近年来中考数学压轴题大集合

近年来中考数学压轴题大集合

【一】函数与几何综合的压轴题

1.〔2004安徽芜湖〕如图①，在平面直角坐标系中，AB 、CD 都垂直于x 轴，垂足分别为B 、D 且AD 与B 相交于E 点.：A (-2,-6),C (1,-3) (1) 求证：E 点在y 轴上；

(2) 假如有一抛物线通过A ，E ，C 三点，求此抛物线方程.

(3) 假如AB 位置不变，再将DC 水平向右移动k (k >0)个单位，如今AD 与BC 相交于E ′点，

如图②，求△AE ′C 的面积S 关于k 的函数解析式.

[解]〔1〕

〔本小题介绍二种方法，供参考〕 方法一：过E 作EO ′⊥x 轴，垂足O ′∴AB ∥EO ′∥DC ∴,EO DO EO BO AB DB CD DB

'

'''== 又∵DO ′+BO ′=DB ∴1EO EO AB DC

'

'

+= ∵AB =6，DC =3，∴EO ′=2 又∵DO EO DB AB '

'=，∴2

316

EO DO DB AB ''=?=?= ∴DO ′=DO ，即O ′与O 重合，E 在y 轴上 方法二：由D 〔1，0〕，A 〔-2，-6〕，得DA 直线方程：y =2x -2① 再由B 〔-2，0〕，C 〔1，-3〕，得BC 直线方程：y =-x -2② 联立①②得

2

x y =??

=-?

∴E 点坐标〔0，-2〕，即E 点在y 轴上

〔2〕设抛物线的方程y =ax 2+bx +c (a ≠0)过A 〔-2，-6〕，C 〔1，-3〕 E 〔0，-2〕三点，得方程组426

32a b c a b c c -+=-??

++=-??=-?

解得a =-1,b =0,c =-2 ∴抛物线方程y =-x 2-2 〔3〕〔本小题给出三种方法，供参考〕

由〔1〕当DC 水平向右平移k 后，过AD 与BC 的交点E ′作E ′F ⊥x 轴垂足为F 。 同〔1〕可得：1E F

E F

AB DC

''+=得：E ′F =2 图①

方法一：又∵E ′F ∥AB

E F DF AB DB '?=，∴1

3

DF DB

= S △AE ′C =S △ADC -S △E ′DC =1

1122223

DC DB DC DF DC DB ?-?=? =1

3

DC DB

?=DB=3+k

S=3+k 为所求函数解析式

方法二：∵BA ∥DC ，∴S △BCA =S △BDA ∴S △AE ′C =S △BDE ′

()11

32322

BD E F k k '=?=+?=+

∴S =3+k 为所求函数解析式.

证法三：S △DE ′C ∶S △AE ′C =DE ′∶AE ′=DC ∶AB =1∶2

同理：S △DE ′C ∶S △DE ′B =1∶2,又∵S △DE ′C ∶S △ABE ′=DC 2∶AB 2

=1∶4 ∴

()221

3992

AE C

ABCD S S AB CD BD k '?==?+?=+梯形 ∴S =3+k 为所求函数解析式.

2.〔2004广东茂名〕：如图，在直线坐标系中，以点M 〔1，0〕为圆心、直径AC 为22的圆与y 轴交于A 、D 两点.

〔1〕求点A 的坐标； 〔2〕设过点A 的直线y ＝x ＋b 与x 轴交于点B.探究：直线AB 是否⊙M 的切线？并对你的结论加以证明；

〔3〕连接BC ，记△ABC 的外接圆面积为S 1、⊙M 面积为S 2，假设

4

21h S S =，抛物线 y ＝ax 2

＋bx ＋c 通过B 、M 两点，且它的顶点到x 轴的距离为h .求这条抛物线的解析式.

[解]〔1〕解：由AM ＝2，OM ＝1，

在Rt △AOM 中，AO ＝

1

22=-OM AM ，

∴点A 的坐标为A 〔0，1〕

〔2〕证：∵直线y ＝x ＋b 过点A 〔0，1〕∴1＝0＋b 即b ＝1∴y ＝x ＋1 令y ＝0那么x ＝－1∴B 〔—1，0〕， AB ＝2

112222=

+=+AO BO

在△ABM 中，AB ＝2，AM ＝2，BM ＝2

222224)2()2(BM AM AB ==+=+

∴△ABM 是直角三角形，∠BAM ＝90° ∴直线AB 是⊙M 的切线

〔3〕解法一：由⑵得∠BAC ＝90°，AB ＝2，AC ＝22， ∴BC ＝

10)22()2(2222=+=+AC AB

∵∠BAC ＝90°∴△ABC 的外接圆的直径为BC ，

∴π

ππ2

5)210()2(221=?=?=BC S

而

πππ2)2

22()2(

2

22=?=?=AC S 4

21h S S = ，5,4225=∴=h h

即 ππ 设通过点B 〔—1，0〕、M 〔1，0〕的抛物线的解析式为：

y ＝a 〔＋1〕〔x －1〕，〔a ≠0〕即y ＝ax 2

－a ，∴－a ＝±5，∴a ＝±5

∴抛物线的解析式为y ＝5x 2－5或y ＝－5x 2

＋5 解法二：〔接上〕求得∴h ＝5 由所求抛物线通过点B 〔—1，0〕、M 〔1、0〕，那么抛物线的对称轴是y 轴，由题意得抛物

线的顶点坐标为〔0，±5〕

∴抛物线的解析式为y ＝a 〔x －0〕2±5

又B 〔－1,0〕、M 〔1,0〕在抛物线上，∴a ±5＝0，a ＝±5

∴抛物线的解析式为y ＝5x 2－5或y ＝－5x 2＋5 解法三：〔接上〕求得∴h ＝5

因为抛物线的方程为y ＝ax 2＋bx ＋c 〔a ≠0〕 由得

?????-===?????==?????????

±=-=+-=++5

055c 0b 5544002c b a a a

b a

c c b a c b a 或 ＝－ 解得

∴抛物线的解析式为y ＝5x 2－5或y ＝－5x 2＋5.

3.(2004湖北荆门)如图，在直角坐标系中，以点P 〔1，－1〕为圆心，2为半径作圆，交x 轴于A 、B 两点，抛物线)0(2>++=a c bx ax y 过点A 、B ，且顶点C 在⊙P 上. (1)求⊙P 上劣弧

⌒

AB

的长；

(2)求抛物线的解析式；

(3)在抛物线上是否存在一点D ，使线段OC 与PD 互相平分？假设存在，求出点D 的坐标；

假设不

存在，请说明理由.

[解]〔1〕如图，连结PB ，过P 作PM ⊥x 轴，垂足为M.

在Rt △PMB 中，PB=2,PM=1,

∴∠MPB ＝60°，∴∠APB ＝120°

⌒

AB

的长＝3

42180120ππ=????

〔2〕在Rt △PMB 中，PB=2,PM=1,那么MB ＝MA ＝3.

又OM=1，∴A 〔1－3，0〕，B 〔1＋3，0〕， 由抛物线及圆的对称性得知点C 在直线PM 上，

那么C(1，－3).

点A 、B 、C 在抛物线上，那么

???

????++=-+-+-=++++=c b a c b a c

b a 3)31()31(0)31()31(02

2解之得

??

?

??-=-==221

c b a

∴抛物线解析式为222--=x x y

〔3〕假设存在点D ，使OC 与PD 互相平分，那么四边形OPCD 为平行四边形，且PC ∥OD. 又PC ∥y 轴，∴点D 在y 轴上，∴OD ＝2，即D 〔0，－2〕.

又点D 〔0，－2〕在抛物线222--=x x y 上，故存在点D 〔0，－2〕， 使线段OC 与PD 互相平分.

4.〔2004湖北襄樊〕如图，在平面直角坐标系内，Rt △ABC 的直角顶点C 〔0

〕在y 轴的正半轴上，A 、B 是x 轴上是两点，且OA ∶OB ＝3∶1，以OA 、OB 为直径的圆分别交AC 于点E ，交BC 于点F .直线EF 交OC 于点Q . 〔1〕求过A 、B 、C 三点的抛物线的解析式；

〔2〕请猜想：直线EF 与两圆有怎么样的位置关系？并证明你的猜想.

〔3〕在△AOC 中，设点M 是AC 边上的一个动点，过M 作MN ∥AB 交OC 于点N .试问：在x 轴上是否存在点P ，使得△PMN 是一个以MN 为一直角边的等腰直角三角形？假设存在，求出P 点坐标；假设不存在，请说明理由.

[解](1)在Rt △ABC 中，OC ⊥AB ， ∴△AOC ≌△COB .

∴OC 2＝OA ·OB .

∵OA ∶OB ＝3∶1,C

∴23.OB OB = ∴OB ＝1.∴OA ＝3. ∴A (-3,0),B (1,0).

设抛物线的解析式为2

.y ax bx c =++

那么930,0,a b c a b c c ?-+=?++=??

=?

解之，得a b c ?=?

?

?

=???=??

∴通过A 、B 、C

三点的抛物线的解析式为23y x =-

+ (2)EF 与⊙O 1、⊙O 2都相切.

证明：连结O 1E 、OE 、OF .

∵∠ECF ＝∠AEO ＝∠BFO ＝90°, ∴四边形EOFC 为矩形. ∴QE ＝QO . ∴∠1＝∠2.

∵∠3＝∠4,∠2+∠4＝90°， ∴EF 与⊙O 1相切. 同理：EF 理⊙O 2相切.

(3)作MP ⊥OA 于P ，设MN ＝a ,由题意可得MP ＝MN ＝a . ∵MN ∥OA ,

∴△CMN ∽△CAO .

∴

.MN CN

AO CO =

∴3a =

解之，得a =

如今，四边形OPMN 是正方形.

∴3

.2

MN OP ==

∴(P 考虑到四边形PMNO 如今为正方形，

∴点P 在原点时仍可满足△PNN 是以MN 为一直角边的等腰直角三角形. 故x 轴上存在点P 使得△PMN 是一个以MN

为一直角边的等腰直角三角形且(P 或(0,0).P

5.〔2004湖北宜昌〕如图，点A(0，1)、C(4，3)、E(415，823)，P 是以AC 为对角线的矩

形ABCD 内部(不在各边上)的—个动点，点D 在y 轴，抛物线y ＝ax 2+b x +1以P 为顶点、

(1)说明点A 、C 、E 在一条条直线上；

(2)能否判断抛物线y ＝ax 2+b x +1的开口方向?请说明理由； (3)设抛物线y ＝ax 2+b x +1与x 轴有交点F 、G(F 在G 的左侧)，△GAO 与△FAO 的面积差为3，且这条抛物线与线段AE 有两个不同的交点、这时能确定a 、b 的值吗?假设能，请求出a 、

由方程组 y=ax 2

—6ax +1

y=21x +1 得：ax 2—（6a +21

）x =0 b 的值；假设不能，请确定a 、b 的取值范围、 (此题图形仅供分析参考用)

[解]

〔1〕由题意，A(0，1)、C(4，3)确定的解析式为：y=2

1x 将点E 的坐标E(4

15，

8

23)代入y=2

1x +1中，左边=8

23，

右边=21×415+1=8

23， ∵左边=右边，∴点E 在直线y=2

1x +1上，即点A 、C 、E

在一条直线上.

〔2〕解法一：由于动点P 在矩形ABCD 内部，∴点P 的纵坐标大于点A 的纵坐标，而点A 与点P 都在抛物线上，且P 为顶点，∴这条抛物线有最高点，抛物线的开口向下

解法二：∵抛物线y=ax 2

+b x +c 的顶点P 的纵坐标为a

b a 442—，且P 在矩形ABCD 内部，∴1

＜a b a 442—＜3，由1＜1—a b 42得—a

b 42＞0，∴a ＜0，∴抛物线的开口向下.

〔3〕连接GA 、FA ，∵S △GAO —S △FAO =3∴2

1GO ·AO —2

1FO ·AO=3∵OA=1，∴GO —FO=6.设F 〔x 1,0〕、

G 〔x 2,0〕，那么x 1、x 2为方程ax 2

+b x +c=0的两个根，且

x 1＜x 2，又∵a ＜0，∴x 1·x 2=a

1＜0，∴x 1＜0＜x 2，

∴GO=x 2，FO=—x 1，∴x 2—〔—x 1〕=6， 即x 2+x 1=6，∵x 2+x 1=—a b ∴—a

b =6，

∴b=—6a ,

∴抛物线解析式为：y=ax 2—6ax +1,其顶点P 的坐标为〔3，1—9a 〕,∵顶点P 在矩形ABCD 内部， ∴1＜1—9a ＜3,∴—9

2＜a ＜0.

∴x =0或x =a

a 216 =6+a 21. 当x =0时，即抛物线与线段AE 交于点A ，而这条抛物线与线段AE 有两个不同的交 点，那么有：0＜6+a 21≤415，解得：—9

2≤a ＜—121

综合得：—92＜a ＜—121∵b=—6a ，∴21＜b ＜3

4

6.〔2004湖南长沙〕两点O(0，0)、B(0，2)，⊙A 过点B 且与x 轴分别相交于点O 、C ，⊙A

被y 轴分成段两圆弧，其弧长之比为3∶1，直线l 与⊙A 切于点O ，抛物线的顶点在直线l 上运动.

〔1〕求⊙A 的半径；

〔2〕假设抛物线通过O 、C 两点，求抛物线的解析式；

〔3〕过l 上一点P 的直线与⊙A 交于C 、E 两点，且PC ＝CE ，求点E 的坐标；

〔4〕假设抛物线与x 轴分别相交于C 、F 两点，其顶点P 的横坐标为m ，求△PEC 的面积关于m 的函数解析式.

[解](1)由弧长之比为3∶1，可得∠BAO ＝90o

再由AB ＝AO ＝r ，且OB ＝2，得r ＝ 2 (2)⊙A 的切线l 过原点，可设l 为y ＝kx

任取l 上一点(b ，kb )，由l 与y 轴夹角为45o可得： b ＝－kb 或b ＝kb ，得k ＝－1或k ＝1， ∴直线l 的解析式为y ＝－x 或y ＝x 又由r

，易得C(2，0)或C(－2，0)

由此可设抛物线解析式为y ＝ax (x －2)或y ＝ax (x ＋2) 再把顶点坐标代入l 的解析式中得a ＝1

∴抛物线为y ＝x 2－2x 或y ＝x 2

＋2x ……6分

(3)当l 的解析式为y ＝－x 时，由P 在l 上，可设P(m ，－m)(m ＞0) 过P 作PP ′⊥x 轴于P ′，∴OP ′＝|m|，PP ′＝|－m|，∴OP ＝2m 2， 又由切割线定理可得：OP 2＝PC ·PE,且PC ＝CE ，得PC ＝PE ＝m ＝PP ′7分 ∴C 与P ′为同一点，即PE ⊥x 轴于C ，∴m ＝－2，E(－2，2)…8分 同理，当l 的解析式为y ＝x 时，m ＝－2，E(－2，2)

(4)假设C(2，0)，如今l 为y ＝－x ，∵P 与点O 、点C 不重合，∴m ≠0且m ≠2， 当m ＜0时，FC ＝2(2－m)，高为|y p |即为－m ， ∴S ＝2

2(2)()

22

m m m m

--=-

同理当0＜m ＜2时，S ＝－m 2＋2m ；当m ＞2时，S ＝m 2－2m ；

∴S ＝

22

2(02)2(02)

m m m m m m m ?-<>?-+<

如今l 为y ＝x ，同理可得；S ＝

22

2(20)2(20)

m m m m m m m ?+<->?---<

7.〔2006江苏连云港〕如图，直线4+=kx y 与函数)

0,0(>>=m x x

m

y 的图像交于A 、B 两点，且与x 、y 轴分别交于C 、D 两点、

〔1〕假设COD ?的面积是AOB ?的面积的2倍，求k 与m 之间的函数关系式； 〔2〕在〔1〕的条件下，是否存在k 和m ，使得以AB 为直径的圆通过点

、假设存在，求出k 和m 的值；假设不存在，请说明理由、

[解]〔1〕设),

(11y x A ，),(22y x B (其中2121,y y x x ><)，

由AOB COD

S S

??=2，得)(2BOD AOD COD S S S ???-=

∴2

1·OC ·2=OD (21·OD ·-1y 21·OD ·2y )，OC 又4=OC ，∴8)(221=-y y ，即84)(21221=-+y y y y ，

由

x m y =可得y

m x =

，代入4+=kx y 可得042=--km y y ①

∴421=+y y ，km y y -=?21， ∴8416=+km ，即

m

k 2-

=、

又方程①的判别式08416>=+=?km ， ∴所求的函数关系式为

m

k 2-

=)0(>m 、 〔2〕假设存在k ,m ，使得以AB 为直径的圆通过点)0,2(P 、 那么BP AP ⊥，过A 、B 分别作x 轴的垂线，垂足分别为M 、N 、 ∵MAP ∠与BPN ∠都与APM ∠互余，∴MAP ∠BPN ∠=、 ∴Rt MAP ?∽Rt NPB ?，∴NB

MP PN AM

=、 ∴

212122y x x y -=-，∴0)2)(2(2121=+--y y x x ，∴0)2)(2(212

1=+--y y y m

y m ， 即0)(4)(222

121212=+++-y y y y y y m m ②

由〔1〕知421=+y y ，221=?y y ，代入②得01282=+-m m ，

∴2=m 或6，又

m k 2-=，∴???-==12k m 或??

???-

==316k m ，

∴存在k ,m ，使得以AB 为直径的圆通过点)0,2(P ，且???-==12k m 或??

??

?-

==316k m 、

8.〔2004江苏镇江〕抛物线2(5)5(0)y mx m x m =--->与x 轴交于两点1

(,0)A x 、

2(,0)B x 12()x x <，与y 轴交于点C ，且AB =6.

〔1〕求抛物线和直线BC 的解析式.

〔2〕在给定的直角坐标系中，画抛物线和直线BC . 〔3〕假设

P 过A 、B 、C 三点，求P 的半径.

〔4〕抛物线上是否存在点M ，过点M 作MN x ⊥轴于点N ，使M B N ?被直线BC 分成面积比

为13:的两部分？假设存在，请求出点M 的坐标；假设不存在，请说明理由.

[解]〔1〕由题意得：

12122155

,, 6.

m x x x x x x m m

--+=?=-= 2

21212520

()436,36,m x x x x m m -??+-=+

= ???

解得

1251,.

7m m ==-

经检验m =1，∴抛物线的解析式为24 5.y x x =+-

或：由2(5)50mx m x ---=得，1x =或

x =

0,m >

5

16, 1.

m m

-∴-=∴= ∴抛物线的解析式为24 5.y x x =+-

由2450x x +-=得12

5, 1.x x =-=

∴A 〔－5，0〕，B 〔1，0〕，C 〔0，－5〕. 设直线BC 的解析式为,y kx b =+ 那么

5,5,

0. 5.

b b k b k =-=-??∴?

?+==??

∴直线BC 的解析式为5 5.y x =- (2)图象略.

〔3〕法一：在Rt AOC D 中，

5,45.OA OC OAC ==∴∠=?

90BPC ∴∠=?.

又BC ==

∴

P

的半径

2

PB ==

法二：

由题意，圆心P 在AB 的中垂线上，即在抛物线245y x x =+-的对称轴直线2x =-上，设

P 〔－2，－h 〕〔h ＞0〕，

连结PB 、PC ，那么222222(12),(5)2PB h PC h =++=-+， 由22PB PC =，即2222(12)(5)2h h ++=-+，解得h =2.

(2,2),P P ∴--∴

的半径PB ==.

法三： 延长CP 交

P 于点F .

CF 为P 的直径，90.CAF COB ∴∠=∠=?

又,.ABC AFC ACF OCB ∠=∠∴D ~D

,.CF AC AC BC CF BC OC OC

?∴=∴=

又

AC =

=5,CO BC ==∞

5

CF ∴==

P ∴

〔4〕设MN 交直线BC 于点E ，点M 的坐标为2(,45),t t t +-那么点E 的坐标为(,55).t t -

假设13,MEB

ENB S

S =D D ::那么13.ME EN =::

2

4

34,45(55).

3EN MN t t t ∴=∴+-=-:: 解得1

1t =〔不合题意舍去〕，

25,3t =540,.39M ??∴ ???

假设31,MEB

ENB S

S =D D ::那么31.ME EN =::

214,454(55).EN MN t t t ∴=∴+-=-::

解得31t =〔不合题意舍去〕，4

15,t =()15,280.M ∴ ∴存在点M ，点M 的坐标为540,39?? ???

或〔15，280〕.

9.如图，⊙M 与x 轴交于A 、B 两点，其坐标分别为)03(，-A 、)01(，B ，直径CD ⊥x 轴于N ，直线CE 切⊙M 于点C ，直线FG 切⊙M 于点F ，交CE 于G ，点G 的横坐标为3.

(1) 假设抛物线m x x y +--=22通过A 、B 、D 三点，求m 的值及点D 的坐标. (2) 求直线DF 的解析式.

(3) 是否存在过点G 的直线，使它与〔1〕中抛物线的两个交点的横坐标之和等于4？假设存在，请求出满足条件的直线的解析式；假设不存在，请说明理由.

[解](1)∵抛物线过A 、B 两点，

∴

1

1)3(-=

?-m ，m =3.

∴抛物线为322+--=x x y .

又抛物线过点D ，由圆的对称性知点D 为抛物线的顶点. ∴D 点坐标为)41(，-.

(2)由题意知：AB =4.

∵CD ⊥x 轴，∴NA =NB =2.∴ON =1. 由相交弦定理得：NA ·NB =ND ·NC ， ∴NC ×4=2×2.∴NC =1. ∴C 点坐标为)11(--，.

设直线DF 交CE 于P ，连结CF ，那么∠CFP =90°.

（第9题图）

∴∠2+∠3=∠1+∠4=90°. ∵GC 、GF 是切线， ∴GC =GF .∴∠3=∠4. ∴∠1=∠2. ∴GF =GP . ∴GC =GP . 可得CP =8.

∴P 点坐标为)17(-，

设直线DF 的解析式为b kx y += 那么???-=+=+-174b k b k 解得??????

?=-=82785b k

∴直线DF 的解析式为：

8

2785+

-=x y (3)假设存在过点G 的直线为11b x k y +=，

那么1311-=+b k ，∴131

1--=k b .

由方程组???+--=--=32132

11x x y k x k y 得034)2(112=--++k x k x 由题意得421=--k ，∴61-=k .

当61

-=k 时，040<-=?，

∴方程无实数根，方程组无实数解. ∴满足条件的直线不存在.

10.〔2004山西〕二次函数

2

12

y x bx c

=++的图象通过点A 〔－3，6〕，并与x 轴交于点B 〔－1，0〕和点C ，顶点为P.

〔1〕求那个二次函数的解析式，并在下面的坐标系中画出该二次函数的图象； 〔2〕设D 为线段OC 上的一点，满足∠DPC ＝∠BAC ，求点D 的坐标； 〔3〕在x 轴上是否存在一点M ，使以M 为圆心的圆与AC 、PC 所在的直线及y 轴都相切？假如存在，请求出点M 的坐标；假设不存在，请说明理由.

[解]〔1〕解：∵二次函数

2

12

y x bx c

=++的图象过点A 〔－3，6〕，B 〔－1，0〕

得

9

362102

b c b c ?-+=???

?-+=??解得132

b c =-?

??=-??

∴那个二次函数的解析式为：

21322

y x x =--

由解析式可求P 〔1，－2〕，C 〔3，0〕

画出二次函数的图像

〔2〕解法一：易证：∠ACB ＝∠PCD ＝45°

又：∠DPC ＝∠BAC ∴△DPC ∽△BAC

∴DC

PC BC AC

=

易求4AC PC BC === ∴

43DC =∴45333OD =-=∴5,03D ?? ?

??

解法二：过A 作AE ⊥x 轴，垂足为E.

设抛物线的对称轴交x 轴于F. 亦可证△AEB ∽△PFD 、

∴PE

EB PF FD

=.易求：AE ＝6，EB ＝2，PF ＝2 ∴

23FD =∴25133OD =+=∴5,03D ?? ?

??

〔3〕存在.

〔1°〕过M 作MH ⊥AC ，MG ⊥PC 垂足分别为H 、G ，设AC 交y 轴于S ，CP 的延长线交y 轴于T

∵△SCT 是等腰直角三角形，M 是△SCT 的内切圆圆心， ∴MG ＝MH ＝OM

又∵MC =且OM ＋MC ＝OC

3,3OM OM +==得

∴

()

3,0

M

〔2°〕在x 轴的负半轴上，存在一点M ′ 同理OM ′＋OC ＝M ′C

，OM OC ''+=

得3OM '=∴M

′()

3,0

-

即在x 轴上存在满足条件的两个点

.

11.〔2004浙江绍兴〕在平面直角坐标系中，A 〔－1，0〕，B 〔3，0〕.

〔1〕假设抛物线过A ，B 两点，且与y 轴交于点〔0，－3〕，求此抛物线的顶点坐标； 〔2〕如图，小敏发明所有过A ，B 两点的抛物线假如与y 轴负半轴交于点C ，M 为抛物线的顶点，那么△ACM 与△ACB 的面积比不变，请你求出那个比值；

〔3〕假设对称轴是AB 的中垂线l 的抛物线与x 轴交于点E ，F ，与y 轴交于点C ，过C 作CP ∥x 轴交l 于点P ，M 为此抛物线的顶点.假设四边形PEMF 是有一个内角为60°的菱形，求次抛物线的解析式.

[解]〔1〕322--=x x y ，顶点坐标为〔1，－4〕. 〔2〕由题意，设y ＝a 〔x ＋1〕〔x －3〕，

即y ＝ax 2

－2ax －3a ，

∴A 〔－1，0〕，B 〔3，0〕，C 〔0，－3a 〕， M 〔1，－4a 〕，

∴S △ACB ＝2

1×4×

a

3-＝6

a

，

而a ＞0，∴S △ACB ＝6A 、 作MD ⊥x 轴于D ，

又S △ACM ＝S △ACO ＋S OCMD －S △AMD ＝21·1·3a ＋21〔3a ＋4a 〕－2

1·2·4a ＝a ，

∴S △ACM ：S △ACB ＝1：6.

〔3〕①当抛物线开口向上时，设y ＝a 〔x －1〕2＋k ，即y ＝ax 2－2ax ＋a ＋k ，

有菱形可知k

a +＝

k

，a ＋k ＞0，k ＜0，

∴k ＝

2

a -， ∴y ＝ax 2－2ax ＋2

a ，∴

2

=EF .

记l 与x 轴交点为D ，

假设∠PEM ＝60°，那么∠FEM ＝30°，MD ＝DE ·tan30°＝

6

6， ∴k ＝－

66，a ＝3

6， ∴抛物线的解析式为

6

66326312

+

-=x x y . 假设∠PEM ＝120°，那么∠FEM ＝60°，MD ＝DE ·tan60°＝

2

6，

∴k ＝－

2

6，a ＝6， ∴抛物线的解析式为

2

66262

+

-=x x y .

②当抛物线开口向下时，同理可得

666326312-+-=x x y ，2

66262

-

+-=x x y . 12.〔2005北京〕：在平面直角坐标系xOy 中，一次函数的图象与x 轴交于点A ，

抛物线

通过O 、A 两点。

〔1〕试用含a 的代数式表示b ；

〔2〕设抛物线的顶点为D ，以D 为圆心，DA 为半径的圆被x 轴分为劣弧和优弧两部分。假设将劣弧沿x 轴翻折，翻折后的劣弧落在⊙D 内，它所在的圆恰与OD 相切，求⊙D 半径的长及抛物线的解析式；

〔3〕设点B 是满足〔2〕中条件的优弧上的一个动点，抛物线在x 轴上方的部分上是否存在如此的点P ，使得

？假设存在，求出点P 的坐标；假设不存在，请说明

理由。

[解]〔1〕解法一：∵一次函数的图象与x轴交于点A

∴点A的坐标为〔4，0〕

∵抛物线通过O、A两点

解法二：∵一次函数的图象与x轴交于点A

∴点A的坐标为〔4，0〕

∵抛物线通过O、A两点

∴抛物线的对称轴为直线

〔2〕由抛物线的对称性可知，DO＝DA

∴点O在⊙D上，且∠DOA＝∠DAO

又由〔1〕知抛物线的解析式为

∴点D的坐标为〔〕

①当时，

，它沿x轴翻折后所得劣弧为，显然所如图1，设⊙D被x轴分得的劣弧为⌒

OmA

在的圆与⊙D关于x轴对称，设它的圆心为D'

∴点D'与点D也关于x轴对称

∵点O在⊙D'上，且⊙D与⊙D'相切

∴点O为切点

∴D'O⊥OD

∴∠DOA＝∠D'OA＝45°

∴△ADO为等腰直角三角形

∴点D的纵坐标为

∴抛物线的解析式为

②当时，

同理可得：

抛物线的解析式为

综上，⊙D半径的长为，抛物线的解析式为或〔3〕抛物线在x轴上方的部分上存在点P，使得

设点P的坐标为〔x，y〕，且y＞0

①当点P在抛物线上时〔如图2〕

∵点B是⊙D的优弧上的一点

过点P作PE⊥x轴于点E

由解得：〔舍去〕

∴点P的坐标为

②当点P在抛物线上时〔如图3〕

同理可得，

由解得：〔舍去〕

∴点P 的坐标为

综上，存在满足条件的点P ，点P 的坐标为

或

13.〔2005北京丰台〕在直角坐标系中，⊙通过坐标原点O ，分别与x 轴正半轴、y 轴正

半轴交于点A 、B 。 〔1〕如图，过点A 作⊙

的切线与y 轴交于点C ，点O 到直线AB 的距离为12

3sin 55

ABC ∠=，，

求直线AC 的解析式；

〔2〕假设⊙通过点M 〔2，2〕，设的内切圆的直径为d ，试判断d+AB 的值是否会发生变化，假如不变，求出其值，假如变化，求其变化的范围。

[解]〔1〕如图1，过O 作

于G ，那么

设

〔3，0〕

AB 是⊙

的直径

切⊙于A ，

在

中

x

设直线AC 的解析式为

，那么

直线AC 的解析式为

〔2〕结论：的值可不能发生变化 设的内切圆分别切OA 、OB 、AB 于点P 、Q 、T ，如图2所示

图2

那么

在x 轴上取一点N ，使AN=OB ，连接OM 、BM 、AM 、MN

平分

的值可不能发生变化，其值为4。

14.〔2005福建厦门〕：O 是坐标原点，P 〔m ，n 〕(m ＞0)是函数y ＝k x (k ＞0)上的点，过点P

作直线PA ⊥OP 于P ，直线PA 与x 轴的正半轴交于点A 〔a ，0〕(a ＞m ).设△OPA 的面积

为s ，且s ＝1＋n 4

4.

〔1〕当n ＝1时，求点A 的坐标； 〔2〕假设OP ＝AP ，求k 的值；

(3)设n 是小于20的整数，且k ≠n 4

2，求OP 2的最小值.

[解]过点P 作PQ ⊥x 轴于Q ，那么PQ ＝n ，OQ ＝m

(1) 当n ＝1时，s ＝5

4 ∴a ＝2s n ＝52

(2)解1：∵OP ＝APPA ⊥OP ∴△OPA 是等腰直角三角形

∴m ＝n ＝a

2

∴1＋n 44＝1

2·an

即n 4－4n 2＋4＝0 ∴k 2－4k ＋4＝0 ∴k ＝2

解2：∵OP ＝APPA ⊥OP

∴△OPA 是等腰直角三角形 ∴m ＝n

设△OPQ 的面积为s 1

那么：s 1＝s

2 ∴12·mn ＝12(1＋n 4

4)

即：n 4－4n 2＋4＝0 ∴k 2－4k ＋4＝0 ∴k ＝2

(3)解1：∵PA ⊥OP ，PQ ⊥OA ∴△OPQ ∽△OAP

设：△OPQ 的面积为s 1，那么

s 1s ＝PO 2AO 2

即：12k

1＋n 44＝n 2＋k 2

n 2

4 (1＋n 4

4)

2

n 2

化简得：2n 4＋2k 2－kn 4－4k ＝0

〔k －2〕〔2k －n 4〕＝0