电动力学期末考试卷及答案五
20___ - 20___ 学年度 学期 ____ 级物理教育专业
《电动力学》试题（五）
试卷类别：闭卷 考试时间：120分钟
______________________ 学号____________________
一． 判断以下概念是否正确，对的打（√），错的打（×）（共15分，每
题3分）
1． 库仑力3
04r r
Q Q F πε '=表明两电荷之间作用力是直接的超距作用，即电荷Q
把作用力直接施于电荷Q '上。 （ ） 2． 电磁场有能量、动量，在真空中它的传播速度是光速。 （ ） 3． 电磁理论一条最基本的实验定律为电荷守恒定律，其微分形式为：
t j ??=??/ρ
。 （ ）
4． 在介质的界面两侧，电场强度E 切向分量连续，而磁感应强度B
法向分
量连续。 （ ）
5．在相对论中，粒子能量，动量以及静止质量的关系为：
4
2022c m c P W += 。 （ ）
二． 简答题（每题5分，共15分）。
1．如果0>??E
，请画出电力线方向图，并标明源电荷符号。
2．当你接受无线电讯号时，感到讯号大小与距离和方向有关，这是为什么？
3．以真空中平面波为例，说明动量密度g ，能流密度s
之间的关系。
三． 证明题（共15分）。
多普勒效应被广泛应用，请你利用洛伦兹变换证明运动光源辐射角频率
ω与它的静止角频率0ω的关系为：)
cos 1(0
θγωωc
v
-=
，其中
122)/1(--=c v γ；v 为光源运动速度。（15分）
得 分 评卷人
四. 综合题（共55分）。
1．半径为a 的无限长圆柱形导体，均匀通过电流I ，设导体的磁导率为μ，导体外为真空，求：
（1）导体内、外空间的B 、H
；
（2）体内磁化电流密度M j
；（15分）。
2．介电常数为ε的均匀介质中有均匀场强为0E
，求介质中球形空腔内的电
势和电场（分离变量法）。（15分）
3．两频率和振幅均相等的单色平面电磁波沿z 轴方向传播，一个沿x 方向偏振，另一个沿y 方向偏振，且其相位比前者超前2
π
。求合成波的偏振。若
合成波代表电场矢量，求磁场矢量B 以及能流密度平均值S 。（15分） 4．在接地的导体平面有一半径为a 的半球凸部，半球的球心在导体平面上，如图所示。点电荷Q 位于系统的对称轴上，并与平面相距为b （a b >）。试用电像法求空间电势。（10分）
一、 判断题
1、?
2、√
3、?
4、√
5、√ 二、简答题 1、
2、由于电磁辐射的平均能流密度为2
2
232
0sin 32P
S n c R
θπε=
，正比于2sin θ，反比于2R ，因此接收无线电讯号时，会感到讯号大小与大小和方向有关。 3由于 0g E B ε=? S E H =? 在真空中0B H μ= 且c με=
所以2
1g
S c =
三、证明：
设光源以速度v 运动，设与其连接坐标系为∑'，地面参照系∑，在洛伦兹变换下，μk 的变换式为
νμνμ
k a k =' (1) ??
??
?
?
?
?
?-=νβνβνν0001000010
00i i a (2) 因此有
ων
ν2
11
c v
k k -=' (3) c
i k i c
i
ω
νβνω+-='
1 (4) 设波矢量k
与x 轴方向的夹角为θ，则有 θω
cos 1
c
k =
(5)
代入(4)式，整理得 )cos 1(θωνωc
v
-
=' (6) ∑'为光源静止参考系。设光源静止频率为0ω，则0ωω='，则有
)
cos 1(0
θνωωc
v
-=
(7)
证毕。
四、综合题
一、 1、(1) 利用安培定理
I l d H =??
由对称性，当a r >时， I rH =θπ2 θπe r I H
2=
θπμe r
I B
20= 当a r <时
2
22r a I r H πππθ?= θ
πe a Ir H 22= θπμe a Ir B 2
2= 即 a r > 20022r r
I e r I B πμπμθ ?== 22r
r I H π
?= a r < 2222a r
I e a Ir B πμπμθ ?== 2
2a
r I H π
?= (2) H B M -=0
μ
a r < H M )1(
-=μμ
200)1()1(a
I
H M j M πμμμμ -=??-=??=
a r > 0=M
，0=M j
(3) a
I
a Ir M M a
r t t N πμμπμμα2)1(
2)1(
002
012--=--=-== a
I πμμα2)
1(0
--= 2、如图所示，选择0E
方向为z 轴方向，
球腔半径设为0R ，球腔内外均满足方程 02
=?? (1)
解为
a r < )](cos )(cos [1
1θθ?n n n
n n n n P r b P r a ++
=∑ (2) a r > )](cos )(cos [θθ?n n n
n n n
n P r
d P r c 1
2++
=
∑ 当∞→r θ?cos 02r E -→ ∴ 0=n c 1≠n 01E c -= ∑++-=n n n n
P r
d r E )(cos cos θθ?1
02 (3) 当0→r
1?有限。 ∴ 0=n b
0E
)(cos θ?n n
n
n P r
a ∑=
1 (4)
在0R r =界面上有 0
2
1R r ==?? 0
2
10
R r r
r =??=???ε?ε (5)
因此有
∑∑=+
-+n
n n n n n
n n
P R a P R d R E )(cos )(cos cos 01000θθθ ∑∑∞=-∞
=+=+-+-1
1
0002
00)](cos [)](cos )1(cos [n n n n n n n n P R na P R d n E θεθθε 比较系数得
?????==0
000d R d a ???
????
=--=+-1030100
120
100)2(a R d E R a R d R E εε
解得 00=a ，00=d ，0=n a ，0=n d )1,0(≠n
00123εεε+-=E a 0
2
00012εεε+=R E d (6)
∴ ???
?
???+-+-=+-=θεεεεθ?θ
εεε?cos )2()(cos cos 23203
000
02001r R E r E r E (7) 腔内电场
00
1123E E
εεε
?+=
-?= (8)
3、解：设沿x 轴和y 轴振荡的波分别为：
()
()
10 2200i k z t x i k z t i k z t y y E E e e E E e
e iE e e
ωπωω-?
?-+ ?
-?
?===
合成波为：
- -
()(
)
120i k z t x y E
E E E e ie e ω-=+=+
可见，合成波仍然为单色平面波，只是振幅变了，其实部为：
()()() 0cos sin i k z t x y E E k z t e k z t e e ωωω-??=---?
?，上式表明，矢量E 的末端为一圆周，称为圆偏振，振幅为0E 磁场矢量：
()(
)()(
)00 0 011
i k z t z z x y i k z t y x B n E
e E e E e ie e c c E e ie e c
ωωεμ--=?=?=?+=- ()()()*2
00
2
01
Re 2
Re 2 x y y x z S E H E e ie e ie c e με=?=-?-=
4、由球面对称性，有一像电荷Q '满足
0=+''QP
Q
P Q Q (1) 即
Q
Q QP P Q '-=' 要求OQP Q OP ?'?~ 即
Q
Q a d b a QP P Q '
-===' ∴ b a d 2= b
a Q Q -=' (2)
再由面对称性，在d -处有点像电荷Q '-，b -处一像电荷Q -，如图示。因此空间电势为
- -
θ
θπε?cos 2cos 2[4122220dR R d b a
Q
bR R b Q -+-+-+=
]
cos 2cos 22222θ
θbR R b Q dR R d b a Q
++-+++ (3)
z e b
Q d b b a Q d b b a Q F ]4)()([412
22222
0-+++--=πε (4)
其中b
a d 2
=。
b
b -
a z
Q
Q -
Q '-
Q '
O R
d - P '
θ
P