双曲线练习题经典(含答案)

《双曲线》练习题

一、选择题：

1．已知焦点在x 轴上的双曲线的渐近线方程是y ＝±4x ，则该双曲线的离心率是( A )

2．中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线的实轴与虚轴相等，一个焦点到一条渐近线的距离为，则双曲线方

程为（ B ）

A ．x 2

﹣y 2

=1 B ．x 2

﹣y 2

=2 C ．x 2

﹣y 2

=

D ．x 2﹣y 2

=

3．在平面直角坐标系中，双曲线C 过点P （1，1），且其两条渐近线的方程分别为2x+y=0和2x ﹣y=0，则双曲线C 的标准方程为（ B ）

A ．

B ．

C ．或

D ．

4.已知椭圆222a x ＋222b y ＝1（a ＞b ＞0）与双曲线2

2

a x －22

b y ＝1有相同的焦点，则椭圆的离心率为（ A ） A ．22

B ．21

C ．66

D ．36

5．已知方程﹣

=1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n 的取值范围是（ A ）

A ．（﹣1，3）

B ．（﹣1，）

C ．（0，3）

D ．（0，）

6．设双曲线

=1（0＜a ＜b ）的半焦距为c ，直线l 过（a ，0）（0，b ）两点，已知原点到直线l 的距

离为，则双曲线的离心率为（ A ）

A ．2

B ．

C ．

D ．

7．已知双曲线22219y x a

-=的两条渐近线与以椭圆22

1259y x +

=的左焦点为圆心、半径为165 的圆相切，则双曲线的离心率为（ A ）

A ．54

B ．5

3

C ．

43 D ．6

5

8．双曲线虚轴的一个端点为M ，两个焦点为F 1、F 2，∠F 1MF 2＝120°，则双曲线的离心率为( B )

9．已知双曲线

22

1(0,0)x y m n m n

-=>>的一个焦点到一条渐近线的距离是2，一个顶点到它的一条渐近线的

距离为

6

13

，则m 等于( D ) A ．9 B ．4 C ．2 D ．,3

10．已知双曲线的两个焦点为F 1(－10，0)、F 2(10，0)，M 是此双曲线上的一点，且满足

12120,||||2,MF MF MF MF ==u u u u r u u u u r u u u u r u u u u r g g 则该双曲线的方程是( A )

－y 2

＝1 B ．x 2

－y 29＝1 －y 2

7＝1

－y 2

3

＝1

11．设F 1，F 2是双曲线x 2

－y 2

24

＝1的两个焦点，P 是双曲线上的一点，且3|PF 1|＝4|PF 2|，则△PF 1F 2的面积等于( C )

A ．4 2

B ．8 3

C ．24

D ．48

12．过双曲线x 2

－y 2

＝8的左焦点F 1有一条弦PQ 在左支上，若|PQ |＝7，F 2是双曲线的右焦点，则△PF 2Q 的周长是( C )

A ．28

B ．14－8 2

C ．14＋8 2

D ．82

13．已知双曲线﹣=1（b ＞0），以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线

相交于A ，B ，C ，D 四点，四边形ABCD 的面积为2b ，则双曲线的方程为（ D ） A ．

﹣

=1 B ．

﹣

=1 C ．

﹣

=1 D ．

﹣

=1

14．设双曲线﹣=1（a ＞0，b ＞0）的左、右焦点分别为F 1，F 2，以F 2为圆心，|F 1F 2|为半径的圆与双曲

线在第一、二象限内依次交于A ，B 两点，若3|F 1B|=|F 2A|，则该双曲线的离心率是（ C ） A ． B ． C ．

D ．2

15．过双曲线12

2

2

=-y x 的右焦点作直线l 交双曲线于A 、B 两点，若|AB|=4，则这样的直线共有（ C ）条。 A ．1 B ．2 C ．3 D ．4

16．已知双曲线C ：﹣=1（a ＞0，b ＞0），以原点为圆心，b 为半径的圆与x 轴正半轴的交点恰

好是右焦点与右顶点的中点，此交点到渐近线的距离为，则双曲线方程是（ C ）

A ．﹣=1

B ．﹣=1

C ．﹣=1

D ．﹣=1

17．如图，F 1、F 2是双曲线=1（a ＞0，b ＞0）的左、右焦点，过F 1的直线l 与双曲线的左右两支分别

交于点A 、B ．若△ABF 2为等边三角形，则双曲线的离心率为（ B ） A ．4

B ．

C ．

D ．

18．如图，已知双曲线﹣=1（a ＞0，b ＞0）的左右焦点分别为F 1，F 2，|F 1F 2|=4，P 是双曲线右支上的一

点，F 2P 与y 轴交于点A ，△APF 1的内切圆在边PF 1上的切点为Q ，若|PQ|=1，则双曲线的离心率是（B ） A ．3 B ．2

C ．

D ．

19．已知点(3,0)M -，(3,0)N ，(1,0)B ，动圆C 与直线MN 切于点B ，过M 、N 与圆C 相切的两直线相交于点P ，则P 点的轨迹方程为( B )

A ．22

1(1)8y x x -

=<- B ．221(1)8y x x -=>

C ．1822=+y x （x > 0）

D ．22

1(1)10y x x -=> 20.已知椭圆1C 与双曲线2C 有共同的焦点)0,2(1-F ，)0,2(2F ，椭圆的一个短轴端点为B ，直线B F 1与双曲线的一条渐近线平行，椭圆1C 与双曲线2C 的离心率分别为21,e e ， 则21e e +取值范围为（ D ） A.),2[+∞ B. ),4[+∞ C.),4(+∞ D. ),2(+∞

21.已知双曲线的顶点与焦点分别是椭圆)

0(12

22

2

>>=+b a b

y a

x 的焦点与顶点，若双曲线的两条渐近线与椭圆

的交点构成的四边形恰为正方形，则椭圆的离心率为( D )

A ．31

B ．21

C ．33

D ．22

22.双曲线22

221(0,0)x y a b a b

-=>>过其左焦点F 1作x 轴的垂线交双曲线于A ，B 两点，若双曲线右顶点在以AB

为直径的圆内，则双曲线离心率的取值范围为( A ) A ．（2，+∞）

B ．（1，2）

C ．（

3

2

，+∞） D ．（1，

3

2

） 23.已知双曲线)0,0(122

22>>=-b a b

y a x 的右焦点F ，直线c a x 2=与其渐近线交于A ，B

两点，且△ABF 为钝角三角形，则双曲线离心率的取值范围是（ D ） A. （∞+，3） B. （1，3） C. （∞+，2）

D. （1，2）

24．我们把离心率为e ＝5＋12的双曲线x 2

a 2－y

2

b

2＝1(a >0，b >0)称为黄金双曲线．给出以下几个说法：①双曲线

x 2

－

2y

2

5＋1

＝1是黄金双曲线；

②若b 2

＝ac ，则该双曲线是黄金双曲线； ③若∠F 1B 1A 2＝90°，则该双曲线是黄金双曲线； ④若∠MON ＝90°，则该双曲线是黄金双曲线． 其中正确的是( D)

A ．①② B．①③ C ．①③④ D．①②③④ 二、填空题：

25．如图，椭圆①，②与双曲线③，④的离心率分别为e 1，e 2，e 3，e 4，其大小关系为__ ___ e 1

－y 23＝1的左顶点为A 1，右焦点为F 2，P 为双曲 线右支上一点，则PA 1u u u r ·PF 2u u u u r

的最小值为

________．－2

27．已知点P 是双曲线x 2a 2－y 2

b

2＝1上除顶点外的任意一点，F 1、F 2 分别为左、右焦点，c

为半焦距，△PF 1F 2的内切圆与F 1F 2切于点M ，则|F 1M |·|F 2M |＝__ ______. b 2

28．已知双曲线x 2a 2－y 2

b

2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1(－c,0)、 F 2(c,0)．若双

曲线上存在点P ，使sin∠PF 1F 2sin∠PF 2F 1＝a

c ，则该双曲线的离心率的取值范围是_____ (1，2＋

1)

29.已知双曲线x 2

﹣

=1的左、右焦点分别为F 1、F 2，P 为双曲线右支上一点，点Q 的坐标为（﹣2，3），则

|PQ|+|PF 1|的最小值为 ．7 三、解答题：

30．已知曲线C ：y 2λ

＋x 2

＝1.

(1) 由曲线C 上任一点E 向x 轴作垂线，垂足为F ，动点P 满足3FP EP =u u u r u u u r

，求点P 的轨迹．P 的轨迹可能是

圆吗请说明理由；

(2) 如果直线l 的斜率为2，且过点M (0，－2)，直线l 交曲线C 于A 、B 两点，又9

2

MA MB =-u u u r u u u r g ，求曲线C

的方程．

31．已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为()2,0，右顶点为(

)

3,0.

（Ⅰ）求双曲线C 的方程

（Ⅱ）若直线:2=+l y kx 与双曲线恒有两个不同的交点A 和B 且2?>u u u r u u u r

OA OB （其中O 为原点），求k 的

取值范围

32.已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为(2,0)，实轴长为2 3.

(1)求双曲线C 的方程；

(2)若直线l ：y ＝kx ＋2与双曲线C 左支交于A 、B 两点，求k 的取值范围； (3)在(2)的条件下，线段AB 的垂直平分线l 0与y 轴交于M (0，m )，求m 的取值范围．

33.已知椭圆C ：+=1（a ＞b ＞0）的离心率为，椭圆C 与y 轴交于A 、B 两点，|AB|=2．

（Ⅰ）求椭圆C 的方程；

（Ⅱ）已知点P 是椭圆C 上的动点，且直线PA ，PB 与直线x=4分别交于M 、N 两点，是否存在点P ，使得以MN 为直径的圆经过点（2，0）若存在，求出点P 的横坐标；若不存在，说明理由．

30.已知曲线C ：y 2λ

＋x 2

＝1.

(1)由曲线C 上任一点E 向x 轴作垂线，垂足为F ，动点P 满足3FP EP =u u u r u u u r

，求点P 的轨迹．P 的轨迹可能

是圆吗请说明理由； (2)如果直线l 的斜率为2，且过点M (0，－2)，直线l 交曲线C 于A 、B 两点，又

9

2

MA MB =-u u u r u u u r g ，求曲线C 的方程．

解：(1)设E(x 0，y 0)，P(x ，y)，则F(x 0,0)，∵3,FP EP =u u u r u u u r

，

∴(x－x 0，y)＝3(x －x 0，y －y 0)．∴00,2.3x x y y =??

?=??

代入y 2

0λ＋x 20＝1中，得4y 2

9λ＋x 2

＝1为P 点的轨迹方程．当λ＝49时，轨迹是圆．

(2)由题设知直线l 的方程为y ＝2x －2，设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，

联立方程组222,

2 1.y x y x λ

?=-??+=??消去y 得：(λ＋2)x 2

－42x ＋4－λ＝0.

∵方程组有两解，∴λ＋2≠0且Δ>0， ∴λ>2或λ<0且λ≠－2，x 1·x 2＝4－λ

λ＋2

，

而MA MB u u u r u u u r g ＝x 1x 2＋(y 1＋2)·(y 2＋2)＝x 1x 2＋2x 1·2x 2＝3x 1x 2＝3(4－λ)λ＋2

，

∴4－λλ＋2＝－32，解得λ＝－14.∴曲线C 的方程是x 2－y 2

14

＝1. 31．(本题满分12分) 已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为()2,0

，右顶点为)

.

（Ⅰ）求双曲线C 的方程

（Ⅱ）若直线:=l y kx A 和B 且2?>u u u r u u u r

OA OB （其中O 为原点），求k 的

取值范围

解（1）设双曲线方程为22221-=x y a b

由已知得2==a c ，再由222

2+=a b ，得21=b

故双曲线C 的方程为2

213

-=x y . （2

）将=y kx 2

213

-=x y

得22(13)90---=k x 由直线l

与双曲线交与不同的两点得()

22

22

13036(13)36(1)0

?-≠?

?

?=+-=->??

k k

即2

13

≠

k 且2

1

22

9

,1313-+==--A B A B x y x y k k ，由2?>u u u r u u u r OA OB 得2+>A B A B x x y y ，

而2

((1)()2+=+=+++A B A B A B A b A B A B x x y y x x kx kx k x x x x

22

222937

(1)2131331

-+=++=---k k k k k k .

于是2237231+>-k k ，即22

39031-+>-k k 解此不等式得2

1 3.3

<

21

13

<

故的取值范围为(1,?-????U

32. 已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为(2,0)，实轴长为2 3.

(1)求双曲线C 的方程；

(2)若直线l ：y ＝kx ＋2与双曲线C 左支交于A 、B 两点，求k 的取值范围； (3)在(2)的条件下，线段AB 的垂直平分线l 0与y 轴交于M (0，m )，求m 的取值范围．

解：(1)设双曲线C 的方程为x 2a 2－y 2

b

2＝1(a >0，b >0)．

由已知得：a ＝3，c ＝2，再由a 2

＋b 2

＝c 2

，∴b 2

＝1， ∴双曲线C 的方程为x 2

3

－y 2

＝1.

(2)设A (x A ，y A )、B (x B ，y B )，将y ＝kx ＋2代入x 2

3－y 2

＝1，

得：(1－3k 2

)x 2

－62kx －9＝0.

由题意知?????

1－3k 2

≠0，

Δ＝361－k 2

>0，x A ＋x B ＝62k 1－3k 2

<0，

x A x B ＝－91－3k 2

>0，

解得

3

3

3

3

1－3k

2，

∴y A ＋y B ＝(kx A ＋2)＋(kx B ＋2)＝k (x A ＋x B )＋22＝22

1－3k 2.

∴AB 的中点P 的坐标为?

??

??32k 1－3k 2，21－3k 2. 设直线l 0的方程为：y ＝－1

k

x ＋m ，

将P 点坐标代入直线l 0的方程，得m ＝42

1－3k 2.

∵

33

<0.∴m <－2 2.∴m 的取值范围为(－∞，－22)． 33.已知椭圆C ：+=1（a ＞b ＞0）的离心率为，椭圆C 与y 轴交于A 、B 两点，|AB|=2．

（Ⅰ）求椭圆C 的方程；

（Ⅱ）已知点P是椭圆C上的动点，且直线PA，PB与直线x=4分别交于M、N两点，是否存在点P，使得以MN 为直径的圆经过点（2，0）若存在，求出点P的横坐标；若不存在，说明理由．

【解答】解：（Ⅰ）由题意可得e==，2b=2，即b=1，

又a2﹣c2=1，解得a=2，c=，即有椭圆的方程为+y2=1；

（Ⅱ）设P（m，n），可得+n2=1，即有n2=1﹣，

由题意可得A（0，1），B（0，﹣1），设M（4，s），N（4，t），

由P，A，M共线可得，k PA=k MA，即为=，

可得s=1+，

由P，B，N共线可得，k PB=k NB，即为=，可得s=﹣1．

假设存在点P，使得以MN为直径的圆经过点Q（2，0）．

可得QM⊥QN，即有?=﹣1，即st=﹣4．

即有[1+][﹣1]=﹣4，

化为﹣4m2=16n2﹣（4﹣m）2=16﹣4m2﹣（4﹣m）2，

解得m=0或8，

由P，A，B不重合，以及|m|＜2，可得P不存在．