高等数学第七版课后练习题
1、已知函数2,02
()2,24x f x x ≤≤?=?-<≤?
，试求函数g()(2)(5)x f x f x =+-的定义域。
2、设函数()y f x =的定义域是[]0,8，试求3
()f x 的定义域。
3、已知函数[]()12f x 的定义域，，试求下列函数的定义域。
(1)(1)f x + (2)()(0)f ax a ≠ (3)(sin )f x (4)(sin 1)f x +
4、要使下列式子有意义，函数()f x 应满足什么条件？
1
(1)()
y f x =
(2)y = (3)log ()(0a 1)a y f x a =>≠且 (4)arccos ()y f x =
5、求下列函数的定义域。
22(1)16x y x =
+- 2
(2)arcsin
3x y -= (3)y =+ 6、在下列各对函数中，哪对函数是相同的函数。
211(1)()ln ;()2ln f x x g x x ==g 2222(2)()1;()sin cos f x g x x x ==+
33(2)(3)
(3)()3;()2
x x f x x g x x -+=+=
- 44(4)()()1f x g x x ==-
7、设函数()2,()55x
f x
g x x ==+，求1(1),(),(()),(())f x g f g x g f x x x
+-的表达式。
8、设2
()23,()45f x x g x x =+=-，求(()),(()),(())f g x g f x f f x 的表达式。 9、设2
2
11
(),()f x x f x x
x +=+
求。 10、设(1)(1),()f x x x f x -=-求。
11、下列函数中，那哪些是奇函数，哪些是偶函数？哪些是非奇非偶函数。
(1)()sin f x x x =g (2)()sin f x x tgx =+ (3)()f x =
(4)()ln(f x x = 2(5)()f x x x =-
12、判断下列函数的奇偶性。
3(1)()f x x x =+ (2)()cos f x x x =? (3)()(0)tgx
f x x x
=
≠
(4)()ln(f x x x =-
13、求下列函数的周期。
(1)sin 3y x = 1(2)()24
y tg x π
=+
14、下列函数能够复合成一个函数。
2(1)(),()sin y f u u u g x x ====
(2)()(0,1),()ln u y f u a a a u g x x ==>≠==
12
(3)()()log (1)y f u u g x x x ====>
2(4)()ln ,()y f u u u g x x ====-
15、函数1
3
ln sin y y x
==，由哪些较简单的函数复合而成。
16、设()1x
f x e =+，函数2(2)()1
x x x φ+=+，求1(())f x φ-。
17、下列函数的极限。
2(1))(3)lim n n n →∞
+ (2)n →∞
12...(3)lim()22n n n n →∞+++-+ 22212(4)lim(...)n n n n n
→∞+++ 18、求下列函数的极限。
4438100(1)lim 531n n n n n →∞+-++ 23310(2)lim 52n n n n n
→∞-+
(3)n 2
(4)n
19、求下列函数的极限。
2
0(1)lim(1)n x x →++ 1ln (2)lim n x x → 224(3)lim 2n x x →-- 211lim 1
n x x →--
20、求下列极限。
0(1)lim
sin n x x → 0sin (2)lim (sin n x x →αα,β≠0)β 0(3)lim n tgx x → 0sin (4)lim 2
n x
x
tg →
21、求下列函数的极限。
1(1)lim(1)2x n x →∞+ 2(2)lim(1)x n x →∞- 1
30(3)lim(12)x n x →+ 32(4)lim()1x
n x x
→∞++
22、求下列函数的极限
31
13(1)lim(
)11n x x →--- 2214
(2)lim()24
n x x →---
23、求下列函数的极限。
2
1,0
(1)()1,0
x x f x x x +≤?=?->?设，求10
lim (),lim ()x x f x f x →→ 2,2(2)()2,22,2x x f x x x x -≤??
==??->?
设，求20
lim (),lim ()x x f x f x →→
232,0(3)()21,013(1),1x x f x x x x x -
=+≤
设，求012
lim (),lim (),lim ()x x x f x f x f x →→→
24、当0x →时，证明：113
3
(1)sin x x x +→
x → 25、下列函数在指定点是否连续？为什么？
20(1)()1,0f x x x =+=在点。
2
1sin ,0(2)()0x x f x x
?≠?=???g
，x=0
，在00x =点。 ,01(3)()42,1313,3x x f x x x x x ≤≤??
=-<
，在01,3x =两点。
26、求下列函数的不连续点。
2(1)(1)x y x =
+ sin (2)x y x = 21
(3)1
x y x -=- 11
1(4)1x
x
e y e +=- 27、证明方程3
10,01x x +-=在开区间（，
）内有实根 第2章和第3章 一元函数微分学
1、用导数定义求函数2
1y x =-在点x 0 处的导数。
2、求曲线3
y x x =+上过点（1，2）的切线方程和法线方程。 3、求曲线ln y x =的一点（x,y ），使过该点的直线与直线y=3x 平行。 4、设函数()y f x =在点0x 处可导，导数的0'()f x ，试求下列极限。
000()()(1)lim
x f x f x x x →--V V 000()()
(2)lim 2x f x x f x x x
→+--V V V
000(2)()(3)lim
x f x x f x x →+-V V 000()()
(4)lim x f x a x f x b x x →+--V V V 5、讨论下列函数在指定点处的可到性。
(1)()1,1f x x x =-= 3
1,0
(2)(),03,0x x f x x x x ?≥?==??
6、讨论函数1sin ,0()0,0
x x f x x
x ?
≠?
=??=?g 在x=0处的连续性，可导性。 7、求下列函数的导数。
(1)ln sin a x y x a x x =-+- 1
(2)1
x y x +=
- 1ln (3)1ln x
y x -=
+
(4)1)y = 8、求下列函数的导数。
(1)y = 221
(2)2sin y x
=g
(3)ln(y x = 1(4)y arctg x =
2(5)y =
(6)ln a bx
y a bx +=- 22(2)(7)(1)x x y x +=+
(8)y =9、试求下列函数的导数
dy
dx
，其中f 都可导。 (1)(sin )y f x = (2)()x y f a -= 2(3)arccos ()y f x =
10、求下列函数的导数。sin (1)x
y x = 1(2)(1)x
y x =+
11、求下列函数的导数
dy dx
。 22(1)1x y xy ++=
(2)y
arctg
x
= (3)y x x y = 12、求下列函数的高阶导数()y n 。
(1)x y x e =g 1(2)ln
1x
y x -=+ (3)sin y x = (4)n x
y x e =+ 2
1(5)1y x =-
13、已知下列参数方程。 4
(1)4x t
y t
?=?
=?
1()2(2)1()2a x t t b y t t ?=+????=-??
14、求函数2
y x =在2,0.02x x ==V ,时的增量与微分。 15、求下列函数的微分
sin 2(1)3x y = 2(2)ln()y x tgx =+ 1
(3)()y f arcctg x
= 3(4)cos y x x =g
16、利用微分，计算下列各数的近似值。
(1)sin1o 0.05(2)e (3)ln(10.01)+
0(5)2tg
17、求下列近似值
(1)cos 61o
(3) 1.02arctg
18、一个正方形的棱长x=10m, 如果棱长增加，求正方形体积增量的精确值和近似值。 19、下列函数在所给区间上是否满足罗尔定理的条件？为什么？
2
2
ln ,(1)()1,x e x e
f x x e
?≤≤?=?=?? [](2)(),1,1f x x =- []2(3)(),0,2f x x = 20、验证下列函数在所给区间上满足罗尔定理的条件，并求出罗尔定理结论中的ε。
57(1)ln cos ,,33y x ππ??
=????
(2)y =
21、验证下列函数在所给区间上满足拉格朗日中值定理，并求出定理结论的ε。
[]3(1)()2,0,2f x x = [](2)()ln ,1,f x x e =
22
、试对函数[]2
(),()1f x x g x ==，4上写出柯西公式，并求出ε。
23、求下列函数的极限。
0(1)lim (,0)x x
x a b a b x →-> 1
(2)lim arctan 2x x
x π→+∞- 332132
(3)lim 1
x x x x x x →-+--+ 03(4)lim sin x x cosx x x →-g ln (5)lim (0)a x x a x
→+∞> ln(1)(6)lim x x e x →+∞+
24、讨论函数在所给区间上的单调性。
1
(1)(),(1,1)2
x x y e e -=-- 32(2)2,(3,2)y x x =+-- (3),)y -∞+∞
25、证明下列不等式
(1)e 1;x
x >+当x>0时， 2
20ln(1);2
x x x x x >-<+<（）当时，
26、求下列函数在所给区间上的极值。
32(1)()2618,(,)f x x x x =---∞+∞
[]2
4
(2)()2,3,4(2)f x x x =--
-+
2
2
(3)(),(,)x f x x e
-=-∞+∞g
27、求下列函数在所给区间上的最大值和最小值。
[]543(1)()551,1,2f x x x x =-++-
[]1
(2)(),0,41
x f x x -=
+ (3)()sin 2,,22f x x x ππ??
=--????
28、讨论下列函数在所给区间的凸性，并求其拐点。
3(1)3,(,)y x x =--∞+∞ (2)(,)y x =--∞+∞
第4章 不定积分
1、设()f x 的一个原函数是sinx ，求'()f x dx ?
2、求函数()f x ，使
2
()sin arccos x
f x dx x x e
x c =++?g
3、已知某曲线()y f x =，在任一点(,())x f x 处的切线斜率为1
12
x +，且曲线通过点(1,2)，求此曲线方程。
4、求下列不定积分。
4
3
(1)x dx ?
(2)
22(3)1)(x x dx -? 3
2
2cos 1(4)cos x dx x
-?g (5)(x e dx +
?
2(6)(sin cos )22
x x
dx -?
5、求下列不定积分
(1)sin 2xdx ? (2)(0)ax e dx a ≠?
(3)
2
(4)49dx
x +?
(5)? (6)ln dx
x x
?
g cos (7)sin x x e dx ?g 2
arctan (8)1x
dx x
+?
(9)
(10)e ?
tan (11)ln cos x
dx x
?
6、求下列不定积分。
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)(0)a >
(7)
7、求下列不定积分
2(1)x x e dx ?g (2)x arctgxdx ?g (3)ln xdx ? 2(4)cos x xdx ?g
(5)arccos xdx ? (6)cos x e xdx -?g
3(7)csc xdx ?
2(8)(2)x x x e dx +?g
(9)?
3
(10)csc ctg x xdx ?
(11)x
8、设2
0()cos ,'()3x
G x tdt G π
=
?求
9、求下列函数的导数。
1
(1)()G '()x
G x x =?
求
2
2
(2)(),''()1x dt
G x G x t
=-?
求 2
2
2
11(3)()sin 2,G'()x t x G x e tdt x +--=?
g 求
10、计算下列定积分
2
(1)?
ln 0
(2)?
15(3)?
4
(4)?
3
2
0(5)cos sin x xdx π
?g
1
(6)?
1
(7)?
1
(8)ln(1)e x dx -+?
3
24
(9)sin x
dx x
π
π? 11、求下列定积分
22
1
,0
(1)(),()3,0
x x f x dx f x x x -?≤=?
>??
2
(2)1x dx -?
12、求下列函数的极限。
223
sin (1)lim
x
x t dt x
→?
(2)0
2
()(2)lim
2x
t t x a b dt x
→-?
(,0)a b >
13求曲线1
,,2y y x y x
=
==，所围成图形的面积。 14、求曲线cos y x =在[]0,2π内与x 轴，y 轴及直线2x π=所围圆形面积。 15、求曲线2
2
,y x x y ==，所围图形面积及此图形绕y 轴旋转所的立体的体积。
16、求曲线0x y e y -==与之间位于第一象限内的平面图形面积及绕x 轴旋转所得立体体积。
第五章、定积分
1、利用定积分的几何意义，证明下列等式： （1）、