含参不等式恒成立问题学考压轴题(函数专题)

个性化教案

学生姓名年级科目数学授课教师日期

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教学目标

教学内容

函数专题:含参不等式恒成立问题

个性化学习问题解决

“含参不等式恒成立问题”把不等式、函数、三角、几何等内容有机地结合起来，知识点多，综合性强，解法灵活等。在解决这类问题的过程中涉及的“函数与方程”、“化归与转化”、“数形结合”、“分类讨论”等数学思想对锻炼学生的综合解题能力，培养其思维的灵活性、创造性都有着独到的作用

恒成立问题的基本类型：

类型1：若所求问题可转化为二次不等式，则可考虑应用判别式法解题。一般地，对于二次函数

),0()(2R x a c bx ax x f ∈≠++=,有

1）0)(>x f 对R x ∈恒成立??

??00a ; 2）0)(

???

例1、已知不等式2

220x ax -+>对x ∈R 恒成立，求实数a 的取值范围。

例2：若不等式02)1()1(2>+-+-x m x m 的解集是R ，求m 的范围。

类型2：设)0()(2

≠++=a c bx ax x f

（1）当0>a 时，],[0)(βα∈>x x f 在上恒成立?????>>-?????<-

)(2020)(2βββαααf a b

b f a b 或或， ],[0)(βα∈

?<x x f 在上恒成立?

??>>?0)(0

)(βαf f

],[0)(βα∈-?????

)(2020)(2βββαααf a b

b f a b 或或变式1：已知不等式2

220x ax -+>对[]1,2x ∈恒成立，求实数a 的取值范围。

变式2：已知不等式2

220x ax -+>对[]1,2x ∈-恒成立，求实数a 的取值范围。

类型3：

αα>?∈>min )()(x f I x x f 恒成立对一切；

αα

类型4：

)

()()()()()()(max min I x x g x f x g x f I x x g x f ∈>?∈>的图象的上方或的图象在恒成立对一切恒成

注意：

恒成立（在某一区间上），成立（存在一个），恒不成立（在某一区间上）三者的区别：

αα>?>max )()(x f x f 成立； αα

ααmax )()(x f x f 恒不成立； αα>?

练习、（1）若关于x 的不等式02

>--a ax x 的解集为),(+∞-∞，求实数a 的取值范围；

（2）若关于x 的不等式32

-≤--a ax x 的解集不是空集，求实数a 的取值范围

基本方法

一、确定主元法

在给出的含有两个变量的不等式中，学生习惯把变量x 看成是主元（未知数），而把另一个变量a 看成参数，在有些问题中这样的解题过程繁琐。如果把已知取值范围的变量作为主元，把要求取值范围的变量看作参数，则可简

化解题过程。

例1：若不等式)1(122->-x m x 对满足22≤≤-m 的所有m 都成立，求x 的范围。

例2．对任意]1,1[-∈a ，不等式024)4(2>-+-+a x a x 恒成立，求x 的取值范围。

练习、1、对于满足||2p ≤的所有实数p ，求使不等式212x px p x ++>+恒成立的x 的取值范围。

2、对任意的[]1,1a ∈-，函数2()(4)42f x x a x a =+-+-的值总是正数，则x 得取值范围是（） A １<ｘ<３Ｂｘ<１或x>3 C 12

3. 已知函数()f x 是定义在[]1,1-上的奇函数，且(1)1f =，若[],1,1a b ∈-，0a b +≠，有

()()

0f a f b a b

+>+，（1）

证明()f x 在[]1,1-上的单调性；（2）若2()21f x m am ≤-+对所有[]1,1a ∈-恒成立，求m 的取值范围。

二、判别式法

对于一元二次函数),0(0)(2

R x a c bx ax x f ∈≠>++=有：（1）R x x f ∈>在0)(上恒成立00?且a ；

（2）R x x f ∈<在0)(上恒成立00

例2：若不等式02)1()1(2>+-+-x m x m 的解集是R ，求m 的范围。

三、最值法

（1）m x f ≥)(对任意x 都成立m x f ≥?min )(；（2）m x f ≤)(对任意x 都成立max )(x f m ≥?。

简单计作：“大的大于最大的，小的小于最小的”。由此看出，本类问题实质上是一类求函数的最值问题。

1、已知函数[)22(),1,x x a

f x x x

++=

∈+∞ ，（1）当12a =时，求函数()f x 的最小值；（2）若对任意[)1,,()0x f x ∈+∞>恒成立，求实数a 的范围

练习. 已知不等式[]2

2023x x a x -+>∈对任意实数，恒成立。求实数a 的取值范围。

四：数形结合法

数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形缺数时难入微”，这充分说明了数形结合思想的妙处，在不等式恒成立问题中它同样起着重要作用。我们知道，函数图象和不等式有着密切的联系：

1）?>)()(x g x f 函数)(x f 图象恒在函数)(x g 图象上方； 2）?<)()(x g x f 函数)(x f 图象恒在函数)(x g 图象下上方。

例1：已知21

0,1,(),(1,1),()2

a a f x x a x f x >≠=-∈-<

当时有恒成立，求实数a 的取值范围。

利用函数的最值求不等式恒成立问题

考点2、利用函数的最值求不等式恒成立问题例3、已知过函数1)(23++=ax x x f 的图象上一点),1(b B 的切线的斜率为－3．（1）求b a ,的值；（2）求A 的取值范围，使不等式1987)(-≤A x f 对于]4,1[-∈x 恒成立；【解析】（1）()x f '=ax x 232+ 依题意得3,323)1('-=∴-=+==a a f k ()1323+-=∴x x x f ，把),1(b B 代入得1)1(-==f b 1,3-=-=∴b a （2）令063)(2'=-=x x x f 得0=x 或2=x 31232)2(,1)0(23-=+?-==f f 17)4(,3)1(=-=-f f 17)(3],4,1[≤≤--∈∴x f x 要使1987)(-≤A x f 对于]4,1[-∈x 恒成立，则)(x f 的最大值198717-≤A 2004≥∴A 变式训练1、设函数2()()ln ()f x x a x a R =-∈ （Ⅰ）若x e =为()y f x =的极值点，求实数a . （Ⅱ）求实数a 的取值范围，使得对任意(0,3]x e ∈恒有2()4f x e ≤成立（注：e 为自然对数的底数）. 【解析】（I ）求导得2()()2()ln ()(2ln 1)x a a f x x a x x a x x x -=-+=-+-￠因为x e =是()f x 的极值点，所以()0f e =￠解得a e =或3a e =．经检验，符合题意，所以a e =，或3a e = （II ）①当031a 时即1 3 a > 时，由①知，(0,1]x ?时，不等式恒成立，故下研究函数在(1,3]a 上的最大值，首先有22(3)(3)ln34ln3f a a a a a a =-=此值随着a 的增大而增大，故应

关于不等式恒成立问题的几种求解方法

关于不等式恒成立问题的几种求解方法不等式恒成立问题，在高中数学中较为常见。这类问题的解决涉及到一次函数、二次函数、三角函数、指数与对数函数等函数的性质、图象，渗透着换元、化归、数形结合、函数与方程等思想方法，有利于考查学生的综合解题能力，在培养思维的灵活性、创造性等方面起到了积极的作用。不等式恒成立问题在解题过程中有以下几种求解方法：①一次函数型；②二次函数型；③变量分离型；④数形结合型。下面我们一起来探讨其中一些典型的问题一、一次函数型——利用单调性求解例1、若不等式对满足的所有实数m都成立，求x的取值范围。若对该不等式移项变形，转化为含参数m的关于x的一元二次不等式，再根据对称轴和区间位置关系求对应的二次函数的最小值，利用最小值大于零求解。这样得分好几种情况讨论,这思路应该说从理论上是可行的，不过运算量不小。能不能找出不需要讨论的方法解决此问题呢？若将不等式右边移到左边，然后将新得到的不等式左边看做关于m的一次函数，借助一次函数的图像直线（其实是线段）在m轴上方只需要线段的两个端点在上方即可。分析：在不等式中出现了两个字母：x及m,关键在于该把哪个字母看成是一个变量，另一个作为常数。显然可将m视作自变量，则上述问题即可转化为在[-2，2]内关于m的一次函数大于0恒成立的问题。解：原不等式转化为(1-x2)m+2x-1>0在|m|2时恒成立, 设f(m)= (1-x2)m+2x-1,则f(m)在[-2,2]上恒大于0，故有：此类题本质上是利用了一次函数在区间[a，b]上的图象是一线段，故只需保证该线段两端点均在m轴上方（或下方）即可。给定一次函数y=f(x)=ax+b(a≠0),若y=f(x)在[m,n]内恒有f(x)>0，则根据函数的图象（线段）（如下图）可得上述结论等价于 ⅰ），或ⅱ）可合并成同理，若在[m,n]内恒有f(x)0恒成立；f(x)3;

函数不等式恒成立问题经典总结

函数、不等式恒成立问题解法（老师用）恒成立问题的基本类型：类型1：设)0()(2 ≠++=a c bx ax x f ，(对于任意实数R 上恒成立) （1）R x x f ∈>在0)(上恒成立00?且a ；（2）R x x f ∈<在0)(上恒成立00a 时，],[0)(βα∈>x x f 在上恒成立?????>>-?????<- ?0 )(2020)(2βββαααf a b a b f a b 或或， ],[0)(βα∈x x f 在上恒成立?? ?>>?0 )(0 )(βαf f ],[0)(βα∈- ?????<-?0 )(2020)(2βββαααf a b a b f a b 或或类型3： αα>?∈>min )()(x f I x x f 恒成立对一切 αα>?∈?∈>的图象的上方或的图象在恒成立对一切恒成一、用一次函数的性质对于一次函数],[,)(n m x b kx x f ∈+=有： ?? ?<>?>0 )(0 )(0)(,0)(0)(0)(n f m f x f n f m f x f 恒成立恒成立例1：若不等式)1(122 ->-x m x 对满足22≤≤-m 的所有m 都成立，求x 的范围。解析：我们可以用改变主元的办法，将m 视为主变元，即将元不等式化为：0)12()1(2 <---x x m ，；令)12()1()(2 ---=x x m m f ，则22≤≤-m 时，0)(

人教版必修五含参不等式和恒成立问题(含答案)

含参不等式专题一、一元二次不等式含参问题含参不等式的解法：由于解含参数不等式的主要目的是求未知数的取值集合，而不是求参数的范围，因此在分析含参数不等式时，把参数看成是常数，确定不等式的类型，按相应类型不等式的解题方法进行转化；但在求解过程中要审视参数对不等式类型、同解变形、解的结构等是否有不确定性影响，若有不确定性则进行分类讨论，否则不予讨论。解含参数的一元二次不等式，通常情况下，均需分类讨论，对含参一元二次不等式常用的分类方法有三种： (1)按2x 项的系数a 的符号分类，即0,0,0<=>a a a ; (2)按判别式?的符号分类，即0,0,0?； (3)按方程02=++c bx ax 的根21,x x 的大小来分类，即2121,x x x x =<；例题1：解x 的不等式：（1）042 >++ax x 。 (2) )(0122 R a a ax ∈>++ 例题2：解关于x 的不等式：（1）.01)1(2 <++-x a ax （2） )(0)1(2 R k x k kx ∈>-+ 例题3：解不等式（1）)0( 01)1(2≠<++-a x a a x . （2））（R a x ax ∈≥++22 2 二、一元二次不等式恒成立问题 1、不等式对任意实数恒成立，就是不等式的解集为R ，对于一元二次不等式ax 2＋bx ＋c ＞0，它的解集为R 的条件为??? a ＞0Δ＜0；ax 2＋bx ＋c ＜0的解集为R 的条件为??? a ＜0 Δ＜0 ；0 2≥++c bx ax 的解集为R 的条件为?? ?≤?>00a ；02≤++c bx ax 的解集为R 的条件为???≤?<0 a . 2、对于一般恒成立问题：方法一：转化为函数的最值（或值域）（1）m x f ≥)(对任意x 都成立 m x f ≥?min )(；（2）m x f ≤)(对任意x 都成立max )(x f m ≥?。简单计作：“大的大于最大的，小的小于最小的”。方法二：数形结合，如果不等式中涉及的函数、代数式对应的图象、图形较易画出时，可通过图象、图形的位置关系建立不等式求得参数范围. 方法三：分离参数，把要求的参变量分离出来，单独放在不等式的一侧，将另一侧看成新函数，于是将问题转化成新函数的最值问题；（1）对于取值范围内的任一个数都有恒成立，则；（2）对于取值范围内的任一个数都有恒成立，则例题1：若)5lg(2b x x y --=的定义域为R,求b 范围。例题2：已知关于x 的不等式01)2()2(2≥+---x a x a 恒成立，试求a 的取值范围. 例题3：已知1)(2+-=ax x x f ，求使不等式0)(++a ax x 2、解关于x 的不等式0)1(2>++-a x a x 3、解关于x 的不等式：04)1(22>++-x a ax 4、不等式x p xp x 212->++ 对),1(+∞∈x 恒成立，求p 的范围。 5、已知函数]4,0(,4)(2∈--=x x x ax x f 时0)(

基本不等式及其应用知识梳理及典型练习题(含答案)

基本不等式及其应用 1．基本不等式若a>0,，b>0，则 a ＋ b 2 ≥ab ，当且仅当时取“＝”．这一定理叙述为：两个正数的算术平均数它们的几何平均数．注：运用均值不等式求最值时，必须注意以下三点： (1)各项或各因式均正；（一正） (2)和或积为定值；（二定） (3)等号成立的条件存在：含变数的各项均相等，取得最值．（三相等） 2．常用不等式 (1)a 2＋b 2≥ab 2(a ，b ∈R )． 2 a b +()0,>b a 注：不等式a 2＋b 2≥2ab 和 2 b a +≥a b 它们成立的条件不同，前者只要求a 、b 都是实数，而后者要求a 、b 都是正数.其等价变形：ab≤（2 b a +）2 .

(3)ab≤ 2 2 ? ? ? ? ?+b a (a，b∈R)． (4) b a ＋ a b ≥2(a，b同号且不为0)． (5) 2 2 ? ? ? ? ?+b a ≤ a2＋b2 2 (a，b∈R). （6） b a ab b a b a 1 1 2 2 2 2 2 + ≥ ≥ + ≥ +()0 ,> b a (7)abc≤ a3＋b3＋c3 3 ;() ,,0 a b c> (8) a＋b＋c 3 ≥ 3 abc；() ,,0 a b c> 3．利用基本不等式求最大、最小值问题 (1)求最小值：a>0，b>0，当ab为定值时，a＋b，a2＋b2有，即a ＋b≥，a2＋b2≥. (2)求最大值：a＞0，b＞0，当a＋b为定值时，ab有最大值，即；或a2＋b2为定值时，ab有最大值(a＞0，b＞0)，即.

设a，b∈R，且a＋b＝3，则2a ＋2b的最小值是( ) 解：因为2a＞0，2b＞0，由基本不等式得2a＋2b≥22a·2b＝22a＋b＝42，当且仅当a＝b＝3 2 时取等号，故选B. 若a＞0，b＞0，且a＋2b－2＝0，则ab的最大值为( ) 解：∵a＞0，b＞0，a＋2b＝2，∴a＋2b＝2≥22ab，即ab≤1 2 .当且仅当a ＝1，b＝1 2 时等号成立.故选A.

一元二次不等式恒成立问题专项练习

一元二次不等式恒成立问题专项练习例题：设函数f (x )＝mx 2－mx －1. (1)若对于一切实数x ，f (x )<0恒成立，求m 的取值范围； (2)对于x ∈[1,3]，f (x )<－m ＋5恒成立，求m 的取值范围. (3)对于任意m ∈[1,3]，f (x )<－m ＋5恒成立，求实数x 的取值范围. 解： (1)要使mx 2－mx －1<0恒成立，若m ＝0，显然－1<0，满足题意；若m ≠0，则??? m <0， Δ＝m 2＋4m <0，即－40时，g (x )在[1,3]上是增函数， ∴g (x )max ＝g (3)＝7m －6<0，∴00，又m (x 2－x ＋1)－6<0，∴m <6 x 2－x ＋1. ∵函数y ＝6x 2－x ＋1＝6? ????x －122＋34 在[1,3]上的最小值为67 ，∴只需 m <67即可.

函数、不等式恒成立问题完整解法

函数、不等式恒成立问题完整解法恒成立问题的基本类型：类型1：设，<1）上恒成立；<2）上恒成立。类型2：设 <1）当时，上恒成立，上恒成立 <2）当时，上恒成立上恒成立类型3：。类型4：恒成一、用一次函数的性质对于一次函数有：

例1：若不等式对满足的所有都成立，求x的范围。解读：我们可以用改变主元的办法，将m视为主变元，即将元不等式化为：，；令，则时，恒成立，所以只需即，所以x的范围是。二、利用一元二次函数的判别式对于一元二次函数有： <1）上恒成立； <2）上恒成立例2：若不等式的解集是R，求m的范围。解读：要想应用上面的结论，就得保证是二次的，才有判别式，但二次项系数含有参数m，所以要讨论m-1是否是0。 <1）当m-1=0时，元不等式化为2>0恒成立，满足题意； <2）时，只需，所以，。三、利用函数的最值<或值域） <1）对任意x都成立； <2）对任意x都成立。简单计作：“大的大于最大的，小的小于最小的”。由此看出，本类问题实质上是一类求函数的最值问题。例3：在ABC中，已知恒成立，求实数m的范围。解读：由，

，恒成立，，即恒成立，例4：<1）求使不等式恒成立的实数a的范围。解读：因为函，显然函数有最大值，。如果把上题稍微改一点，那么答案又如何呢？请看下题： <2）求使不等式恒成立的实数a的范围。解读：我们首先要认真对比上面两个例题的区别，主要在于自变量的取值范围的变化，这样使得的最大值取不到，即a取也满足条件，所以。所以，我们对这类题要注意看看函数能否取得最值，因为这直接关系到最后所求参数a的取值。利用这种方法时，一般要求把参数单独放在一侧，所以也叫分离参数法。四：数形结合法对一些不能把数放在一侧的，可以利用对应函数的图象法求解。例5：已知，求实数a的取值范围。解读：由，在同一直角坐标系中做出两个函数的图象，如果两个函数分别在x=-1和x=1处相交，则由得到a分别等于2和0.5，并作出函数的图象，所以，要想使函数在区间中恒成立，只须在区间对应的图象在在区间对应图象的上面即可。当才能保证，而才可以，所以。

教案高中含参不等式的恒成立问题整理版.doc

高中数学不等式的恒成立问题一、用一元二次方程根的判别式有关含有参数的一元二次不等式问题，若能把不等式转化成二次函数或二次方程，通过根的判别式或数形结合思想，可使问题得到顺利解决。基本结论总结例1 对于x ∈R ，不等式恒成立，求实数m 的取值范围。例2：已知不等式04)2(2)2(2 <--+-x a x a 对于x ∈Ｒ恒成立，求参数a 的取值范围．解：要使04)2(2)2(2 <--+-x a x a 对于x ∈Ｒ恒成立，则只须满足：（1）???<-+-<-0)2(16)2(4022 a a a 或（2）?? ? ??<-=-=-0 40)2(20 2a a 解（1）得?? ?<<-<2 22 a a ，解（2）a ＝２ ∴参数a 的取值范围是－２＜a ≤２．练习 1. 已知函数])1(lg[2 2 a x a x y +-+=的定义域为R ，求实数a 的取值范围。 2.若对于x ∈R ，不等式恒成立，求实数m 的取值范围。 3.若不等式的解集是R ，求m 的范围。 4.x 取一切实数时，使3 47 2+++kx kx kx 恒有意义，求实数k 的取值范围．

例3．设22)(2 +-=mx x x f ，当),1[+∞-∈x 时，m x f ≥)(恒成立，求实数m 的取值范围。关键点拨：为了使在恒成立，构造一个新函数是解题的关键，再利用二次函数的图象性质进行分类讨论，使问题得到圆满解决。若二次不等式中x 的取值范围有限制，则可利用根的分布解决问题。解：m mx x x F -+-=22)(2 ，则当),1[+∞-∈x 时，0)(≥x F 恒成立当120)2)(1(4<<-<+-=?m m m 即时，0)(>x F 显然成立；当0≥?时，如图，0)(≥x F 恒成立的充要条件为： ??? ? ??? -≤--≥-≥?1 220)1(0m F 解得23-≤≤-m 。综上可得实数m 的取值范围为)1,3[-。例4 。已知1ax x )x (f 2+-=，求使不等式0)x (f <对任意]2,1[x ∈恒成立的a 的取值范围。解法1：数形结合结合函数)x (f 的草图可知]2,1[x ,0)x (f ∈<时恒成立? 25a 0 a 25)2(f 0a 2)1(f >?? ?<-=<-=得。所以a 的取值范围是),25 (+∞。解法2：转化为最值研究 4a 1)2a x ()x (f 22- +-= 1. 若]2,1[)x (f ,3a 232a 在时即≤≤上的最大值,25a ,0a 25)2(f )x (f max ><-==得3a 25 ≤<所以。 2. 若0a 2)1(f )x (f ]2,1[)x (f ,3a 2 3 2a max <-==>>上的最大值在时即，得2a >，所以3a >。综上：a 的取值范围是),2 5 (+∞。注：1. 此处是对参a 进行分类讨论，每一类中求得的a 的范围均合题意，故对每一类中所求得的a 的范围求并集。 2. I x ,m )x (f ∈<恒成立)m (m )x (f max 为常数?∈> 解法3：分离参数 ]2,1[x ,x 1x a ]2,1[x ,01ax x 2∈+ >?∈<+-。设x 1 x )x (g +=，注：1. 运用此法最终仍归结为求函数)x (g 的最值，但由于将参数a 与变量x 分离，因此在求最值时避免了分类讨论，使问题相对简化。 2. 本题若将“]2,1[x ∈”改为“)2,1(x ∈”可类似上述三种方法完成。仿解法1：?∈<)2,1(x ,0)x (f 25a 0 )2(f 0)1(f ≥?? ?≤≤得即),25 [:a +∞的范围是读者可仿解法2，解法3类似完成，但应注意等号问题，即此处2 5 a = 也合题。 O x y x -1

高考数学不等式恒成立、能成立、恰成立问题

不等式恒成立、能成立、恰成立问题一、不等式恒成立问题的处理方法 1、转换求函数的最值：（1）若不等式()A x f >在区间D 上恒成立,则等价于在区间D 上()min f x A >，?()f x 的下界大于A （2）若不等式()B x f <在区间D 上恒成立,则等价于在区间D 上()max f x B <,()f x 的上界小于A 例1、设f(x)=x2-2ax+2,当x ∈[-1,+∞]时，都有f(x)≥a 恒成立，求a 的取值范围。例2、已知(),22x a x x x f ++=对任意[)()0,,1≥+∞∈x f x 恒成立,试求实数a 的取值范围; 例3、R 上的函数()x f 既是奇函数，又是减函数，且当 ??? ??∈2,0πθ时，有()()022sin 2cos 2>--++m f m f θθ恒成立，求实数m 的取值范围. 例4、已知函数)0(ln )(44>-+=x c bx x ax x f 在1=x 处取得极值3c --，其中a 、b 为常数.（1）试确定a 、b 的值；（2）讨论函数)(x f 的单调区间；（3）若对任意0>x ，不等式22)(c x f -≥恒成立，求c 的取值范围。 2、主参换位法例5、若不等式a 10x -<对 []1,2x ∈恒成立，求实数a 的取值范围例6、若对于任意1a ≤，不等式2(4)420x a x a +-+->恒成立，求实数x 的取值范围例7、已知函数323()(1)132a f x x x a x = -+++，其中a 为实数．若不等式 2()1f x x x a '--+＞对任意(0)a ∈+∞，都成立，求实数x 的取值范围． 3、分离参数法（1）将参数与变量分离，即化为 ()()g f x λ≥（或()()g f x λ≤）恒成立的形式；（2）求()f x 在x D ∈上的最大（或最小）值；（3）解不等式()max ()g f x λ≥(或()()min g f x λ≤) ，得λ的取值范围。适用题型：（1）参数与变量能分离；（2）函数的最值易求出。例8、当(1,2)x ∈时，不等式240x mx ++<恒成立，则m 的取值范围是 . 例9、已知函数321()33f x ax bx x =+++,其中0a ≠（1）当b a ,满足什么条件时,)(x f 取得极值?（2）已知0>a , 且)(x f 在区间(0,1]上单调递增,试用a 表示出b 的取值范围.

含参数的一元二次不等式的解法与恒成立问题

} 11 |{1)5(1)4(} 1 1|{10)3(} 1|{0)2(}1,1 |{0)1(<<>Φ =<<<<>=>< a a a ; 例1 解不等式：()0122>+++x a ax 分析：本题二次项系数含有参数，()044222 >+=-+=?a a a ，故只需对二次项系数进行分类讨论。解：∵()044222 >+=-+=?a a a 解得方程 ()0122 =+++x a ax 两根,24221a a a x +---=a a a x 24 222++--= ∴当0>a 时,解集为?? ????????+---<++-->a a a x a a a x x 242242|22或当0=a 时，不等式为012>+x ,解集为? ?????> 21|x x 当0+-a a ax ax 分析因为0≠a ，0>?，所以我们只要讨论二次项系数的正负。解 ()()032)65(2>--=+-x x a x x a ∴当0>a 时，解集为{}32|>--ax x ； 3、ax 2 －(a ＋1)x ＋1<0(a ∈R) }2,2 |{,1)5(}2|{,1)4(}2 ,2|{,10)3(} 2|{,0)2(} 22 |{,0)1(>< >≠=><<<<=<<?；例3 解不等式042 >++ax x