四年级第9讲行程问题(二)及牛吃草问题及答案
四年级第八讲行程问题（二）及牛吃草问题及答案
一、知识要点
1. 行船问题
船在江河里航行时，除了本身的前进速度外，还受到流水的推送或顶逆，在这种情况下计算船只的航行速度、时间和所行的路程，叫做行船问题。
行船问题是一类特殊的行程问题，因此行程问题中的三个基本量（速度、时间、路程）之间的关系在这里将要反复用到.此外，行船问题的特殊性在于多了一个水流速度（水速），由此产生行船问题中涉及到的三种速度之间的以下两个基本公式：
①顺水速度=船速+水速②逆水速度=船速-水速
这里，船速是指船本身的速度，也就是船在静水中单位时间里所走过的路程.水速，是指水在单位时间里流过的路程.顺水速度和逆水速度分别指顺流航行时和逆流航行时船在单位时间里所行的路程。
根据加减法互为逆运算的关系，由公式①可以得到：
水速=顺水速度-船速，船速=顺水速度-水速。
由公式②可以得到：水速=船速-逆水速度，船速=逆水速度+水速。
这就是说，只要知道了船在静水中的速度，船的实际速度和水速这三个量中的任意两个，就可以求出第三个量。
另外，已知船的逆水速度和顺水速度，根据公式①和公式②，相加和相减就可以得到：船速=（顺水速度+逆水速度）÷2，水速=（顺水速度-逆水速度）÷2。
2. 牛吃草问题
基本公式：
（1）草的生长速度＝（对应的牛头数×吃的较多天数－相应的牛头数×吃的较少天数）÷（吃的较多天数－吃的较少天数）；
（2）原有草量＝牛头数×吃的天数－草的生长速度×吃的天数；`
（3）吃的天数＝原有草量÷（牛头数－草的生长速度）；
（4）牛头数＝原有草量÷吃的天数＋草的生长速度
二、典型例题
例1.甲、乙两港间的水路长208千米，一只船从甲港开往乙港，顺水8小时到达，从乙港返回甲港，逆水13小时到达，求船在静水中的速度和水流速度。
解析：顺水速度=208÷8=26
逆水速度=208÷13=16
静水速度=（26+16）÷2=21千米/小时
水流速度=26-21=5千米/小时
例2.某船在静水中的速度是每小时15千米，它从上游甲地开往下游乙地共花去了8小时，水速每小时3千米，问从乙地返回甲地需要多少时间？
解析：甲乙两地距离=（15+3）×8=18×8=144
逆水时间：144/（15-3）=144/12=12小时
例3甲、乙两港相距360千米，一轮船往返两港需35小时，逆流航行比顺流航行多花了5小时.现在有一机帆船，静水中速度是每小时12千米，这机帆船往返两港要多少小时？
解析：（1）逆流航行用时：(35+5)/2=20小时，
顺流航行用时：35-20=15小时
（2）逆流时的速度360/20=18千米/小时，
顺流时的速度360/15=24千米/小时
（3）水流速度：(24-18)/2=3千米/小时
（4）机帆船顺水时速度：12+3=15千米，
逆水速度：12-3=9千米
（5）往返两港所需要的时间=顺水时间+逆水时间
=360/15+360/9
=24+40
=64小时
例 4 小刚和小强租一条小船，向上游划去，不慎把水壶掉进江中，当他们发现并调过船头时，水壶与船已经相距2千米，假定小船的速度是每小时4千米，水流速度是每小时2千米，那么他们追上水壶需要多少时间？
解析：水壶飘流的速度等于水速，所以速度差=船顺水速度-水壶飘流的速度=（船速+水速）-水速=船速. 解：路程差÷船速=追及时间2÷4=0.5（小时）。
例5甲、乙两船在静水中速度分别为每小时24千米和每小时32千米，两船从某河相距336千米的两港同时出发相向而行，几小时相遇？如果同向而行，甲船在前，乙船在后，几小时后乙船追上甲船？
解析：分析后会发现与水流速度无关
相遇=336÷(24+32)=6小时
追上=336÷(32-24)=42小时
例6 一条大河，河中间（主航道）水速为每小时8千米，沿岸边水速为每小时6千米，一条船在河中间顺流而下，13小时行驶520千米，求这条船沿岸边返回原出发地点，需要多少小时？
解析：船静水速度520÷13-8＝40-8＝32km/h
返回需要520÷（32-6）＝20小时
例7 一支运货船队第一次顺水航行42千米，逆水航行8千米，共用了11小时；第二次用同样的时间，顺水航行了24千米，逆水航行了14千米，求这支船队在静水中的速度和水流速度？
解析1：顺水航行42-24=18千米所用的时间和逆水航行14-8=6千米所用时间相同，
这也就说明顺水航行的速度是逆水航行速度的18÷6 =3倍。
逆水行8千米所用时间和顺水行8×3 = 24千米所用时间相等。
顺水速度是每小时行（42 + 8×3）÷11 = 6千米
逆水速度是每小时行8÷（11—42÷6）= 2千米
静水速度是每小时行（6 + 2）÷2 = 4千米
水流速度是每小时（6—2）÷2 = 2千米
解析2：解方程
42÷（V+水）+8÷（V-水）=11 24÷（V+水）+14÷（V-水）=11，可解出V+水=6，V-水=2，再解出V和水，其中V为静水速度，水为水流速度。
例8已知从河中A地到海口60千米，如船顺流而下，4小时到达海口，已知水速为每小时6千米。船返回已航行4小时后，因海水涨潮，由海向河的水速为每小时3千米，问此船还需几小时回到原地？
解析：船的静水速度：60÷4—6=9（千米/时）；船的逆水速度：9—6=3（千米/时）
涨潮后船的顺水速度：9+3=12（千米/时）
还需要的时间：（60—3×4）÷（9+3）=4（时）
例9一条船从A地顺流而下，每小时35千米到达B地后，又逆流而上回到A地。逆流比顺流多用4小时，已知水速是每小时5千米，则A、B两地相距多少千米？
解析1：设AB距离X千米，X/（35-5）-X/(35+5)=4；解得X=480
解析2：如果顺流而下的35公里/小时，是包括了水速，则逆流速度为25公里/小时，X/25-X/30=4；解得X=600
个人认为是解析2正确
例10 一架飞机所带油料最多可以用9小时，飞机去时顺风，每小时可以飞1500千米，飞回时逆风，每小时可以飞1200千米，问这架飞机最多可以飞出多少千米就需要往回飞？
解析1：设飞机最多飞X千米就需往回飞，由题可知机顺风飞的时间+飞机逆风飞的时间=最大为9小时，飞机顺风飞和逆风飞的路程都是x
则可列方程：x/1500+x/1200=9 解得方程，x=6000
解析2：设飞机顺风去用x小时，逆风返回则为9-x小时，1500x=1200（9-x），解出x=4
这架飞机最多能飞6000千米。
例11 牧场上一片青草，每天牧草都匀速生长。这片牧草可供10头牛吃20天，或者可供15头牛吃10天。问：可供25头牛吃几天？
解析1：设原牧草量为1，每天生长量x，每头牛每天吃草量y。有
1+20x=10*20y，1+10x=15*10y。解此方程组得，x=1/20，y=1/100
再设25头牛z天吃完，得方程1+25x=25zy
把x，y的值代入得，z=5，可供25头牛吃5天
解析2：草的生长速度＝（对应的牛头数×吃的较多天数－相应的牛头数×吃的较少天数）÷（吃的较多天数－吃的较少天数）=（10×20-15×10）÷（20-10）=5
（2）原有草量＝牛头数×吃的天数－草的生长速度×吃的天数=10×20-5×20=15×10-10×5=100
（3）吃的天数＝原有草量÷（牛头数－草的生长速度）=100÷（25-5）=5
例12、一片牧草，每天生长的速度相同．现在这片牧草可供20头牛吃12天，或可供60只羊吃24天．如果1头牛的吃草量等于4只羊的吃草量，那么12头牛与88只羊一起吃可以吃多少天？
解析：设1头牛吃一天的草量为一份，60只羊相当于60÷4=15头牛，
1）每天新长的草量：15×24-20×12）÷（24-12）=10（份）
2）原有草量：20×12-10×12=120=15×24-10×24=120（份）
3）12头牛与88只羊吃的天数：120÷（12＋88÷4-10）=5（天）
例13、一个水池，池底有水流均匀涌出．若将满池水抽干，用10台水泵需2小时，用5台同样的水泵需7小时，现要在半小时内把满池水抽干，至少要这样的水泵多少台？
解析1：每小时的水流量需多少台水泵抽1小时，（5×7－10×2）÷(7－2)=3(台)。
水池原有水量需多少台水泵抽1小时，5×7－3×7=14(台)或10×2－3×2=14(台)。
半小时内把水抽干，至少需要水泵(14＋3×0.5)÷0.5=31(台)。
解析2: 1+2y=20x 1+7y=35x 解出x= 1/14 y= 3/14 (1+0.5×3/14)÷（1/14×0.5）=31
例14、有一片草地，可供8只羊吃20天，或供14只羊吃10天．假设草的每天生长速度不变．现有羊若干只，吃了4天后又增加了6只，这样又吃了2天便将草吃完，问有羊多少只？解析：设一只羊吃一天的草量为一份．
1）每天新长的草量：（8×20-14×10）÷（20-10）=2（份）
2）原有的草量：8×20-2×20=120（份）
3）若不增加6只羊，这若干只羊吃6天的草量，等于原有草量加上4＋2=6天新长草量再减去6只羊2天吃的草量120＋2×（4＋2）-1×2×6=120（份）
4）羊的只数：120÷6=20（只）
例15、12头牛4周吃完6公顷的牧草，20头牛6周吃完12公顷的牧草．假设每公顷原有草量相等，草的生长速度不变．问多少头牛8周吃完16公顷的牧草？
解析1：设1头牛吃一周的草量为一份
（1）每公顷每周新长的草量：（20×6÷12-12×4÷6）÷（6-4）=1（份）
（2）每公顷原有草量：12×4÷6-1×4=4（份）
（3）16公顷原有草量：4×16=64（份）
（4）16公顷8周新长的草量：1×16×8=128（份）
（5）8周吃完16公顷的牧草需要牛数：（128+64）÷8=24（只）
解析2：12头牛4周吃完6公顷牧草，所以24头牛4周能吃完12公顷牧草
设每头牛每周吃草为1份
24头牛4周吃草：24*4=96份；20头牛6周吃草：20*6=120份
所以12公顷草地，每周长草：(120-96)/(6-4)=12份
原来有草：96-4*12=48份，那么，16公顷的草地，原来有草：16/12*48=64份
每周长草：16/12*12=16份
8周吃完，一共吃草：64+16*8=192份
平均每周吃：192/8=24份，所以24头牛8周吃完16公顷的牧草。
例16、由于天气逐渐冷起来，牧场上的草不仅不长大，反而以固定的速度在减少。已知某块草地上的草可供20头牛吃5天，或可供15头牛吃6天。照此计算，可供多少头牛吃10天？
解析：20头牛5天吃草：20×5=100（份）；15头牛6天吃草：15×6=90（份）;
青草每天减少：（100－90）÷（6－5）=10（份）;
牛吃草前牧场有草：100＋10×5=150（份）; 150份草吃10天本可供：150÷10=15（头）; 但因每天减少10份草，相当于10头牛吃掉，所以只能供牛15－10=5（头）
例17、自动扶梯以均匀速度由下往上行驶着，两位性急的孩子要从扶梯上楼。已知男孩每分钟走20级梯级，女孩每分钟走15级梯级，结果男孩用了5分钟到达楼上，女孩用了6分钟到达楼上。问：该扶梯共有多少级？
解析：设自动扶梯的速度为X级/分钟，则20×5+5X=15×6+6X，解方程得X=10
所以该扶梯共有20×5+5×10=150级
例18、某车站在检票前若干分钟就开始排队，每分钟来的旅客人数一样多。从开始检票到等候检票的队伍消失，同时开4个检票口需30分钟，同时开5个检票口需20分钟。如果同时打开7个检票口，那么需多少分钟？
解析：假设1个检票口1分钟通过的人数是1份，那么：
4个检票口30分钟通过的人数=4×30=120份
5个检票口20分钟通过的人数=5×20=100份
每分钟新增加排队的人数=(120-100)÷(30-20)=2份
没有开检票口就排队的人数=120-30×2=60份
需要时间=60÷（7-2）=12分钟
三、试试看
1.甲、乙之间的水路是234千米，一只船从甲港到乙港需9小时，从乙港返回甲港需13小时，问船速和水速各为每小时多少千米？
解顺水速度：234÷9=26（千米/小时）逆水速度：234÷13=18（千米/小时）船速：（26+18）÷2=22（千米/小时）水速：（26—18）÷2=4（千米/小时）
2.一艘每小时行25千米的客轮，在大运河中顺水航行140千米，水速是每小时3千米，需要行几个小时？
解顺水速度：25+3=28（千米/小时）顺水时间：140÷28=5（小时）
3.一只小船静水中速度为每小时30千米.在176千米长河中逆水而行用了11个小时.求返回原处需用几个小时。
解逆水速度：176÷11=16（千米/小时）水速：30—16=14（千米/小时）
顺水速度：30+14=44（千米/小时）顺水时间：176÷44=4（小时）
4. A、B两码头间河流长为90千米，甲、乙两船分别从A、B码头同时启航.如果相向而行3小时相遇，如果同向而行15小时甲船追上乙船，求两船在静水中的速度。
解速度和：90÷3=30（千米/小时）速度差：90÷15=6（千米/小时）
甲船速：（30+6）÷2=18（千米/小时）乙船速：（30-6）÷2=12（千米/小时）
5. 乙船顺水航行2小时，行了120千米，返回原地用了4小时.甲船顺水航行同一段水路，用了3小时.甲船返回原地比去时多用了几小时？
解乙船顺水速度：120÷2=60（千米/小时）乙船逆水速度：120÷4=30（千米/小时）水速：（60-30）÷2=15（千米/小时）甲船顺水速度：120÷3=40（千米/小时）甲船速度：40-15=25（千米/小时）甲船逆水速度：25-15=10（千米/小时）甲船逆水时间：120÷10=12（小时）
甲船返回原地比去时多用时间：12-3=9（小时）
6. 某河有相距45千米的上、下两码头，每天定时有甲、乙两艘船速相同的客轮分别从两码头同时出发相向而行.一天甲船从上游码头出发时掉下一物，此物浮于水面顺水飘下，4分钟后，与甲船相距1千米.预计乙船出发后几小时可以与此物相遇？
解甲船速度：60÷4×1=15（千米/小时）乙船速度：15（千米/小时）乙船出发后几小时可以与此物相遇：45÷15=3（小时）
7. 有一块牧场，可供10头牛吃20天，15头牛吃10天，则它可供25头牛吃多少天？
(200-150)/(20-10)=5 10*20-5*20=100 100/(25-5)=5(天）
8. 有一块牧场，可供10头牛吃20天，15头牛吃10天，则它可供多少头牛吃4天？
(20*10-15*10)=5 10*20-5*20=100 100/4+5=30(头）
9. 一水池，池底有泉水不断涌出，要想把水池的水抽干，10台抽水机需抽8小时，8台抽水机需抽12小时，如果用6台抽水机，那么需抽多少小时？
答案：24小时
10. 物美超市的收银台平均每小时有60名顾客前来排队付款，每一个收银台每小时能应付80名顾客付款。某天某时刻，超市如果只开设一个收银台，付款开始4小时就没有顾客排队了，问如果当时开设两个收银台，则付款开始几小时就没有顾客排队了
答案：0.8小时
牛吃草问题【图示法解析】
图示法解析牛吃草问题 图示法解题：图示法在解很多题目时非常直观、简洁，如在牛吃草、行程等问题中得到广泛的应用，以牛吃草为例说明如下： 【例1】一片草场的青草每天都匀速生长，这片青草可供27头牛吃6天，或供23头牛吃9天，那么可供21头牛吃几天？ 解题思路总结：解决牛吃草问题的关键是： （1）设1头牛1天吃1份草； （2）要求出每天（或每周等）新生长的草量； （3）要求出原有的草量；注意：原有的草量不变。 然后代入计算就可以了。 解：作线段图如下图： 设1头牛1天吃1份草， 则27头牛6天共吃草：27×6＝162份；23头牛9天共吃23×9＝207份， 多了207－162＝45份，相当于（9－6）天生长的草量， 所以每天生长的草量为：＝15份/天； 则原有的草量为：162－6×15＝72份； 21头牛中有15头吃生长的草，那么剩下的21－15＝6头吃原有的草， 所以可以吃：天，因此可供21头牛吃12天。 练习题： 1.有一个水池，池底有一个打开的出水口。用5台抽水机20时可将水抽完，用8台抽水机15时可将水抽完。如果仅靠出水口出水，那么多长时间能把水漏完? 2.哥哥沿着向上移动的自动扶梯从顶向下走到底，共走了100级。在相同的时间内，妹妹沿着自动扶梯从底向上走到顶，共走了50级。如果哥哥单位时间内走的级数是妹妹的2倍，那么当自动扶梯静止时，自动扶梯能看到的部分有多少级? 3.两个顽皮的孩子逆着自动扶梯行驶的方向行走，男孩每秒可走3级梯级，女孩每秒可走2级梯级，结果从扶梯的一端到达另一端男孩走了100秒，女孩走了300秒。问：该扶梯共有多少级梯级?
4.仓库里原有一批存货，以后继续运货进仓，且每天运进的货一样多。用同样的汽车运货出仓，如果每天用4辆汽车，则9天恰好运完;如果每天用5辆汽车，则6天恰好运完。仓库里原有的存货若用1辆汽车运则需要多少天运完? 5.画展9点开门，但早就有人排队等候入场了。从第一个观众来到时起，每分钟来的观众人数一样多。如果开3个入场口，则9点9分就不再有人排队，如果开5个入场口，则9点5分就没有人排队。那么第一个观众到达的时间是8点几分? 6.某车站在检票前若干分钟就开始排队，每分钟来的旅客人数一样多。从开始检票到等候检票的队伍消失，若同时开5个检票口则需30分钟，若同时开6个检票口则需20分钟。如果要使队伍10分钟消失，那么需同时开几个检票口? 7.假设地球上新生成的资源的增长速度是一定的，照此测算，地球上的资源可供110 亿人生活90年，或可供90亿人生活210年。为使人类能够不断繁衍，那么地球最多能养活多少亿人? 8.有一牧场，17头牛30天可将草吃完.19头牛则24天可以吃完.现有若干头牛吃了6天后，卖掉了4头牛，余下的牛再吃两天便将草吃完.问：原来有多少头牛吃草(草均匀生长)? 9.有三块草地，面积分别为5公顷、15公顷和24公顷。草地上的草一样厚，而且长得一样快。第一块草地可供10头牛吃30天，第二块草地可供28头牛吃45天。问：第三块草地可供多少头牛吃80天? 10.有一水池，池底有泉水不断涌出。要想把水池的水抽干，10台抽水机需抽8时，8 台抽水机需抽12时。如果用6台抽水机，那么需抽多少小时?
四年级上册奥数 - 第14讲 牛吃草问题 (有答案)
第14讲牛吃草问题 英国大科学家牛顿曾经出过一道饶有趣味的题目，这就是著名的“牛吃草”问题。又叫“牛顿问题”。什么是牛顿问题呢? 看完今天所讲的内容，你就知道了。 例1 牧场上有一片青草，每天牧草都均匀生长。这片牧草可供10头牛吃20天，或者可供15头牛吃10天。问：可供25头牛吃几天？ 分析：由题意可知，牧场上原有的青草量是一定的，每头牛每天的食草量也是一定的，但是新草的总量却是随着时间变化着的。新长的草虽然在变化，因为是匀速生长，所以这片草地每天新长出的草的数量相同，即每天新长出的草是不变的。10头牛20天吃草量是由原有草量和20天新长的草量两部分组成，而15头牛10天的吃草量是由原有草量和10天新长的草量两部分组成。因此要解决问题必须设法计算出原有草量和每天新长的草量。知道这两个量后就可以求25头牛吃几天了。 解答：设1头牛每天吃的草为1份，那么 10头牛20天吃草量=原有草量＋20天新长的草量=10×20=200（份） 15头牛10天吃草量=原有草量+10天新长的草量=15×10=150（份） 从上面两式可以看出：10天新长的草量是200－150=50（份）。 此每天新长的草50÷10=5 （份） 则原有草：200－5×20=100（份） 因为每头牛每天吃草1份，为了方便解题，先让25头牛中的5头吃每天长出来的5份青草，这样每天长的青草每天都被吃光，这时我们只要考虑原有的草被剩下的20头牛多少天吃光就可以了。 100÷（25－5）=5（天） 答：这片草地可供25头牛吃5天。 说明：解题时要注意： （1）每天新长出的草量是通过已知的两种不同情况吃掉的总草量的差及吃的天数的差计算出来的。 （2）在已知的两种情况中，任选一种，假定其中几头牛专吃新长出的草，由剩下的牛吃原有的草，根据吃的天数可以计算出原有的草量。也可以像上面那样计算。 （3）在所求的问题中，让几头牛专吃新长的草，把变转化为不变使题简单。其余的牛吃原有的草，根据原有的草量可以计算出能吃几天。 例2 有一水池，池底有泉水不断的涌出。要想把池水抽干，10台抽水机需抽8小时，8台抽水机需抽12小时。如果用6台抽水机需抽几小时？ 分析：从表面上看没有“牛吃草”，但题的实质就是牛吃草问题。水池的原有水量一定，即原有草量一定；泉水不断地以匀速涌出，就相当于新长的草；抽水机抽水就相当于牛吃草。所以可以用例1的方法解答。 解答：设抽水机每小时抽水1份，那么： 10台抽水机8小时抽水80份=池中原有水量＋8小时的泉水涌入量 8台抽水机12小时抽水96份=池中原有水量＋12小时的泉水涌入量 泉水（12－8）=4小时的涌入量为96－80=16份。 所以每小时泉水涌入量为：16÷4=4（份） 池中原有水：80－4×8=48（份）
小学思维数学讲义：牛吃草问题(一)-含答案解析
牛吃草问题（一） 1. 理解牛吃草这类题目的解题步骤，掌握牛吃草问题的解题思路. 2. 初步了解牛吃草的变式题，会将一些变式题与牛吃草问题进行区别与联系 英国科学家牛顿在他的《普通算术》一书中，有一道关于牛在牧场上吃草的问题，即牛在牧场上吃草，牧场上的草在不断的、均匀的生长．后人把这类问题称为牛吃草问题或叫做“牛顿问题”． “牛吃草”问题主要涉及三个量：草的数量、牛的头数、时间．难点在于随着时间的增长，草也在按不变的速度均匀生长，所以草的总量不定．“牛吃草”问题是小学应用题中的难点． 解“牛吃草”问题的主要依据： ① 草的每天生长量不变； ② 每头牛每天的食草量不变； ③ 草的总量=草场原有的草量+新生的草量，其中草场原有的草量是一个固定值 ④ 新生的草量=每天生长量?天数． 同一片牧场中的“牛吃草”问题，一般的解法可总结为： ⑴设定1头牛1天吃草量为“1”； ⑵草的生长速度=(对应牛的头数?较多天数-对应牛的头数?较少天数)÷(较多天数-较少天数)； ⑶原来的草量=对应牛的头数?吃的天数-草的生长速度?吃的天数； ⑷吃的天数=原来的草量÷(牛的头数-草的生长速度)； ⑸牛的头数=原来的草量÷吃的天数+草的生长速度． “牛吃草”问题有很多的变例，像抽水问题、检票口检票问题等等，只有理解了“牛吃草”问题的本质和解题思路，才能以不变应万变，轻松解决此类问题． 模块一、一块地的“牛吃草问题” 【例 1】 牧场上有一片匀速生长的草地，可供27头牛吃6周，或供23头牛吃9周，那么它可供多少头牛吃 18周？ 【考点】牛吃草问题 【难度】3星 【题型】解答 【关键词】对比思想方法 【解析】 设1头牛1周的吃草量为“1”，草的生长速度为(239276)(96)15?-?÷-=，原有草量为 (2715)672-?=，可供72181519÷+=（头）牛吃18周 【答案】19头牛 【巩固】 有一块匀速生长的草场，可供12头牛吃25天，或可供24头牛吃10天．那么它可供几头牛吃20 天？ 【考点】牛吃草问题 【难度】3星 【题型】解答 【关键词】对比思想方法 【解析】 设1头牛1天的吃草量为“1”，那么251015-=天生长的草量为1225241060?-?=，所以每天生长 的草量为60154÷=；原有草量为：()24410200-?=． 20天里，草场共提供草200420280+?=，可以让2802014÷=头牛吃20天． 【答案】14头牛 【巩固】 牧场有一片青草，每天长势一样，已知70头牛24天把草吃完，30头牛60天把草吃完，则 头例题精讲 知识精讲 教学目标
小学奥数教案教学内容
小学四年级奥数专题（三）高斯求和例5 在下图中，每个最小的等边三角形的面积是12厘米2，边长是1根火柴棍。问：（1）最大三角形的面积是多少平方厘米？（2）整个图形由多少根火柴棍摆成？ 分析：最大三角形共有8层，从上往下摆时，每层的小三角形数目及所用火柴数目如下表： 由上表看出，各层的小三角形数成等差数列，各层的火柴数也成等差数列。 解：（1）最大三角形面积为 （1＋3＋5＋…＋15）×12 ＝［（1＋15）×8÷2］×12 ＝768（厘米2）。 （2）火柴棍的数目为 3＋6＋9+…+24
＝（3＋24）×8÷2=108（根）。 答：最大三角形的面积是768厘米2，整个图形由108根火柴摆成。 例6 盒子里放有三只乒乓球，一位魔术师第一次从盒子里拿出一只球，将它变成3只球后放回盒子里；第二次又从盒子里拿出二只球，将每只球各变成3只球后放回盒子里……第十次从盒子里拿出十只球，将每只球各变成3只球后放回到盒子里。这时盒子里共有多少只乒乓球？ 分析与解：一只球变成3只球，实际上多了2只球。第一次多了2只球，第二次多了2×2只球……第十次多了2×10只球。因此拿了十次后，多了 2×1＋2×2＋…＋2×10 ＝2×（1＋2＋ (10) ＝2×55＝110（只）。 加上原有的3只球，盒子里共有球110＋3＝113（只）。 综合列式为： （3-1）×（1＋2＋…＋10）＋3 ＝2×［（1＋10）×10÷2］＋3＝113（只）。 练习3 1.计算下列各题：
（1）2＋4＋6＋ (200) （2）17＋19＋21＋ (39) （3）5＋8＋11＋14＋ (50) （4）3＋10＋17＋24＋ (101) 2.求首项是5，末项是93，公差是4的等差数列的和。 3.求首项是13，公差是5的等差数列的前30项的和。 4.时钟在每个整点敲打，敲打的次数等于该钟点数，每半点钟也敲一下。问：时钟一昼夜敲打多少次？ 5.求100以内除以3余2的所有数的和。 6.在所有的两位数中，十位数比个位数大的数共有多少个？ 小学五年级奥数教案 教学内容：长方形和正方形的周长和面积（探究活动1～3） 教学目标：1、知识目标：会利用转化及割补的方法求不规则图形的面积和周长。 2、能力目标：培养学生的观察能力及逻辑思维能力。 3、情感目标：渗透转化的数学思想，在转化的过程中要抓住“变”与“不变”。
牛吃草类型应用题解题方法完整版
牛吃草类型应用题解题 方法 集团标准化办公室：[VV986T-J682P28-JP266L8-68PNN]
例1牧场上一片青草，每天牧草都匀速生长．这片牧草可供10头牛吃20天，或者可供15头牛吃10天．问：可供25头牛吃几天？ 分析与解：这类题难就难在牧场上草的数量每天都在发生变化，我们要想办法从变化当中找到不变的量．总草量可以分为牧场上原有的草和新生长出来的草两部分．牧场上原有的草是不变的，新长出的草虽然在变化，因为是匀速生长，所以这片草地每天新长出的草的数量相同，即每天新长出的草是不变的．下面，就要设法计算出原有的草量和每天新长出的草量这两个不变量．设1头牛一天吃的草为1份．那么，10头牛20天吃200份，草被吃完；15头牛10天吃150份，草也被吃完．前者的总草量是200份，后者的总草量是150份，前者是原有的草加20天新长出的草，后者是原有的草加10天新长出的草．200－150＝50(份)，20－10＝ 10(天)，说明牧场10天长草50份，1天长草5份．也就是说，5头牛专吃新长出来的草刚好吃完，5头牛以外的牛吃的草就是牧场上原有的草．由此得出，牧场上原有草(10－5)×20＝100(份)或(15－5)×10＝100(份)．现在已经知道原有草100份，每天新长出草5份．当有25头牛时，其中的5头专吃新长出来的草，剩下的20头吃原有的草，吃完需100÷20＝5(天)．所以，这片草地可供25头牛吃5天．在例1的解法中要注意三点：(1)每天新长出的草量是通过已知的两种不同情况吃掉的总草量的差及吃的天数的差计算出来的．(2)在已知的两种情况中，任选一种，假定其中几头牛专吃新长出的草，由剩下的牛吃原有的草，根据吃的天数可以
小学数学牛吃草问题综合讲解
小学数学牛吃草问题 综合讲解 Revised on November 25, 2020
小学数学牛吃草问题 吃草问题是小学奥数五年级的内容，学过的同学都知道这是一类比较复杂的应用题，还有一些相应的变形题：排队买票、大坝泄洪、抽水机抽水等等。 那么在这里讲下牛吃草问题的解题思路和解题方法、技巧供大家学习。 一、解决此类问题，孩子必须弄个清楚几个不变量：1、草的增长速度不变2、草场原有草的量不变。草的总量由两部分组成，分别为：牧场原有草和新长出来的草。新长出来草的数量随着天数在变而变。 因此孩子要弄清楚三个量的关系： 第一：草的均匀变化速度（是均匀生长还是均匀减少） 第二：求出原有草量 第三：题意让我们求什么（时间、牛头数）。注意问题的变形：如果题目为抽水机问题的话，会让求需要多少台抽水机 二、解题基本思路 1、先求出草的均匀变化速度，再求原有草量。 2、在求出“每天新增长的草量”和“原有草量”后，已知头数求时间时，我们用“原有草量÷每天实际减少的草量（即头数与每日生长量的差）”求出天数。 3、已知天数求只数时，同样需要先求出“每天新生长的草量”和“原有草量”。 4、根据（“原有草量”+若干天里新生草量）÷天数”，求出只数
三、解题基本公式 解决牛吃草问题常用到的四个基本公式分别为： 1、草的生长速度＝对应的牛头数×吃的较多天数－相应的牛头数×吃的较少天数÷（吃的较多天数－吃的较少天数） 2、原有草量＝牛头数×吃的天数－草的生长速度×吃的天数 3、吃的天数＝原有草量÷（牛头数－草的生长速度） 4、牛头数＝原有草量÷吃的天数＋草的生长速度 四、下面举个例子 例题：有一牧场，已知养牛27头，6天把草吃尽；养牛23头，9天把草吃尽。如果养牛21头，那么几天能把牧场上的草吃尽呢并且牧场上的草是不断生长的。 一般方法：先假设1头牛1天所吃的牧草为1，那么就有： （1）27头牛6天所吃的牧草为：27×6＝162 （这162包括牧场原有的草和6天新长的草。） （2）23头牛9天所吃的牧草为：23×9＝207 （这207包括牧场原有的草和9天新长的草。） （3）1天新长的草为：（207－162）÷（9－6）＝15 （4）牧场上原有的草为：27×6－15×6＝72 （5）每天新长的草足够15头牛吃，21头牛减去15头，剩下6头吃原牧场的草：72÷（21－15）＝72÷6＝12（天） 所以养21头牛，12天才能把牧场上的草吃尽 公式解法：
四年级奥数-牛吃草问题例题讲解
例1：牧场上长满牧草，每天都匀速生长。这片牧场可供27头牛吃6天或23头牛吃9天。问可供21头牛吃几天？ 分析：设一头牛一天的吃草量为1份，（1）先算出牧场每天新增的草量为：（23×9-27×6）÷(9-6)=15份，（2）再算牧场原有的草量为：23×9-15×9=72份，（3）21头牛，要安排15头去吃每天新增的草量，剩余的牛21-15=6头去吃原有的草量，这样才可以把草吃完。可以吃：72÷6=12天。 例2：一片牧场上长满牧草，如牧草每天都匀速生长。则牧场可供27头牛吃6天或23头牛吃9天。问想要18天吃完这些草要几头牛？ 分析：这道题和例1有点互逆的意思。我们设一头牛一天的吃草量为1份，则（1）牧场每天新增的草量为：（23×9-27×6）÷(9-6)=15份，（2）牧场原有的草量为：23×9-15×9=72份,（3）18天要吃完草，先要安排15头牛去吃每天新增的草量，再安排72÷18=4头牛去吃原有的草量72份，所以要：15+4=19头牛。 例3：一条船有一个漏洞，水以均匀的速度漏进船内，待发现时船舱内已进了一些水。如果用12人舀水，3小时舀完。如果只有5个人舀水，要10小时才能舀完。现在要想在2小时舀完，需要多少人？ 分析：这是一道有点变异的牛吃草问题，解题的思路也是和牛吃草问题一样。设每人每小时舀水量为一份，则（1）漏水量（新增的水量）：（10×5-12×3）÷(10-3)=2份，（2）船原有的水为：12×3-2×3=30份，要先安排2个人去舀新增的水量，再安排30÷2=15人去舀原有的水量30分，共要15+2=17人。 例4：有一片牧场，24头牛6天可以将草吃完，或21头牛8天可以吃完。要使牧草永远吃不完，至多可以放牧几头牛？ 分析：要牧草永远吃不完，就要保证每天最多只吃新增的量，否则一旦超过每天新增的量，吃了原来的量，总有一天会吃完。所以只要算出新增的量即可。设每头牛每天的吃草量为1份，则牧场每天新增的草量：（21×8-24×6）÷（8-6）=12（份），最多可放牧：12÷1=12头。
精选牛吃草问题(含例题、答案、讲解)
小学数学牛吃草问题知识点总结: 牛吃草问题：牛吃草问题又称为消长问题或牛顿牧场，是17世纪英国伟大的科学家牛顿提出来的。典型牛吃草问题的条件是假设草的生长速度固定不变，不同头数的牛吃光同一片草地所需的天数各不相同，求若干头牛吃这片草地可以吃多少天。由于吃的天数不同，草又是天天在生长的，所以草的存量随牛吃的天数不断地变化。 小升初冲刺第2讲 牛吃草问题 基本公式: 1) 设定一头牛一天吃草量为“1” 2）草的生长速度＝（对应的牛头数×吃的较多天数－相应的牛头数×吃的较少天数）÷（吃的较多天数－吃的较少天数）； 3）原有草量＝牛头数×吃的天数－草的生长速度×吃的天数；` 4）吃的天数＝原有草量÷（牛头数－草的生长速度）； 5)牛头数＝原有草量÷吃的天数＋草的生长速度。 例1、牧场上长满了牧草，牧草每天匀速生长，这片牧草可供10头牛吃20天，可供15头牛吃10天。问：这片牧草可供25头牛吃多少天？ 解：假设1头牛1天吃的草的数量是1份草每天的生长量： （200-150）÷（20-10）=5份 10×20=200份……原草量+20天的生长量原草量：200-20×5=100 或150-10×5=100份 15×10=150份……原草量+10天的生长量 100÷（25-5）=5天 [自主训练] 牧场上长满了青草，而且每天还在匀速生长，这片牧场上的草可供9头牛吃20天，可供15头牛吃10天，如果要供18头牛吃，可吃几天？解：假设1头牛1天吃的草的数量是1份草每天的生长量： （180-150）÷（20-10）=3份 9×20=180份……原草量+20天的生长量原草量：180-20×3=120份或150-10×3=120份 15×10=150份……原草量+10天的生长量 120÷（18-3）=8天 例2、由于天气逐渐冷起来，牧场上的草不仅不长大，反而以固定速度在减少。已知某块
(word完整版)四年级奥数题牛吃草问题解析
解决牛吃草问题的多种算法 历史起源：英国数学家牛顿(1642—1727)说过：“在学习科学的时候，题目比规则还有用些”因此在他的著作中，每当阐述理论时，总是把许多实例放在一起。在牛顿的《普遍的算术》一书中，有一个关于求牛和头数的题目，人们称之为牛顿的牛吃草问题。 主要类型： 1、求时间 2、求头数 除了总结这两种类型问题相应的解法，在实践中还要有培养运用“牛吃草问题”的解题思想解决实际问题的能力。 基本思路： ①在求出“每天新生长的草量”和“原有草量”后，已知头数求时间时，我们用“原有草量÷每天实际减少的草量(即头数与每日生长量的差)”求出天数。 ②已知天数求只数时，同样需要先求出“每天新生长的草量”和“原有草量”。 ③根据(“原有草量”+若干天里新生草量)÷天数”，求出只数。 基本公式： 解决牛吃草问题常用到四个基本公式，分别是∶ (1)草的生长速度＝对应的牛头数×吃的较多天数－相应的牛头数×吃的较少天数÷(吃的较多天数－吃的较少天数)； (2)原有草量＝牛头数×吃的天数－草的生长速度×吃的天数；` (3)吃的天数＝原有草量÷(牛头数－草的生长速度)； (4)牛头数＝原有草量÷吃的天数＋草的生长速度 第一种：一般解法
“有一牧场，已知养牛27头，6天把草吃尽；养牛23头，9天把草吃尽。如果养牛21头，那么几天能把牧场上的草吃尽呢？并且牧场上的草是不断生长的。” 一般解法：把一头牛一天所吃的牧草看作1，那么就有： (1)27头牛6天所吃的牧草为：27×6＝162 (这162包括牧场原有的草和6天新长的草。) (2)23头牛9天所吃的牧草为：23×9＝207 (这207包括牧场原有的草和9天新长的草。) (3)1天新长的草为：(207－162)÷(9－6)＝15 (4)牧场上原有的草为：27×6－15×6＝72 (5)每天新长的草足够15头牛吃，21头牛减去15头，剩下6头吃原牧场的草：72÷(2 1－15)＝72÷6＝12(天) 所以养21头牛，12天才能把牧场上的草吃尽。 第二种：公式解法 有一片牧场，草每天都匀速生长(草每天增长量相等)，如果放牧24头牛，则6天吃完牧草，如果放牧21头牛，则8天吃完牧草，假设每头牛吃草的量是相等的。(1)如果放牧1 6头牛，几天可以吃完牧草？(2)要使牧草永远吃不完，最多可放多少头牛？ 解答： 1) 草的生长速度：(21×8-24×6)÷(8-6)=12(份) 原有草量：21×8-12×8=72(份) 16头牛可吃：72÷(16-12)=18(天) 2) 要使牧草永远吃不完，则每天吃的份数不能多于草每天的生长份数 所以最多只能放12头牛。
牛吃草问题剖析
2014年省考行测牛吃草问题剖析 华图教研中心侯迪 牛吃草问题是行测考试里的常考题型，其最早出现在公务员考试中是2006年，刚出现时大家感觉较难，主要是在理解上有一定的难度，但如果大家搞清楚这其中的几个概念，牛吃草问题还是较好解答的。第一，草地上原来就有草；第二，草地上的草每天还要生长；第三：牛每天吃掉多少草；第四：这些牛用多长时间吃完。知道这4个概念，大家也就找到了做题的突破口。 典型牛吃草问题的条件是假设草的生长速度固定不变，不同头数的牛吃光同一片草地所需的天数各不相同，求若干头牛吃这片草地可以吃多少天。 牛吃草问题核心在于原有量不变。公式：Y=(N-X)×T。（Y：原有草量，N：减少量，我们假设一头牛一天吃1份，有N头牛，那么减少量就是N。X：自然增速，如：草的生长速度，T：存量完全消失所需时间） 一、牛吃草：公式法 【例1】有一片草地（草以均匀速度生长），240只羊可以吃6天，200只羊可以吃10天，则这片草地可供190只羊吃的天数是多少？ A.11 B.12 C.14 D.15 【分析】读题后，判断是典型牛吃草问题。 【解析】根据公式，Y=(N-X)×T。可以列方程组，解方程。 那么190只羊吃多少天，600=（190-140）×T，得出T=12，选择D。 【总结】解决牛吃草问题，实际就是公式的反复应用，大家在做题时要弄清公式中每个字母所表示的意思，学会灵活应用。 二、在考试中，还会遇到一些抽水机抽水，检票口检票，资源开采等，这些都属于牛吃草的问题。【例2】某演唱会检票钱若干分钟就有观众开始排队等候入场，而每分钟来的观众人数一样多。从开始检票到等候队伍消失，若同时开4个入场口需50分钟，若同时开6个入场口则需30分钟。问如果同时开7个入场口需几分钟？ A.18分钟 B.20分 C.22分钟 D.25分钟 【分析】读题后发现和牛吃草问题相似。4个入场口相当于牛的头数，每分钟还会有人来排队相当于草的生长速度X。 【解析】公式法。Y=(N-X)×T
四年级奥数专题小结
四年级奥数专题小结 姓名：_______ 一、牛吃草问题 1、有一块匀速生长的草场，可供12头牛吃25天，或可供24头牛吃10天，那么可供29头牛吃几天？ 2、由于天气逐渐变冷，牧场上的草每天以均匀的速度减少，经计算，牧场上的草可供20头牛吃5天，或可供16头牛吃6天。那么，可供11头牛吃几天？ 3、有一片草场，草每天的生长速度相同，若14头牛30天可将草吃完，70只羊16天也可将草吃完（4只羊1天的吃草量相当于1头牛一天的吃草量）。那么17头牛和20只羊多少天可将草吃完？ 二、行程问题 1、甲、乙两辆汽车同时从东、西两地相向开出，甲车每小时行56千米，乙车每小时行48千米，两车距中点32千米处相遇。东、西两地相距多少千米？ 2、一列火车经过南京长江大桥，大桥长6700米，这列火车长100米，火车每分钟行4000米，这列火车经过南京长江大桥需要多少分钟? 3、牛牛以每秒10米的速度沿铁道边的小路骑车， (1)身后一辆火车以每秒100米的速度超过他，从车头追上牛牛到车尾离开共用时4秒，那么车长多少米? (2)过了一会，另一辆火车以每秒100米的速度迎面开来，从与牛牛相遇到离开，共用时3秒。那么车长是多少?
4、一列火车通过530米长的桥需要40秒，以同样的速度穿过380米长的山洞需要30秒钟。则这列火车的速度是多少米/秒？全长是多少米？ 三、植树问题 1、小胖和小红都住在腾龙花园1栋，小胖家住7楼，小红家住3楼，小红回家爬楼梯需要4分钟，小红和小胖速度一样，那么小胖回家爬楼要花多少时间呢? 2、一根木头长10米，要把它分成5段，每锯下一段需要8分钟，锯完一共要花多少时间? 3、小胖和小红都住在腾龙花园1栋，小胖家住7楼，小红家住3楼，小红回家爬楼梯需要4分钟，小红和小胖速度一样，那么小胖回家爬楼要花多少时间呢? 4、一根木头长10米，要把它分成5段，每锯下一段需要8分钟，锯完一共要花多少时间? 四、等差数列 1、已知等差数列2，5，8，11，14，······，它的第15项是什么？ 2、1+4+7+10+13+16+19+···+61 五、简便计算 9999×28+3333×16
小升初经典题型分析：牛吃草问题
12头牛4周吃完6公顷的牧草，20头牛6周吃完12公顷的牧草，假设每公顷原有草量相等，草的生长速度不变，问多少头牛8周吃完16公顷的牧草。 老师分析与提示： 牛吃草问题是很多奥数考试中备受青睐的一种题型，低至四年级，高至初中，都能考到。 难度虽然不大，但变形较多。 其实解决牛吃草问题也不难，主要掌握以下几个问题和思路 1、知道什么题算牛吃草问题？ 很多老师在讲牛吃草问题时，并没有指明，孩子也容易忽视。其实这是很重要的一点。 雪帆老师在这里提示各位同学和家长，牛吃草问题，主要是草会变，或增加，或减少。 （如果草不发生变化，就可能会变为归一问题，盈亏问题等。） 所以牛吃草有两大题型，一个长草，一个减草。 2、牛吃草问题的一个假设 我们常常假设单位牛头数在单位时间内吃的草为1份，这个容易被忽视，这个也很重要，首先它是用来计算两个草量，其实，它为后面的问题简化作铺垫。 3、牛吃草问题的两个关键量 生长量和原有草量。生长量容易做，因为随着天数的增加，草量会发生变化，根据差量法即可得到。 而原有草量是要注意长草还是减草的。 4、牛吃草问题的技巧 牛吃草问题的最大技巧就是把原有草量和生长量分开考虑。当原有草量吃完后，再把生长量考虑进去即可。 而生长量需要几头牛，正是利用了假设得到的。 5、牛吃草问题的变形 其中一个变形就是上面例题，草地的大小不同。
下面我就上面那道例题给出如下思路，有兴趣的朋友可以跟着一起思考： 1、假设一头牛一周吃一份 2、求出两次草量，因为草地大小不同，各自求出一公顷的草量； 3.根据草量之差，求一公顷的生长量； 4、根据生长量，和某一个草量，求一公顷的原有草量，这一步初学者请画图参考，很容易理解的。 5、题目让你求的是16公顷的，所以你要求出16公顷的生长量和原有草量； 6、先求原有草量8周需要几头牛，生长量需要几头牛吃完，就可以求出结果。
小学奥数各年级基本分类
小学奥数各年级基本分 类 Company number：【WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998】
小学奥数没有一个具体明确的内容区分，各类不同的学习教材和训练习题有不同编排，大致内容汇总如下： 一、计算专题：（1）整数（2）多位数（3）小数（4）分数（5）数列（6）数表（7）分数数列（8）比较大小（9）估算（10）定义新运算 二、数字迷专题：（1）竖式（2）横式（3）位值（4）幻方（5）数阵图 三、计数专题：（1）加法原理（2）乘法原理（3）排列（4）组合（5）容斥（6）几何计数（7）枚举法（8）标数法（9）概率初步 四、几何专题：（1）图形剪拼（2）格点和割补（3）直线形（4）曲线形（5）立体图形 五、数论专题：（1）奇数与偶数（2）质数与合数（3）约数与倍数（4）整除（5）余数（6）周期（7）进位制（8）取整（9）不定方程 六、应用题专题：（1）和差倍分（2）还原问题（3）年龄问题（4）平均数问题（5）比例（6）工程问题（7）浓度问题（8）经济问题（9）牛吃草 七、行程专题：（1）一般相遇追及问题（2）多人相遇追及问题（3）多次相遇追及问题（4）火车问题（5）间隔发车（6）流水行船（7）环形问题（8）钟表问题（9）平均速度（10）沙漠往返问题（11）校车问题（12）自动扶梯（13）十字路口问题八、组合专题：（1）抽屉原理（2）统筹与对策（3）逻辑推理（4）最值问题（5）构造论证类
就近几年“希望杯”试题分析来看，内容源于基础而难于基础，灵活性大，综合性强。平时训练内容大致可安排如下： 四年级： 1.整数的四则运算、运算定律、简便运算、等差数列求和； 2.基本图形、图形的拼组（分、合、移、补）、图形的变换、折叠与展开； 3.角的概念与度量、长方形、正方形的周长和面积、平行四边形、梯形的概念 和周长计算； 4.整数概念、数的整除特征、带余除法、平均数； 5.小数意义和性质、分数的初步认识； 6.应用题（植树问题、年龄问题、鸡兔同笼问题、工程问题、行程问题）； 7.几何计数、找规律、归纳、统计与可能性； 8.数迷、分析推理能力、数位、十进制表示方法； 9.生活数学（钟表、时间、人民币、位置与方向、长度、质量单位）。 五年级： 1.小数的四则运算、巧算与估算、小数近似、小数与分数的互换； 2.因数与倍数、质数与合数、奇偶的性质、数与数位； 3.三角形、平行四边形、梯形、多边形的面积； 4.长方体和正方体的表面积、体积、三视图、图形的变换； 5.简易方程； 6.应用题（还原问题、鸡兔同笼、盈亏问题、行程问题等）；生活数学； 7.包含与排除、分析推理能力、加法原理、乘法原理； 8.几何计数、找规律、归纳、统计与可能性。
牛吃草问题(五年级奥数讲解及例题分析)
小学奥数之牛吃草问题 牛吃草问题是小学奥数五年级的内容，学过的同学都知道这是一类比较复杂的应用题，还有一些相应的变形题：排队买票、大坝泄洪、抽水机抽水等等。 那么在这里讲下牛吃草问题的解题思路和解题方法、技巧供大家学习。 一、解决此类问题，孩子必须弄个清楚几个不变量：1、草的增长速度不变 2、草场原有草的量不变。草的总量由两部分组成，分别为：牧场原有草和新长出来的草。新长出来草的数量随着天数在变而变。 因此孩子要弄清楚三个量的关系： 第一：草的均匀变化速度（是均匀生长还是均匀减少） 第二：求出原有草量 第三：题意让我们求什么（时间、牛头数）。注意问题的变形：如果题目为抽水机问题的话，会让求需要多少台抽水机 二、解题基本思路 1、先求出草的均匀变化速度，再求原有草量。 2、在求出“每天新增长的草量”和“原有草量”后，已知头数求时间时，我们用“原有草量÷每天实际减少的草量（即头数与每日生长量的差）”求出天数。 3、已知天数求只数时，同样需要先求出“每天新生长的草量”和“原有草量”。 4、根据（“原有草量”+若干天里新生草量）÷天数”，求出只数 三、解题基本公式 解决牛吃草问题常用到的四个基本公式分别为： 1、草的生长速度＝对应的牛头数×吃的较多天数－相应的牛头数×吃的较少天数÷（吃的较多天数－吃的较少天数） 2、原有草量＝牛头数×吃的天数－草的生长速度×吃的天数 3、吃的天数＝原有草量÷（牛头数－草的生长速度） 4、牛头数＝原有草量÷吃的天数＋草的生长速度 四、下面举个例子 例题：有一牧场，已知养牛27头，6天把草吃尽；养牛23头，9天把草吃尽。如果养牛21头，那么几天能把牧场上的草吃尽呢？并且牧场上的草是不断生长的。 一般方法：先假设1头牛1天所吃的牧草为1，那么就有： （1）27头牛6天所吃的牧草为：27×6＝162 （这162包括牧场原有的草和6天新长的草。） （2）23头牛9天所吃的牧草为：23×9＝207 （这207包括牧场原有的草和9天新长的草。） （3）1天新长的草为：（207－162）÷（9－6）＝15 （4）牧场上原有的草为：27×6－15×6＝72 （5）每天新长的草足够15头牛吃，21头牛减去15头，剩下6头吃原牧场的草：72÷（21－15）＝72÷6＝12（天） 所以养21头牛，12天才能把牧场上的草吃尽 公式解法： （1）草的生长速度=（207－162）÷（9－6）＝15
小学四年级数学奥数题精选四种经典题型
小学四年级数学奥数题精选四种经典题型（含答案解析） 1 统筹规划 【试题】1、烧水沏茶时，洗水壶要用1分钟，烧开水要用10分钟，洗茶壶要用2分钟，洗茶杯用2分钟，拿茶叶要用1分钟，如何安排才能尽早喝上茶。 【分析】：先洗水壶然后烧开水，在烧水的时候去洗茶壶、洗茶杯、拿茶叶。共需要1+10=11分钟。 【试题】是2吨，大卡车与小卡车每车次的耗油量分别是10公升和5公升，问如何选派车辆才能使运输耗油量最少？这时共需耗油多少升？ 【分析】：依题意，大卡车每吨耗油量为10÷5=2(公升)；小卡车每吨耗油量为5÷2=2.5(公升)。为了节省汽油应尽量选派大卡车运货，又由于137=5×27+2，因此，最优调运方案是：选派27车次大卡车及1车次小卡车即可将货物全部运完，且这时耗油量最少，只需用油10×27+5×1=275(公升) 【试题】3、用一只平底锅烙饼，锅上只能放两个饼，烙熟饼的一面需要2分钟，两面共需4分钟，现在需要烙熟三个饼，最少需要几分钟？ 【分析】：一般的做法是先同时烙两张饼，需要4分钟，之后再烙第三张饼，还要用4分钟，共需8分钟，但我们注意到，在单独烙第三张饼的时候，另外一个烙饼的位置是空的，这说明可能浪费了时间，怎么解决这个问题呢？
我们可以先烙第一、二两张饼的第一面，2分钟后，拿下第一张饼，放上第三张饼，并给第二张饼翻面，再过两分钟，第二张饼烙好了，这时取下第二张饼，并将第三张饼翻过来，同时把第一张饼未烙的一面放上。两分钟后，第一张和第三张饼也烙好了，整个过程用了6分钟。 2 速算与巧算 【试题】计算9＋99＋999＋9999＋99999 【分析】在涉及所有数字都是9的计算中，常使用凑整法。例如将999化成1000—1去计算。这是小学数学中常用的一种技巧。 9＋99＋999＋9999＋99999 ＝(10－1)＋(100-1)＋(1000－1)＋(10000-1)＋(100000-1) ＝10＋100＋1000＋10000＋100000-5 ＝111110-5 ＝111105 3 年龄问题 【试题】爸爸、妈妈今年的年龄和是86岁，5年后，爸爸比妈妈大6岁。今年爸爸、妈妈两人各多少岁？ 【分析】 “5年后，爸爸比妈妈大6岁”，则今年爸爸比妈妈也是大6岁。 根据爸爸、妈妈今年的年龄和、年龄差，由和差问题的数量关系式，可以求出两人今年的年龄：
牛吃草问题例题详解(含练习和答案)
牛吃草问题 “一堆草可供10头牛吃3天，这堆草可供6头牛吃几天？”这道题太简单了，同学们一下就可求出：3×10÷6＝5（天）。如果我们把“一堆草”换成“一片正在生长的草地”，问题就不那么简单了，因为草每天都在生长，草的数量在不断变化。这类工作总量不固定（均匀变化）的问题就是牛吃草问题。 例1牧场上一片青草，每天牧草都匀速生长。这片牧草可供10头牛吃20天，或者可供15头牛吃10天。问：可供25头牛吃几天？ 分析与解：这类题难就难在牧场上草的数量每天都在发生变化，我们要想办法从变化当中找到不变的量。总草量可以分为牧场上原有的草和新生长出来的草两部分。牧场上原有的草是不变的，新长出的草虽然在变化，因为是匀速生长，所以这片草地每天新长出的草的数量相同，即每天新长出的草是不变的。下面，就要设法计算出原有的草量和每天新长出的草量这两个不变量。 设1头牛一天吃的草为1份。那么，10头牛20天吃200份，草被吃完；15头牛10天吃150份，草也被吃完。前者的总草量是200份，后者的总草量是150份，前者是原有的草加20天新长出的草，后者是原有的草加10天新长出的草。 200－150＝50（份），20—10＝10（天）， 说明牧场10天长草50份，1天长草5份。也就是说，5头牛专吃新长出来的草刚好吃完，5头牛以外的牛吃的草就是牧场上原有的草。由此得出，牧场上原有草 （l0—5）× 20＝100（份）或（15—5）×10＝100（份）。 现在已经知道原有草100份，每天新长出草5份。当有25头牛时，其中的5头专吃新长出来的草，剩下的20头吃原有的草，吃完需100÷20＝5（天）。 所以，这片草地可供25头牛吃5天。 在例1的解法中要注意三点： （1）每天新长出的草量是通过已知的两种不同情况吃掉的总草量的差及吃的天数的差计算出来的。 （2）在已知的两种情况中，任选一种，假定其中几头牛专吃新长出的草，由剩下的牛吃原有的草，根据吃的天数可以计算出原有的草量。 （3）在所求的问题中，让几头牛专吃新长出的草，其余的牛吃原有的草，根据原有的草量可以计算出能吃几天。
2020年新课标人教版小学四年级奥数题及答案
小学四年级奥数题：统筹规划 1、烧水沏茶时，洗水壶要用1分钟，烧开水要用10分钟，洗茶壶要用2分钟，洗茶杯用2分钟，拿茶叶要用1分钟，如何安排才能尽早喝上茶。 2、有137吨货物要从甲地运往乙地，大卡车的载重量是5吨，小卡车的载重量是2吨，大卡车与小卡车每车次的耗油量分别是10公升和5公升，问如何选派车辆才能使运输耗油量最少？这时共需耗油多少升？ 3、用一只平底锅烙饼，锅上只能放两个饼，烙熟饼的一面需要2分钟，两面共需4分钟，现在需要烙熟三个饼，最少需要几分钟？ 4、甲、乙、丙、丁四人同时到一个小水龙头处用水，甲洗拖布需要3分钟，乙洗抹布需要2分钟，丙用桶接水需要1分钟，丁洗衣服需要10分钟，怎样安排四人的用水顺序，才能使他们所花的总时间最少，并求出这个总时间。 5、甲、乙、丙、丁四个人过桥，分别需要1分钟，2分钟，5分钟，10分钟。因为天黑，必须借助于手电筒过桥，可是他们总共只有一个手电筒，并且桥的载重能力有限，最多只能承受两个人的重量，也就是说，每次最多过两个人。现在希望可以用最短的时间过桥，怎样才能做到最短呢？你来帮他们安排一下吧。最短时间是多少分钟呢？ 6、小明骑在牛背上赶牛过河，共有甲乙丙丁四头牛，甲牛过河需1分钟，乙牛需2分钟，丙牛需5分钟，丁牛需6分钟，每次只能骑一头牛，赶一头牛过河。要过河时间最少？是多少？
四年级奥数题：速算与巧算（一）1.【试题】计算9＋99＋999＋9999＋99999 2【试题】计算199999＋19999＋1999＋199＋19 3【试题】计算(2+4+6+…+996+998+1000)－－(1+3+5+…+995+997+999) 4【试题】计算9999×2222＋3333×3334 5.【试题】56×3+56×27+56×96-56×57+56 6.【试题】计算98766×98768－98765×98769
四年级奥数(有答案)(关于牛吃草和容斥原理)
1牧场上长满牧草，每牧草都均速生长。这片牧场可供10头牛吃20天，可供15头牛吃10天，可供25头牛吃几天？ 2牧场上有一片牧草，可供27头牛吃6周，或者供23头牛吃9周，如果牧草每周匀速生长，可供21头牛吃几周？ 3一片牧草，每天生长的速度相同，现在这片牧草可供16头牛吃20天，或者可供80只羊吃12天，如果1头牛的吃草量等于4只羊的吃草量，那么10头牛与60只羊一起吃可以吃多少天？ 4一只船发现漏水时，已经进了一些水，现在水匀速进入船内。如果10人舀水，3小时可舀光，5人舀水，8小时可舀光，如果要求2小时舀完，要安排多少人舀水？ 5一水库存水量一定，河水均匀入库，5台抽水机连续20天可抽干，6台同样的抽水机连续15天可抽干。若要求6天抽干，需要多少台同样的抽水机？ 6有一片草地，草每天生长的速度相同，这片草地可供5头牛吃40天，或者供6头牛吃30天，如果4头牛吃了30天以后，又增加了2头牛一起吃，这片草地可以再吃几天？ 7某车站检票前若干分钟就开始排队，每分钟来的旅客人数一样多。如果同时开放3个检票口，那么50分钟检票口前的队伍恰好消失，如果同时开放4个检票口，那么25分钟队伍恰好消失，如果同时开放7个检票口，那么队伍多少分钟恰好消失？ 8有三块草地，面积分别为5公顷，15公顷和24公顷。草地上的草一样厚，而且长的一样快。第一块草地可供10头牛吃30天，第二块草地可供28头牛吃45天。问第三块草地可供多少头牛吃80天？
1求不超过20的自然数中，2的倍数和3的倍数共有多少个？ 2五年级一班同学参加学校举行的棋类比赛，参加象棋比赛的有12人，参加围棋比赛的有7人，既参加象棋比赛又参加围棋比赛的有2人，五年级一班参加学校棋类比赛的一共多少人？ 3有100位旅客，其中10人不懂英语又不懂俄语，有75人懂英语，83人懂俄语，既懂英语又懂俄语的有多少人？ 4五年级一班50名同学中，喜欢打乒乓球的有28人，喜欢踢足球的有16人，两项活动都不喜欢的有12人，两项活动都喜欢的有多少人？ 5五年级一共有学生210人，一次考试中，语文优秀的120人，数学得优秀的150人，两科都得优秀的68人，两科都没得优秀的有多少人？ 6育英小学全校有1100人，其中订阅《中国少年报》的有560人，订阅《儿童文学》的有320人，订阅《小学生学习报》的有240人，订阅两种报刊的有340人，订阅三种报刊的20人，这个学校没有订阅任何报刊的有多少人？ 7六年级同学每人都喜欢一种活动，会骑车的有135人，会游泳的有118人，会下棋的有107人，既会骑车又会游泳的有82人，既会骑车又会下棋的有51人，既会游泳又会下棋的有43人，三种都会的有18人，六年级共有多少人？ 8某校五年级一班有学生54人，每人至少爱好一种球，爱好乒乓球的有40人，爱好足球的有20人，爱好排球的有30人，既爱好乒乓球又爱好排球的有18人，既爱好足球有爱好乒乓球的有14人，既爱好足球又爱好排球的有12人，三种球都爱好的有多少人？ 9六年级一班28个男生中，有14人喜欢打篮球，9人喜欢打排球，13人喜欢打羽毛球，另有2人既喜欢打羽毛球又喜欢打篮球，有3人既喜欢打羽毛球又喜欢打排球，每人至少喜欢一种球，但没有一个人三种球都喜欢，既喜欢打篮球又喜欢打排球的有几人？