线性规划总结
线性规划总结
Document number：NOCG-YUNOO-BUYTT-UU986-1986UT
线性规划题型总结
知识点
（1）在坐标系中画不等式Ax＋By＋C>0(或<0)所表示的区域时，把直线Ax＋By＋C＝0画成虚线以表示区域不包括边界直线；而画不等式Ax＋By＋C≥0(或≤0)所表示的平面区域时，要把直线画成实线以表示区域包括边界直线．
（2）简单线性规划问题是求线性目标函数在线性约束条件下的最优解，无论此类题目是以什么实际问题提出，其解题步骤为：一是寻求线性约束条件与线性目标函数；二是由二元一次不等式表示的平面区域作出可行域；三是在可行域内求目标函数的最优解．
（3）．确定不等式Ax＋By＋C>0(<0，≥0，≤0)表示直线Ax＋By＋C＝0的哪一侧时，常用下面的方法：先由等式定直线，然后在直线的某一侧任取一点（x0，y0），把它代入Ax＋By＋C>0，若不等式成立，则和(x0，y0)同侧的点都满足不等式，从而平面区域被找到，否则，直线的另一侧区域为不等式Ax＋By＋C>0所表示的区域，当C≠0时，常取特殊点（0，0）为代表，当C＝0时，直线过（0，0），常选（1，0）或（0，1）加以判断．这种方法可称为“直线定界，特殊点定域”．
（4）．求在线性约束条件下的线性目标函数t＝ax＋by的最值问题时，应先作出线性约束条件所表示的平面区域即可行域，再作出直线ax＋by＝0，平移直线ax＋by＝0，此时，在经过可行域内
的点且平行于ax ＋by ＝0的直线中，找出对应于t 最大（或最小）时的直线，最后求其最值．生产实际中的许多问题都可以归结为线性规划问题来求解．
题型一：给出具体的变量,x y 满足约束条件，求线性目标函数的最值。常用的方法：（1）画出变量所满足的可行区域，将目标函数变形，平行移动找出目标函数的最值；（2）直接找出这几条线的的交点，直接代入即可，这个方法只适用于封闭区域，若非封闭区域，只能采用第一用方法，画图。
例1、已知变量,x y 满足约束条件241y x y x y ≤??
+≥??-≤?
，则3z x y =+的最大值为( )
【解析】选B 约束条件对应ABC ?边际及内的区域：53
(2,2),(3,2),(,)22
A B C
则3[8,11]z x y =+∈
例2、若,x y 满足约束条件：02323x x y x y ≥??
+≥??+≤?；则x y -的取值范围为_____
【解析】x y -的取值范围为_____[3,0]-
约束条件对应ABC ?边际及内的区域：3
(0,3),(0,),(1,1)2
A B C
则[3,0]t x y =-∈-
练习题：
1、设变量,x y 满足-100+20015x y x y y ≤??
≤≤??≤≤?
，则2+3x y 的最大值为（D ）.
A ．20
B ．35
C ．45
D ．55
2、若,x y 满足约束条件10
30330x y x y x y -+≥???
+-≤??+-≥??，则3z x y =-的最小值为 。
答案：1-
3、【2012高考山东理5】已知变量,x y 满足约束条件222441x y x y x y +≥??
+≤??-≥-?
，则目标函数
3z x y =-的取值范围是
（A ）3[,6]2- （B ）3
[,1]2
--
（C ）[1,6]- （D ）3
[6,]2
-
【答案】A
4、已知变量x 、y 满足约束条件2
11y x y x y ≤??+≥??-≤?
,则3z x y =+的最大值为
（ ）
A ．12
B ．11
C ．3
D ．1-
5、（2012年高考（课标文））已知正三角形ABC 的顶点A(1,1),B(1,3),顶点C 在第一象限,若点
(x ,y )在△ABC 内部,则z x y =-+的取值范围是 （ ）
A ．(1-3,2)
B ．(0,2)
C ．(3-1,2)
D ．(0,1+3)
6、设函数ln ,0
()21,0x x f x x x >?=?--≤?,D 是由x 轴和曲线()y f x =及该曲线在点(1,0)处的切线所围成
的封闭区域,则2z x y =-在D 上的最大值为_____2______. 非线性目标函数的的求法：
（1）距离型目标函数：目标函数形式为“22z x y =+
，z =，22()()z x a y b =-+-”。
例1、已知点 P （x ，y ）的坐标满足条件4,1,x y y x y +≤??
≥??≥?
点O 为坐标原点，那么|PO |的最小值等于
________,最大值等于________.
例2、已知??
?
??≤≤+≥0,2-y -2x 0,1y -x 1,x 则x 2+y 2的最小值是__________________.
解析:??
???≤≤+≥0,2-y -2x 0,1y -x 1,x 画出可行域,得交点A(1,2),B(3,4),则x 2+y 2
的最小值是5.
答案:5
练习题：1、设x 、y 满足条件3
10x y y x y +??-?
??
≤≤≥，则22
(1)z x y =++的最小值 ． 2.设D 是不等式组21023041x y x y x y +≤??+≥?
?≤≤??≥?表示的平面区域,则D 中的点(,)P x y 到直线10x y +=距离的最大值_.
3、若,M N 是11106
x y x y x y ≥??≥?
?-+≥??+≤?表示的区域内的不同．．
两点，则||MN 的最大值是 。 4、如果点P 在平面区域???
??≥-≤-+≥+-012020
22y y x y x 上，点Q 在曲线的那么上||,1)2(22PQ y x =++最小值为
5、已知1,10,220x x y x y ≥??
-+≤??--≤?
则22x y +的最小值是 .
（2）斜率型目标函数:目标函数为1
1
,y y y x x x --型的，几何意义是可行域内的点与定点（0，
0）,(11,x y )连线的斜率
例4.设实数x , y 满足的最大值是则x y y y x y x ,0
320420
2??
?
??≤->-+≤-- .
练习题：1、 设,x y 满足约束条件0
4312
x y x
x y ≥??≥??+≤?，则23
1x y x +++取值范围是
2、设变量x 、y 满足约束条件???
??-≥≥+≤6
32x y y x x
y ，则1y x +最小值为
例2、已知x ，y 满足??
?
??≥-+≥≥≤-+0320,10
52y x y x y x ，则
x y 的最大值为___________，最小值为____________．
题型二：求可行域的面积：关键是准确画出可行域，根据其形状来计算面积，基本方法是利用三角形面积，或切割为三角形
例1、不等式组??
?
??≤≥+-≥-+2,02,02x y x y x 表示的平面区域的面积是 ( )
2 (B)4 2 (D)2
解：可行域是A,B(2,4),C(2,0)构成的三角形，易得面积为4 例
2、若不等式组220x y x y y x y a
-0??+??
??+?≥，
≤，
≥，≤表示的平面区域是一个三角形，则a 的取值范围是 例3、设二元一次不等式组2190802140x y x y x y ?+-?
-+??+-?
，，
≥≥≤所表示的平面区域为M ，使函数(01)x y a a a =>≠，的图
象过区域M 的a 的取值范围是（ ） A ．[13]， B ．[210]， C ．[29]，
D ．[10，
例4、若直线x y 2=上存在点),(y x 满足约束条件??
?
??≥≤--≤-+m x y x y x 0320
3，则实数m 的最大值为（ ）
A ．21
B ．1
C ．2
3
D ．2
解答：可行域如下：
）
（3,0）
（0,3）
，（2
3-0)
3,(m m -x
y 2=
所以，若直线x y 2=上存在点),(y x 满足约束条件??
?
??≥≤--≤-+m x y x y x 03203，
则m m 23≥-，即1≤m 。
练习题：1、不等式组236,
-0,
0x y x y y +≤??≥??≥?
.表示的平面区域的面积为 。
2、若不等式组0
3434
x x y x y ≥??+≥?
?+≤?
所表示的平面区域被直线4
3y kx =+分为面积相等的两部分，则k 的值是
3、在平面直角坐标系中，若不等式组101010x y x ax y +-≥??
-≤??-+≥?（α为常数）所表示的平面区域内 的面积
等于2，则a 的值为
4、使函数()34y x
f x y x x y ≤??=≥??+≤?
的目标函数(0)z ax by ab =+≠,在2,2x y ==取得最大值的充要条件是
A ||a b ≤
B ||||a b ≤
C ||a b ≥
D ||||a b ≥
题型三：若可行区域或者目标函数含有参量的情况，
（1）、约束条件设计参数形式，考查目标函数最值范围问题。 例
1、在约束条件0
24
x y y x s y x ≥??≥??
+≤??+≤?下，当35s ≤≤时，目标函数32z x y =+的最大值的变化范围是（）
A.[6,15]
B. [7,15]
C. [6,8]
D. [7,8]
（2）、已知最优解成立条件，探求目标函数参数的值或范围问题。
例1、已知变量x ，y 满足约束条件14
22
x y x y ≤+≤??-≤-≤?。若目标函数z ax y =+（其中0a >）仅在点
(3,1)处取得最大值，则a 的取值范围为 。
例2、已知实数x y ，满足121y y x x y m ??
-??+?
≥，≤，≤．如果目标函数z x y =-的最小值为1-，则实数m 等于
练习题：1、如果实数,x y 满足430
35250
1x y x y x -+≤??+-≤??≥?
，目标函数z kx y =+的最大值为12，最小 C
值为3，那么实数k 为
2、若直线2y x =上存在点(,)x y 满足约束条件30230x y x y x m
+-≤???
--≤??≥??,则实数m 的最大值为 （ ）
A ．-1
B ．1
C ．
32
D ．2
隐形线性规划问题
例1、在平面直角坐标系xOy ，已知平面区域{(,)|1,A x y x y =+≤且0,0}x y ≥≥，则平面区域
{(,)|(,)}B x y x y x y A =+-∈的面积为（ ）A ．2 B ．1 C ．
12 D ．14
解析：令12,0
2u v u x u x y u v v x y u v y u v +?
≤?=
?=+????∴+≥???
=--???=-≥???，作出区域是等腰直角三角形，可求出面积1122
1
=??=
s 例2、已知正数a b c ，，满足：4ln 53ln b c a a c c c a c b -+-≤≤≥，，则b a
的取值范围是 ▲ ．
【答案】[] 7e ，
。
【考点】可行域。
【解析】条件4ln 53ln b c a a c c c a c b -+-≤≤≥，可化
为：354a c a b
c c a b
c c
b e c
??+≥???+≤????≥?。
设==a b x y c c
，，则题目转化为：
已知x y ，满足354
00x
x y x y y e
x >y >+≥??+≤?
?≥???
，，求y x 的取值范围。 作出（x y ，）所在平面区域（如图）。求出=x y e 的切 线的斜率e ，设过切点()00P x y ，的切线为()=0y ex m m +≥，
则00000
==y ex m m e x x x ++，要使它最小，须=0m 。 ∴
y
x
的最小值在()00P x y ，处，为e 。此时，点()00P x y ，在=x y e 上,A B 之间。 当（x y ，）对应点C 时， =45=205=7=7=534=2012y x y x y
y x y x y x
x --???????--??，
∴y
x
的最大值在C 处，为7。 ∴
y x
的取值范围为[] 7e ，
，即b
a 的取值范围是[] 7e ，。 练习题：若0,0≥≥
b a ，且当?????≤+≥≥1,0,
0y x y x 时，恒有1≤+by ax ，则以a ,b 为坐标点P （a ，b ）所
形成的平面区域的面积等于____________。
题型四：知识点交汇问题:与不等式，函数，向量等知识进行综合命题
例1、已知：点P 的坐标（x ，y ）满足：430,3525,10.x y x y x -+≤??
+≤??-≥?
及A （2，0），则|OP |·cos ∠AOP
（O 为坐标原点）的最大值是 .
解：||cos OP AOP ∠即为OP 在OA 上的投影长，由，，M y x y x )25(2553,
034??
?
?=+=+-故所求最大值为
5
例2、设不等式组???≤≤≤≤20,
20y x ，表示平面区域为D ，在区域D 内随机取一个点，则此点到坐标原点
的距离大于2的概率是 （A ）
4π （B ）22π- （C ）6
π （D ）44π-
【解析】题目中???≤≤≤≤202
0y x 表示的区域如图正方形所示，而
动点D 可以存在
的位置为正方形面积减去四分之一圆的面积部分，因此
4422241
222
ππ-=
??-?=P ，故选D 。 【答案】D
练习题：1、 ,x y 满足条件4
1
x y y x x +≤??≥?
?≥?
，那么y x
x y +的最大值等于_______,最小值等于____________.
2. 已知A （3，3），O 为原点，点,0
02303),(y y x y x y x P ???
???
?≥≥+-≤-的坐标满足的最大值是 ，此时点P 的坐标是
3、x ，y 满足?????≥≥≥+-≤--0
,0020
63y x y x y x ，目标函数z=ax+by （a>0，b>0）的最大值为12，则23
a b +的最小值
为
4设,,,,,a b c x y z 是正数,且22210a b c ++=,22240x y z ++=,20ax by cz ++=,则
a b c
x y z
++=++
（ ） A ．14
B ．13
C ．12
D ．34
线性规划常见题型全集
绝密★启用前 2014-2015学年度???学校8月月考卷 试卷副标题 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I 卷（选择题） 请点击修改第I 卷的文字说明 一、选择题（题型注释） 1．已知实数x ，y 满足002x y x y ≥?? ≥??+≤? ，则z ＝4x ＋y 的最大值为( ) A 、10 B 、8 C 、2 D 、0 【答案】B 【解析】 试题分析：画出可行域，根据图形可知，当目标函数经过A(2，0)点时，z ＝4x ＋y 取得最大值为8 考点：线性规划. 2．若不等式组0220x y x y y x y a -≥??+≤? ?≥??+≤?，表示的平面区域是一个三角形区域，则a 的取值范围是 （ ） A.43a ≥ B.01a <≤ C.413 a ≤≤ D.01a <≤或43a ≥ 【答案】D
【解析】根据 22 x y x y y -≥ ? ?+≤ ? ? ≥ ? ?? 画出平面区域（如图1所示），由于直线x y a +=斜率为1-，纵截距为a， 自直线x y a +=经过原点起，向上平移，当01 a <≤时， 22 x y x y y x y a -≥ ? ?+≤ ? ? ≥ ? ?+≤ ? 表示的平面区域是一个三角形区域（如图2所示）；当 4 1 3 a <<时， 22 x y x y y x y a -≥ ? ?+≤ ? ? ≥ ? ?+≤ ? 表示的平面区域是一个四边形区域（如图3所示），当 4 3 a≥时， 22 x y x y y x y a -≥ ? ?+≤ ? ? ≥ ? ?+≤ ? 表示的平面区域是一个三角形区域（如图1所示），故选D. 图1 图2 图3 考点：平面区域与简单线性规划. 3．已知变量x,y满足约束条件 20 1 70 x y x x y -+≤, ? ? ≥, ? ?+-≤, ? 则 y x的取值范围是( ) A． 9[6] 5 ,B．9 (][6) 5 -∞,?,+∞C．(3][6) -∞,?,+∞D．(3,6]
线性规划总结
线性规划总结 Document number：NOCG-YUNOO-BUYTT-UU986-1986UT
线性规划题型总结 知识点 （1）在坐标系中画不等式Ax＋By＋C>0(或<0)所表示的区域时，把直线Ax＋By＋C＝0画成虚线以表示区域不包括边界直线；而画不等式Ax＋By＋C≥0(或≤0)所表示的平面区域时，要把直线画成实线以表示区域包括边界直线． （2）简单线性规划问题是求线性目标函数在线性约束条件下的最优解，无论此类题目是以什么实际问题提出，其解题步骤为：一是寻求线性约束条件与线性目标函数；二是由二元一次不等式表示的平面区域作出可行域；三是在可行域内求目标函数的最优解． （3）．确定不等式Ax＋By＋C>0(<0，≥0，≤0)表示直线Ax＋By＋C＝0的哪一侧时，常用下面的方法：先由等式定直线，然后在直线的某一侧任取一点（x0，y0），把它代入Ax＋By＋C>0，若不等式成立，则和(x0，y0)同侧的点都满足不等式，从而平面区域被找到，否则，直线的另一侧区域为不等式Ax＋By＋C>0所表示的区域，当C≠0时，常取特殊点（0，0）为代表，当C＝0时，直线过（0，0），常选（1，0）或（0，1）加以判断．这种方法可称为“直线定界，特殊点定域”． （4）．求在线性约束条件下的线性目标函数t＝ax＋by的最值问题时，应先作出线性约束条件所表示的平面区域即可行域，再作出直线ax＋by＝0，平移直线ax＋by＝0，此时，在经过可行域内
的点且平行于ax ＋by ＝0的直线中，找出对应于t 最大（或最小）时的直线，最后求其最值．生产实际中的许多问题都可以归结为线性规划问题来求解． 题型一：给出具体的变量,x y 满足约束条件，求线性目标函数的最值。常用的方法：（1）画出变量所满足的可行区域，将目标函数变形，平行移动找出目标函数的最值；（2）直接找出这几条线的的交点，直接代入即可，这个方法只适用于封闭区域，若非封闭区域，只能采用第一用方法，画图。 例1、已知变量,x y 满足约束条件241y x y x y ≤?? +≥??-≤? ，则3z x y =+的最大值为( ) 【解析】选B 约束条件对应ABC ?边际及内的区域：53 (2,2),(3,2),(,)22 A B C 则3[8,11]z x y =+∈ 例2、若,x y 满足约束条件：02323x x y x y ≥?? +≥??+≤?；则x y -的取值范围为_____ 【解析】x y -的取值范围为_____[3,0]- 约束条件对应ABC ?边际及内的区域：3 (0,3),(0,),(1,1)2 A B C 则[3,0]t x y =-∈- 练习题： 1、设变量,x y 满足-100+20015x y x y y ≤?? ≤≤??≤≤? ，则2+3x y 的最大值为（D ）. A ．20 B ．35 C ．45 D ．55 2、若,x y 满足约束条件10 30330x y x y x y -+≥??? +-≤??+-≥??，则3z x y =-的最小值为 。 答案：1-
线性规划所有类型总结(很全的)
线性规划，想说懂你很容易 线性规划是近两年高考的必考内容。学习简单线性规划的有关知识其最终目的就是运用它们去解决在线性约束条件下目标函数的最值（最大值或最小值）问题。而有关的题型种类较多，变化多样，应用线性规划的思想解题不能完全拘泥于课本中的z=ax+by 的形式，下面就从规划思想出发探讨常见的简单线性规划求最值问题。 1、目标函数形如z=ax+by 型： 例1（2008.全国Ⅱ）设变量x y ，满足约束条件：222y x x y x ?? +??-? ，，．≥≤≥，则 y x z 3-=的最小值是（ ） A ．2- B ．4- C ．6- D ．8- 解：画出可行域（如图1），由y x z 3-=可得331z x y -=，所以3 z -表示直线 331z x y -=的纵截距，由图可知当直线过点A （-2，2）时，z 的最小值是-8，选 D. 2、目标函数形如a x b y z --=型： 例2（2007.辽宁）已知变量x y ，满足约束条件20170x y x x y -+?? ??+-? ≤，≥，≤， 则 y x 的取值范围是（ ） A ．]6,59[ B ．[)965??-∞+∞ ??? ，， C ．(][)36-∞+∞ ，， D ．[36]， 解：画出可行域（如图2）， y x 表示可行域内的点（x,y ）与原点连线的斜率，求得A （1，6），C （29 ,25）, 且求得K OA =6，K OC =5 9， 所以659≤≤x y ，选A. 3、目标函数形如z=a bx+cy 型： 例3.（2008.北京）若实数x y ，满足1000x y x y x ?-+? +???， ，，≥≥≤则23x y z +=的 最小值是（ ）A ．0 B ．1 C D ．9 图1 图2 图3
线性规划常见题型大全
线性规划常见题型大全 Revised by BETTY on December 25,2020
绝密★启用前 2014-2015学年度?学校8月月考卷 试卷副标题 考试范围：xxx ；考试时间：100分钟；命题人：xxx 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I 卷（选择题） 一、选择题（题型注释） 1．已知实数x ，y 满足002x y x y ≥?? ≥??+≤? ，则z ＝4x ＋y 的最大值为( ) A 、10 B 、8 C 、2 D 、0 【答案】B 【解析】 试题分析：画出可行域，根据图形可知，当目标函数经过A(2，0)点时，z ＝4x ＋y 取得最大值为8 考点：线性规划. 2．若不等式组0220x y x y y x y a -≥??+≤? ?≥??+≤?，表示的平面区域是一个三角形区域，则a 的取值范围是（ ） A.43a ≥ B.01a <≤ C.413a ≤≤ D.01a <≤或43a ≥ 【答案】D
【解析】根据0220x y x y y -≥??+≤? ?≥??? 画出平面区域（如图1所示），由于直线x y a +=斜率为1-，纵截 距为a ， 自直线x y a +=经过原点起，向上平移，当01a <≤时，0220x y x y y x y a -≥??+≤? ?≥??+≤?表示的平面区域是一个 三角形区域（如图2所示）；当413a <<时，0 220x y x y y x y a -≥??+≤? ?≥? ?+≤ ?表示的平面区域是一个四边形区域 （如图3所示），当43a ≥时，0 220x y x y y x y a -≥??+≤? ?≥??+≤?表示的平面区域是一个三角形区域（如图1所 示），故选D. 图1 图2 图3 考点：平面区域与简单线性规划. 3．已知变量x,y 满足约束条件 20170x y x x y -+≤, ?? ≥,??+-≤, ? 则y x 的取值范围是( ) A ．9[6]5, B ．9(][6)5-∞,?,+∞ C ．(3][6)-∞,?,+∞ D ．(3,6] 【答案】A 【解析】 试题分析：画出可行域， y x 可理解为可行域中一点到原点的直线的斜率,可知可行域的边界交点为临界点（59,22），（1,6）则可知k ＝y x 的范围是9[6]5,. 考点：线性规划，斜率. 4．（5分）（2011?广东）已知平面直角坐标系xOy 上的区域D 由不等式组 给定．若M （x ，y ）为D 上的动点，点A 的坐标为 ，则 z=的最大值为（ ）
线性规划总结
线性规划总结 Last revised by LE LE in 2021
线性规划题型总结 知识点 （1）在坐标系中画不等式Ax ＋By ＋C >0(或<0)所表示的区域时，把直线Ax ＋By ＋C ＝0画成虚线以表示区域不包括边界直线；而画不等式Ax ＋By ＋C ≥0(或≤0)所表示的平面区域时，要把直线画成实线以表示区域包括边界直线． （2是以什么实际问题提出，其解题步骤为：一是寻求线性约束条件与线性目标函数；二是由二元一次不等式表示的平面区域作出可行域；三是在可行域内求目标函数的最优解． （3）．确定不等式Ax ＋By ＋C >0(<0，≥0，≤0)表示直线Ax ＋By ＋C ＝0的哪一侧时，常用下面的方法：先由等式定直线，然后在直线的某一侧任取一点（x 0，y 0），把它代入Ax ＋By ＋C >0，若不等式成立，则和(x 0，y 0)同侧的点都满足不等式，从而平面区域被找到，否则，直线的另一侧区域为不等式Ax ＋By ＋C >0所表示的区域，当C ≠0时，常取特殊点（0，0）为代表，当C ＝0时，直线过（0，0），常选（1，0）或（0，1）加以判断．这种方法可称为“直线定界，特殊点定域”． （4）．求在线性约束条件下的线性目标函数t ＝ax ＋by 的最值问题时，应先作出线性约束条件所表示的平面区域即可行域，再作出直线ax ＋by ＝0，平移直线ax ＋by ＝0，此时，在经过可行域内的点且平行于ax ＋by ＝0的直线中，找出对应于t 最大（或最小）时的直线，最后求其最值．生产实际中的许多问题都可以归结为线性规划问题来求解． 题型一：给出具体的变量,x y 满足约束条件，求线性目标函数的最值。常用的方法：（1）画出变量所满足的可行区域，将目标函数变形，平行移动找出目标函数的最值；（2）直接找出这几条线的的交点，直接代入即可，这个方法只适用于封闭区域，若非封闭区域，只能采用第一用方法，画图。 例1、已知变量,x y 满足约束条件241y x y x y ≤?? +≥??-≤? ，则3z x y =+的最大值为( ) 【解析】选B 约束条件对应ABC ?边际及内的区域：53 (2,2),(3,2),(,)22 A B C
线性规划常见题型大全
. 绝密★启用前 2014-2015学年度???学校8月月考卷 试卷副标题 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I 卷（选择题） 请点击修改第I 卷的文字说明 一、选择题（题型注释） 1．已知实数x ，y 满足002x y x y ≥?? ≥??+≤? ，则z ＝4x ＋y 的最大值为( ) A 、10 B 、8 C 、2 D 、0 【答案】B 【解析】 试题分析：画出可行域，根据图形可知，当目标函数经过A(2，0)点时，z ＝4x ＋y 取得最大值为8 考点：线性规划. 2．若不等式组0220x y x y y x y a -≥??+≤? ?≥??+≤?，表示的平面区域是一个三角形区域，则a 的取值范围是 （ ） B.01a <≤ C. D.01a <≤或【答案】D
试卷第2页，总17页 【解析】根据 22 x y x y y -≥ ? ?+≤ ? ? ≥ ? ?? 画出平面区域（如图1所示），由于直线x y a += 斜率为1 -，纵截距为a， 自直线x y a +=经过原点起，向上平移，当01 a <≤时， 22 x y x y y x y a -≥ ? ?+ ≤ ? ? ≥ ? ?+≤ ? 表示的平面区域是一个三角形区域（如图2所示） 时， 22 x y x y y x y a -≥ ? ?+≤ ? ? ≥ ? ?+≤ ? 表示的平面区域是一个四边形区域（如图3所示）时， 22 x y x y y x y a -≥ ? ?+≤ ? ? ≥ ? ?+≤ ? 表示的平面区域是一个三角形区域（如图1所示），故选D. 图1 图2 图3 考点：平面区域与简单线性规划. 3．已知变量x,y满足约束条件 20 1 70 x y x x y -+≤, ? ? ≥, ? ?+-≤, ? ( ) A．(3][6) -∞,?,+∞ D．(3,6] 【答案】A
重磅-八种经典线性规划例题最全总结(经典)
线性规划常见题型及解法 由已知条件写出约束条件，并作出可行域，进而通过平移直线在可行域内求线性目标函数的最优解是最常见的题型，除此之外，还有以下六类常见题型。 一、求线性目标函数的取值范围 例1、若G、P满足约束条件，则z=G+2P的取值范围是（） A、[2,6] B、[2,5] C、[3,6] D、（3,5] 解：如图，作出可行域，作直线l：G+2P＝0，将 l向右上方平移，过点A（2,0）时，有最小值 2，过点B（2,2）时，有最大值6，故选A 二、求可行域的面积 例2、不等式组表示的平面区域的面积为（） A、4 B、1 C、5 D、无穷大 解：如图，作出可行域，△ABC的面积即为所求，由梯形OMBC的面积减去梯形OMAC的面积即可，选B 三、求可行域中整点个数 例3、满足|G|＋|P|≤2的点（G，P）中整点（横纵坐标都是整数）有（） A、9个 B、10个 C、13个 D、14个 解：|G|＋|P|≤2等价于 作出可行域如右图，是正方形内部（包括边界），容易得到整点个数为13个，选D 四、求线性目标函数中参数的取值范围 取得最小值的最优解有无数个，则a的值为 （）
A 、－3 B 、3 C 、－1 D 、1 解：如图，作出可行域，作直线l ：G+aP ＝0，要使目标函数z=G+aP(a>0)取得最小值的最优解有无数个，则将l 向右上方平移后与直线G+P ＝5重合，故a=1，选D 五、求非线性目标函数的最值 例5、已知G 、P 满足以下约束条件 ，则z=G 2+P 2的最大值和最小值分别是（ ） A 、13，1 B 、13，2 C 、13， D 、， 解：如图，作出可行域,G 2+P 2是点（G ，P ）到原点 的距离的平方，故最大值为点A （2,3）到原点的距 离的平方，即|AO|2=13，最小值为原点到直线2G ＋P －2=0的距离的平方，即为，选C 六、求约束条件中参数的取值范围 例6、已知|2G －P ＋m|＜3表示的平面区域包含点（0,0）和（－1,1），则m 的取值范围是 （ ） A 、（-3,6） B 、（0,6） C 、（0,3） D 、（-3,3） 解：|2G －P ＋m|＜3等价于 由右图可知,故0＜m ＜3，选C 七、比值问题 当目标函数形如时,可把z 看作是动点与定点连线的斜率，这样目标函数的最值就转化为PQ 连线斜率的最值。 例已知变量G ，P 满足约束条件?????x －y ＋2≤0，x ≥1，x ＋y －7≤0，则y x 的取值范围是（）. （A ）[95，6]（B ）（－∞，95 ]∪[6，＋∞） （C ）（－∞，3]∪[6，＋∞）（D ）[3，6] 解析y x 是可行域内的点M （G ，P ）与原点O
线性规划题型总结
线性规划题型总结 1. “截距”型考题 在线性约束条件下，求形如(,) =+∈的线性目标函数的最值问题，通常转 z ax by a b R 化为求直线在y轴上的截距的取值. 结合图形易知，目标函数的最值一般在可行 域的顶点处取得.掌握此规律可以有效避免因画图太草而造成的视觉误差. 1．（2017天津）设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=x+y的最大值为（）A．B．1 C．D．3 答案：D 解：变量x，y满足约束条件的可行域如图： 目标函数z=x+y结果可行域的A点时，目标函数取得最大值，由可得A（0，3），目标函数z=x+y的最大值为：3． 2．（2017新课标Ⅲ）若x，y满足约束条件，则 z=3x﹣4y的最小值为． 答案：﹣1． 解：由z=3x﹣4y，得y=x﹣，作出不等式对应的可行域（阴影部分）， 平移直线y=x﹣，由平移可知当直线y=x﹣， 经过点B（1，1）时，直线y=x﹣的截距最大，此时z取得最小值， 将B的坐标代入z=3x﹣4y=3﹣4=﹣1，
即目标函数z=3x﹣4y的最小值为﹣1． 3．（2017浙江）若x、y满足约束条件，则z=x+2y的取值范围是（）A．[0，6] B．[0，4] C．[6，+∞）D．[4，+∞） 答案：D． 解：x、y满足约束条件，表示的可行域如图： 目标函数z=x+2y经过C点时，函数取得最小值， 由解得C（2，1）， 目标函数的最小值为：4 目标函数的范围是[4，+∞）． 4．（2016河南二模）已知x，y∈R，且满足，则z=|x+2y|的最大值为（） A．10 B．8 C．6 D．3 答案：C． 解：作出不等式组，对应的平面区域如图： （阴影部分） 由z=|x+2y|， 平移直线y=﹣x+z， 由图象可知当直线y=﹣x﹣z经过点A时，z取得最大 值，
线性规划问题中目标函数常见类型梳理
线性规划问题中目标函数常见类型梳理 山东 张吉林 线性规划问题中目标函数的求解是线性规划问题的重点也是难点，对于目标函数的含义学生往往理解的不深不透，只靠死记硬背，生搬硬套，导致思路混乱，解答出错。本文将有关线性规划问题中目标函数的常见类型梳理如下，以期对大家起到一定的帮助。 一 基本类型——直线的截距型（或截距的相反数） 例1.已知实数x 、y 满足约束条件0503x y x y x +≥??-+≥??≤? ，则24z x y =+的最小值为（ ） A ．5 B ．-6 C ．10 D ．-10 分析：将目标函数变形可得124 z y x =-+，所求的目标函数的最小值即一组平行直线12 y x b =-+在经过可行域时在y 轴上的截距的最小值的4倍。 解析：由实数x 、y 满足的约束条件，作可行域如图所示： 当一组平行直线L 经过图中可行域三角形ABC 区域的点C 时，在y 轴上的截距最小，又(3,3)C -，故24z x y =+的最小值为min 234(3)6z =?+?-=-，答案选B 。 点评：深刻地理解目标函数的含义，正确地将其转化为直线的斜率是解决本题的关键。 二 直线的斜率型 例2.已知实数x 、y 满足不等式组2240x y x ?+≤?≥? ,求函数31y z x +=+的值域. 解析：所给的不等式组表示圆22 4x y +=的右半圆(含边界)，
31 y z x +=+可理解为过定点(1,3)P --，斜率为z 的直线族．则问题的几何意义为：求过半圆域224(0)x y x +≤≥上任一点与点(1,3)P --的直线斜率的最大、最小值．由图知，过点P 和点(0,2)A 的直线斜率最大，max 2(3)50(1) z --==--．过点P 所作半圆的切线的斜率最小．设切点为(,)B a b ，则过B 点的切线方程为4ax by +=．又B 在半圆周上，P 在切线上，则有22434 a b a b ?+=?--=?解 得65a b ?=???--?=?? 因 此min z =。综上可知函数的值域 为???? 三 平面内两点间的距离型（或距离的平方型） 例3. 已知实数x 、y 满足10101x y x y y +-≤??-+≥??≥-? ，则22448w x y x y =+--+的最值为___________. 解析：目标函数2222 448(2)(2)w x y x y x y =+--+=-+-，其含义是点(2,2)与可行域内的点的距离的平方。由实数x 、y 所满足的不等式组作可行域如图所示：
简单的线性规划 习题含答案
线性规划教案 1.若x、y满足约束条件 2 2 2 x y x y ≤ ? ? ≤ ? ?+≥ ? ，则z=x+2y的取值范围是（） A、[2,6] B、[2,5] C、[3,6] D、（3,5] 解：如图，作出可行域，作直线l：x+2y＝0，将l向右上方平移，过点A（2,0）时，有最小值2，过点B（2,2）时，有最大值6，故选 A 2.不等式组 260 30 2 x y x y y +-≥ ? ? +-≤ ? ?≤ ? 表示的平面区域的面积为 （） A、4 B、1 C、5 D、无穷大解：如图，作出可行域，△ABC的面 积即为所求，由梯形OMBC的面积减去梯形OMAC的面积即可，选 B 3.满足|x|＋|y|≤2的点（x，y）中整点（横纵坐标都是整数）有（） A、9个 B、10个 C、13个 D、14个 解：|x|＋|y|≤2等价于 2(0,0) 2(0,0) 2(0,0) 2(0,0) x y x y x y x y x y x y x y x y +≤≥≥ ? ?-≤≥ ? ? -+≤≥ ? ?--≤ ? 作出可行域如右图，是正方形内部（包括边界），容易得到整点个数为13个，选 D 四、求线性目标函数中参数的取值范围 4.已知x、y满足以下约束条件 5 50 3 x y x y x +≥ ? ? -+≤ ? ?≤ ? ，使 z=x+ay(a>0)取得最小值的最优解有无数个，则a的值 为（） A、－3 B、3 C、－1 D、1 解：如图，作出可行域，作直线l：x+ay＝0，要使目标函 数z=x+ay(a>0)取得最小值的最优解有无数个，则将 l向右上方平移后与直线x+y＝5重合，故a=1，选 D 5.某木器厂生产圆桌和衣柜两种产品，现有两种木料，第一种有72m3，第二种有56m3，假设生产每种产品都需要用两种木料，生产一只圆桌和一个衣柜分别所需木料如下表所示.每生产一只圆桌可获利6元,生产
线性规划知识总结
线性规划知识总结 1. 二元一次不等式（组）表示的平面区域 （1）直线0:=++C By Ax l 把平面内不在直线上的点分成两部分，对于同一侧所有点的坐标代入Ax ＋By ＋C 中所得的值的符号都相同，异侧所有点的坐标代入Ax ＋By ＋C 所得的值的符号都相反。 （2）对于直线:l Ax ＋By ＋C ＝0，当B ≠0时，可化为：y ＝kx ＋b 的形式。对于二元一次不等式b kx y +≥表示的平面区域在直线y ＝kx ＋b 的上方（包括直线y ＝kx ＋b ）。对于二元一次不等式b kx y +≤表示的平面区域在直线y ＝kx ＋b 的下方（包括直线y ＝kx ＋b ）。 注意：二元一次不等式)0(0<>++或C By Ax 与二元一次不等式)0(0≤≥++C By Ax 所表示的平面区域不同，前者不包括直线Ax ＋By ＋C ＝0，后者包括直线Ax ＋By ＋C ＝0。 2. 线性规划 我们把求线性目标函数在线性目标条件下的最值问题称为线性规划问题。解决这类问题的基本步骤是： （1）确定好线性约束条件，准确画出可行域。 （2）对目标函数z ＝ax ＋by ，若b ＞0，则 b z 取得最大值（或最小值）时，z 也取得最大值（或最小值）；若b ＜0，则反之。 （3）一般地，可行域的边缘点有可能是最值点，有些问题可直接代入边缘点找最值。 （4）注意实际问题中的特殊要求。 说明：1. 线性目标函数的最大值、最小值一般在可行域的顶点处取得； 2. 线性目标函数的最大值、最小值也可在可行域的边界上取得，即满足条件的最优解有无数个。 知识点一：二元一次不等式（组）表示的平面区域 例1：基础题 1. 不等式组201202 y x x y -->?? ?-+≤??表示的平面区域是 （ ） A B C D 2. 如图，不等式组50 03x y x y x -+≥?? +≥??≤? 表示的平面区域面积是 ________________。
线性规划总结 (1)
线性规划题型总结 知识点 （1）在坐标系中画不等式Ax＋By＋C>0(或<0)所表示的区域时，把直线Ax＋By＋C＝0画成虚线以表示区域不包括边界直线；而画不等式Ax＋By＋C≥0(或≤0)所表示的平面区域时，要把直线画成实线以表示区域包括边界直线． （2 际问题提出，其解题步骤为：一是寻求线性约束条件与线性目标函数；二是由二元一次不等式表示的平面区域作出可行域；三是在可行域内求目标函数的最优解． （3）．确定不等式Ax＋By＋C>0(<0，≥0，≤0)表示直线Ax＋By＋C＝0的哪一侧时，常用下面的方法：先由等式定直线，然后在直线的某一侧任取一点（x0，y0），把它代入Ax＋By＋C>0，若不等式成立，则和(x0，y0)同侧的点都满足不等式，从而平面区域被找到，否则，直线的另一侧区域为不等式Ax＋By＋C>0所表示的区域，当C≠0时，常取特殊点（0，0）为代表，当C＝0时，直线过（0，0），常选（1，0）或（0，1）加以判断．这种方法可称为“直线定界，特殊点定域”．（4）．求在线性约束条件下的线性目标函数t＝ax＋by的最值问题时，应先作出线性约束条件所表示的平面区域即可行域，再作出直线ax＋by＝0，平移直线ax＋by＝0，此时，在经过可行域内的点且平行于ax＋by＝0的直线中，找出对应于t最大（或最小）时的直线，最后求其最值．生产实际中的许多问题都可以归结为线性规划问题来求解． 题型一：给出具体的变量,x y满足约束条件，求线性目标函数的最值。常用的方法：（1）画出变量所满足的可行区域，将目标函数变形，平行移动找出目标函数的最值；（2）直接找出这几条线的的交点，直接代入即可，这个方法只适用于封闭区域，若非封闭区域，只能采用第一用方法，画图。 例1、已知变量,x y满足约束条件 2 4 1 y x y x y ≤ ? ? +≥ ? ?-≤ ? ，则3 z x y =+的最大值为( ) 【解析】选B约束条件对应ABC ?边际及内的区域： 53 (2,2),(3,2),(,) 22 A B C 则3[8,11] z x y =+∈
线性规划经典例题
线性规划常见题型及解法 由已知条件写出约束条件，并作出可行域，进而通过平移直线在可行域内求线性目标函数的最优解是最常见的题型，除此之外，还有以下六类常见题型。 一、求线性目标函数的取值范围 例1、 若x 、y 满足约束条件222x y x y ≤?? ≤??+≥? ，则z=x+2y 的取值范围是 （ ） A 、[2,6] B 、[2,5] C 、[3,6] D 、（3,5] 解：如图，作出可行域，作直线l ：x+2y ＝0，将 l 向右上方平移，过点A （2,0）时，有最小值 2，过点B （2,2）时，有最大值6，故选A 二、求可行域的面积 例2、不等式组260302x y x y y +-≥?? +-≤??≤? 表示的平面区域的面积为 （ ） A 、4 B 、1 C 、5 D 、无穷大 解：如图，作出可行域，△ABC 的面积即为所求，由梯形OMBC 的面积减去梯形OMAC 的面积即可，选B 三、求可行域中整点个数 例3、满足|x|＋|y|≤2的点（x ，y ）中整点（横纵坐标都是整数）有（ ） A 、9个 B 、10个 C 、13个 D 、14个 x y O 2 2 x=2 y =2 x + y =2 B A 2x + y – 6= 0 = 5 x ＋y – 3 = 0 O y x A B C M y =2
解：|x|＋|y|≤2等价于2(0,0)2(0,0)2(0,0) 2 (0,0)x y x y x y x y x y x y x y x y +≤≥≥??-≤≥? ? -+≤≥??--≤? 作出可行域如右图，是正方形内部（包括边界），容易得到整 点个数为13个，选D 四、求线性目标函数中参数的取值范围 例4、已知x 、y 满足以下约束条件5503x y x y x +≥?? -+≤??≤? ，使z=x+ay(a>0) 取得最小值的最优解有无数个，则a 的值为 （ ） A 、－3 B 、3 C 、－1 D 、1 解：如图，作出可行域，作直线l ：x+ay ＝0，要使目标函数z=x+ay(a>0)取得最小值的最优解 有无数个，则将l 向右上方平移后与直线x+y ＝5重合，故a=1，选D 五、求非线性目标函数的最值 例5、已知x 、y 满足以下约束条件220240330x y x y x y +-≥?? -+≥??--≤? ，则z=x 2+y 2的最大值和最小值分别是（ ） A 、13，1 B 、13，2 C 、13，4 5 D 、 5 解：如图，作出可行域,x 2+y 2是点（x ，y ）到原点的距离的平方，故最大值为点A （2,3）到原点的距离的平方，即|AO|2=13，最小值为原点到直线2x ＋y －2=0的距离的平方，即为 4 5 ，选C 六、求约束条件中参数的取值范围 例6、已知|2x －y ＋m|＜3表示的平面区域包含点 （0,0）和（－ 1,1），则m 的取值范围是 （ ） A 、（-3,6） B 、（0,6） C 、（0,3） D 、（-3,3）
线性规划常见题型及解法(上课)
线性规划常见题型及解法 温故 1．不在3x+ 2y < 6 表示的平面区域内的一个点是（）A．（0，0）B．（1，1）C．（0，2）D．（2，0） 2．已知点（3 ，1）和点（－4 ，6）在直线3x–2y + m = 0 的两侧，则（）A．m＜－7或m＞24 B．－7＜m＜24 C．m＝－7或m＝24 D．－7≤m≤24 3．在△ABC中，三顶点坐标为A（2 ，4），B（－1，2），C（1 ，0 ），点P（x，y）在△ABC内部及边界运动，则z= x– y 的最大值和最小值分别是（） A．3，1 B．－1，－3 C．1，－3 D．3，－1 4．在直角坐标系中，满足不等式x２－y2≥0 的点（x，y）的集合（用阴影部分来表示）的是（） 5．如图所示，表示阴影部分的二元一次不等式组是（）A． 2 3260 y x y x ≥- ? ? -+> ? ?< ? B． 2 3260 y x y x >- ? ? -+≥ ? ?≤ ? C． 2 3260 y x y x >- ? ? -+> ? ?≤ ? D． 2 3260 y x y x >- ? ? -+< ? ?< ?
由已知条件写出约束条件，并作出可行域，进而通过平移直线在可行域内求线性目标函数的最优解是最常见的题型，除此之外，还有以下六类常见题型。 一、求线性目标函数的取值范围 例1、若x、y满足约束条件 2 2 2 x y x y ≤ ? ? ≤ ? ?+≥ ? ，则z=x+2y的取值范围是（） A、[2,6] B、[2,5] C、[3,6] D、（3,5] 解：如图，作出可行域，作直线l：x+2y＝0，将l向右上方平移，过点A（2,0）时，有最小值
简单的线性规划常见题型总结
简单的线性规划常见题型 第Ⅰ类 求线性目标函数的最值(z ax by =+截距型) 例1.设x,y 满足约束条件?? ???≥≤+-≤-1255334x y x y x ，求52z x y =+的最值 解：可行域是如图所示中ABC ?的区域，得A(5,2),B(1,1),C(1,5 22) 作出直线L 0：5x+10y=0，再将直线L 0平移, 当L 经过点B 时，y 轴截距最小，即z 达到最小值，得min 7z =. 当L 经过点A 时，y 轴截距最大，即z 达到最大值，得max 29z =,所以最大值是29，最小值是7 小试牛刀:1、若x y ，满足约束条件03003x y x y x ?+?-+??? ，，，≥≥≤≤则2z x y =-的最大值为 2、设变量,x y 满足约束条件1,1,33,x y x y x y -≥-??+≥??-≤?则目标函数4z x y =+的最大值 3、设变量x 、y 满足约束条件?? ???-≥≥+≤632x y y x x y ，则目标函数y x z +=2的最小值为 4、设,x y 满足24,1,22,x y x y x y +≥??-≥??-≤? 则z x y =+的最值为________ 第Ⅱ类 求可行域的面积 关键是准确画出可行域，根据其形状来计算面积，基本方法是利用三角形面积，或切割为三角形 例2.不等式组?? ???≤≥+-≥-+2,02,02x y x y x 表示的平面区域的面积是 ( ) 2 (B)4 2 (D)2 解：可行域是A(0.2),B(2,4),C(2,0)构成的三角形，易得面积为4 小试牛刀:1、不等式组236, -0, 0x y x y y +≤??≥??≥? .表示的平面区域的面积为 。
高考数学中的线性规划问题的总结分析
线性规划问题的专题研究 新教材试验修订本中简单的线性规划是新增的内容，在线性约束条件下研究目标函数的最值问题是一类常见的问题，在近几年高考试题中均有出现，而且灵活多变。本文结合08年高考出现的几个线性规划问题，对常见的线型规划问题作以专题总结研究。 一、08年高考中的线性规划问题的总结分析 1.基本问题 （1）（08年安徽理）如果实数x y 、满足条件101010x y y x y -+≥??+≥??++≤? ，那么2x y -的最大值为（ ） A ．2 B ．1 C ．2- D ．3- 解：本题为较基本的线性规划问题，解决方式应该是： 画定可行域；做目标函数对应平行线束；找到最 大值，如图所示显然是平行线过A 点时取 最大值，将A 点坐标代入有 max 1Z =，故选择B （2）（08年福建文） 已知实数x 、y 满足1,1,y y x ≤???≥-?? 则2x y +的最大值是＿＿＿＿ 解：本题也是一个基本题型，但从给定的约束条件来看，难度加大了，解法如图所示 当平行线过点()2,1B 时，2x y + 区的最大值为4
（3）（08年山东理）某公司招收男职员x 名，女职员y 名，x 和y 须 满足约束条件?? ???≤≥+-≥-.112,932,22115x y x y x 则z =10x +10y 的最大值是 (A)80 (B) 85 (C) 90 (D)95 解：本题是一个应用性的线性规划问题，经转化实质上是一个整点问题，实际的约束条件应为 51122,239,211, ,x y x y x x N y N -≥-??+≥??≤??∈∈?，画出区域如右图 过A 点时z 值最大，但由于A 点不是整点 故不能取到，所以应该是图中过整点（5，4）的直线使z 取最大值90 整点问题是线性规划部分的一个难点，但本题由于只是求最大值，唯有涉及到取整点是什么，所以难度降低了，但鉴于它是个应用题，还是比较灵活的。 （4）（08年辽宁理）双曲线224x y -=的两条渐近线与直线3x =围成一个三角形区域,表示该区域的不等式组是 (A)0003x y x y x -≥??+≥??≤≤? (B)0003x y x y x -≥??+≤??≤≤? (C) 0003x y x y x -≤??+≤??≤≤? (D) 0003x y x y x -≤??+≥??≤≤? 解：本题是一个综合性问题，既考查了线性规划又考查了双曲线的渐近线问题，但从难度上来说不大，但从此题可以看出，线性规划题型的灵活性，此题结果如下：双曲线224x y -=的两条渐近线方程为
线性规划常见题型大全样本
绝密★启用前 -???学校8月月考卷 试卷副标题 考试范畴：xxx ；考试时间：100分钟；命题人：xxx 注意事项： 1．答题前填写好自己姓名、班级、考号等信息 2．请将答案对的填写在答题卡上 第I 卷（选取题） 请点击修改第I 卷文字阐明 一、选取题（题型注释） 1．已知实数x ，y 满足002x y x y ≥??≥??+≤? ，则z ＝4x ＋y 最大值为( ) A 、10 B 、8 C 、2 D 、0 【答案】B 【解析】 试题分析：画出可行域，依照图形可知，当目的函数通过A(2，0)点时，z ＝4x ＋y 获得最大值为8 考点：线性规划.
2．若不等式组 22 x y x y y x y a -≥ ? ?+≤ ? ? ≥ ? ?+≤ ? ，表达平面区域是一种三角形区域，则a取值范畴是（） A. 4 3 a≥ B.01 a <≤ C. 4 1 3 a ≤≤ D.01 a <≤或 4 3 a≥ 【答案】D 【解析】依照 22 x y x y y -≥ ? ?+≤ ? ? ≥ ? ?? 画出平面区域（如图1所示），由于直线x y a +=斜率为1-，纵截距为a， 自直线x y a +=通过原点起，向上平移，当01 a <≤时， 22 x y x y y x y a -≥ ? ?+≤ ? ? ≥ ? ?+≤ ? 表达平面区域是一种三角形区域（如图2所示）；当 4 1 3 a <<时， 22 x y x y y x y a -≥ ? ?+≤ ? ? ≥ ? ?+≤ ? 表达平面区域是一种四边形区域（如图3所示），当 4 3 a≥时， 22 x y x y y x y a -≥ ? ?+≤ ? ? ≥ ? ?+≤ ? 表达平面区域是一种三角形区域（如图1所示），故选D.
高中数学线性规划题型总结
高考线性规划归类解析 一、已知线性约束条件，探求线性目标关系最值问题 例1、设变量x 、y 满足约束条件?? ???≥+-≥-≤-1122y x y x y x ，则y x z 32+=的最大值为 。 解析：如图1，画出可行域，得在直线2x-y=2与直 线x-y=-1的交点A(3,4)处，目标函数z 最大值为18 点评：本题主要考查线性规划问题,由线性约束条件画出 可行域,然后求出目标函数的最大值.，是一道较为简单的送 分题。数形结合是数学思想的重要手段之一。 二、已知线性约束条件，探求非线性目标关系最值问题 例2、已知1,10,220x x y x y ≥??-+≤??--≤? 则22x y +的最小值是 . 解析：如图2，只要画出满足约束条件的可行域，而22x y +表 示可行域内一点到原点的距离的平方。由图易知A （1，2）是满 足条件的最优解。22x y +的最小值是为5。 点评：本题属非线性规划最优解问题。求解关键是在挖掘目 标关系几何意义的前提下，作出可行域，寻求最优解。 三、约束条件设计参数形式，考查目标函数最值范围问题。 例3、在约束条件0 024x y y x s y x ≥??≥??+≤??+≤?下，当35s ≤≤时，目标函数32z x y =+的最大值的变化范围是（） A.[6,15] B. [7,15] C. [6,8] D. [7,8] 解析：画出可行域如图3所示,当34s ≤<时, 目标函数 32z x y =+在(4,24)B s s --处取得最大值, 即 max 3(4)2(24)4[7,8)z s s s =-+-=+∈;当45s ≤≤时, 目标函数 32z x y =+在点 (0,4)E 处取得最大值,即max 30248z =?+?=,故[7,8]z ∈,从而选D; 点评：本题设计有新意，作出可行域，寻求最优解条件，然后转化为目标函数Z 关于S 的函数关系是求解的关键。 四、已知平面区域，逆向考查约束条件。 例4、已知双曲线22 4x y -=的两条渐近线与直线3x =围成一个三 角形区域,表示该区域的不等式组是（） (A)0003x y x y x -≥??+≥??≤≤? (B) 0003x y x y x -≥??+≤??≤≤? (C) 0003x y x y x -≤??+≤??≤≤? (D) 图2 图 C
线性规划的常见题型及其解法(教师版,题型全,归纳好)
线性规划问题是高考的重点，而线性规划问题具有代数和几何的双重形式，多与函数、平面向量、数列、三角、概率、解析几何等问题交叉渗透，自然地融合在一起，使数学问题的解答变得更加新颖别致． 归纳起来常见的命题探究角度有： 1．求线性目标函数的最值． 2．求非线性目标函数的最值． 3．求线性规划中的参数． 4．线性规划的实际应用． 本节主要讲解线性规划的常见基础类题型． 【母题一】已知变量x ，y 满足约束条件???? ? x ＋y ≥3，x －y ≥－1， 2x －y ≤3，则目标函数z ＝2x ＋3y 的取值范围为( ) A ．[7，23] B ．[8，23] C ．[7，8] D ．[7，25] 求这类目标函数的最值常将函数z ＝ax ＋by 转化为直线的斜截式：y ＝－a b x ＋z b ，通过求 直线的截距z b 的最值，间接求出z 的最值． 【解析】画出不等式组???? ? x ＋y ≥3，x －y ≥－1， 2x －y ≤3， 表示的平面区域如图中阴影部分所示， 由目标函数z ＝2x ＋3y 得y ＝－23x ＋z 3，平移直线y ＝－2 3 x 知在点B 处目标函数取到最小值，解方程组 ????? x ＋y ＝3，2x －y ＝3，得????? x ＝2， y ＝1，所以B (2,1)，z min ＝2×2＋3×1＝7，在点A 处目标函数取到最大值，解方程组????? x －y ＝－1，2x －y ＝3，得????? x ＝4，y ＝5， 所以A (4,5)，z max ＝2×4＋3×5＝23． 【答案】A
【母题二】变量x ，y 满足???? ? x －4y ＋3≤0，3x ＋5y －25≤0， x ≥1， (1)设z ＝y 2x －1，求z 的最小值； (2)设z ＝x 2＋y 2，求z 的取值范围； (3)设z ＝x 2＋y 2＋6x －4y ＋13，求z 的取值范围． 点(x ，y )在不等式组表示的平面区域内，y 2x －1＝12·y －0 ??? ? x －12表示点(x ，y )和????12，0连线的斜率；x 2＋y 2表示点(x ，y )和原点距离的平方；x 2＋y 2＋6x －4y ＋13＝(x ＋3)2＋(y －2)2表示点(x ，y )和点(－3,2)的距离的平方． 【解析】(1)由约束条件???? ? x －4y ＋3≤0，3x ＋5y －25≤0， x ≥1， 作出(x ，y )的可行域如图所示． 由 ????? x ＝1，3x ＋5y －25＝0，解得A ????1，22 5． 由????? x ＝1， x －4y ＋3＝0，解得C (1,1)． 由? ???? x －4y ＋3＝0，3x ＋5y －25＝0，解得B (5,2)． ∵z ＝ y 2x －1 ＝y －0x －12 ×12 ∴z 的值即是可行域中的点与????12，0连线的斜率，观察图形可知z min ＝2－05－ 12×12＝29 ． (2)z ＝x 2＋y 2的几何意义是可行域上的点到原点O 的距离的平方． 结合图形可知，可行域上的点到原点的距离中， d min ＝|OC |＝2，d max ＝|OB |＝29． ∴2≤z ≤29． (3)z ＝x 2＋y 2＋6x －4y ＋13＝(x ＋3)2＋(y －2)2的几何意义是： 可行域上的点到点(－3,2)的距离的平方． 结合图形可知，可行域上的点到(－3,2)的距离中， d min ＝1－(－3)＝4， d max ＝(－3－5)2＋(2－2)2＝8 ∴16≤z ≤64．