华东理工大学概率论答案-4,5,6

华东理工大学

概率论与数理统计

作业簿（第二册）

学 院 ____________专 业 ____________班 级 ____________ 学 号 ____________姓 名 ____________任课教师____________

第四次作业

一． 填空题：

1．设事件A,B 相互独立，且5.0)(,2.0)(==B P A P ，则)(B A B P ∪＝ 4/9

2． 设A 、B 、C 两两独立，且ABC=Φ， P(A)=P(B)=P(C)<

21, 16

9)(=∪∪C B A P 则P(C)= 0.25

3. 已知事件A,B 的概率()0.4,()0.6P A P B ==且()0.8P A B ∪=，则(|)P A B =

13，(|)P B A =1

2

。 4. 已知()0.3,()0.5P A P B ==，(|)0.4P A B =，则()P AB = 0.2，()P A B ∪= 0.6，

(|)P B A =

2

3

。

二． 选择题：

1. 设袋中有a 只黑球，b 只白球，每次从中取出一球，取后不放回，从中取两次，则第二次取出黑球的概率为（ A ）；若已知第一次取到的球为黑球，那么第二次取到的球仍为黑球的概率为（ B ）

A．)(b a a + B．11?+?b a a C． )1)(()

1(?++?b a b a a a D．2

2)(b a a +

2．已知()0.7,()0.6,()0.6,P A P B P B A ===则下列结论正确的为（ B ）。

A ．A

B 与互不相容； B ．A B 与独立；

C ．A B ?；

D ．()0.4P B A =.

3．对于任意两事件A 和B ，则下列结论正确的是（ C ）

A．一定不独立，，则若B A AB ?=； B．一定独立，，则若B A AB ?≠； C．有可能独立，，则若B A AB ?≠； D．一定独立，，则若B A AB ?= 4．设事件,,,A B C D 相互独立，则下列事件对中不相互独立的是（ C ）

)(A A 与BC D ∪； )(B AC D ∪与BC ； )(C BC 与A D ?； )(D C A ?与BD .

三． 计算题：

1．设有2台机床加工同样的零件，第一台机床出废品的概率为0.03，第二台机床出废品的概率为0.06，加工出来的零件混放在一起，并且已知第一台机床加工的零件比第二台机床多一倍。 （1） 求任取一个零件是废品的概率

（2） 若任取的一个零件经检查后发现是废品，则它是第二台机床加工的

概率。 解：(1)设B ={取出的零件是废品}，1A ={零件是第一台机床生产的}， 2A ={零件是第二台机床生产的}，则1221(),()33

P A P A ==, 由全概率公式得：

112221()(|)()(|)()0.030.060.0433

P B P B A P A P B A P A =+=×+×= (2)222(|)()0.02

(|)0.5()0.04

P B A P A P A B P B ===

2．某工厂的车床、钻床、磨床、刨床的台数之比为 1:2:3:9，它们在一定时间内需要修理的概率之比为 1:3:2:1，当一台机床需要修理时，求这台机床是车床的概率。

解：设1234,,,A A A A 分别表示车床、钻床、磨床、刨床,而B 表示“机床需要修理”,利用贝

叶斯公式,得

1114

1

()()

179159

(|)17352715372151711522

(|)()

i

i

i P A B P A P A B P B A P A =×=

=

=×+×+×+×∑

3．三个元件串联的电路中，每个元件发生断电的概率依次为0.1，0.2，0.5，且各元件是否断电相互独立，求电路断电的概率是多少?

解：设321A A A ,,分别表示第1，2，3个元件断电，A 表示电路断电， 则321A A A ,,相互独立，321A A A A ++=，

4．有甲、乙、丙三个盒子，其中分别有一个白球和两个黑球、一个黑球和两个白球、三个白球和三个黑球。掷一枚骰子，若出现1，2，3点则选甲盒，若出现4点则选乙盒，否则选丙盒。然后从所选的中盒子中任取一球。求： （1）取出的球是白球的概率；

（2）当取出的球为白球时，此球来自甲盒的概率。

解： 设A={选中的为甲盒}， B={选中的为乙盒}， C={选中的为丙盒}，

D={取出一球为白球}，则 312

(),(),()666P A P B P C ===

123

(|),(|),(|)336P D A P D B P D C ===

3112234

()6363669P D =×+×+×=

31363(|)489P A D ×==

第五次作业

一．填空题：

1．某班级12名女生毕业后第一年的平均月薪分别为

18002000 3300185015002900 4100

3000

5000

2300

3000

2500

则样本均值为2770.8 ，样本中位数为2700 ，众数为3000 ，极差为 3500 ，

样本方差为1039299

2．设随机变量ξ的分布函数为()F x ，则

{}P a ξ≥=1(0)F a ??，

{}P a ξ==()(0)F a F a ??

64

0501201101111321321321.).)(.)(.()()()()()()(=????=?=++?=++=A P A P A P A A A P A A A P A P

20,0(),

011,1

x F x Ax x x ≤??=<≤??>?

则常数A 的范围为 [0,1]，{0.50.8}P ξ≤≤=_0.39A ____

二. 选择题：

1. 描述样本数据“中心”的统计量有（A,B,C ），描述样本数据“离散程度”的统计量有（D,E ）

A ．样本均值 B. 中位数 C. 众数 D. 极差 E. 样本方差 2. 下列表述为错误的有（C ）

A ．分布函数一定是有界函数 B. 分布函数一定是单调函数

C ．分布函数一定是连续函数 D. 不同的随机变量也可能有相同的分布函数 3.下列函数中，可作为某一随机变量的分布函数是（ A ）

（A ）x x F arctan 121)(π+= （B ） 1(1),0

()20,0x

e x F x x ???>?=??≤?

（C ）21

()1F x x

=+ （D ） ()()x F x f t dt ?∞=∫，其中()1f t dt +∞?∞=∫

4．设概率β≥>)(1x X P ，α≥≤)(2x X P ，且21x x <，则)(21x X x P ≤< （ C ）

)(A 1?+≤βα； )(B )(1βα+?≤；

)(C 1?+≥βα； )(D )(1βα+?≥。

三. 计算题：

1. 利用EXCEL 的数据分析工具验算填空题1. 的计算结果，

并把样本数据分为四组画出频率直方图（本题可选做）

6

6331100

,

,,

,,12131410)(≥<≤<≤<≤ξP ，)1(≥ξP

解：由公式()()(0)P x F x F x ξ==??,得

1

(3)(30)3P F ξ<=?=,

1

(3)(3)2

P F ξ≤==,

12

(1)1(1)133P F ξ>=?=?=,

13

(1)1(10)144

P F ξ≥=??=?=

3．已知随机变量ξ只能取-2，0，2，4四个值，概率依次为,,,,2643c

c c c 求常数c ，

并计算(1|1)P ξξ<>?

解：利用规范性，有.12546

43=?=+++c c c c c

因此,)(,)(,)(,)(1524512154052

2=======?=ξξξξP P P P

{(1)(1)}(0)

4(1|1)=

=(1)(0)(2)(4)9

P P P P P P P ξξξξξξξξξ>?<=<>?=>?=+=+=I .

第六次作业

一. 填空题：

1. 若随机变量~[1,6]U ξ,则方程210x x ξ++=有实根的概率为0.8

2. 设随机变量X 的概率密度为??

?≤≤=其它

10)(2

x Ax x f , 则A =__3__

3. 设离散型随机变量ξ的分布函数为

??

?

??≥<≤??<=0

10107

0100x x x x F .)(

则ξ的分布律为7.0)10(=?=ξP ,3.0)0(==ξP 4. 设连续型随机变量X 的概率密度函数为

(0,1)()0,(0,1)x f x x ∈=???

则分布函数3/20,0

(),011,1x F x x x x

=≤

二. 选择题：

1．在下列函数中，可以作为随机变量的概率密度函数的是（A ） A. 2,01

()0,x x f x <

B ．2

,01()0

,

x x f x ?<<=?

?其他

C ．cos ,0()0,x x f x π

≤≤?=??其他

D ．2,0

()0

,0x e x f x x ??>=?≤?

2．下列表述中不正确有（A ，D ）

A ．()F x 为离散型随机变量的分布函数的充要条件是()F x 为阶梯型函数

B ． 连续型随机变量的分布函数一定是连续函数

C ． 连续型随机变量取任一单点值的概率为零

D ． 密度函数就是分布函数的导数 三. 计算题 1. （柯西分布）设连续随机变量ξ的分布函数为

x B A x F arctan )(+= +∞<<∞?x 求：（1）系数A 及B ；

(2) 随机变量ξ落在区间)1,1(?内的概率；

（3）随机变量ξ的概率密度。 解: (1) 按照分布函数的定义,有

()lim arctan 0,

2

()lim arctan 1,

2

x x F A B x A B F A B x A B π

π

→?∞

→+∞

?∞=+=?

=+∞=+=+

=

得11,2

A B π=

=.

(2) 1

(11)(11)(1)(1)2

P P F F ξξ?<<=?<≤=??=

. (3) 2

111()()arctan ,2(1)p x F x x x x ππ′??

′==+=?∞<<+∞??+??

2．学生完成一道作业的时间Χ是一个随机变量，单位为小时，它的密度函数为

其他

5

.000

)(2≤≤??

?+=x x

cx x p

（1） 确定常数c ；

（2） 写出Χ的分布函数；

（3） 试求在20min 内完成一道作业的概率； （4） 试求10min 以上完成一道作业的概率。 解:

(1)利用规范性,有

0.5

20

1

1()()21248

c p x dx cx x dx c +∞

?∞

==+=

+?=∫

∫. (2)当0x <时,()()00x

x F x p t dt dt ?∞

?∞

=

==∫

∫,

当00.5x ≤<时,23201()()(21)72

x

x

F x p t dt t t dt x x ?∞

==+=+

∫

∫, 当0.5x ≥时,0.520

()()(21)1x

F x p t dt t t dt ?∞

==+=∫

∫,

综上所述,

320, 0,1()7, 00.5,21, 0.5.

x F x x x x x

=+≤

(3)1117

0()(0)3354

P F F ξ??<≤

=?=????. (4)12216111031031()((21)66108108

P F or x x dx ξ??>

=?=+=???

?∫

3. 袋内有5个黑球3个白球,每次抽取一个不放回,直到取得黑球为至。记Y 为抽取次数，求Y 的概率分布及至少抽取3次的概率。

解： (1) Y 的可能取值为1，2，3，4 P(Y=1)=5/8，

P(Y=2)=3/8×5/7=15/56，

P(Y=3)= 3/8×2/7×5/6=5/56， P(Y=4)= 3/8×2/7×1/6=1/56。 所以Y 的概率分布为

(2) P(Y ≥4. 某种灯具的寿命ξ具有概率密度：

210

,10()0,10

x f x x x ?>?=??≤?

任取三只这种灯具，问150小时内，三只灯具全部完好的概率是多少？又问150

小时内，至少有两只损坏的概率又是多少？

解： 设p 表示150小时内，一只灯具完好的概率，η 表示损坏灯具的个数，

150

150

210

10101014{150}d 15

p P x x x ξ=<==?=∫

3

1{0}0.000315P η??

==≈????

2

3

2314114{2}0.987151515P C η????

≥=?+≈????????