中考数学几何旋转压轴题

中考数学几何旋转压轴

题

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中考数学几何旋转综合题

1、已知正方形ABCD 中，E 为对角线BD 上一点，过E 点作EF ⊥BD 交BC 于F ，连接DF ，G 为DF 中点，连接EG ，CG ．

（1）求证：EG =CG ；

（2）将图①中△BEF 绕B 点逆时针旋转45o ，如图②所示，取DF 中点G ，连接EG ，CG ．问（1）中的结论是否仍然成立若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．

（3）将图①中△BEF 绕B 点旋转任意角度，如图③所示，再连接相应的线段，问（1）中的结论是否仍然成立通过观察你还能得出什么结论（均不要求证明）

2. 在△ABC 中，＝BC ＝2，∠ABC ＝120°，将△ABC 绕点B 顺时针旋转角(0°＜＜90°)得△A 1BC 1，A 1交AC 于点E ，A 1C 1分别交AC ，BC 于D ，F 两点．

(1)如图22－4(a)，观察并猜想，在旋转过程中，线段EA 1与FC 是怎样的数量关系?并证明你的结论；

图23－4(a)

(2)如图23－4(b)，当＝30°时，试判断四边形BC 1DA 的形状，并说明理由；

图23－4(b)

(3)在(2)的情况下，求ED 的长．

3. 如图23－8(a)，若△ABC 和△ADE 为等边三角形，M ，N 分别为EB ，CD 的中点，易证：CD ＝BE ，△AMN 是等边三角形．

图23－8

(1)当把△ADE 绕A 点旋转到图23－8(b)的位置时，D ，E ，B 三点共线，CD ＝BE 是否仍然成立?若成立请证明；若不成立请说明理由；

(2)当△ADE 绕A 点旋转到图23－8(c)的位置时，D ，E ，B 三点不共线，△AMN 是否还是等边三角形?若是，请给出证明；并求出当AB ＝2AD 时，△ADE 与△ABC 及△AMN 的面积之比；若不是，请说明理由．

4. 如图23－9(a)，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，点A 的坐标为(－8，0)，直线BC 经过点B (－8，6)，C (0，6)，将四边形OABC 绕点O 按顺时针方向旋转得到四边形OA ′B ′C ′，此时直线OA ′，直线B ′C ′分别与直线BC 相交于点P ，Q ．

图23－9

(1)四边形OABC 的形状是______，

当＝90°时，

BQ

BP

的值是______； (2)①如图23－9(b)，当四边形OA ′B ′C ′的顶点B ′落在y 轴的正半轴上时，求

BQ

BP

的值； A D E

G D F A D C E G

F A C E

②如图23－9(c)，当四边形OA ′B ′C ′的顶点B ′落在直线BC 上时，求△OPB ′的面积；

(3)在四边形OABC 的旋转过程中，当0°＜≤180°时，是否存在这样的点P 和点

Q ，使BP ＝BQ 2

1

若存在，直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．

5. 已知Rt ABC △中，90AC BC C D ==?，∠，为AB 边的中点，90EDF ∠=°，EDF ∠绕D 点旋转，它的两边分别交AC 、CB （或它们的延长线）于E 、F ．当EDF ∠绕D

点旋转到DE AC ⊥于E 时（如图1），易证1

2

DEF CEF ABC S S S +=△△△．

当EDF ∠绕D 点旋转到DE AC 和不垂直时，在图2和图3这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，DEF S △、CEF S △、ABC S △又有怎样的数量关

系？请写出你的猜想，不需证明． 6将两块含30°角且大小相同的直角三角板如图1摆放。

（1）将图1中△11A B C 绕点C 顺时针旋转45°得图2，点

11P A C 是与AB 的交点，求证：112

CP AP 2＝； （2）将图2中△11A B C 绕点C 顺时针旋转30°到△22A B C （如图3），点22P A C 是与AB 的交点。线段112CP P P 与之间存在一个确定的等量关系，请你写出这个关系式并说明理由； （3）将图3中线段1CP 绕点C 顺时针旋转60°到3CP （如图4），连结

32P P ，

求证：32P P ⊥AB.

7.如图（9）-1，抛物线23y ax ax b =-+经过A （1-，0），C （3，2-）两点，与y 轴交于点D ，与x 轴交于另一点B ．

（1）求此抛物线的解析式；

（2）若直线)0(1≠+=k kx y 将四边形ABCD 面积二等分，求k 的值；

（3）如图（9）-2，过点E （1，1）作EF ⊥x 轴于点F ，将△AEF 绕平面内某点旋转180°得△MNQ （点M 、N 、Q 分别与点A 、E 、F 对应），使点M 、N 在抛物线上，作

MG ⊥x 轴于点G ，若线段MG ︰AG ＝1︰2，求点M ，N 的坐标．

D

O

B

A x y C

E

F M

N

G

O

B

A x

y

Q A

E

C F B

D 图1 图3 A

D

F

E C B D B E 图2

y

x A

O B P N

图

2

C 1

C 4

Q

E

F 图y

x

A

O B P M

图

1 C 1

C 2

C 3

图（1）

8.如图9，若△ABC 和△ADE 为等边三角形，M ，N 分别EB ，CD 的中点，易证：CD=BE ，

△AMN 是等边三角形．

（1）当把△ADE 绕A 点旋转到图10的位置时，CD=BE 是否仍然成立？若成立请证明，若不成立请说明理由；（4分）

（2）当△ADE 绕A 点旋转到图11的位置时，△AMN 是否还是等边三角形？若是，请给出证明，并求出当AB =2AD 时，△ADE 与△ABC 及△AMN 的面积之比；若不是，请说明理由．（6分）

9、在平面直角坐标中，边长为2的正方形OABC 的两顶点A 、C 分别在y 轴、x 轴的正半轴上，点O 在原点.现将正方形OABC 绕O 点顺时针旋转，当A 点第一次落在直线

y x =上时停止旋转，旋转过程中，AB 边交直线y x =于点M ，BC 边交x 轴于点N （如图）.

（1）求边OA 在旋转过程中所扫过的面积；

（2）旋转过程中，当MN 和AC 平行时，求正方形OABC 旋

转的度数；

（3）设MBN ?的周长为p ，在旋转正方形OABC 的过程中，

p 值是否有变化？请证明你的结论.

10、如图，已知抛物线C 1：()522

-+=x a y 的顶点为P ，与x

轴相交于A 、B 两点（点A 在点B 的左边），点B 的横坐标是

1．

（1）求P 点坐标及a 的值；

（2）如图（1），抛物线C 2与抛物线C 1关于x 轴对称，将抛物线C 2向右平移，平移后的抛物线记为C 3，C 3的顶点为M ，当点P 、M 关于点B 成中心对称时，求C 3的解析式； （3）如图（2），点Q 是x 轴正半轴上一点，将抛物线C 1绕点Q 旋转180°后得到抛物线C 4．抛物线C 4的顶点为N ，与x 轴相交于E 、F 两点（点E 在点F 的左边），当以点Q 的坐标． 11、如图，已知

抛物线

2y x bx c =++经

过(10)A ，，(02)B ，两

点，顶

图9 图10 图

11 O

A B

C

M

N

点为D ．

（1）求抛物线的解析式；

（2）将OAB △绕点A 顺时针旋转90°后，点B 落到点C 的位置，将抛物线沿y 轴平移后经过点C ，求平移后所得图象的函数关系式；

（3）设（2）中平移后，所得抛物线与y 轴的交点为1B ，顶点为1D ，若点N 在平移后的抛物线上，且满足1NBB △的面积是1NDD △面积的2倍，求点N 的坐标．

（第30题）