2019年考研数学(二)真题及解析

2019年考研数学二真题

一、选择题 1—8小题．每小题4分，共32分．

1．当0x →时，若tan x x -与k x 是同阶无穷小，则k =（ ） （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 2．曲线3sin 2cos ()2

2

y x x x x π

π

=+-

<<

的拐点是（ ） （A ）(0,2) （B ）(,2)π- （C ）(,)22ππ

-

（D ）33(,)22

ππ

- 3．下列反常积分发散的是 （ ） （A ）

x xe dx +∞

-?

（B ）2

x xe dx +∞

-?

(C ）20

arctan 1x dx x +∞

+?

（D ）201x

dx x

+∞+? 4．已知微分方程x

y ay by ce '''++=的通解为12()x x

y C C x e e -=++，则,,a b c 依次为（ ）

（A ）1,0,1 （B ）1,0,2 (C ）2,1,3 （D ）2,1,4

5．已知平面区域{(,)|}2

D x y x y π

=+≤

，记1D

I =，2D

I =??，

3(1D

I dxdy =-?? ，则 （ ）

（A ）321I I I << （B ）213I I I << （C ）123I I I << （D ）231I I I << 6．设函数(),()f x g x 的二阶导函数在x a =处连续，则2

()()

lim

0()

x a

f x

g x x a →-=-是两条曲线()y f x =，()y g x =在x a =对应的点处相切及曲率相等的 （ ）

（A ）充分不必要条件 （B ）充分必要条件 （C ）必要不充分条件 （D ）既不充分也不必要条件 7． 设A 是四阶矩阵，*A 为其伴随矩阵，若线性方程组0Ax =的基础解系中只有两个向量，则(*)r A =（ ）

（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3

8．设A 是三阶实对称矩阵，E 是三阶单位矩阵，若2

2A A E +=，且4A =，则二次型T x Ax 的规范形是 （ ）

（A ）222123y y y ++ （B ）222123y y y +- （C ）222123y y y -- （D ）222

123y y y ---

二、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上） 9．(

)

20

lim 2

x

x

x x →+= ．

10．曲线sin 1cos x t t y t =-??=-?在32t π

=对应点处的切线在y 的截距为 ．

11.设函数()f u 可导，2y z yf x ??= ?

??

，则2z z

x y x y ??+=?? . 12．曲线ln cos (0)6

y x x π

=≤≤

的弧长为 ．

13．已知函数2

1

sin ()x

t f x x

dt t

=?

，则10()f x dx =? ．

14．已知矩阵1100211132210034A -??

?-- ?= ?-- ???

，ij A 表示元素ij a 的代数余子式，则1112A A -= ．

三、解答题

15．（本题满分10分）已知函数2,0()1,0

x

x x

x f x xe x ?>?=?+≤??，求()f x '，并求函数()f x 的极值．

16．（本题满分10分）求不定积分

2236

(1)(1)x dx x x x +-++?．

17．（本题满分10分）设函数()y x

是微分方程2

2

x y xy e '-=

满足条件(1)y =的特解．

（1）求()y x 的表达式；

（2）设平面区域{(,)|12,0()}D x y x y y x =≤≤≤≤，求D 绕x 轴旋转一周所形成的旋转体的体积． 18．（本题满分10分）设平面区域2

23

4

{(,)|,()}D x y x y x y y =≤+≤，

计算二重积分

D

．

19．（本题满分10分）设n 是正整数，记n S 为曲线求曲线sin (0)x

y e x x n π-=≤≤与x 轴所形成图形的

面积，求n S ，并求lim .n n S →∞

20．（本题满分11分）已知函数(,)u x y 满足关系式2222223

0u u u

x y y ???-+=???．求,a b 的值，使得在变换(,)(,)ax by u x y v x y e +=之下，上述等式可化为函数(,)v x y 的不含一阶偏导数的等式．

21．（本题满分11分）

已知函数()f x 在[]

0,1上具有二阶导数，且(0)0,(1)1f f ==，

1

()1f x dx =?

，证明：

（1）至少存在一点(0,1)ξ∈，使得()0f ξ'=； （2）至少存在一点(0,1)η∈，使得()2f η''<-．． 22．（本题满分11分）

已知向量组Ⅰ：12321111,0,2443a ααα??????

? ? ?

=== ? ? ? ? ? ?+??????

；

向量组Ⅱ：12321011,2,3313a a a βββ?????? ? ? ?

=== ? ? ? ? ? ?+-+??????

．若向量组Ⅰ和向量组Ⅱ等价，求常数a 的值，并将

3β用123,,ααα线性表示．

23．（本题满分11分）已知矩阵22122002A x -?? ?=- ? ?

-??

与21001000B y ??

?

=- ? ???相似．

（1）求,x y 之值；（2）求可逆矩阵P ，使得1

P AP B -=．

2019年考研数学二真题解析

一、选择题 1—8小题．每小题4分，共32分．

1．当0x →时，若tan x x -与k x 是同阶无穷小，则k =（ ）

（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4

【答案】（C ）

【详解】当0x →时，331tan ()3x x x o x =++，所以331

tan ()3x x x o x -=-+，所以3k =． 2．曲线3sin 2cos ()22

y x x x x ππ

=+-<<的拐点是（ ）

（A ）(0,2) （B ）(,2)π- （C ）(,)22ππ- （D ）33(,)22

ππ

-

【答案】（D ）

【详解】sin 2cos y x x x =+，cos sin y x x x '=-，sin y x x ''=-，sin cos y x x x '''=--； 令sin 0y x x ''=-=得120,x x π==，且()0f π'''≠，所以(,2)π-是曲线的拐点； 而对于点(0,0)，由于(0)0f '''=，而(4)

(0)0f

≠，所以不是曲线的拐点．

3．下列反常积分发散的是 （ ）

（A ）

x xe dx +∞

-?

（B ）2

x xe dx +∞

-?

(C ）20

arctan 1x dx x +∞

+?

（D ）201x

dx x

+∞+?

【答案】（D ）

【详解】（1）当x →+∞时，2()1x f x x =+是关于1x

的一阶无穷小，当然201x dx x +∞+?发散； （2）用定义：

2020

1ln(1)|12x dx x x +∞

+∞

=+=+∞+?

，当然201x dx x

+∞+?发散． 4．已知微分方程x

y ay by ce '''++=的通解为12()x

x y C C x e

e -=++，则,,a b c 依次为（ ）

（A ）1,0,1 （B ）1,0,2 (C ）2,1,3 （D ）2,1,4 【答案】（D ）

【详解】（1）由非齐次线性方程的通解可看出121r r ==-是特征方程20r ar b ++=的实根，从而确定

2,1a b ==；

（2）显然，*x

y e =是非齐次方程的特解，代入原方程确定4c =．

5．已知平面区域{(,)|}2

D x y x y π

=+≤

，记1D

I =，2D

I =??，

3(1D

I dxdy =-?? ，则 （ ）

（A ）321I I I << （B ）213I I I << （C ）123I I I << （D ）231I I I << 【答案】（A ）

【详解】（1）显然在区域D 2

2

2

02x y π??

≤+≤ ???

，此时由结论当0x >时sin x x >知道

≤12I I >；

（2）当0x >时，令()1cos sin f x x x =--，则()sin cos f x x x '=-，()sin cos f x x x ''=+； 令()0f x '=得到在(0,

)2

π

唯一驻点4

x π

=

，且04f π??

''>

???

，也就是()1cos sin f x x x =--在4x π=取得极小值04f π??

<

?

??

，在0,2x x π==同时取得在[0,]2π上的最大值(0)()02f f π==，也就有了结论，当(0,)2

x π

∈时，1cos sin x x -<，也就得到了32I I <；

由（1）、（2）可得到321I I I <<．

6．设函数(),()f x g x 的二阶导函数在x a =处连续，则2

()()

lim

0()x a

f x

g x x a →-=-是两条曲线()y f x =，

()y g x =在x a =对应的点处相切及曲率相等的 （ ）

（A ）充分不必要条件 （B ）充分必要条件 （C ）必要不充分条件 （D ）既不充分也不必要条件 【答案】（A ） 【详解】充分性：（1）当2

()()

lim

0()x a

f x

g x x a →-=-进，由洛必达法则，

2()()1()()1

0lim

lim (()())()()()22

x a

x a f x g x f x g x f a g a f a g a x a x a →→''--''''===-?=-- 也就是两条曲线在x a =对应的点处相切； （2）2()()1()()10lim

lim (()())()()()22

x a

x a f x g x f x g x f a g a f a g a x a x a →→''--''''''''===-?=--

由曲率公式k =

x a =对应的点处曲率相等．

必要性不正确的原因在于，虽然相切能得到()()f a g a ''=，但在相切前提下，曲率相等，只能得到

()()f a g a ''''=，不能确定()()f a g a ''''=，当然得不到2

()()

lim

0()x a

f x

g x x a →-=-．

7． 设A 是四阶矩阵，*A 为其伴随矩阵，若线性方程组0Ax =的基础解系中只有两个向量，则(*)r A =（ ）

（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3

【答案】（A ）

【详解】线性方程组0Ax =基础解系中只有两个向量，也就是4()2()213r A r A n -=?=<-=， 所以(*)0r A =．

8．设A 是三阶实对称矩阵，E 是三阶单位矩阵，若2

2A A E +=，且4A =，则二次型T x Ax 的规范形是 （ ）

（A ）222123y y y ++ （B ）222123y y y +- （C ）222123y y y -- （D ）222123y y y ---

【答案】（C ）

【详解】假设λ是矩阵A 的特征值，由条件2

2A A E +=可得2

20λλ+-=，也就是矩阵A 特征值只可

能是1和2-．而1234A λλλ==，所以三个特征值只能是1231,2λλλ===-，根据惯性定理，二次型的

规范型为222

123y y y --．

二、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上） 9．(

)

20

lim 2

x

x

x x →+= ．

【答案】24e

解： (

)()02(21)22lim

2(1ln 2)20

lim 2

lim 1214x x x x x x x

x

x x x x e

e e →+-+→→+=++-===

10．曲线sin 1cos x t t y t =-??

=-?

在32t π

=对应点处的切线在y 的截距为 ．

【答案】322

π

+ 【详解】

32sin ,|11cos t dy t dy dx t dx π===--，所以切线方程为331(1)222

y x x ππ=---=-++，在y 的截距为322

π+

． 11.设函数()f u 可导，2y z yf x ??= ?

??，则2z z

x y x y ??+=?? . 【答案】22z z

y x y yf x y x ????+= ?????

【详解】3222222,z y y z y y y f f f x x x y x x x ????????''=-=+ ? ? ?????????，22z z y x y yf x y x ????+= ?????

．

12．曲线ln cos (0)6

y x x π

=≤≤的弧长为 ．

【答案】

1ln 32

【详解

】sec ds xdx ===

6

6001sec ln(sec tan )|ln 3.2

s xdx x x π

π==+=?

13．已知函数2

1

sin ()x

t f x x dt t

=?

，则10()f x dx =? ．

【答案】

1

(cos11)4

-． 【详解】（1）用定积分的分部积分：

2

1

1

1

11

20

00102112

20102

112122

0100210sin ()()|()()sin 1sin ()sin 21sin 11|sin sin 22211cos |(cos11)44

x

x x t f x dx xf x xf x dx x dt dx x x dx

t

t dt dx x x dx

t t x dt x x dx x x dx t x '=-=--=--=--=-==-?

??????????

（2）转换为二重积分：

222

1

1

111120

010000sin sin sin 11

()sin (cos11)24x t x t t t f x dx x dt dx xdx dt dt xdx t t dt t t t ??==-=-=-=- ???

?

???????

14．已知矩阵1100211132210034A -??

?-- ?= ?-- ???

，ij A 表示元素ij a 的代数余子式，则1112A A -= ． 【答案】4-

【详解】1112111213141

100211100432210

3

4A A A A A A ----=-++=

=---．

三、解答题

15．（本题满分10分）已知函数2,0()1,0

x

x x

x f x xe x ?>?=?+≤??，求()f x '，并求函数()f x 的极值．

【详解】当0x >时，22ln ()x

x x f x x

e ==，2()2(ln 1)x

f x x x '=+；

当0x <时，()1x

f x xe =+，()(1)x

f x x e '=+；

在0x =处，22000()(0)12(ln 1)(0)lim lim lim 1

x x x x x f x f x x x f x x +++

+→→→---'====-∞，所以()f x 在0x =处不可导．

综合上述：22(ln 1),0

()(1),0

x x

x x x f x x e x ?+>?'=?+

1,x x e

=-=

． 当1x <-时，()0f x '<，当10x -<<时，()0f x '>，当10x e <<

时，()0f x '<，当1x e

>时，()0f x '>； 故11x =-是函数的极小值点，极小值为1

(1)1f e --=-；0x =是函数的极大值点，极大值为(0)1f =；

21

x e

=是函数的极小值点，极小值为21()e f e e -=．

16．（本题满分10分）求不定积分2236

(1)(1)x dx x x x +-++?．

【详解】

22222223623213(1)2ln 1(1)(1)1(1)

1113

2ln 1ln(1)1

x x d x x dx dx x x x x x x x x x x x x x x C x ??++++=-++=---+ ?-++--++-++??=---

++++-???

17．（本题满分10分）设函数()y x

是微分方程2

2

x y xy e '-=

满足条件(1)y =

（1）求()y x 的表达式；

（2）设平面区域{(,)|12,0()}D x y x y y x =≤≤≤≤，求D 绕x 轴旋转一周所形成的旋转体的体积． 【详解】（1）这是一个一阶线性非齐次微分方程．

先求解对应的线性齐次方程0y xy '-=的通解：22

x y Ce =，其中C 为任意常数； 再用常数变易法

求22

x y xy e

'-=

通解，设22

()x y C x e

=为其解，代入方程，

得

2

22

2

(),()x x C x e e C x ''=

=

，1()C x C =

=

，也就是通解为：22

1)x y C e =+

把初始条件(1)y =

10C =，从而得到22

().x y x xe =

（2）旋转体的体积为2

2

2

241

1

()()2

x x V y x dx xe dx e e π

π

π===

-?

?．

18．（本题满分10分）设平面区域2

23

4

{(,)|,()}D x y x y x y y =≤+≤，

计算二重积分

D

．

【详解】显然积分区域2234

{(,)|,()}D x y x y x y y =≤+≤关于y 轴对称，由对称性，显

然

0D

=；

23

3sin 54

40

4

41sin sin 2120D

D

d r dr d ππθ

ππθθθθ====

??

? 19．（本题满分10分）设n 是正整数，记n S 为曲线求曲线sin (0)x

y e

x x n π-=≤≤与x 轴所形成图形的

面积，求n S ，并求lim .n n S →∞

【详解】先求曲线与x 轴的交点：令sin 0x e x -=得,0,1,2,x k k n π==L 当2(21)k x k ππ<<+时，sin 0x

y e x -=>；当2(22)k x k πππ+<<+时，sin 0x y e x -=<．

由不定积分1sin (sin cos )2

x x

e xdx e x x C --=-

++?

可得 2221sin (1)2k x

k k e xdx e e ππ

ππ

π

+---=+?

，22221sin (1)2k x k k e xdx e e πππππππ+----+=-+?

所求面积为0

sin n x n S e xdx π

-=?

．

当n 为奇数时，

(21)222210

220

22002(1)2222(1)20sin sin sin 11(1)(1)22

11111(1)(1)(1)22121n

n

n k k x

x

x n k k k k n

n

k k k k n n k n k S e

xdx e xdx e xdx

e e e e e e e e e e e e π

ππ

ππ

π

ππ

ππ

πππππππππππ+++---++==-----==-+-----+--===-=+++-+=+=+=---∑∑?

?

?

∑∑∑

同理：(2)220

11sin (1)21n x

n n e S e

xdx e e

ππ

ππ

----+=

=--?

显然，有21211lim lim 21n n n n e S S e ππ+-→∞→∞+==-．所以11lim 21n n e S e π

π

-→∞+=-．

20．（本题满分11分）已知函数(,)u x y 满足关系式2222223

0u u u

x y y ???-+=???．求,a b 的值，使得在变换(,)(,)ax by u x y v x y e +=之下，上述等式可化为函数(,)v x y 的不含一阶偏导数的等式．

【详解】在变换(,)(,)ax by

u x y v x y e

+=之下

(,)ax by

ax by u v e av x y e x x

++??=+??，

(,),ax by ax by u v e bv x y e y y ++??=+?? 222222(,)ax by ax by

ax by u v v e a e a v x y e x x x

+++???=++???， 222222(,)ax by ax by

ax by u v v e b e b v x y e y y y +++???=++???； 把上述式子代入关系式2222223

0u u u

x y y

???-+=???，得到

222222224(34)(223)(,)0v v v v

a b a b b v x y x y x y

????-++-+-+=???? 根据要求，显然当3

0,4

a b ==时，可化为函数(,)v x y 的不含一阶偏导数的等式． 21．（本题满分11分）

已知函数()f x 在[]0,1上具有二阶导数，且(0)0,(1)1f f ==，1

()1f x dx =?

，证明：

（1）至少存在一点(0,1)ξ∈，使得()0f ξ'=； （2）至少存在一点(0,1)η∈，使得()2f η''<-． 证明 （1）令0

()()x

x f t dt Φ=

?

，则1

(0)0,(1)()1f x dx Φ=Φ==?，

则由于()f x 在[]0,1连续，则()x Φ在[]0,1上可导，且()()x f x 'Φ=，则由拉格朗日中值定理，至少存在一点1(0,1)ξ∈，使得()(1)(0)ξ'Φ=Φ-Φ，也就是1

10

1()()(1)f x dx f f ξ=

==?

；

对()f x 在()1,1ξ上用罗尔定理 ，则至少存在一点1(,1)(0,1)ξξ∈?，使得()0f ξ'=；

（2）令2

()()F x f x x =+，则显然，()F x 在[]0,1具有二阶导数，且2

11(0)0,(1)2,()1F F F ξξ===+．

对()F x 分别在[][]110,,,1ξξ上用拉格朗日中值定理，

至少存在一点11(0,)ηξ∈，使得211111

()(0)1()0F F F ξξηξξ-+'==

-； 至少存在一点21(,1)ηξ∈，使得1211()(1)

()11

F F F ξηξξ-'=

=+-；

对()()2F x f x x ''=-在[]12,ηη上用拉格朗日中值定理，则至少存在一点12(,)(0,1)ηηη∈?，使得

211

2121

1

1()()()0F F F ηηξηηηηη-

''-''=

=<--，也就是()2f η''<-．

22．（本题满分11分）

已知向量组Ⅰ：12321111,0,2443a ααα??????

? ? ?

=== ? ? ? ? ? ?+??????

；

向量组Ⅱ：12321011,2,3313a a a βββ?????? ? ? ?

=== ? ? ? ? ? ?+-+??????

．若向量组Ⅰ和向量组Ⅱ等价，求常数a 的值，并将