 到 的顺序依次进行．

（2）运算律：交换律、结合律、乘法分配律．

4. 实数大小的比较

（1） 数轴上两个点表示的数， 的点表示的数总比 的点表示的数大.

（2）正数 0，负数 0，正数 负数；两个负数比较大小，绝对值大的 绝对值小的．

考点一 实数分类

例1．（2019春?丰台区期末）下列各数中，无理数是( )

A ．0.3

B ．12

C ．3

D ．4-

【变式训练】 1．（2019春?海淀区校级月考）49-，

2π，3.1415，227-，5这五个实数中，是无理数的有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个

考点二 实数与数轴（相反数、绝对值）

例2．（2018?北京中考）实数a ，b ，c 在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是( )

A ．||4a >

B ．0c b ->

C ．0ac >

D ．0a c +>

【变式训练】

1．（2019?朝阳区一模）实数m ，n 在数轴上对应的点的位置如图所示，若0mn <，且||||m n <，则原点可能是( )

A ．点A

B ．点B

C ．点C

D ．点D 2．（2019春?海淀区校级期末）如图，点A 表示的实数是( )

A ．2-

B ．2

C ．12-

D ．21-

3．（2018?东城一模）若实数a ，b 满足||||a b >，则与实数a ，b 对应的点在数轴上的位置可以是( )

A ．

B ．

C ．

D ． 4．（2018?海淀区一模）实数a ，b ，c ，d 在数轴上的对应点的位置如图所示．若0b d +=，则下列结论中

正确的是( )

A ．0b c +>

B ．1c a >

C ．ad bc >

D ．||||a d >

5．（2018?朝阳区二模）如图，在数轴上有点O ，A ，B ，C 对应的数分别是0，a ，b ，c ，2AO =，1OB =，

2BC =，则下列结论正确的是( )

A ．||||a c =

B ．0ab >

C ．1a c +=

D ．1b a -=

考点三 科学记数法

例3．（2019?怀柔区一模）据央广网消息，近年来，数字技术推动数字贸易兴起，通过采用数字技术，提高员工生产力、降低成本、创造新收益，数字贸易在中国国内创造了高达人民币3200000000000元的经济效益．将3200000000000用科学记数法表示应为( )

A ．113.210?

B ．123.210?

C ．123210?

D ．130.3210?

【变式训练】

1．（2019?朝阳区一模）电影《流浪地球》中，人类计划带着地球一起逃到距地球4光年的半人马星座比邻星．已知光年是天文学中的距离单位，1光年大约是95000亿千米，则4光年约为( )

A ．49.510?亿千米

B ．49510?亿千米

C ．53.810?亿千米

D ．43.810?亿千米 2．（2019?海淀区一模）2019年2月，美国宇航局()NASA 的卫星监测数据显示地球正在变绿，分析发现是中国和印度的行为主导了地球变绿，尽管中国和印度的土地面积加起来只占全球的9%，但过去20年间地球三分之一的新增植被两国贡献的，面积相当于一个亚马逊雨林，已知亚马逊雨林的面积为26560000m ，则过去20年间地球新增植被的面积约为( )

A ．626.5610m ?

B ．726.5610m ?

C ．72210m ?

D ．82210m ?

3．（2019?石景山区一模）在北京筹办2022年冬奥会期间，原首钢西十筒仓一片130000平方米的区域被改建为北京冬奥组委办公区．将130000用科学记数法表示应为( )

A ．41310?

B ．51.310?

C ．60.1310?

D ．71.310?

考点四 实数的非负性及最值

例4．（2019春?东城区校级期末）若2(2)20a b --=，则3a = ．

例5．如果x 为有理数，式子2019|2|x --存在最大值，这个最大值是( )

A ．2016

B ．2017

C ．2019

D ．2021

【变式训练】

1．（2019春?海淀区校级期末）如果2(21)|5|0x y x y -+++-=，那么y x = ． 2．（2018春?朝阳区期末）若21(1)0x y ++-=，则x y += ．

考点五 实数的估算

例6．（2018?西城区二模）下列实数中，在2和3之间的是( )

A ．π

B ．2π-

C ．325

D ．328

【变式训练】

1．（2018?大兴一模）若10a =，则实数a 在数轴上对应的点的大致位置是( )

A ．点E

B ．点F

C ．点G

D ．点H

2．（201973a ，小数部分是b ，则2a b -= ．

考点六 实数比较大小

例7．比较大小：23 13（填“>”、“=”、“<”)．

【变式训练】

151

- 5

8．（填“>”，“<”或“=”)

考点七 实数中的规律 例8．（1）填写下表，观察被开方数a a

a 0.0016 0.16 16 1600 a

（2）根据你发现的规律填空：

①7.2 2.683728.485=7200 ，0.00072 ；

② 6.164=61.64=，则x = ，

（3a 的大小．

【变式训练】

1 2.477 1.8308，填空： ____ ②0.18308，则x = ．

考点八 实数的运算

例9．（2019?海淀区一模）计算：04sin 60(1)1|π?+-．

【变式训练】

1．（2019?北京大学附中期末）计算1)-的结果为 ．

2．（2019春?海淀区期中）求出下列等式中x 的值：

（1）21236x =；

（2）33

388x -=．

3．（5分）（2019?西城区一模）计算0|5|2sin 60(2019)π-?--