北京大学微观经济学教学导案第七章生产者均衡及其变动

第七章 生产者均衡及其变动

在前两章中，我们重点分析了企业行为的基本特征和企业的生产技术，并回答了如何解决企业决策过程中能够选择什么的问题，这一章，我们接着分析生产者决策过程中的另外两个问题，即选择什么和如何选择的问题。在给定初始条件并假定不变的情况下分析择什么和如何选择的问题，我们就会得出生产者均衡这一重要概念。我们知道，经济生活中的内外部条件，如拥有资本量（可支成本）、价格等是经常变化的，这种变化会影响生产者的决策，即条件变化后的最优决策和原来的最优决策必然不同，换言之，经济条件的变化影响着均衡的变化。因此本章还将分析由经济条件特别是价格变动、技术进步、成本总量变动等因素所引起的生产者均衡的变动。

第一节 等成本曲线

一、成本预算

X 代表生产要素组合的向量，X1和X2代表两种不同的生产要素，r 是代表生产要素价格组合的向量，r1 和 r2分别表示要素X1和X2的价格。C 表示成本。

1.价格向量

),(21r r r r =

2.要素向量

),(21X X X X =

3.成本约束/或成本预算

2211X r X r C +=

二、等成本曲线 1.含义:

生产者投入要素生产时，使价格向量与要素向量相匹配，保持总成本固定不变。

2.表达：

（1）2211X r X r C +=

（2）图示：如图7.1，各条直线都代表不同的等成本曲线。

3.生产可行集：

一定的成本总量限制下，所有可能的要素组合。如图7.1，阴影区域就是对应等成本曲线下的生产可行集。

第二节 生产者均衡

一、生产中的均衡 1.含义：

厂商谋求利润最大化，或产出最大化，或成本最小化，但是受制于其他条件或其他利益主体，主要提供要素的厂商、市场价格等方面的约束，各种要素交织在一起，使生产者达到

最优状态，称为生产者均衡。

2.达到均衡的方法

（1）提高产量：即保持成本不变，寻求最高的产量，如图，从A 点或C 点移动到B 点，就是在成本固定的前提下达到了最高的产量。

（2）产量固定，减小支出：如图，从A 点或C 点移动到D 点，就是在产量固定的前提下达到了最低的成本。

3.均衡投入

生产者选择一种投入组合，在既定的产量下使成本最小化，或者在既定的成本下使产量最大化。如图中的B 点和D 点，是等成本曲线和等产量曲线的切点，这些点都是代表对应产量下的最低成本或者对应成本下的最高产量。

二、产量最大化

1.问题的提出：

在生产函数Q=Q(X1, X2)、要素价格和总成本C 给定的前提下，选择要素组合（X1, X2）使产量最大化：

2

21121

,..)

,(.2

1X r X r C t s X X

Q x Ma X X +=

2.问题的解： 构造拉氏函数求解：

Max )(),(),,(22112121X r X r C X X Q X X L --+=λλ

000221122

211

1=--=??=-??=??=-??=??X r X r C L

r X Q

X L r X Q

X L λ

λλ

我们假设，则由以上各式可以得到：

进一步可得：

21212

1r r MP MP X Q

X Q

==????

2

2

11r MP r MP = 生产者均衡时，各要素边际产量和其自身价格的比为一定值。

3.产量最大时的要素投入函数

由一阶条件，可解得均衡时X1，X2和λ的表达式，即产量最大化时的要素需求函数，也称为等成本要素需求函数：

)

,,(),,()

,,(21**21*

2*221*1*1C r r C r r X X C r r X X λλ===

令r 2和C 为常数，则得要素1的自价格需求函数和要素2的交叉价格需求函数：

)()(1*2

*2

1*1*1r X X r X X ==

同理令r 1和C 为常数，则得要素2的自价格需求函数和要素1的交叉价格需求函数：

)

()(2*2

*2

2*1*1r X X r X X ==

总之，在已知要素价格和总成本的前提下，厂商就可以依据等成本要素需求函数决定要素投入组合，使得产量最大。 三、利润最大化

1.问题提出：

在生产技术、要素价格和产品价格给定的条件下最大化利润，利润可表示成总收益与总成本的差，厂商可以通过选择适当的产量或者投入要素使得利润达到最大，即

C R Max -=π

其中，π代表利润， R 代表总收益，C 代表总成本。

2.问题的分析和求解： （1）产量分析：

即以产量为选择变量求解，)()()(Q C Q R Q Max Q

-=π

一阶条件为：

MC MR dQ dC

dQ dR dQ d =?=-?=00π

结论是利润最大化时对应的产量，其边际成本等于边际收益。 （2）要素分析

即以投入要素为选择变量求解，

)

(),(),(2211212

1

,2

1X r X r X X Q P X

X Max X X +-*=π

一阶条件为：

0022

2111=-??*=??=-?*=?r X Q

P X r X P X π

进一步可得：

2

211r MP P r MP P =*=*

均衡时要素的边际产量与产品价格的乘积即为要素的边际产值，它必须等于要素自身的价格，否则，利润就有增长的空间。如果要素边际产值大于要素价格，则应该继续投入要素，降低边际产量，获取更大利润；反之，如果边际产值小于要素价格，就应该减少要素投入，增加边际产量，以获取更大利润。 3.要素需求函数

由要素分析中的一阶条件，可解得要素需求函数，（区别于产量最大化下的等成本要素需求函数）：

)

,,(),,(21*2

*

2

21*1*1P r r X X P r r X X ==

类似的，在r1或r2为常数的条件下，可导得要素的自价格需求函数以及交叉价格需求

函数。

4.利润函数：

将要素需求函数代入目标函数，可得利润函数：

)),,(),,,((),(),,(21*

221*1*2*121P r r X P r r X X X P r r πππ==

即在既定的生产技术，产品价格和要素价格下，厂商能够获得的最大的利润水平。 四、成本最小化 1.问题提出：

在生产技术、产量和要素价格给定的前提下，对投入要素进行选择，使得成本最小，即：

)

,(..212

2112

,1X X Q Q t s X r X r c Min X X =+=

2.分析与求解：

构造拉氏函数求解：

)),((),,(2122112

1

,

,21X X Q Q X r X r X X L Min X X -++=λλλ

一阶条件是：

0),(0021222111=-=??=??-=??=?-=?X X Q Q L

X Q

r X L X r X λ

λλ

同样得到：

2

2

11r MP r MP =，即均衡时各要素的边际产量比上其自身价格为常数。 3.成本函数和条件要素需求函数

由上面地一阶条件，我们可求出均衡时的要素需求函数,也称为条件要素需求函数：

),,()

,,(21*

2*221*1*1Q r r X X Q r r X X ==

类似的，在r1或r2为常数的条件下，可导得要素的自价格需求函数以及交叉价格需求函数。

将条件要素需求函数代入目标函数，就可得到成本函数：

),,(),,(),,(21*2221*1121Q r r X r Q r r X r Q r r C *+*=

即在既定的生产技术、要素价格和产量之下，企业所要支付的最小成本。

第三节 均衡的变动

一、要素价格不变，总成本变动

即成本预算约束的斜率不变，但截距变化。如果总成本增大，则预算线向右上方移动，均衡点也向右上方移动，厂商所能获得的最高产量增加。随着均衡点的移动，我们可以得到一条生产者的最优扩张线OE ，由扩张线上的各点对应的成本和产量又能得到成本曲线。如图7.3。 二、要素价格变动，总成本不变 如果要素价格改变，而总成本不变，则等成本曲线的斜率将发生变化，如图7.4，假设要素1的价格减小 ，则等成本线在

横轴上的截距将越来越大，均衡点也向左移动，均衡产量越来越大。各均衡点的连线也形成一条曲线，反映了随着要素价格变动，均衡产量的变动情况。

同时，我们还可以通过各均衡点对应的要素价格和要素投入量，得到投入要素的自价格

需求曲线和交叉价格需求曲线，如图7.4和7.5。

三、技术进步

1.含义：能使要素价格变的低廉的技术革新，称为技术进步。

2.分类：

（1）劳动的技术进步：

（2）资本的技术进步：其中包括实物资本和货币资本

（3）其他的技术进步：

3.技术进步的度量

在生产函数Q=Q(X1,X2)中，将技术因素隐含其中，技术通过作用于要素而间接的影响产量。我们也可显式的表示技术因素，即定义生产函数为：

Q=A(t)*Q(X1,X2)，其中A(t)表示技术因子，而Q(X1,X2)表示未考虑技术因素的最大产出。

其对数形式为：lnQ=lnA(t)+lnQ(X1,X2)，对此两边全微分，可得：

22

2

2

1111212

2

11

)()()

,()

()

(X dX X X Q Q

X dX X X Q Q t A t dA X X Q dX X Q

dX X Q

t A t dA Q dQ ??+??+=

??+??+=

显然，1

11X X Q Q

E ??=

为要素1的产出弹性，而2

2

2X X Q Q

E ??=

为要素2的产出弹性，

因此

222111)()(X dX E X dX E t A t dA Q dQ ++=，进而可得：）（2

22111)()(X dX E X dX E Q dQ

t A t dA +-=，即技术进步率等于产出增长率减去非技术要素的增长对产出增长的贡献，也就是减去所有非技术要素的增长率和它们各自的产出弹性的乘积，这样我们就得到技术进步的一个比较直观的度量方法。

第四节 多要素分析

一、等成本

在多种要素的情况下，厂商也可调整生产要素的组合方式，将成本固定在某一水平上。假定要素价格向量和要素向量如下：

)

,,,(),,,(2121n n X X X X X r r r r r ==，

则多要素等成本意味着：∑==n

i i

i X

r C 1。

二、等成本面

在n 维空间中由方程∑==n

i i

i X

r C 1

确定的超平面。

三、生产者均衡 1.产量最大化

),,,(2

1

.n X X X

X Q x Ma i

s.t. ∑==n

i i i X r C 1

构造拉氏函数求解：

Max )(),,,(),,,,(1

2121∑=-+=n

i i

i n n X

r C X X X Q X X X L λλ

001

=-=??=-??=??∑=n

i i i i

i Xi r C L

r X Q

X L λλ其中，i=1,2,……，n 。

我们假设，则由以上各式可得：

n i r MP r X Q

i

i

i i ,,2,1, ===??其中λ。即生产者均衡时，各要素边际产量和其自身价格的比为一定值。同时由一阶条件的n+1个方程，可解得

均衡时X1，X2，……，Xn 和λ的表达式，即产量最大化时的要素需求函数，也称为等成本要素需求函数：

n

i C r r r X X n i i ,,2,1),,,,(21** ==其中，

根据等成本要素需求函数，在已知要素价格和总成本的前提下，厂商就可以依据等成本要素需求函数决定要素投入组合，使得产量最大。 2.成本最小化

在生产技术、产量和要素价格给定的前提下，对投入要素进行选择，使得成本最小，即：

∑==n

i i i X r C 1

min

).....,,(.,21n X X X Q Q t s =

构造拉氏函数求解：

)),,,((),,(211

21

,

,21n n

i i i X X X X X Q Q X r X X L Max -+=∑=λλλ

一阶条件是：

0),,,(,,2,1,,021=-=??==??-=??n i i i X X X Q Q L

n i X Q

r X L λ

λ其中

同样得到：

n i r MP r X Q

i

i

i i ,,2,1,/1 ===??其中λ，即均衡时各要素的边际产量比上其自身价格为常数。同时由一阶条件的n+1个方程，可解得均衡时X 1，X 2，……，X n 和λ

的表达式，即求得成本最小化时的要素需求函数，也称为条件要素需求函数：

n

i Q r r r X X n i i ,,2,1),,,,(21* ==其中，

将要素需求函数代入目标函数，就可得到成本函数：

∑=*=n

i n i i n Q r r r X r Q r r r C 1

21*21),,,(),,,(

即在既定的生产技术、要素价格和产量之下，企业所要支付的最小成本。 3.利润最大化

在生产技术、要素价格和产品价格给定的条件下最大化利润，利润可表示成总收益与总成本的差，可以通过选择适当的产量或者投入要素使得利润达到最大，即

C R Max -=π

其中，π代表利润， R 代表总收益，C 代表总成本。

（1）产量分析：

即以产量为选择变量求解，)()()(Q C Q R Q Max Q

-=π

一阶条件为：

MC MR dQ

dC

dQ dR dQ d =?=-?=00π 结论是利润最大化时对应的产量，其边际成本等于边际收益。 （2）要素分析

即以投入要素为选择变量求解:

∑=-*=n

i i i n n X X r X X X Q P X X X

Max i

1

2121

),,,(),,,( π

一阶条件为：

n i r X Q

P X i i

i ,,2,10 ==-??*=??其中π 进一步可得：i i r MP P =* 均衡时要素的边际产量与产品价格的乘积即为要素的边际产值，它必须等于要素自身的价格，否则，利润就有增长的空间。如果要素边际产值大于要素价格，则应该继续投入要素，降低边际产量，获取更大利润；反之，如果边际产值小于要素价格，就应该减少要素投入，增加边际产量，以获取更大利润。

同样由要素分析中的一阶条件，可解得要素需求函数，（区别于产量最大化下的条件要素需求函数）：

),,,,(21*P r r r X X n i i =

将要素需求函数代入目标函数，可得利润函数：

),,,(),,,,(*

*2*121n n X X X P r r r ππ=

即在既定的生产技术，产品价格和要素价格下，厂商能够获得的最大的利润水平。 4.技术进步

令生产函数为Q=A(t)*Q(X 1,X 2,…,X n )，其中A(t)表示技术因子，而Q(X 1,X 2,…,X n )表示未考虑技术因素的最大产出。

其对数形式为：lnQ=lnA(t)+lnQ(X 1,X 2,…,X n )，对此两边全微分，可得：

∑∑

==??+=

??+=n

i i

i

i

i n

i i

i

X dX X X Q Q

t A t dA X X Q dX X Q

t A t dA Q dQ 1211

)()()

,()

()( 因为，n i X X Q Q E i

i

i ,,2,1, =??=

为要素i 的产出弹性，因此：

∑=+=n i i i i X dX E t A t dA Q dQ 1)()(，进而可得：∑=-=n

i i

i i X dX E Q dQ t A t dA 1)()(，即技术进步率等于产出增长率减去非技术要素的增长对产出增长的贡献，也就是减去所有非技术要素的增长

率和它们各自的产出弹性的乘积，这样我们就得到技术进步的一个比较直观的度量方法。

第五节最优规模与最优产出

一、最优规模

生产规模是企业所控制的生产要素总量。如果给定某个产量,使生产该产量的成本最低的生产规模称为最优规模，它是相对于一定产量的最优。

二、最优产量

给定一定的企业规模，一定存在一个最优的产量，高于或低于这个产量都会使企业的利润降低。

三、最优规模下的最优产量

企业在参与市场竞争的过程中，由市场中各种因素决定其最优的生产规模，在此基础上，实现自己的最优产量，称之为最优规模的最优产量。

四、规模经济与范围经济

长期来看，企业会调整自己的产出和投入，如果企业投入要素的总量即总成本增加为原来的两倍，而同时它的产量增加到高于原来两倍的水平，换句话说，企业能以低于两倍的成本获得两倍的产出，这时，我们称企业存在规模经济。反之，如果获得两倍的产量需要投入高于两倍的成本，则称企业存在规模不经济。当企业存在规模经济时，企业可以增加投入和产出，扩大规模，获得更大的利润，而当企业存在规模不经济时，企业则应该缩小规模，减小投入和产出。规模经济通常用成本—产出弹性（EC ）来度量，一般而言，如果企业的平均成本曲线符合U形标准，则企业规模较小时，存在规模经济，随着规模的扩大，则会出现规模不经济。因为EC =（△C/C）/(△Q/Q)=MC/AC，很明显，在边际成本与平均成本相等的时候，平均成本达到最小，EC =1，既不存在规模经济，也不存在规模不经济；而在此前，边际成本小于平均成本，EC <1，存在规模经济；如果产量水平在增加，则EC >1，开始进入规模不经济。

在前面的章节，我们一般只认为厂商生产一种产品，处于一个行业，而范围经济则是针对厂商生产多种不同产品或者跨行业生产经营而展开分析，比如大型的汽车公司可以生产轿车、卡车、拖拉机、装甲车等等不同的产品，大型的电脑公司，既可生产软件，也可生产硬件，还有许多企业生产的产品在性质上没有联系。如果单个企业生产多种产品的成本小于多个企业来分别生产这些产品的成本，即在相同的投入水平下联合生产比各自独立生产能获得更大的产量，我们称之为企业存在范围经济。反之，则称企业存在范围不经济。范围经济的度量一般用范围经济程度（SC）来表示，定义SC=[C（Q1）+ C（Q2）]/ C（Q1+Q2）-1，如果SC>0，则存在范围经济；如果SC<０，则存在范围不经济。

范围经济的成因首先是投入要素的联合使用，统一管理，能够节约成本，其次是有些生产技术会自动生产出副产品，使企业天然的具有范围经济。一般来讲，范围经济和规模经济没有直接的联系：一个两种产品的企业可能在某个产量水平上各个产品的生产都存在规模经济，但同时也开始存在范围不经济；同样，一个多产品生产的企业可能在某产品生产已经产生规模不经济时仍然拥有范围经济。

五、规模与成本

在短期，企业生产规模的调整不够灵活，有一部分生产要素是固定的投入，形成与产量

无关的固定成本，而在长期所有的要素投入都能随产量变化。因此，在短期随着规模的不断调整，不同的规模对应不同的短期成本曲线，代表在该规模下各种产量所能获得的最小成本，而在长期，因为所有要素都可以灵活调整，每一产量都必须用唯一的最优规模生产，即在能够生产这一产量的所有规模中选择成本最小的规模，这个最优规模下的成本就代表了企业的长期成本。如果将产量及规模无限细分，各产量对应的长期成本的连线就是长期成本曲线，它是无限多个对应不同规模的短期成本曲线的包络线。

如图，五条短期成本曲线（SC1-5）对应五种不同的生产规模，代表各规模下所能获得的最小成本，但在长期看来，从0到Q1的产量应该选择用规模1（即对应短期生产成本曲线1的规模，以下类推）生产, 从Q1到Q2的产量应该选择用规模2生产，而从从Q2到Q3、Q3到Q4 、Q4到Q5的产量则应该分别选择用规模3、规模4、规模5生产。如果将产量和规模无限细分，可将各产量对应的最低成本连成光华曲线，如图中LC。

同理，长期平均成本Array曲线是短期平均成

本曲线的包络线，这

里需要注意的是，短

期成本曲线的最低

点并不一定在长期

成本曲线上，因为它

只代表在某一固定

的规模下平均成本

的最低点，由于规模

经济或者规模不经

济的存在，在长期，

厂商可能通过调整

规模获得更小的平

均成本。如图7.7：

最后，长期的边际成

本曲线不是短期成

本曲线的包络线，二

者不再有严格的数学关系，短期边际成本曲线适用与某一特定的生产规模，而长期边际成曲

线上的每个点则代表了最优规模的工厂的短期边际成本。

习题：

1.何为生产者均衡？它与消费者均衡有什么异同？

2.证明对表现出规模报酬递增的技术，只要有一种要素投入组合能产生正利润，就不存在利润最大化的解。

3.给出C-D生产函数下的成本函数、利润函数以及要素需求函数。

4.一个厂商有两个车间，成本函数分别是c1(y1)=3y12和c2(y2)=y22，该厂商的成本函数是什

么？

5.一个厂商的成本函数为：???=>+=0

,00

,1)(2y y y y c 如果如果，令P 为产出价格，要素价格固定，

如果P=2，该厂商会生产多少？如果P=1，该厂商会生产多少？该厂商的利润函数是什么？ 6.一个厂商的生产函数如下：

f(x1, x2, x3, x4)=min(2 x1+ x2, x3+2 x4)。该技术的成本函数是什么？要素1和要素2的条件需求函数（即在成本最小化下的投入要素需求函数）是什么？

7.一个厂商有生产函数y= x1x2。如果在r1=r2=1时，生产的最小成本等于4，则对应的产量是多少？

8.生产函数如下：y=0,if x<=1;y=lnx, if x>1。计算这种技术的利润函数和要素需求函数。 9.生产函数是：f (x) =20x-x2，并且产出价格为1。r 为 x 的投入价格，x>=0。 （a ）如果x>0，利润最大化的一阶条件是什么？ （b ）w 取什么值时，x 的最优值是零？ （c ）w 取什么值时，x 的最优值是10？ （d ）要素需求函数是什么？ （e ）利润函数是什么 ？

（f ）利润函数对r 的导数是什么？

10.令生产函数为Q=A(t)*Q(X1,X2,…,Xn)，其中A(t)表示技术因子，而Q(X1,X2,…,Xn)表示未考虑技术因素的最大产出。证明：∑=-=n

i i

i i

X dX E Q dQ t A t dA 1)()(，其中，Ei 为要素Xi 的投

入产出弹性。

11.说明产量最大化、利润最大化和成本最小化问题之间的对偶关系。

来源：经济学习网（ ）