等差数列的性质、求和知识点及训练

等差数列的性质、求和知识点及训练

重点：掌握等差数列的通项公式、求和公式以及等差中项的求法

难点:对等差数列的综合考察

一知识梳理

1.定义：d a a n n =--1（d 为常数）（2≥n ）； 2．等差数列通项公式：

*

11(1)()n a a n d dn a d n N =+-=+-∈ ， 首项:1a ，公差:d ，末项:n a 推广： d m n a a m n )(-+=． 从而m

n a a d m

n --=；

3．等差中项

（1）如果a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项．即：2

b

a A +=

或b a A +=2

（

2

）

等

差

中

项

：

数

列

{}

n a 是等差数列

)2(211-≥+=?+n a a a n n n 212+++=?n n n a a a

4．等差数列的前n 项和公式：

1()2n n n a a s +=

1(1)2n n na d -=+211

()22

d n a d n =+-2An Bn =+ （其中A 、B 是常数） （当d ≠0时，S n 是关于n 的二次式且常数项为0） 5．等差数列的判定方法

（1）定义法：若d a a n n =--1或d a a n n =-+1(常数*

∈N n )? {}n a 是等差数

列．

（2）等差中项：数列

{}

n a 是等差数列

)2(211-≥+=?+n a a a n n n 212+++=?n n n a a a ．

（3）数列{}n a 是等差数列?b kn a n +=（其中b k ,是常数）。 （4）数列{}n a 是等差数列?2

n S An Bn =+,（其中A 、B 是常数）。

6．等差数列的证明方法

定义法：若d a a n n =--1或d a a n n =-+1(常数*

∈N n )? {}n a 是等差数列．

7.提醒：（1）等差数列的通项公式及前n 和公式中，涉及到5个元素：1a 、d 、

n 、n a 及n S ，其中1a 、d 称作为基本元素。只要已知这5个元素中的任意3个，便

可求出其余2个，即知3求2。

（2）通常把题中条件转化成只含1a 和d 的等式！ 8.等差数列的性质：

（1）若公差0d >，则为递增等差数列，若公差0d <，则为递减等差数列，若公差

0d =，则为常数列。

（2）当m n p q +=+时,则有q p n m a a a a +=+，特别地，当2m n p +=时，则有

2m n p a a a +=.

(3) 若{n a }是等差数列，则232,,n n n n n S S S S S -- ，…也成等差数列 （公差为md ）

图示：

m

m

m m

m m

S S S m m S S m m S m a a a a a a a a 323231221321-+-+++++++++++

（4）若等差数列{}n a 、{}n b 的前n 和分别为n A 、n B ，且()n

n

A f n

B =， 则

21

21

(21)(21)(21)n n n n n n a n a A f n b n b B ---===--. （5）若{}n a 、{}n b 为等差数列，则{}n n a b ±为等差数列 (6)求n S 的最值

法一：直接利用二次函数的对称性：由于等差数列前n 项和的图像是过原点的二次函数，故n 取离二次函数对称轴最近的整数时，n S 取最大值（或最小值）。若S p = S q 则

其对称轴为2

p q

n +=

法二：①“首正”的递减等差数列中，前n 项和的最大值是所有非负项之和

即当，，001<>d a 由???≤≥+00

1

n n a a 可得n S 达到最大值时的n 值．

②“首负”的递增等差数列中，前n 项和的最小值是所有非正项之和。 即 当，，001>

1n n a a 可得n S 达到最小值时的n 值．

或求{}n a 中正负分界项

（7）设数列{}n a 是等差数列，奇S 是奇数项的和，偶S 是偶数项的和，n S 是前n 项的和，则：

1.当项数为偶数n 2时，=-奇偶S S d n ，其中n 为总项数的一半，d 为公差； 2、在等差数列{}n a 中，若共有奇数项12+n 项，则

121111(1)(21)1n n n n n S n a S S S n a S n S na S S a S n +++++?=+?=+=++??

??=??

=-=????

奇奇偶奇偶奇偶偶 注意：解决等差数列问题时，通常考虑两类方法：

①基本量法：即运用条件转化为关于1a 和()d q 的方程；

②巧妙运用等差数列和等比数列的性质，一般地运用性质可以化繁为简，减少运算量． 【类型1】求等差数列通项 【例1】.等差数列n a 中，51210,31a a ==，求1,,n d a a .

【变式1】四个数成等差数列，它们的和为28，中间两项的积为40，求这四个数.

【例2】等差数列n a 中，381312a a a ++=，381324a a a ??=，求通项公式n a .

【变式1】等差数列{}n a 中，51510,25,a a ==则25a 的值是 ．

【变式2】已知等差数列{}中．61018a a += 31a =，则13a = ．

【变式3】 等差数列

{}

n a 中，135105a a a ++=，24699a a a ++=，则

20a = ．

【变式4】若等差数列{}n a 的前5项和525S =，且23a =，则7a = ．

【例3】已知数列中，=1，，则数列的通项公式为 ______

【变式1】已知数列{}中，=2,=3，其前 n 项和满足 (n ≥2，n ∈N )，则数列{}的通项公式为 ( )

A ．=n

B ．=

C ．= n-l

D ．=n+l

【例4】在数列{}n a 和数列{}n b 中，n S 为数列{}n a 的前n 项和，且满足2

2n S n n =+，

n

a {}n a 1a 1(1)2n

n n a a n

++={}n a n a 1a 2a n S 1121n n n S S S +-+=+*n a n a n a 2n n a n a

数列{}n b 的前n 项和n T 满足13n n T nb +=，且11b =

（1）求数列{}n a 的通项公式 （2）求数列{}n b 的通项公式

【例5】数列n a 中，1155

1,n

n n a a a a +=

+=，求数列{}n a 的通项公式；

【类型2】求等差数列前n 项和

【例1已知{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和，*n N ∈，若32016,20,a S ==则10S 的值为_______

【变式1】如果是一个等差数列的前n 项和，其中 a ，b ，c 为常数，则c

的值为 ．

【例2】（10年全国文6） 等差数列{}n a 中，34512a a a ++=，那么n a 的前7项和

7S = ．

2

n S an bn c =++

【变式1】已知数列}{n a 、}{n b 都是公差为1的等差数列，其首项分别为1a 、

1b ，且511=+b a ，*11,N b a ∈．设n

b n a

c =（*N n ∈），则数列}{n c 的前10项

和等于（ ）

A ．55

B ．70

C ．85

D ．100

【例3】{}n a 通项公式为2

1

n a n n

=+，则n S =_______ ．

【变式1】{}n a 通项公式为1

1n a n n

=++则n S = ．

{}n a 通项公式为11

n a n n =

++，若其前n 项和为10，则项数n 为 ．

【例4】等差数列{}n a 中，249n a n =-，前n 项和记为n S ，求n S 取最小值时n 的值.

【变式】差数列{}n a 中，213n a n =-，则n = 时n S 有最大值；

【类型3】等差数列性质的应用

【例1】（1）等差数列{}n a 中，230,100,m m S S ==求3m S 的值.

（2）等差数列{}n a 中，481,4S S ==，求17181920a a a a +++的值.

【例2】（2009年辽宁理科14） 等差数列{}n a 中， n a 的前n 项和为n S ，如果

369,36S S ==，则789a a a ++= ．

【变式1】（2009年辽宁文） 等差数列{}n a 中，n a 的前n 项和为n S ，

366,24,S S ==，则9a = ．

【变式2】已知等差数列{}n a 中，12345612,18,a a a a a a ++=++=则

789a a a ++= ．

【变式3】已知数列{}n a 和{}n b 的前n 项和分别为,n n A B ，且7+1,427

n n A n B n =+求 1111a b 的值.

【例3】等差数列的前n 项和记为，若为一个确定的常数，则下列 各数中一定是常数的是（ ）

C ． B ． C ．

D ．

【变式1】等差数列中，则（ ）

{}n a n S 2610a a a ++6S 11S 12S 13S {}n a 1912,24,a a =-=9S =

C ． -36 B ．48 C ．54

D ．72

【变式2】等差数列中，已知前15项的和，则等于（ ）

A ．

B ．12

C ．

D ．6

【变式3】在等差数列中，若 则 ．

【类型4】证明数列是等差数列

【例1】知数列{}n a 的前n 项和为21

+2

n n n S =，求通项公式n a 并判断是否为等差数列

【例2】在数列中，,设证明

是等差数列．

【例3】已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足)2(021≥=+-n S S a n n n ，2

11=

a ， }{n a 9015=S 8a 2

45

4

45

{}n a 9

9,S =46a a +={}n a n

n n a a a 22,111+==+,2

1-=

n n

n a b {}n b

求证：数列?

??

???n S 1是等差数列；求数列{}n a 的通项公式。

【变式1】数列n a 中，11551,n

n n a a a a +=+=，判断1n a ??????

是否为等差数列.

【例4】数列{}n a 中，144n n a a -=-，12

n n a b =-； 1） 求证{}n b 是等差数列； 2） 求{}n a 的通项公式.

【变式1】已知数列{}n a 满足15

2

a =

，()114122n n n a a n a ---=≥+

（1） 设1

1

n n b a =

-，求证{}n b 为等差数列； （2） 求{}n a 通项；