什么叫做圆柱体和圆锥体

什么叫做圆柱体和圆锥体？

在小学数学教材中，对圆柱和圆锥都没有下明确的定义，为了更好地驾驭教材，作为数学教师，有必要较为确切地掌握圆柱和圆锥概念。

圆柱：以矩形的一边所在直线为轴，其余各边绕轴旋转而成的曲面所围成的几何体，叫做圆柱体，简称圆柱。圆柱可以看成一个矩形A1AOO1，统一边O1O 旋转一周形成的旋转体（如下图）。O1O称为圆柱的轴，垂直于轴的边旋转而成的两个圆面，叫做圆柱的底面，平行于轴的边旋转而成的曲面，叫做圆柱的侧面，无论旋转到什么位置，这条边都叫做圆柱的母线。圆柱两个底面之间的距离，叫做圆柱的高。

当两个底面中心的连线垂直于底面时，这种圆柱叫做直圆柱。在小学里，所说的圆柱，一般都指直圆柱。圆柱的侧面展开成的图形是一个长方形。

圆柱具有以下几个性质：

（1）圆柱的轴过两个底面的圆心，并且垂直于两个底面；

（2）用垂直于圆柱的轴的平面去截圆柱，所得的截面是和底面相等的圆；

（3）用一个过圆柱的轴的平面去截圆柱，所得的截面是一个矩形，它的两条对边是圆柱的两条母线，另外两条对边，分别是两个底面圆的直径；

（4）用一个平行于圆柱的轴的平面去截圆柱，所得的平面是个矩形，它的两条对边是圆柱的两条母线，另外两条对边，分别是两个底面圆的弦。

圆锥：以直角三角形的一条直角边所在的直线为轴，其余两边绕轴旋转而形成的曲面所围成的几何体，叫做圆锥。旋转的轴叫做圆锥的轴，由另一条直角边旋转而成的圆面，叫做圆锥的底面。由斜边旋转而成的曲面，叫做圆锥的侧面。斜边无论旋转到任何位置，都叫圆锥侧面的母线。母线的交点叫做圆锥的顶点。从圆锥顶点到圆锥底面的距离，叫做圆锥的高。

上图所示圆锥，是以直角三角形ABO的一条直角边AO为旋转轴旋转而成的，因此，它是一个直圆锥，简称圆锥。

圆锥具有以下几个性质：

（1）圆锥的底面是一个圆，它所在的平面垂直于圆锥的轴；

（2）圆锥的轴经过顶点和底面的圆心，底面圆心和顶点的连线（如图中的AO）就是圆锥的高；

（3）圆锥的一切母线都交于圆锥的顶点，并且都相等，各条母线与轴的夹角都相等。

（4）用一个过圆锥的顶点，并且和底面相交的平面去截圆锥，所得的截面是一个等腰三角形。

（5）垂直于轴的圆锥截面是个圆。

《圆锥体的初步认识及体积计算》

教学内容：圆锥体初步认识及体积公式的探究

教学目的：

1、通过学生的实际操作活动认识圆锥，理清圆柱和圆锥的区别，掌握圆锥的特征。

2、理解并掌握圆锥体积的计算方法，并能正确应用。

3、培养学生的空间观念。

教学过程：

（一）复习旧知，导入新课：

1、出示一张长方形的纸，问；以一条边所在的直线为轴旋转一周会形成什么立体图形？说一说它的特征及体积公式的推导过程。

（电脑演示形成的圆柱体，学生清晰的看到形成的过程，直观形象。）

2、出示一张直角三角形的纸，请同学猜一猜，如果以它的一条直角边所在的直线为轴旋转一周又会形成什么立体图形？

（学生回答后，电脑演示形成圆锥体的过程。旋转后出现圆锥体的立体图形，这是动手操作所达不到的效果。通过多媒体由旧知识过渡到新知识，加强了知识间的联系，吸引了学生的注意力。）

3、在生活中，你见到过这样的形体吗？讲给大家听

（电脑出示沙堆、铅锤等实物。这样有利于学生从直观上初步了解圆锥体的特征。感受生活的数学化，体验到数学源于生活。）

（二）、动手操作，探索新知：

1、认识圆锥体的特征

（1）学生观察后回答

（2）师：圆锥的底面是一个圆，侧面是一个曲面。从圆锥的顶点到底面圆心的距离是圆锥的高

（沿底面直径纵切圆锥体，认识纵切面是三角形的面，连接顶点与底面圆心并闪烁，动态演示，吸引学生，再合拢透视出高。使学生理解高只有一条。加深了学生对高的理解，此环节充分利用多媒体辅助教学，突破难点。）

2、推导体积公式

1（1）猜想：怎样计算圆锥的体积呢？你认为圆锥的体积与什么形体有关系？有什么关系？

（把圆柱的上底逐渐缩小成为一个点时，就得到圆锥，这个圆锥与原来的圆柱是等底等高的。通过多媒体的演示沟通了知识之间的联系调动了学生学习的积极性，为圆锥体体积公式的推导作了铺垫。）

学生进行讨论：大家的一致意见是与圆柱体积有关系。但是有的说圆锥体积是圆柱体积的二分之一，有的说是三分之一，还有的说是四分之一到三分之一之间。

（2）各组分别阐述理由

（3）动手做实验：分组活动

学具：一盆水，等底等高的圆柱体和圆锥体，等底不等高的圆柱体与圆锥体，等高不等底的圆柱体与圆锥体的容器

（学生能够通过动手操作来完成的就一定让学生动手，加深学生对知识形成过程的理解，也能培养学生主动获取知识的能力。）

（4）要求：各组把关系写出来，把推导出的公式写出来

（5）、通过实验，你发现了什么？

结论：1、圆锥的体积等于圆柱体积的三分之一。

结论：2、圆锥的体积等于和它等底等高的圆柱体积的三分之一。

（6）、学生进行评价哪个结论正确。

（7）字母表示公式：V=1/3Sh

（8）教师板书

（三）、运用知识，解决问题

1、例1 一个圆锥的物体，底面积是12.9平方米，高是5厘米。它的体积是多少立方厘米？

（考察学生对知识的掌握程度，提高了学生的运用知识解决问题的能力。节约时间，教师对学生的关注与直接指导在时间上有了保证。提高了课堂教学效率。）

2、判断：

（1）圆锥体积是圆柱体积的三分之一（）

（2）把一个圆柱削成一个最大的圆锥，圆锥体积是圆柱体积的三分之一。（）

（3）一个圆锥体的底面半径扩大3倍，高不变，体积就扩大6倍。（）

（4）一个圆锥体积是10.2立方米，底面积是3.4平方米，求高是多少。算式是10.2÷3.4÷3 （）

3、填空：

（1）圆锥体积是15立方米，与它等底等高的圆柱体积为（）。

（2）圆柱的体积比与它等底等高的圆锥体积大（）倍。

（3）一个圆锥体比与它等底等高的圆柱体的体积少16立方米，圆柱体积是（）立方米，圆锥体积是（）立方米。

4、求下面各图形的体积。 (略）

5、一个高是10厘米的圆锥沿着直径切成两块，表面积增加160平方厘米，求这个圆锥体的体积是多少？

6、一个圆柱体被挖去一个圆锥（如图）锥高是柱高的2/3，底面半径为2厘米，柱高为6厘米，则剩余部分的体积是多少？

（四）、课堂总结：

通过这节课的学习，你有什么新的收获？有什么体会？

（五）、作业：从生活中找一圆锥体物体，通过测量的办法来计算它的体积。

板书：

圆锥体的认识和体积

试验结果：圆锥体积等于与它等底等高的圆柱体积的三分之一

V柱 = Sh

V锥 = 1/3Sh

──圆柱体和圆锥体体积的复习；

教学目的：使学生系统掌握关于圆柱和圆锥的基础知识，进一步了解圆柱和圆锥的关系，熟练运用所学公式计算解答实际问题；

教学准备：幻灯片、电脑制图

教学过程：

一. 出示课题，引人复习内容；

1.同学们，今天这节课，我们要进行“圆柱体和圆锥体体积的复习”；

板书课题

2.圆柱体的体积怎么求？

板书：V圆柱＝Sh

3.圆锥体的体积怎么求？

板书：V圆锥＝1/3 Sh

4.公式中的s、h分别表示什么？1/3表示什么？

小结：求圆柱体和圆锥体的体积，首先要正确应用公式。

板书：1.正确应用公式

当题目中没有直接告诉我们底面积，只给出底面的半径、直径或周长时，求它们的体积必须先求出什么？

二. 基础练习

根据已知条件求圆柱体和圆锥体的底面积（幻灯出示）

计算这些形体的体积：

(1)S底＝1.5 平方米h＝5 米求V圆柱

(2)S底＝1.5 平方米h＝5 米求V圆锥

(3)r＝10分米h＝2 米求V圆柱

(4)C＝6.28米h＝6 米求V圆锥

(1)、(2)两题条件相同，所求不同；

板书：2. 圆锥体积一定要乘1/3

(3)、(4)两题都要先求出底面积；

板书：3. 单位名称要统一

三. 实际应用练习：

我们还可应用到生活中去解决一些实际问题：（幻灯出示）

1.一根圆柱形钢材长2米，底面周长为6.28厘米，如果1立方厘米钢重8克，1 00根这样的钢材重多少千克？

默读后问同学：做这道题前有没有准备工作要做？（单位要统一）

2.一个圆锥形麦堆，底面直径4米，高1.5米，按每立方米麦重700千克算，这堆麦重多少千克？

默读后问同学：要注意麦堆是什么形状？

请两位同学板演，其余在本子上自练；

3.小结：在解这两题时都用到了什么计算？

四. 提高练习：

（幻灯出示）在一只底面半径为30厘米的圆柱形水桶里，放入一段底面半径为10厘米的圆锥形钢材，水面升高了5厘米，这段钢材高为多少？

（电脑出示图案）观察水面变化情况，求什么？

1.钢材是什么形状？求圆锥体的高用什么方法？h＝3V/S，3V表示什么？

2. S可以通过哪个条件求？（r＝10厘米）

3.体积是什么呢？（电脑屏幕逐步演示）

(1)当钢材放入时水面上升，取出时水面下降，和什么有关？

(2)放入时水面为什么会上升？

(3)圆锥体占据了水桶里哪一部分水的体积？

(4)上升的水的体积等于什么？

(5)求圆锥形钢材的体积就是求什么？

(6)求这部分水的体积可通过哪些条件求？（r＝30厘米，h＝5厘米）

(7)板演，同学自练；

五. 圆柱体、圆锥体之间的关系是很密切的，下面我们来研究一下：（电脑出示画面、公式）

1.当圆柱体与圆锥体等底等高时，圆柱的体积是圆锥体积的３倍；（逆向）

2.当圆柱体与圆锥体体积相等，底面积相等时，圆锥的高是圆柱的3倍；

3.当圆柱体与圆锥体体积相等，高也相等时，圆柱的底面积是圆锥底面积的1/3，圆锥底面积是圆柱底面积的3倍。

六、总结：

这节课我们复习了什么？