第24讲 圆的有关性质(含答案点拨)

第七单元圆

第24讲圆的有关性质

纲要求命题趋势

1．理解圆的有关概念和性质，了解

圆心角、弧、弦之间的关系．

2．了解圆心角与圆周角及其所对弧

的关系，掌握垂径定理及推论.

中考主要考查圆的有关概念和

性质，与垂径定理有关的计算，与圆

有关的角的性质及其应用．题型以选

择题、填空题为主.

知识梳理

一、圆的有关概念及其对称性

1．圆的定义

(1)圆是平面内到一定点的距离等于定长的所有点组成的图形．这个定点叫做________，定长叫做________；

(2)平面内一个动点绕一个定点旋转一周所形成的图形叫做圆，定点叫做圆心，定点与动点的连线段叫做半径．

2．圆的有关概念

(1)连接圆上任意两点的________叫做弦；

(2)圆上任意两点间的________叫做圆弧，简称弧．

(3)________相等的两个圆是等圆．

(4)在同圆或等圆中，能够互相________的弧叫做等弧．

3．圆的对称性

(1)圆的轴对称性：圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴；

(2)圆的中心对称性：圆是以圆心为对称中心的中心对称图形；

(3)圆是旋转对称图形：圆绕圆心旋转任意角度，都能和原来的图形重合．这就是圆的旋转不变性．

二、垂径定理及推论

1．垂径定理

垂直于弦的直径________这条弦，并且________弦所对的两条弧．

2．推论1

(1)平分弦(________)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；(2)弦的垂直平分线经过________，并且平分弦所对的________弧；(3)平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．

3．推论2

圆的两条平行弦所夹的弧________．

4．(1)过圆心；(2)平分弦(不是直径)；(3)垂直于弦；(4)平分弦所对的优弧；(5)平分弦所对的劣弧．若一条直线具备这五项中任意两项，则必具备另外三项．

三、圆心角、弧、弦之间的关系

1．定理

在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧________，所对的弦________．

2．推论

同圆或等圆中：(1)两个圆心角相等；(2)两条弧相等；(3)两条弦相等．三项中有一项成立，则其余对应的两项也成立．

四、圆心角与圆周角

1．定义

顶点在________上的角叫做圆心角；顶点在________上，角的两边和圆都________的角叫做圆周角．

2．性质

(1)圆心角的度数等于它所对的______的度数．

(2)一条弧所对的圆周角的度数等于它所对________的度数的一半．

(3)同弧或等弧所对的圆周角________，同圆或等圆中相等的圆周角所对的弧________．

(4)半圆(或直径)所对的圆周角是______，90°的圆周角所对的弦是________．

五、圆内接四边形的性质

圆内接四边形的对角互补．

自主测试

1．如图，⊙O的弦AB垂直平分半径OC，若AB＝6，则⊙O的半径为()

A． 2 B．2 2

C．

2

2D．

6

2

2．如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠BAC＝60°，若⊙O的半径OC为2，则弦BC的长为()

5．如图，在平面直角坐标系中，⊙A与y轴相切于原点O，平行于x轴的直线交⊙A于M，N两点，若点M的坐标是(－4，－2)，则弦MN的长为__________．

(第5题图)

【例1】在圆柱形油槽内装有一些油．截面如图，油面宽AB为6分米，如果再注入一

些油后，油面AB上升1分米，油面宽变为8分米，圆柱形油槽直径MN为()

A ．6分米

B ．8分米

C ．10分米

D ．12分米

分析：如图，油面AB 上升1分米得到油面CD ，依题意得AB ＝6，CD ＝8，过O 点作

AB 的垂线，垂足为E ，交CD 于F 点，连接OA ，OC ，由垂径定理，得AE ＝1

2

AB ＝3，

CF ＝1

2CD ＝4，设OE ＝x ，则OF ＝x －1，在Rt △OAE 中，OA 2＝AE 2＋OE 2，在Rt △OCF 中，

OC 2＝CF 2＋OF 2，由OA ＝OC ，列方程求x 即可求得半径OA ，得出直径MN .

解析：如图，依题意得AB ＝6，CD ＝8，过O 点作AB 的垂线，垂足为E ，交CD 于F 点，连接OA ，OC ，

由垂径定理，得AE ＝12AB ＝3，CF ＝1

2CD ＝4，

设OE ＝x ，则OF ＝x －1， 在Rt △OAE 中，OA 2＝AE 2＋OE 2， 在Rt △OCF 中，OC 2＝CF 2＋OF 2，

∵OA ＝OC ，∴32＋x 2＝42＋(x －1)2，解得x ＝4，∴半径OA ＝32＋42＝5，∴直径MN ＝

2OA ＝10(分米)．故选C.

答案：C

方法总结 有关弦长、弦心距与半径的计算，常作垂直于弦的直径，利用垂径定理和解直角三角形来达到求解的目的．

触类旁通1 如图所示，若⊙O 的半径为13 cm ，点P 是弦AB 上一动点，且到圆心的最短距离为5 cm ，则弦AB 的长为__________ cm.

考点二、圆心(周)角、弧、弦之间的关系

【例2】如图，已知A ，B ，C ，D 是⊙O 上的四个点，AB ＝BC ，BD 交AC 于点E ，连接CD ，AD .

(1)求证：DB 平分∠ADC ；

(2)若BE ＝3，ED ＝6，求AB 的长． 解：(1)证明：∵AB ＝BC ， ∴AB BC =.∴∠ADB ＝∠BDC ， ∴DB 平分∠ADC .

(2)由(1)知AB BC =，∴∠BAE ＝∠ADB .

∵∠ABE ＝∠ABD ，∴△ABE ∽△DBA .∴AB BE ＝BD

AB .

∵BE ＝3，ED ＝6，∴BD ＝9.

∴AB 2＝BE ·BD ＝3×9＝27.∴AB ＝3 3.

方法总结 圆心角、弧、弦之间的关系定理，提供了从圆心角到弧到弦的转化方式，为我们证明角相等、线段相等和弧相等提供了新思路，解题时要根据具体条件灵活选择应用． 触类旁通2 如图，AB 是⊙O 的直径，C ，D 两点在⊙O 上，若∠C ＝40°，则∠ABD 的度数为( )

A ．40°

B ．50°

C ．80°

D ．90°

考点三、圆周角定理及推论

【例3】如图，若AB 是⊙O 的直径，CD 是⊙O 的弦，∠ABD ＝58°，则∠BCD ＝( )

A ．116°

B ．32°

C ．58°

D ．64°

解析：根据圆周角定理求得，∠AOD ＝2∠ABD ＝116°(同弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半)，∠BOD ＝2∠BCD (同弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半)；根据平角是180°知∠BOD ＝180°－∠AOD .还有一种解法，即利用直径所对的圆周角等于90°，可得∠ADB ＝90°，

则∠DAB＝90°－∠ABD＝32°，∵∠DAB＝∠DCB，∴∠DCB＝32°.

答案：B

方法总结求圆中角的度数时，通常要利用圆周角与圆心角或圆心角与弧之间的关系．触类旁通3 如图，点A，B，C，D都在⊙O上，CD的度数等于84°，CA是∠OCD 的平分线，则∠ABD＋∠CAO＝__________.

A．CM＝DM B．CD DB

C．∠ACD＝∠ADC D．OM＝MD

3．(2012浙江湖州)如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AC是⊙O的直径，∠C＝50°，∠ABC的平分线BD交⊙O于点D，则∠BAD的度数是()

(第3题图)

A．45°B．85°C．90°D．95°

4．(2012浙江衢州)工程上常用钢珠来测量零件上小圆孔的宽口，假设钢珠的直径是10 mm，测得钢珠顶端离零件表面的距离为8 mm，如图所示，则这个小圆孔的宽口AB的长度为__________ mm.

7．(2012湖南长沙)如图，A，P，B，C是半径为8的⊙O上的四点，且满足∠BAC＝∠APC ＝60°.

(1)求证：△ABC是等边三角形；

(2)求圆心O到BC的距离OD.

1．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，如果AB＝10，CD＝8，那么线段OE的长为()

A ．5

B ．4

C ．3

D ．2

2．如图，直径为10的⊙A 经过点C (0,5)和点O (0,0)，B 是y 轴右侧⊙A 优弧上一点，则∠OBC 的余弦值为( )

A ．12

B ．34

C ．32

D ．45

3．一条排水管的截面如图所示．已知排水管的截面圆半径OB ＝10，截面圆圆心O 到水面的距离OC 是6，则水面宽AB 是( )

A ．16

B ．10

C ．8

D ．6

4．如图，小华同学设计了一个圆直径的测量器，标有刻度的尺子OA ，OB 在O 点钉在一起，并使它们保持垂直，在测直径时，把O 点靠在圆周上，读得刻度OE ＝8个单位，OF ＝6个单位，则圆的直径为( )

(第4题图)

A ．12个单位

B ．10个单位

C ．4个单位

D ．15个单位

5．已知如图，在圆内接四边形ABCD 中，∠B ＝30°，则∠D ＝__________.

(第5题图)

6．如图，过A，C，D三点的圆的圆心为E，过B，F，E三点的圆的圆心为D，如果∠A＝63°，那么∠DBE＝__________.

(第6题图)

7．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AD⊥BC于D点，且AC＝5，DC＝3，AB＝42，则⊙O的直径等于________．

(第7题图)

8．如图，在圆内接四边形ABCD中，CD为∠BCA外角的平分线，F为弧AD上一点，BC＝AF，延长DF与BA的延长线交于点E.求证：

(1)△ABD为等腰三角形；

(2)AC·AF＝DF·FE.

参考答案

导学必备知识

自主测试

1．A2．D3．60°4．90°

5．3如图，过点A作AB⊥MN，连接AM，

设MB 为x ，则AM ＝AO ＝4－x . 在Rt △AMB 中， ∵AM 2＝MB 2＋AB 2， ∴(4－x )2＝x 2＋22，解得x ＝3

2.

∴MN ＝2MB ＝3. 探究考点方法

触类旁通1．24 连接OA ，当OP ⊥AB 时，OP 最短，此时OP ＝5 cm ，且AB ＝2AP .在Rt △AOP 中，AP ＝

OA 2－OP 2＝

132－52＝12，所以AB ＝24 cm.

触类旁通2．B 由题意，得∠A ＝∠C ＝40°，由直径所对的圆周角是直角，得∠ADB ＝90°，根据直角三角形两锐角互余或三角形内角和定理得∠A ＋∠ABD ＝90°，从而得∠ABD ＝50°.

触类旁通3．48° 因为CD 的度数等于84°，所以∠COD ＝84°.因为OC ＝OD ，所以∠OCD ＝48°.因为CA 是∠OCD 的平分线，所以∠ACD ＝∠ACO ＝24°，因为OA ＝OC ，所以∠OAC ＝∠ACO ＝24°，因为∠ABD ＝∠ACD ＝24°，所以∠ABD ＋∠CAO ＝48°. 品鉴经典考题

1．A ∵OA ⊥OB ，∴∠AOB ＝90°，∴∠ACB ＝45°.故选A. 2．D ∵AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，垂足为M ， ∴M 为CD 的中点，即CM ＝DM ，选项A 成立； B 为CD 的中点，即CB ＝DB ，选项B 成立； 在△ACM 和△ADM 中，

∵AM ＝AM ，∠AMC ＝∠AMD ＝90°，CM ＝DM ， ∴△ACM ≌△ADM (SAS)， ∴∠ACD ＝∠ADC ，选项C 成立；

而OM 与MD 不一定相等，选项D 不成立． 故选D.

3．B ∵AC 是⊙O 的直径，∴∠ABC ＝90°.∵∠ABC 的平分线BD 交⊙O 于点D ，∴∠ABD ＝45°.∵∠C ＝50°，∴∠D ＝50°，∴∠BAD 的度数是180°－45°－50°＝85°.

4．8 如图所示，在⊙O 中，连接OA ，过点O 作OD ⊥AB 于点D ，则AB ＝2AD .

∵钢珠的直径是10 mm ， ∴钢珠的半径是5 mm.

∵钢珠顶端离零件表面的距离为8 mm ， ∴OD ＝3 mm. 在Rt △AOD 中， ∵AD ＝

OA 2－OD 2＝

52－32＝4(mm)．

∴AB ＝2AD ＝2×4＝8(mm)． 故答案为8.

5．2 ∵AB 是⊙O 的弦，OC ⊥AB 于C ，AB ＝23，

∴BC ＝1

2AB ＝ 3.∵OC ＝1，

∴在Rt △OBC 中， OB ＝

OC 2＋BC 2＝

12＋(3)2＝2.

故答案为2.

6．150 因为∠AOC ＝60°，则它所对的弧度为60°，所以∠ABC 所对的弧度为300°.因为∠ABC 是圆周角，所以∠ABC ＝150°.

7．(1)证明：在△ABC 中，∵∠BAC ＝∠APC ＝60°， ∠APC ＝∠ABC ，∴∠ABC ＝60°，

∴∠ACB ＝180°－∠BAC －∠ABC ＝180°－60°－60°＝60°，∴△ABC 是等边三角形． (2)解：如图，连接OB ，则OB ＝8，∠OBD ＝30°.

又∵OD ⊥BC 于D ，∴OD ＝1

2

OB ＝4.

研习预测试题

1．C 2．C 3．A 4．B 5．150° 6．18°

7．52 连接AO 并延长交圆于点E ，连接BE .(如图)

∵AE 为⊙O 的直径， ∴∠ABE ＝90°. ∴∠ABE ＝∠ADC .

又∵∠AEB ＝∠ACD ，

∴△ABE ∽△ADC . ∴AB AD ＝AE

AC

.∵在Rt △ADC 中，AC ＝5，DC ＝3， ∴AD ＝4.∴AE ＝5 2.

8．证明：(1)由圆的性质知∠MCD ＝∠DAB ，∠DCA ＝∠DBA ，而∠MCD ＝∠DCA ， ∴∠DBA ＝∠DAB ，故△ABD 为等腰三角形． (2)∵∠DBA ＝∠DAB ，∴AD BD =.

又∵BC ＝AF ，∴BC AF =，∠CDB ＝∠FDA ， ∴CD DF =，∴CD ＝DF .

由“圆的内接四边形外角等于它的内对角”知， ∠AFE ＝∠DBA ＝∠DCA ，① ∠F AE ＝∠BDE .

∴∠CDA ＝∠CDB ＋∠BDA ＝∠FDA ＋∠BDA ＝∠BDE ＝∠F AE ，②

由①②得△CDA ∽△F AE .∴AC FE ＝CD

AF ，

∴AC ·AF ＝CD ·FE .

而CD ＝DF ，∴AC ·AF ＝DF ·FE .