运筹学第二章作业的参考答案要点

第二章作业的参考答案

73P 4、将下面的线性规划问题化成标准形式

????

????≤≤-≤≤≤-+≥+-+-6130326

32..2max 213213213

21x x x x x x x x t s x x x

解：将max 化为 min ，3x 用54

x x -代替，则

?????

??????≥≤≤-≤≤≤--+≥-+---+-0

,61303)(26)(32..)(2min 5421542154215421x x x x x x x x x x x x t s x x x x

令122

+='x x ，则

?????

??????≥≤'≤≤≤≤---'+≥-+-'----'+-0

,70303)()1(26)(3)1(2..)(21min 54215421542

1542

1x x x x x x x x x x x x t s x x x x

将线性不等式化成线性等式，则可得原问题的标准形式

?????

??????≥'=+'=+=++-'+=--+'--+-'+-0,,,,,,,73424332..122min 9876542

192

81754216542

1542

1x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x t s x x x x

73P 5、用图解法求解下列线性规划问题：

（1）??

????≥≤≤≥++2

12620..3min

212121x x x x t s x x

解：图2.1的阴影部分为此问题的可行区域。将目标函数的等值线c x x =+21

3（c 为常

数）沿它的负法线方向

），（31--移动到可行区域的边界上。于是交点T

），（812就是该问题的最优解，其最优值为36。

74P 12、对于下面的线性规划问题，以),,(632A A A B =为基写出对应的典式。

????

??=≥=+++-=++-=++-+-6,,1,010 83412 427 23.

.2min 63215214321321 j x x x x x x x x x x x x t s x x x j 解：先将方程组中基变量632,,x x x 的系数向量化成单位向量

???

?=≥-=+---=++-=++++-6,,1,039 47 4 2253 41 215

81 21 45..2min 65415215431321 j x x x x x x x x x x x x t s x x x j 利用线性方程组的典式，把32,x x 用541,,x x x 表示，再带入目标函数，则可得原问题相应于基),,(632A A A B =的典式

???

=≥-=+---=++-=++++---6,,1,039 47 4 2253 41 215

81 21 45..8321451min 654152154315

41 j x x x x x x x x x x x x t s x x x j

75P 16、用单纯形法求解下列线性规划问题：

(1)????

?????=≥≤-+≤+-≤+++--=3

,2,1,

020102603..2min 321321321321j x x x x x x x x x x t s x x x z j

解：将此问题化成标准形式

????

?????=≥=+-+=++-=++++--=6

,5,4,3,2,1,

020

102603..2min 63215

3214

321321j x x x x x x x x x x x x x t s x x x z j

以654,,x x x 为基变量，可得第一张单纯形表为

以1x 为

以2x 为

进基变量，

6x 为离基变量旋转

得解为

x )0,5,15(*=，最

所以最优优值为-35。

注：用单纯形法求解线性规划问题的步骤 Ⅰ、将问题化成标准形式； Ⅱ、找出初始解；

Ⅲ、写出第一张单纯形表，并化成典式； Ⅳ、判定和迭代。

① 判定：<1> 最优解（检验数向量0≤ξ）；<2> 问题无界（某个非基变量

k x 的检验数0>k ξ，且k x 在典式中的系数向量0≤k A ）

② 迭代步骤： <1> 确定进基变量

k x （检验数向量T ζ中最大的正分量）；

<2> 确定转轴元 rk a （进基变量所在的这一列中的正分量与右端向量中对应元素比值最小的）；

x 2

x 3x

x 5x 6x RHS

z 4

1x 2

<3> 确定离基变量

r x （转轴元所在的这一行对应的基变量）；

<4> 迭代计算（利用初等行变换，将转轴元变为1，转轴元所在的这一列

其它元素全部变为0）；

<5> 用进基变量

k x 代替离基变量 r x 。

（3）??

?????

?=≥=++=+-=-+=++-++-=7,6,5,4,3,2,1,06 0 10 2 6 3 ..min 763614326536

5321j x x x x x x x x x x x x t s x x x x x z j

解：在第三个等式两端同乘以-1，并以7125,,,x x x x 为基变量可得其单纯形表为

将第0行

的元素化为检验数可得

x 3

x 4

x 5

x 6

x 7

x RHS z 5x 2

由于

x 的检验数014

>=ξ，并且

x 在

典式中的系数向量

0)0,0,1,0(4≤-=T A ，所以问题无界。

75P 17、用两阶段法求解下列线性规划问题：

（2）???????≥≥+-≥-+=0,3232..42min 21212121x x x x x x t s x x z

解：将此问题化为标准形式

???

????≥=-+-=--+=0

,,,3 2 32..42min 43214213212

1x x x x x x x x x x t s x x z 添加人工变量65,x x 得到辅助问题

5x 2

???

????≥=+-+-=+--+=0

,,,,,3 2 32..min 654321642153216

5x x x x x x x x x x x x x x t s x x g 以65,x x 为基变量，可得辅助问题的单纯形表为

把g

所

在的这一行的元素化成检验数

以1x 为

进基变量，5

为离基变量旋转得

x 2

x 3

x 4

x 5x

x RHS z g

5x 6

所以，辅

助问题的最优解为

x )4,0,0,0,0,1(*=，其

最优值为04*

>=g 。因此，原问题没有可行解。

（4）???

???

?≥=+++-=+-+-+-=0,,,14 322 8 24 ..6542max 4321432143214321x x x x x x x x x x x x t s x x x x z

解：将此问题化成标准形式

???

????≥=+++-=+-++-+-=0

,,,14 322 8 24 ..6542min 4321432143214321x x x x x x x x x x x x t s x x x x z

添加人工变量65,x x 得到辅助问题

x 5x

x RHS z

???

????≥=++++-=++-++=0

,,,,,1 4 322 8 24 ..min 65432164321543216

5x x x x x x x x x x x x x x x x t s x x g 以65,x x 为基变量，可得辅助问题的单纯形表为

把g

所

在的这一行的元素化成检验数

以4x 为

进基变量，5x

为离基变量旋转得

x 3

x 4

x 5

x 6

x RHS z

5x 6

以

3x 为

进基变量，6x 为离基变量旋

转得

所以，辅

助问题的最优解为

T x )0,0,4

0,0,0(='，

其最优值为0='g 。因此，原问题的初始解为

T x )4

1,0,0,0(0

=，其第一张单纯形表为

以1x 为

进基变量，4x 为离基变量旋转得

x 3

x 4

x 5x

6x RHS

问题的最优解为T x

)0,3,0,8(*

=，最优

因此，原值为31。

76P 18、写出下列线性规划问题的对偶规划：

????

?????≥≤++=++≥++++=为自由变量

321321321321321,0,5533622432..42min x x x x x x x x x x x x t s x x x z

解：先将此问题化成一般形式

????

????≥-≥---=++≥++++=为自由变量3213

21321321321,0,5

533622432..42min x x x x x x x x x x x x t s x x x z

所以，其对偶规划为

????

??≥=-+≤-+≤-+-+为自由变量231321321321321,0,4564233122..532max ωωωωωωωωωωωωωωωt s

x 4x RHS

1x 3

77P 20、给定线性规划问题

????

?????≥=+≤++=0

,,32

5 2..min 32132213

1x x x x x x x t s x x z

记为（P ）

（1）用单纯形算法解P; （2）写出P 的对偶问题D;

（3）写出P 的互补松紧条件,并利用它们解对偶D;

解：(1) 把问题（P ）化为标准形式

???????≥=+=+++=0,,,321

52..min 43213242131x x x x x x x x x t s x x z

以31,x x 为基变量，可得到其单纯形表为:

把第0行

化成检验行，得

x 3

x 4

x RHS z 1x 3

以

2x 为

进基变量，1x

为离基变量，旋转得

根据最优

化准则知，问题（P ）的最优解为

T x )4

7,25,

0(*=, 最优值为 47.

(2) 将问题（P ）化为一般形式

?????≥=+-≥--+=0,, 321 52.. min 32123212131x x x x x x x t s x x z ωω

因此其对偶问题（D ）为

???

???≥≤≤+-≤-+-01021

..35max 1221

121ωωωωωωωt s

(3) 由问题（P ）的最优解为T

x )4

7,25,

0(*

=以及互补松紧性定律可得

x 3

x 4x RHS

z 2

???==+-1

2221ωωω

解得411=

ω ，12=ω. 所以，对偶问题（D ）的最优解为T )1,4

1(*

=ω，最优值为4

3521=+-ωω.

77P 22、用对偶单纯形法解下列问题.

（1）??

?????=≥≥+-≥++++=.

3,2,1,043232..432min 321321321i x x x x x x x t s x x x z i

解：引入剩余变量将原问题标准化

???

????=≥=-+-=-++++=.5,4,3,2,1,04

3232..432min 53

214321321i x x x x x x x x x t s x x x z i

再将约束条件两边同时乘以1-得

???

????=≥-=+-+--=+---++=.

5,4,3,2,1,04

3232..432min 53

214321321i x x x x x x x x x t s x x x z i

以54,x x 为基变量，可得其单纯形表为

以5

x 为离基变量，1x

为进基变量，旋转得

为离基变量，2x 为进基变量，旋转

以

x 得

根据最

优化准则知，原问题的最优解为

T x )0,5

,511(*=, 最优值为528.

注：用对偶单纯形方法求解线性规划问题的步骤： Ⅰ、将问题化成标准形式； Ⅱ、找出初始解；

Ⅲ、写出第一张单纯形表，并化成典式； Ⅳ、判定和迭代。

① 判定：<1> 最优解（右端向量0≥b

）；<2> 没有可行解（某个0

典式中r b 所在的这一行内没有负分量）

x 2

x 3x

4x 5x

RHS

z 2

② 迭代步骤： <1> 确定离基变量 r x （右端向量最小的负分量）

<2> 确定转轴元 rk

a （离基变量所在的这一行中的负分量与

ζ 中对应元素比

值最小的）

<3> 确定进基变量

x （转轴元所在的这一列对应的非基变量）

<4> 迭代计算（利用初等行变换，将转轴元变为1，转轴元所在的这一列其它元素全部变为0）；

<5> 用进基变量

x 代替离基变量

r x 。

（2）????

???

?=≥≥-≥-≤++++=.3,2,1,03 4 6..23min 32313213

21i x x x x x x x x t s x x x z i

解：先将原问题标准化

????

???

?=≥=--=--=+++++=.6,5,4,3,2,1,03

4 6 ..23min 6325314321321i x x x x x x x x x x x t s x x x z i 在第2、3个等式的两端同乘以-1，并以654,,x x x 为基变量，可得其单纯形表为

离基变量，1x 为进基变量，旋转

以5

x 为

得以

x 为

离基变量，

x 为进基变量，旋转得

所以，原问题没有可行解。(X4所在行)

78P 23、考虑第20题中的线性规划（P ）

，利用问题（P ）的最优单纯形表继续求解下列问

x 2

x 3

x 4

x 5

x 6

x RHS z 4

1x 2

(1) 1c 由1变为4

；解：因为只有非基变量1x 的价值系数1c 由1变为4

, 故只需要在问题（P ）的最优单纯形表中，把1x 的检验数按如下规则改变： 1))4

(1(45)(1

111=--+-='-+='c c ξξ，得到新问题的单纯形表如下

以1x 为进基变量，2x 为离基变量，旋转得

根据最优化准则知，修改后的线性规划问题的最优

T x )0,3,0,5(=,最优值为4

13-

. 解

为

(4) b 由???? ??35变为???

??32.

解：利用问题（P ）的最优单纯形表和问题（P ）的标准形式，可知问题（P ）的最优解

x )4

7,25,0(*=的基变量为2x 、3x ，其对应的可行基为???

??=12

02B 。因此， ????? ??=???? ???????

? ??-='='-251321410211b B b ，25251)1,0(),(320=????? ??='='='b c c b c z T

B 。所以只需修改（P ）的最优单纯形表的最后一列，可得新问题的单纯形表，

1x 3

根据最优

化准则知，新问题的最优解为

T x )2

,1,0(*=, 最优值为25。

1x 2x 3x 4x RHS z 2

运筹学试题及答案

运筹学A卷) 一、单项选择题(从下列各题四个备选答案中选出一个正确答案,答案选错或未选者,该题不得分。每小题1分,共10分) 1.线性规划具有唯一最优解就是指 A.最优表中存在常数项为零 B.最优表中非基变量检验数全部非零 C.最优表中存在非基变量的检验数为零 D.可行解集合有界 2.设线性规划的约束条件为则基本可行解为 A.(0, 0, 4, 3) B.(3, 4, 0, 0) C.(2, 0, 1, 0) D.(3, 0, 4, 0) 3.则 A.无可行解 B.有唯一最优解medn C.有多重最优解 D.有无界解 4.互为对偶的两个线性规划, 对任意可行解X 与Y,存在关系 A.Z > W B.Z = W C.Z≥W D.Z≤W 5.有6 个产地4个销地的平衡运输问题模型具有特征 A.有10个变量24个约束

B.有24个变量10个约束 C.有24个变量9个约束 D.有9个基变量10个非基变量 6、下例错误的说法就是 A.标准型的目标函数就是求最大值 B.标准型的目标函数就是求最小值 C.标准型的常数项非正 D.标准型的变量一定要非负 7、m+n－1个变量构成一组基变量的充要条件就是 A.m+n－1个变量恰好构成一个闭回路 B.m+n－1个变量不包含任何闭回路 C.m+n－1个变量中部分变量构成一个闭回路 D.m+n－1个变量对应的系数列向量线性相关 8.互为对偶的两个线性规划问题的解存在关系 A.原问题无可行解,对偶问题也无可行解 B.对偶问题有可行解,原问题可能无可行解 C.若最优解存在,则最优解相同 D.一个问题无可行解,则另一个问题具有无界解 9、有m个产地n个销地的平衡运输问题模型具有特征 A.有mn个变量m+n个约束…m+n-1个基变量 B.有m+n个变量mn个约束 C.有mn个变量m+n－1约束 D.有m+n－1个基变量,mn－m－n－1个非基变量 10.要求不超过第一目标值、恰好完成第二目标值,目标函数就是

运筹学课后习题答案

第一章线性规划1、由图可得：最优解为 2、用图解法求解线性规划： Min z=2x1+x2 ? ? ? ? ? ? ? ≥ ≤ ≤ ≥ + ≤ + - 10 5 8 24 4 2 1 2 1 2 1 x x x x x x 解：由图可得：最优解x=1.6,y=6.4

Max z=5x 1+6x 2 ? ?? ??≥≤+-≥-0 ,23222212 121x x x x x x 解：由图可得：最优解Max z=5x 1+6x 2, Max z= +∞

Maxz = 2x 1 +x 2 ????? ? ?≥≤+≤+≤0,5242261552121211x x x x x x x 由图可得：最大值?????==+35121x x x ，所以?????==2 3 21x x max Z = 8.

12 12125.max 2328416412 0,1,2maxZ .j Z x x x x x x x j =+?+≤? ≤?? ≤??≥=?如图所示，在（4，2）这一点达到最大值为2 6将线性规划模型化成标准形式： Min z=x 1-2x 2+3x 3 ????? ??≥≥-=++-≥+-≤++无约束 321 321321321,0,05232 7x x x x x x x x x x x x 解：令Z ’=-Z,引进松弛变量x 4≥0，引入剩余变量x 5≥0，并令x 3=x 3’-x 3’’,其中 x 3’≥0,x 3’’≥0 Max z ’=-x 1+2x 2-3x 3’+3x 3’’ ????? ? ?≥≥≥≥≥≥-=++-=--+-=+-++0 ,0,0'',0',0,05 232 '''7'''543321 3215332143321x x x x x x x x x x x x x x x x x x x

运筹学作业3(第二章部分习题)答案

运筹学作业2（第二章部分习题）答案 2．4 给出线性规划问题 123412341234min 2356232.. 2330,1,2,3,4 j z x x x x x x x x s t x x x x x j =+++?+++≥? -+-+≤-??≥=? （1）写出其对偶问题；（2）用图解法解对偶问题；（3）利用（2）的结果及根据对偶问题性质写出原问题的最优解。解：（1）原问题的对偶问题为： 12 12121212 12max 2322 23.. 35 36 0,0 w y y y y y y s t y y y y y y =--≤??+≤?? -≤??+≤??≥≤? 或者等价变形为： 12 12121212 12max 232223..3536 0,0 w y y y y y y s t y y y y y y =++≤??-≤?? +≤??-≤??≥≥? （2）用图解法求解对偶问题 12 12121212 max 2322 23.. 3536 w y y y y y y s t y y y y =++≤??-≤?? +≤??-≤ 如图示，可行区域为四边形OABC ，最优顶点为B 点，即(1.6,0.2)y * =， 3.8w * =

（3）利用互补松紧定理及（2）的结果求解原问题：设原问题的最优解为( )1 23 4x x x x x ** ***=。由于121.60, 0.20y y * * =>=>，故在最优解()12 3 4x x x x x ** * **=处有： 1234 1234232 2330,1,2,3,4j x x x x x x x x x j ******** * ?+++=??-+-+=-??≥=?? 又因对偶问题第4个约束方程为：1.6-0.6=1<6，故40x * =，代入上式得到： 123 123232 230,1,2,3,4j x x x x x x x j ****** * ?++=??-+-=-??≥=?? 原问题有无穷多个最优解。令30x *=得到解为1 1.6x *=，20.2x *= 即()1.60.200x * =， 3.8z * = 2．8题解答见课堂讲解。 2．9 用对偶单纯形法求解下列线性规划问题：（2） 123 123123123min 524324 .. 63510,,0z x x x x x x s t x x x x x x =++++≥?? ++≥??≥? , 解：先将原问题进行标准形化： 1231234123512345max()524324 .. 63510,,,,0 z x x x x x x x s t x x x x x x x x x -=---++-=?? ++-=??≥? 选45,x x 为基变量，并将问题化为： 1231234123512345max()524324 .. 63510,,,,0z x x x x x x x s t x x x x x x x x x -=------+=-?? ---+=-??≥? 列表计算如下：

运筹学作业答案1

《运筹学》作业第2章 1．某公司计划生产两种产品，已知生产单位产品所需的三种原材料的消耗及所获的利润，如下表所示。问应如何安排生产使该工厂获利最多？（建立模型，并用图解法求解）答：产品1和产品2分别生产15和7.5单位，最大利润是975. 2．某公司计划生产两种产品，已知生产单位产品所需的两种原材料的消耗和人员需要及所获的利润，如下表所示。问应如何安排生产使该工厂获利最多？（建立模型，并用图解法求解）答：产品1和产品2分别生产2和6单位，最大利润是3600. 3. 下表是一个线性规划模型的敏感性报告，根据其结果，回答下列问题： 1）是否愿意付出11元的加班费，让工人加班； 2）如果第二种家具的单位利润增加5元，生产计划如何变化？ Microsoft Excel 9.0 敏感性报告工作表 [ex2-6.xls]Sheet1 报告的建立: 2001-8-6 11:04:02 可变单元格终递减目标式允许的允许的单元格名字值成本系数增量减量 $B$15 日产量（件）100 20 60 1E+30 20 $C$15 日产量（件）80 0 20 10 2.5 $D$15 日产量（件）40 0 40 20 5.0 $E$15 日产量（件）0 -2.0 30 2.0 1E+30 约束终阴影约束允许的允许的单元格名字值价格限制值增量减量 $G$6 劳动时间（小时/件）400 8 400 25 100 $G$7 木材（单位/件）600 4 600 200 50

$G$8 玻璃（单位/件）800 0 1000 1E+30 200 答：1）因为劳动时间的阴影价格是8，所以不会愿意付出11元的加班费，让工人加班；2）因为允许的增加量是10，所以生产计划不变。 4某公司计划生产两种产品，已知生产单位产品所需的三种原材料的消耗及所获的利润，如 5. 下表是一个线性规划模型的敏感性报告，根据其结果，回答下列问题： 1）是否愿意付出11元的加班费，让工人加班； 2）如果工人的劳动时间变为402小时，日利润怎样变化？ 3）如果第二种家具的单位利润增加5元，生产计划如何变化？ Microsoft Excel 9.0 敏感性报告工作表 [ex2-6.xls]Sheet1 报告的建立: 2001-8-6 11:04:02 可变单元格终递减目标式允许的允许的单元格名字值成本系数增量减量 $B$15 日产量（件）100 20 60 1E+30 20 $C$15 日产量（件）80 0 20 10 2.5 $D$15 日产量（件）40 0 40 20 5.0 $E$15 日产量（件）0 -2.0 30 2.0 1E+30 约束终阴影约束允许的允许的单元格名字值价格限制值增量减量 $G$6 劳动时间（小时/件）400 8 400 25 100 $G$7 木材（单位/件）600 4 600 200 50 $G$8 玻璃（单位/件）800 0 1000 1E+30 200 答：1）因为劳动时间的阴影价格是8，所以不会愿意付出11元的加班费，让工人加班；2）日利润增加2*8=16 3）因为允许的增加量是10，所以生产计划不变。第3章 1．一公司开发出一种新产品，希望通过广告推向市场。它准备用电视、报刊两种广告形式。这两种广告的情况见下表。要求至少30万人看到广告，要求电视广告数不少于8个，

运筹学试题及答案汇总

3）若问题中 x2 列的系数变为（3，2）T，问最优解是否有变化； 4）c2 由 1 变为 2，是否影响最优解，如有影响，将新的解求出。 Cj CB 0 0 Cj-Zj 0 4 Cj-Zj 3 4 Cj-Zj 最优解为 X1=1/3,X3=7/5,Z=33/5 2对偶问题为Minw=9y1+8y2 6y1+3y2≥3 3y1+4y2≥1 5y1+5y2≥4 y1,y2≥0 对偶问题最优解为 y1=1/5,y2=3/5 3 若问题中 x2 列的系数变为（3，2）T 则P2’=(1/3,1/5σ2=-4/5＜0 所以对最优解没有影响 4）c2 由 1 变为2 σ2=-1＜0 所以对最优解没有影响 7. 求如图所示的网络的最大流和最小截集(割集，每弧旁的数字是（cij , fij ）。（10 分） V1 (9,5 (4,4 V3 (6,3 T 3 XB X4 X5 b 9 8 X1 6 3 3 X4 X3 1 8/5 3 3/5 3/5 X1 X3 1/3 7/5 1 0 0 1 X2 3 4 1 -1 4/5 -11/5 -1/3 1 - 2 4 X 3 5 5 4 0 1 0 0 1 0 0 X4 1 0 0 1 0 0 1/3 -1/ 5 -1/5 0 X5 0 1 0 -1 1/5 -4/5 -1/3 2/5 -3/5 VS (3,1 (3,0 (4,1 Vt (5,3 V2 解： (5,4 (7,5 V4 V1 (9,7 (4,4 V3 (6,4 (3,2 Vs (5,4 (4,0 Vt (7,7 6/9 V2 最大流＝11 (5,5 V4 8. 某厂Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三种产品分别经过 A、B、C 三种设备加工。已知生产单位各种产品所需的设备台时，设备的现有加工能力及每件产品的预期利润见表：ⅠⅡⅢ设备能力(台.h A 1 1 1 100 B 10 4 5 600 C 2 2 6 300 单

运筹学课后作业答案

<运筹学>课后答案 [2002年版新教材] 前言： 1、自考运筹学课后作业答案，主要由源头活水整理；gg2004、杀手、mummy、promise、月影骑士、fyb821等同学作了少量补充。 2、由于水平有限，容如果不对之处，敬请指正。欢迎大家共同学习，共同进步。 3、帮助别人，也是帮助自己，欢迎大家来到易自考运筹学版块解疑答惑。第一章导论P5 1.、区别决策中的定性分析和定量分析，试举例。定性——经验或单凭个人的判断就可解决时，定性方法定量——对需要解决的问题没有经验时；或者是如此重要而复杂，以致需要全面分析（如果涉及到大量的金钱或复杂的变量组）时，或者发生的问题可能是重复的和简单的，用计量过程可以节约企业的领导时间时，对这类情况就要使用这种方法。举例：免了吧。。。 2、. 构成运筹学的科学方法论的六个步骤是哪些？ .观察待决策问题所处的环境； .分析和定义待决策的问题； .拟定模型； .选择输入资料； .提出解并验证它的合理性（注意敏感度试验）； .实施最优解； 3、．运筹学定义：利用计划方法和有关许多学科的要求，把复杂功能关系表示成数学模型，其目的是通过定量分析为决策和揭露新问题提供数量根据第二章作业预测P25 1、. 为了对商品的价格作出较正确的预测，为什么必须做到定量与定性预测的结合？即使在定量预测法诸如加权移动平均数法、指数平滑预测法中，关于权数以及平滑系数的确定，是否也带有定性的成分？答：（1）定量预测常常为决策提供了坚实的基础，使决策者能够做到心中有数。但单靠定量预测有时会导致偏差，因为市场千变万化，影响价格的因素很多，有些因素难以预料。调查研究也会有相对局限性，原始数据不一定充分，所用的模型也往往过于简化，所以还需要定性预测，在缺少数据或社会经济环境发生剧烈变化时，就只能用定性预测了。（2）加权移动平均数法中权数的确定有定性的成分；指数平滑预测中的平滑系数的确定有定性的成分。 2.、某地区积累了5 个年度的大米销售量的实际值（见下表），试用指数平滑法，取平滑

运筹学第二章课后题

习题某厂利用A、B两种原料生产甲、乙、丙三种产品，已知单位产品所需的原料、利润及有关数据如表2—3所示。产品甲产品乙产品丙拥有量原料A63545 原料B34530 单位利润415 （1）求使该厂获利最大的生产计划。（2）若产品乙、丙的单位利润不变，当产品甲的单位利润在什么范围内变化时，最优解不变（3）若原料A市场紧缺，除拥有量外一时无法购进，而原料B如数量不足可去市场购买，单价为，问该厂是否应该购买，且以购进多少为宜解：（1）设产品甲的产量为x1，产品乙的产量为x2，产品丙的产量为x3. 目标函数为:Max z=4 x1 + x2+5 x3 约束条件：. 该线性规划模型为：答：该厂获利最大的生产计划为产品甲产量为5，产品乙产量为0，产品丙产量为3，总利润为35。（2）敏感性报告为：

答：如数据显示，产品甲的单位利润变化范围为：。（3）敏感性报告为：由敏感性报告显示原料B允许的增量为15，其影子价格为，又因为市场上原料B 单价为，此时，总利润为。答：该厂可购买15。习题已知某工厂计划生产三种产品，各产品需要在设备A、B、C上加工，有关数据如表2—5所示。产品A产品B产品C每月设备有效台时设备A8210300 设备B1058400 设备C21310420 单位利润（千元）32 请分别回答下列问题： (1)如何充分发挥设备能力，才能使生产盈利最大 (2)为了增加产量，可借用其他工厂的设备B，若每月可借用60台时，租金为万元，问借用设备B是否合算 (3)若另有两种新产品（产品4和产品5），其中生产每件新产品4需用设备A、 B、C各12、5、10台时，单位赢利千元；生产每件新产品5需用设备A、B、 C各4、4、12台时，单位赢利千元。如果设备A、B、C台时不增加，分别回答这两种新产品的投资在经济上是否合算 (4)对产品工艺重新进行设计，改进构造。改进后生产每件产品1，需用设备A、 B、C各9、12、4台时，单位赢利千元，问这对原生产计划有何影响

运筹学试题及答案4套

《运筹学》试卷一一、（15分）用图解法求解下列线性规划问题二、（20分）下表为某求极大值线性规划问题的初始单纯形表及迭代后的表，、为松弛变量，试求表中到的值及各变量下标到的值。 -13 1 1 6 1 1-200 2-1 1 1/2 1/2 1 4 07 三、（15分）用图解法求解矩阵对策，其中四、（20分）（1）某项工程由8个工序组成，各工序之间的关系为工序a b c d e f g h 紧前工序——a a b,c b,c,d b,c,d e 试画出该工程的网络图。（2）试计算下面工程网络图中各事项发生的最早、最迟时间及关键

线路（箭线下的数字是完成该工序的所需时间，单位：天）五、（15分）已知线性规划问题其对偶问题最优解为，试根据对偶理论求原问题的最优解。六、（15分）用动态规划法求解下面问题：

七、（30分）已知线性规划问题用单纯形法求得最优单纯形表如下，试分析在下列各种条件单独变化的情况下，最优解将如何变化。 2 -1 1 0 0 2 3 1 1 3 1 1 1 1 1 6 10 0 -3 -1 -2 0 （1）目标函数变为；（2）约束条件右端项由变为；（3）增加一个新的约束：八、（20分）某地区有A、B、C三个化肥厂向甲、乙、丙、丁四个销地供应同一种化肥，已知产地产量、销地需求量和各产地运往不同销地单位运价如下表，试用最小元素法确定初始调运方案，并调整求最优运输方案销地产地甲乙丙丁产量 A41241116 B2103910

C8511622需求量814121448 《运筹学》试卷二一、（20分）已知线性规划问题：（a）写出其对偶问题；（b）用图解法求对偶问题的解；（c）利用（b）的结果及对偶性质求原问题的解。二、（20分）已知运输表如下：销地产地B1B2B3B4供应量 50 A 1 3 2 7 6 A 2 60 7 5 2 3 25 A 3 2 5 4 5 需求量60 40 20 15 （1）用最小元素法确定初始调运方案；（2）确定最优运输方案及最低运费。三、（35分）设线性规划问题 maxZ=2x1+x2+5x3+6x4

运筹学(胡运权)第五版课后答案-运筹作业

47页1.1b 用图解法找不到满足所有约束条件的公共范围，所以该问题无可行解47页1.1d 无界解 1 2 3 4 5 4 3 2 1 - 1 -6 -5 -4 -3 -2 X2 X1 2x1- -2x1+3x 1 2 3 4 4 3 2 1 X1 2x1+x2=2 3x1+4x2= X

1.2（b）约束方程的系数矩阵A= 1 2 3 4 2 1 1 2 P1 P2 P3 P4 基基解是否可行解目标函数值X1 X2 X3 X4 P1 P2 -4 11/2 0 0 否 P1 P3 2/5 0 11/5 0 是43/5 P1 P4 -1/3 0 0 11/6 否 P2 P3 0 1/2 2 0 是 5 P2 P4 0 -1/2 0 2 否 P3 P4 0 0 1 1 是 5 最优解A=(0 1/2 2 0)T和(0 0 1 1)T 49页13题设Xij为第i月租j个月的面积 minz=2800x11+2800x21+2800x31+2800x41+4500x12+4500x22+4500x32+6000x1 3 +6000x23+7300x14 s.t. x11+x12+x13+x14≥15 x12+x13+x14+x21+x22+x23≥10 x13+x14+x22+x23+x31+x32≥20 x14+x23+x32+x41≥12 Xij≥0 用excel求解为： ( )

用LINDO求解： LP OPTIMUM FOUND AT STEP 3 OBJECTIVE FUNCTION V ALUE

运筹学试题及答案.

运筹学试题及答案一、填空题(本大题共8小题，每空2分，共20分) 1．线性规划问题中，如果在约束条件中出现等式约束，我们通常用增加__人工变量_的方法来产生初始可行基。2．线性规划模型有三种参数，其名称分别为价值系数、_技术系数 __和__限定系数_。 3．原问题的第1个约束方程是“=”型，则对偶问题相应的变量是__无非负约束(或无约束、或自由)_变量。 4．求最小生成树问题，常用的方法有：避圈法和 _破圈法__。 5．排队模型M／M／2中的M，M，2分别表示到达时间为__负指数_分布，服务时间服从负指数分布和服务台数为2。 6．如果有两个以上的决策自然条件，但决策人无法估计各自然状态出现的概率，那么这种决策类型称为__不确定__型决策。 7．在风险型决策问题中，我们一般采用__效用曲线_来反映每个人对待风险的态度。 8．目标规划总是追求目标函数的_ 最小 __值，且目标函数中没有线性规划中的价值系数，而是在各偏差变量前加上级别不同的__ 优先因子(或权重)__。二、单项选择题(本大题共l0小题，每小题3分，共30分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。多选无分。 9．使用人工变量法求解极大化线性规划问题时，当所有的检验数在基变量中仍含有非零的人工变量，表明该线性规划问题【 D 】 A．有唯一的最优解 B．有无穷多最优解 C．为无界解 D．无可行解 10．对偶单纯形法解最大化线性规划问题时，每次迭代要求单纯形表中【 D 】 A．b列元素不小于零 B．检验数都大于零 C．检验数都不小于零 D．检验数都不大于零 11．已知某个含10个结点的树图，其中9个结点的次为1，1，3，1，1，1，3，1，3，则另一个结点的次为【 A 】A．3 B．2 C．1 D．以上三种情况均有可能 12．如果要使目标规划实际实现值不超过目标值。则相应的偏离变量应满足【 B 】 13．在运输方案中出现退化现象，是指数字格的数目【 C 】 A．等于 m+n B．等于m+n-1 C．小于m+n-1 D．大于m+n-1 16．关于线性规划的原问题和对偶问题，下列说法正确的是【 B 】 A．若原问题为无界解，则对偶问题也为无界解 B．若原问题无可行解，其对偶问题具有无界解或无可行解 c．若原问题存在可行解，其对偶问题必存在可行解

2019管理运筹学课后答案

第一章第一章 1. 建立线性规划问题要具备三要素：决策变量、约束条件、目标函数。决策变量（Decision Variable）是决策问题待定的量值，取值一般为非负；约束条件（Constraint Conditions）是指决策变量取值时受到的各种资源条件的限制，保障决策方案的可行性；目标函数（Objective Function）是决策者希望实现的目标，为决策变量的线性函数表达式，有的目标要实现极大值，有的则要求极小值。 2.（1）设立决策变量；（2）确定极值化的单一线性目标函数；（3）线性的约束条件：考虑到能力制约，保证能力需求量不能突破有效供给量；（4）非负约束。 3.（1）唯一最优解：只有一个最优点（2）多重最优解：无穷多个最优解（3）无界解：可行域无界，目标值无限增大（4）没有可行解：线性规划问题的可行域是空集无界解和没有可行解时，可能是建模时有错。 4. 线性规划的标准形式为：目标函数极大化，约束条件为等式，右端常数项bi≥0 , 决策变量满足非负性。如果加入的这个非负变量取值为非零的话，则说明该约束限定没有约束力，对企业来说不是紧缺资源，所以称为松弛变量；剩余变量取值为非零的话，则说明“≥”型约束的左边取值大于右边规划值，出现剩余量。 5. 可行解：满足约束条件AX =b,X≥0的解，称为可行解。基可行解：满足非负性约束的基解，称为基可行解。可行基：对应于基可行解的基，称为可行基。最优解：使目标函数最优的可行解，称为最优解。最优基：最优解对应的基矩阵，称为最优基。 6. 计算步骤：第一步，确定初始基可行解。第二步，最优性检验与解的判别。第三步，进行基变换。第四步，进行函数迭代。判断方式：唯一最优解：所有非基变量的检验数为负数，即σj< 0 无穷多最优解：若所有非基变量的检验数σj≤ 0 ，且存在某个非基变量xNk 的检验数σk= 0 ，让其进基，目标函数的值仍然保持原值。如果同时存在最小θ值，说明有离基变量，则该问题在两个顶点上同时达到最优，为无穷多最优解。无界解：若某个非基变量xNk 的检验数σk> 0 ，但其对应的系数列向量P k' 中，每一个元素a ik' (i=1,2,3,…,m)均非正数，即有进基变量但找不到离基变量。

管理运筹学作业答案MBA

第1章线性规划基本性质 P47 1—1（2）解：设每天从i 煤矿()2,1=i 运往j 城市()3,2,1=j 的煤为ij x 吨，该问题的LP 模型为： () ?????????? ?==≥=+=+=+=++=+++++++==∑∑==3,2,1;2,10200150100250 200 ..85.681079min 231322122111232221 13121123 22211312112 13 1j i x x x x x x x x x x x x x t s x x x x x x x c ij i j ij ij ω P48 1—2（2） ??? ??≥-≤-≥-+=0,)2(33) 1(0..max 2 1212121x x x x x x t s x x z

解：Φ =2 1 R R ，则该LP 问题无可行解。 P48 1—2（3） ??? ??≥-≥-≥--=0,)2(55)1(0..102min 2 1212121x x x x x x t s x x z

解：目标函数等值线与函数约束（2）的边界线平行，由图可知则该LP 问题为多重解（无穷多最优解）。 ?? ?? ?==????-=-=-45 45550212121x x x x x x 则10 ,45,45**1-=?? ? ??=z X T （射线QP 上所有点均为最优点） P48 1—2（4） ???????≥≤-≤+≤+--=0 ,)3(22)2(825) 1(1043..1110min 212121 2121x x x x x x x x t s x x z

运筹学习题解答(chap2)(1)(1)

第二章对偶问题与灵敏度分析一、写出下列线性规划的对偶问题 1、P89,2.1(a) 321422m in x x x Z ++= s.t ???????≥=++≤++≥++. ,0,;534;332;2433213213 21321无约束x x x x x x x x x x x x 解：原模型可化为 321422m in x x x Z ++= s.t ????? ??≥=++≥≥++. ,0,;534; 3-3--2-;24332 13 2 1 32132 1321无约束x x x y y y x x x x x x x x x 于是对偶模型为 321532m ax y y y W +-= s.t ???????≥≤+-≤+-≤+-.,0,;4334;243;223213213 21321无约束 y y y y y y y y y y y y 2、P89,2.1(b) 321365m ax x x x Z ++= s.t ???????≤≥≤++≥-+-=++. 0,0,;8374;35;5223213213 21321x x x x x x x x x x x x 无约束解：令033 ≥-='x x 原模型可化为 3 21365m ax x x x Z '-+=

s.t ????? ??≥'≥≤'+≤'='+. 0,0,; 83-74;3--5-;52-2321 3 21 3213 21321x x x y y y x x x x x x x x x 无约束于是对偶模型为 321835m in y y y W +-= s.t ???????≥-≥---≥+-=++. 0,,; 332;6752;543213213 21321y y y y y y y y y y y y 无约束或???????≥≤++≥+-=++.0,,;332; 6752; 54321321321321y y y y y y y y y y y y 无约束二、灵敏度分析 1、P92, 2.11线性规划问题 213m ax x x Z += s.t ??? ??≥≤+≤+0,1025; 742 12121x x x x x x 最优单纯形表如下试用灵敏度分析的方法，分析：（1）目标函数中的系数21,c c 分别在什么范围内变化，最优解不变？（2）约束条件右端常数项21,b b 分别在什么范围内变化，最优基保持不变？解：（1） 1c 的分析：要使得最优解不变，则需

最全的运筹学复习题及答案78213

四、把下列线性规划问题化成标准形式： 2、minZ=2x1-x2+2x3 五、按各题要求。建立线性规划数学模型 1、某工厂生产A、B、C三种产品，每种产品的原材料消耗量、机械台时消耗量以及这些资源的限量，单位产品的利润如下表所示：

根据客户订货，三种产品的最低月需要量分别为200，250和100件，最大月销售量分别为250，280和120件。月销售分别为250 ，280和120件。问如何安排生产计划，使总利润最大。 2、某建筑工地有一批长度为10米的相同型号的钢筋，今要截成长度为3米的钢筋 90根，长度为4米的钢筋60根，问怎样下料，才能使所使用的原材料最省? 1．某运输公司在春运期间需要24小时昼夜加班工作，需要的人员数量如下表所示：起运时间服务员数 2—6 6—10 10一14 14—18 18—22 22—2 4 8 10 7 12 4 每个工作人员连续工作八小时，且在时段开始时上班，问如何安排，使得既满足以上要求，又使上班人数最少?

五、分别用图解法和单纯形法求解下列线性规划问题．并对照指出单纯形迭代的每一步相当于图解法可行域中的哪一个顶点。

六、用单纯形法求解下列线性规划问题：七、用大M法求解下列线性规划问题。并指出问题的解属于哪一类。

八、下表为用单纯形法计算时某一步的表格。已知该线性规划的目标函数为maxZ=5x1+3x2，约束形式为“≤”，X3，X4为松驰变量．表中解代入目标函数后得Z=10 X l X2X3X4 —10 b -1 f g X3 2 C O 1 1／5 X l a d e 0 1 (1)求表中a～g的值 (2)表中给出的解是否为最优解? （1）a=2 b=0 c=0 d=1 e=4/5 f=0 g=－5 （2）表中给出的解为最优解第四章线性规划的对偶理论五、写出下列线性规划问题的对偶问题 1．minZ=2x1+2x2+4x3

运筹学习题答案

第一章习题 1.思考题（1）微分学求极值的方法为什么不适用于线性规划的求解？（2）线性规划的标准形有哪些限制？如何把一般的线性规划化为标准形式？（3）图解法主要步骤是什么？从中可以看出线性规划最优解有那些特点？（4）什么是线性规划的可行解，基本解，基可行解？引入基本解和基可行解有什么作用？（5）对于任意基可行解，为什么必须把目标函数用非基变量表示出来？什么是检验数？它有什么作用？如何计算检验数？（6）确定换出变量的法则是什么？违背这一法则，会发生什么问题？（7）如何进行换基迭代运算？（8）大M法与两阶段法的要点是什么？两者有什么共同点？有什么区别？（9）松弛变量与人工变量有什么区别？试从定义和处理方式两方面分析。（10）如何判定线性规划有唯一最优解，无穷多最优解和无最优解？为什么？ 2.建立下列问题的线性规划模型：（1）某厂生产A，B，C三种产品，每件产品消耗的原料和设备台时如表1-18所示：润最大的模型。（2）某公司打算利用具有下列成分（见表1-19）的合金配制一种新型合金100公斤，新合金含铅，锌，锡的比例为3：2：5。如何安排配方，使成本最低？（3）某医院每天各时间段至少需要配备护理人员数量见表1-20。

表1-20 假定每人上班后连续工作8小时，试建立使总人数最少的计划安排模型。能否利用初等数学的视察法，求出它的最优解？（4）某工地需要30套三角架，其结构尺寸如图1-6所示。仓库现有长6.5米的钢材。如何下料，使消耗的钢材最少？图1-6 3. 用图解法求下列线性规划的最优解： ?????? ?≥≤+-≥+≥++=0 ,425.134 1 2 64 min )1(21212 12121x x x x x x x x x x z ?????? ?≥≤+≥+-≤++=0 ,82 5 1032 44 max )2(21212 12121x x x x x x x x x x z ????? ????≥≤≤-≤+-≤++=0 ,6 054 4 22232 96 max )3(2122 1212121x x x x x x x x x x x z ??? ??≥≤+-≥+ +=0,1 12 34 3 max )4(2 12 12121x x x x x x x x z

运筹学上机作业答案

人力资源分配问题第一题（1）安排如下： x1=8,x2=0,x3=1,x4=1,x5=0,x6=4,x7=0,x8=6,x9=0x10=0,x11=0。（2）总额为320，一共需安排20个班次；因为在13:00—14:00,14:00—15:00,16:00—17:00,分别存在2,9,5个工时的剩余，（例如11:00—12:00）安排了8个员工而在14:00-15：00剩余了九个所以可以安排一些临时工工作3个小时的班次，使得总成本更小。（3）在18:00—19:00安排6个人工作4小时；在11:00—12:00安排8个人，13:00—14：00安排1个人，15:00—16:00安排1个人，17:00—18:00安排4个人工作3小时。总成本最低为264元。

生产计划优化问题第二题产品1在A 1生产数量为1200单位，在A 2 上生产数量为230单位，在B 1 上不生产，B 2 上生产数量为 858单位，B 3 上生产数量为571单位；产品2在A1上不生产，在A2上生产数量为500单位，在B1上生产数量为500单位；产品3在A2上生产数量为324单位，在B2上生产数量为324单位。最大利润为2293.29元。

第三题设Xi为产品i最佳生产量。（1）最优生产方案唯一，为X1=1000、X2=1000、X3=1000、X4=1000、X5=1000、X6=55625、X7=1000. （2）如上图所示，产品5的单价价格为0-30时，现行生产方案保持最优。（3）由于环织机工的影子价格为300，且剩余变量值为零，而其他几种资源的影子价格为0，剩余变量均大于0，所以应优先增加环织工时这种资源的限额，能增加3.33工时，单位费用应低于其影子价格300才是合算的。（4）因为产品2对偶价格= -3.2<0 ，950>933.33，3.2*（1000-950）=160；所以当产品2的最低销量从1000减少到950时，总利润增加160元。（5）原最优解并没有把针织工时用尽，还有943.75工时的剩余，因此，不能通过增加针织工时来提高总利润。（6）环织工时为630 - 5003.33时，最优生产方案不变，因为5010>5003.33，因此，若环织机工时的限额提高到5010小时，最优生产方案发生了变化。

运筹学习题集(第二章)

判断题判断正误，如果错误请更正第二章线形规划的对偶理论 1.原问题第i个约束是<=约束,则对偶变量yi>=0. 2.互为对偶问题,或则同时都有最优解,或则同时都无最优解. 3.原问题有多重解,对偶问题也有多重解. 4.对偶问题有可行解,原问题无可行解,则对偶问题具有无界解. 5.原问题无最优解,则对偶问题无可行解. 6.设X,Y分别为｛minZ=CX｜AX>=b,X>=0｝和｛maxw=Yb｜YA<=C,Y>=0｝的可行解,则有 (1)CX<=Yb; (2)CX是w的上界; (3)当X,Y为最优解,CX=Yb; (4)当CX=Yb 时,有YXs+YsX=0; (5)X为最优解且B是最优基时,则Y=CB-1是最优解; (6)松弛变量Ys的检验数是λs,则X=-λs是基本解,若Ys是最优解, 则X=-λs是最优解. 7.原问题与对偶问题都可行,则都有最优解. 8.原问题具有无界解,则对偶问题可行. 9.若X,Y是原问题与对偶问题的最优解.则X=Y. 10.若某种资源影子价格为0,则该资源一定有剩余. 11影子价格就是资源的价格. 12.原问题可行对偶问题不可行,可用对偶单纯形法计算. 13.对偶单纯形法比值失效说明原问题具有无界解. 14.对偶单纯形法是直接解对偶问题的一种解法. 15.减少一个约束,目标值不会比原来变差. 16.增加一个约束,目标值不会比原来变好.

17增加一个变量, 目标值不会比原来变差. 18.减少一个非基变量, 目标值不变. 19.当Cj(j=1,2,3,……，n)在允许的最大范围内同时变化时，最优解不变。选择题在下列各题中，从4个备选答案中选出一个或从5个备选答案中选出2~5个正确答案。第二章线性规划的对偶理论 1.如果决策变量数列相等的两个线规划的最优解相同，则两个线性规划 A约束条件相同 B目标函数相同 C最优目标函数值相同 D以上结论都不对 2.对偶单纯形法的最小比值规则是为了保证 A使原问题保持可行 B使对偶问题保持可行 C逐步消除原问题不可行性 D逐步消除对偶问题不可行性 3.互为对偶的两个线性规划问题的解存在关系 A若最优解存在，则最优解相同 B原问题无可行解，则对偶问题也无可行解 C对偶问题无可行解，原问题可能无可行解 D一个问题无界，则另一个问题无可行解 E一个问题无可行解，则另一个问题具有无界解4.已知规范形式原问题（max）的最优表中的检验数为（λ1，λ2，……λn），松弛变量的检验数为（λn+1,λn+2,……λn+m）,则对偶问题的最优解为 A—（λ1，λ2，…… λn） B （λ1，λ2，……λn） C —（λn+1,λn+2,……λn+m）D（λn+1,λn+2,…… λn+m） 5.原问题与对偶问题都有可行解，则 A原问题有最优解，对偶问题可能没有最优解B原问题与对偶问题可能都没有最优解 C可能一个问题有最优解，另一个问题具有无界解D 原问题与对偶问题都有最优解计算题线性规划问题和对偶问题对于如下的线性规划问题 min z = 3x 1 + 2x 2 +x 3

运筹学离线作业 (答案)

浙江大学远程教育学院《运筹学》课程作业姓名：姜胜超学号：715003322021 年级：15秋学习中心：宁波学习中心————————————————————————————— 第2章 1．某公司计划生产两种产品，已知生产单位产品所需的三种原材料的消耗及所获的利润，产品1 产品2 可用的材料数原材料A 原材料B 原材料C 1 3 2 2 2 30 60 24 单位产品获利40万元50万元 1. 产品利润为P（万元）则P=40x+50y 作出上述不等式组表示的平面区域，即可行域：

由约束条件可知0ABCD 所在的阴影部分，即为可行域目标函数P=40x+50y 是以P 为参数，-54 为斜率的一族平行线 y =- 5 4 x +50P （图中红色虚线）由上图可知，目标函数在经过C 点的时候总利润P 最大即当目标函数与可行域交与C 点时，函数值最大即最优解C=（15，7.5），最优值P=40*15+50*7.5=975（万元）答：当公司安排生产产品1为15件，产品2为7.5件时使工厂获利最大。 2．某公司计划生产两种产品，已知生产单位产品所需的两种原材料的消耗和人员需要及所获的利润，如下表所示。问应如何安排生产使该工厂获利最多？（建立模型，并用图解产品1 产品2 可用的材料数原材料A 原材料B 人时 1 0 3 0 2 2 4 12 24 单位产品获利 300万元 500万元解：设生产产品1为x 件，生产产品2为y 件时，使工厂获利最多产品利润为P （万元）则 P=300x+500y 作出上述不等式组表示的平面区域，即可行域：

运筹学基础及应用课后习题答案(第一二章习题解答)

运筹学基础及应用习题解答习题一 P46 1.1 (a) 该问题有无穷多最优解，即满足2 1 0664221≤≤=+x x x 且的所有()21,x x ，此时目标函数值3=z 。 (b) 用图解法找不到满足所有约束条件的公共范围，所以该问题无可行解。 1.3 (a) (1) 图解法 4

最优解即为?? ?=+=+82594321 21x x x x 的解??? ??=23,1x ，最大值235=z (2)单纯形法首先在各约束条件上添加松弛变量，将问题转化为标准形式 ???=++=+++++=8 25943 ..00510 max 421321 4321x x x x x x t s x x x x z 则43,P P 组成一个基。令021==x x 得基可行解()8,9,0,0=x ，由此列出初始单纯形表 21σσ>。5 839,58min = ?? ? ??=θ

02>σ，2328,1421min =??? ? ?=θ 0,21<σσ，表明已找到问题最优解0 , 0 , 2 3 1,4321= ===x x x x 。最大值 235 *=z (b) (1) 图解法 \\ 最优解即为?? ?=+=+5 24262121x x x x 的解??? ??=23,27x ，最大值217=z (2) 单纯形法首先在各约束条件上添加松弛变量，将问题转化为标准形式 21=+x x 2621+x x

1234523124125 max 2000515.. 6224 5z x x x x x x x s t x x x x x x =+++++=?? ++=??++=? 则3P ，4P ，5P 组成一个基。令021==x x 得基可行解()0,0,15,24,5x =，由此列出初始单纯形表 21σσ>。245min ,,461θ? ?=-= ?? ? 02>σ，15 33min ,24,5 22θ??== ??? 新的单纯形表为

《运筹学》课堂作业及答案

第一部分绪论第二部分线性规划与单纯形法 1 判断下列说法是否正确： (a)图解法同单纯形法虽然求解的形式不同，但从几何上理解，两者是一致的； (b)线性规划模型中增加一个约束条件，可行域的范围一般将缩小，减少一个约束条件，可行域的范围一般将扩大； (c)线性规划问题的每一个基解对应可行域的一个顶点； (d)如线性规划问题存在可行域，则可行域一定包含坐标的原点； (e)对取值无约束的变量x i，通常令其中，在用单纯形法求得的最优解中有可能同时出现 (f)用单纯形法求解标准型的线性规划问题时，与对应的变量都可以被选作换入变量； (g)单纯形法计算中，如不按最小比值原则选取换出变量，则在下一个解中至少有一个基变量的值为负； (h)单纯形法计算中，选取最大正检验数δk对应的变量x k作为换入变量，将使目标函数值得到最快的增长； (i)一旦一个人工变量在迭代中变为非基变量后，则该变量及相应列的数字可以从单纯形表中删除，而不影响计算结果； (j)线性规划问题的任一可行解都可以用全部基可行解的线性组合表示； (k)若x1，x2分别是某一线性规划问题的最优解，则也是该线性规划问题的最优解，其中λ1，λ2可以为任意正的实数； (1)线性规划用两阶段法求解时，第一阶段的目标函数通常写为 X ai为人工变量)，但也可写为，只要所有 k i均为大于零的常数； (m)对一个有n个变量、m个约束的标准型的线性规划问题，其可行域的顶点恰好为个； (n)单纯形法的迭代计算过程是从一个可行解转转换到目标函数值更大的另一个可行解； (o)线性规划问题的可行解如为最优解，则该可行解一定是基可行解； (p)若线性规划问题具有可行解，且其可行域有界，则该线性规划问题最多具有有限个数的最优解； (q)线性规划可行域的某一顶点若其目标函数值优于相邻的所有顶点的目标函数值，则该顶点处的目标函数值达到最优；