鲁科版物理必修二第四章 第3节 向心力的实例分析

第3节 向心力的实例分析

一、转弯时的向心力实例分析

1．汽车在水平路面转弯，所受静摩擦力提供转弯所需的向心力。

2．火车(或汽车)转弯时，如图4-3-1所示，向心力由重力和支持力的合力提供， 向心力 F

＝mg tan θ＝mv 2

r

，转弯处的速度v ＝gr tan θ。

图4-3-1 图4-3-2

3．飞机(或飞鸟)转弯受力如图4-3-2所示，向心力由空气作用力F 和重力mg 的合力提供。 二、竖直平面内的圆周运动实例分析

1．汽车过拱形桥

2．过山车(在最高点和最低点)

(1)向心力来源：受力如图4-3-3所示，重力和支持力的合力提供向心力。

图4-3-3

(2)向心力方程

在最高点：N ＋mg ＝m v 2

r ，v 越小，

N 越小，当N ＝0时v min ＝gr 。 在最低点：N －mg ＝m v 2

r

。

1．自主思考——判一判

(1)火车转弯时的向心力是火车受到的合外力。(×) (2)火车以恒定速率转弯时，合外力提供向心力。(√) (3)做匀速圆周运动的汽车，其向心力保持不变。(×)

(4)汽车过拱形桥时，对桥面的压力一定大于汽车自身的重力。(×)

(5)汽车在水平路面上行驶时，汽车对地面的压力大小等于自身的重力大小。(√) 2．合作探究——议一议

(1)假定你是一个铁路设计的工程师，你打算用什么方法为火车转弯提供向心力？

提示：要根据弯道的半径和规定的行驶速度，确定内外轨的高度差，使火车转弯时所需的向心力几乎完全由重力G 和支持力N 的合力来提供。

(2)如图4-3-4所示，滑冰运动员转弯时为什么要向转弯处的内侧倾斜身体？

图4-3-4

提示：倾斜身体是为了获得冰面对运动员向内侧的静摩擦力，从而获得做圆周运动所需要的向心力。

(3)过山车和乘客在轨道上的运动是圆周运动，如图4-3-5所示，过山车驶至轨道的顶部，车与乘客在轨道的下方，为什么车与乘客不会掉下来？

图4-3-5

提示：过山车驶至轨道的顶部时，车所受的重力和轨道的弹力的合力提供车做圆周运动的向心力，满足车做圆周运动的条件，而非近心运动或自由落体运动。

1．火车车轮的特点

火车的车轮有凸出的轮缘，火车在铁轨上运行时，车轮与铁轨有水平与竖直两个接触面，这种结构特点，主要是避免火车运行时脱轨，如图4-3-6所示。

图4-3-6

2．圆周平面的特点

弯道处外轨高于内轨，但火车在行驶过程中，重心高度不变，即火车的重心轨迹在同一水平面内，火车的向心加速度和向心力均沿水平面指向圆心。

3．向心力的来源分析

在实际的火车转弯处，外轨高于内轨，火车转弯所需的向心力完全由重力和支持力的合力提供，

即mg tan θ＝m v2

R

，如图4-3-7所示，则v＝gR tan θ。

其中R为弯道半径，θ为轨道所在平面与水平面的夹角，v为转弯处的规定速度。

图4-3-7

4．转弯时速度与轨道侧压力的关系

(1)当火车行驶速度v＝gR tan θ时，重力和弹力的合力提供向心力，轮缘对内、外轨无侧压力。

(2)当火车行驶速度v＞gR tan θ时，轮缘对外轨有侧压力。

(3)当火车行驶速度v＜gR tan θ时，轮缘对内轨有侧压力。

[特别提醒] 火车做圆周运动的圆周平面是水平面，而不是斜面；火车做圆周运动的向心力沿水平方向指向圆心，而不是斜向下方。

[典例] 质量为m的火车以恒定的速率在水平面内沿一段半径为R的圆形轨道转弯，如图4-3-8所示，已知路面有一定的倾角。当火车以速率v0在此弯道上转弯时，车轮对轨道的侧压力恰好为零。如果火车以实际速率v(v>v0)在此弯道上转弯时，车轮将施于铁轨一个与枕木平行的压力F，试求侧压力F的大小。

图4-3-8

[审题指导]

第一步：抓关键点

关键点获取信息车轮对轨道的侧压力恰好为

零

重力和支持力的合力充当向心力

实际速率v>v0平行于枕木向下的弹力、重力、支持力的合力充当

向心力

第二步：找突破口

以火车为研究对象，火车做圆周运动的平面是水平的，故合力(向心力)沿水平方向，对火车以速率v0和v在此弯道转弯时受力分析，结合牛顿第二定律列方程可求侧压力F的大小。

[解析] 用α表示路面与水平面的夹角，当火车以速率v0转弯时有mg tan α＝mv02 R

①

当火车以实际速率v转弯时，车轮对外轨的侧压力与外轨对车轮的侧压力是一对相互作用力，此时有

N sin α＋F cos α＝mv2 R

②

N cos α－F sin α＝mg③

联立①②③式，解得F＝v2－v02mg v04＋g2R2

。

[答案] v2－v02mg v04＋g2R2

火车转弯问题的解题方法

(1)对火车转弯问题一定要搞清合力的方向，指向圆心方向的合外力提供物体做圆周运动的向心力，方向指向水平面内的圆心。

(2)弯道两轨在同一水平面上时，向心力由外轨对轮缘的挤压力提供。

(3)当外轨高于内轨时，向心力由火车的重力和铁轨的支持力以及内、外轨对轮缘的挤压力的合力提供，这还与火车的速度大小有关。

1．火车在拐弯时，关于向心力的分析，正确的是( )

A ．由于火车本身作用而产生了向心力

B ．主要是由于内外轨的高度差的作用，车身略有倾斜，车身所受重力的分力产生了向心力

C ．火车在拐弯时的速率小于规定速率时，内轨将给火车侧压力，侧压力就是向心力

D ．火车在拐弯时的速率大于规定速率时，外轨将给火车侧压力，侧压力作为火车拐弯时向心力的一部分

解析：选D 火车正常拐弯时，重力和支持力的合力提供向心力，故A 、B 错误；当拐弯速率大于规定速率时，外轨对火车有侧压力作用；当拐弯速率小于规定速率时，内轨对火车有侧压力作用，此时，火车拐弯所需的向心力是重力、支持力和侧压力的合力来提供，故C 错误，D 正确。

2．火车在某个弯道按规定运行速度40 m/s 转弯时，内、外轨对车轮皆无侧压力。若火车在该弯道实际运行速度为30 m/s ，则下列说法中正确的是( )

A ．仅内轨对车轮有侧压力

B ．仅外轨对车轮有侧压力

C ．内、外轨对车轮都有侧压力

D ．内、外轨对车轮均无侧压力

解析：选A 火车在弯道按规定运行速度转弯时，重力和支持力的合力提供向心力，内、外轨对车轮皆无侧压力。若火车的运行速度小于规定运行速度时，重力和支持力的合力大于火车需要的向心力，火车有做近心运动趋势，内轨对车轮产生侧压力，重力、支持力和内轨的侧压力的合力提供火车做圆周运动的向心力，故A 正确。

3．修铁路时，两轨间距是1 435 mm ，某处铁路转弯的半径是300 m ，若规定火车通过这里的速度是72 km/h 。请你运用学过的知识计算一下，要想使内外轨均不受轮缘的挤压，内外轨的高度差应是多大？

解析：火车受到的支持力和重力的合力指向轨道圆心做向心力，如图所示。

图中h 为两轨高度差，d 为两轨间距，mg tan α＝m v 2r ，tan α＝v 2

gr

，又由于轨道平面和水平面

间的夹角一般较小，可近似认为tan α＝sin α＝h

d

。因此，

h

d

＝

v2

gr

，又v＝72 km/h＝20 m/s，则h

＝v2d

gr

＝

202×1.435

9.8×300

m＝0.195 m。

答案：0.195 m

1．细绳模型

如图4-3-9所示，细绳系的小球或在轨道内侧运动的小球，在最高点时的临界状态为只受重力，

由mg＝m v2

r

，得v＝gr。

图4-3-9

在最高点时：

(1)v＝gr时，拉力或压力为零。

(2)v>gr时，物体受向下的拉力或压力，并且随速度的增大而增大。

(3)v

即绳类在最高点的临界速度为v临＝gr。

2．轻杆模型

如图4-3-10所示，在细轻杆上固定的小球或在管形轨道内运动的小球，由于杆和管能对小球产生向上的支持力，所以小球能在竖直平面内做圆周运动的条件是在最高点的速度大于或等于零，小球的受力情况为：

图4-3-10

(1)v＝0时，小球受向上的支持力N＝mg。

(2)0

(4)v >gr 时，小球受向下的拉力或压力，并且随速度的增大而增大。 即杆类的最高点的临界速度为v 临＝0。 [特别提醒]

(1)细绳模型和轻杆模型在竖直平面内做圆周运动，恰能通过最高点的速度条件不同。

(2)两个模型都是根据向心力的特点确定临界条件。

[典例] 杂技演员在做“水流星”表演时，用一根细绳系着盛水的杯子，抡起绳子，让杯子在竖直平面内做圆周运动。如图4-3-11所示，杯内水的质量m ＝0.5 kg ，绳子总长

l ＝120 cm 。求：

图4-3-11

(1)在最高点水不流出的最小速率。

(2)水在最高点速率v ＝3 m/s 时，水对杯底的压力大小。 [思路点拨] 解答本题应把握以下两点： (1)水在最高点不流出的受力条件。 (2)水和杯子做圆周运动的向心力来源。

[解析] (1)在最高点水不流出的条件是重力不大于水做圆周运动所需要的向心力，即mg ≤m v 2

l

2

，

则所求最小速率v 0＝

g l

2

＝9.8×0.6 m/s ＝2.42 m/s 。 (2)当水在最高点的速率大于v 0时，只靠重力提供向心力已不足，此时杯子底对水有向下的力，

设为N ，由牛顿第二定律有N ＋mg ＝m v 2l 2

，即N ＝m v 2

l

2

－mg ＝2.6 N

由牛顿第三定律知，水对杯子的作用力N ′＝N ＝2.6 N ，方向竖直向上。 [答案] (1)2.42 m/s (2)2.6 N

三步分析竖直平面内的圆周运动

(1)确定圆周运动的类型：是绳模型还是杆模型。

(2)确定物体过最高点的临界条件。

(3)分析物体受力情况，根据牛顿第二定律及向心力的公式列式求解。

1.一辆满载的卡车在起伏的公路上匀速行驶，如图4-3-12所示，由于轮胎过热，容易爆胎。爆胎可能性最大的地段是( )

图4-3-12

A．A处B．B处

C．C处 D．D处

解析：选D 在A、B、C、D各点均由重力与支持力的合力提供向心力，爆胎可能性最大的地段

为轮胎与地面的挤压力最大处。在A、C两点有mg－F＝m v2

R

，则F＝mg－m

v2

R

－mg＝m v2

R

，则F＝mg＋m

v2

R

>mg，且R越小，F越大，故F D最大，即D处最容易爆胎。

2．长L＝0.5 m、质量可忽略的杆，其一端固定于O点，另一端连有质量m＝2 kg的小球，小球绕O点在竖直平面内做圆周运动。当通过最高点时，如图4-3-13所示，求此时下列情况下杆对球的作用力(计算出大小，并说明是拉力还是支持力，g取10 m/s2)：

图4-3-13

(1)当v1＝1 m/s时，作用力的大小为________N，是________力。

(2)当v2＝4 m/s时，作用力的大小为________N，是________力。

解析：(1)当v1＝1 m/s时，设杆对球的作用力为F1，方向向下，则有

mg ＋F 1＝m v 12

L

解得F 1＝－16 N

所以杆对球的作用力大小为16 N ，方向向上，为支持力。 (2)同理可得，F 2＝44 N ，方向向下，为拉力。 答案：(1)16 支持 (2)44 拉

3.如图4-3-14所示，是马戏团中上演的飞车节目，在竖直平面内有半径为R 的圆轨道。表演者骑着摩托车在圆轨道内做圆周运动。已知人和摩托车的总质量为m ，人以v 1＝2gR 的速度通过轨道最高点B ，并以v 2＝3v 1的速度通过最低点A 。求在A 、B 两点轨道对摩托车的压力大小相差多少？

图4-3-14

解析：由题意可知，在B 点，有F B ＋mg ＝m v 12

R ，

解之得F B ＝mg ，

在A 点，有F A －mg ＝m v 22

R ，

解之得F A ＝7mg ，

所以在A 、B 两点轨道对车的压力大小相差6mg 。 答案：6mg

圆周运动与能量的综合问题

1．如图1所示，长为L 的轻杆一端固定质量为m 的小球，另一端有固定转轴O 。现使小球在竖

则以下判断中正确的是( )

图1 A．小球不能到达P点

B．小球到达P点时的速度大于gL

C．小球能到达P点，且在P点受到轻杆向上的弹力D．小球能到达P点，且在P点受到轻杆向下的弹力

解析：选C 由机械能守恒得1

2

m

?

?

?

?

??

9

2

gL2＝mg·2L＋

1

2

mv P2，解得v P＝

1

2

gL。由轻杆

模型可得，0

2.如图2所示是半径为r的竖直光滑圆形轨道，将一玩具小车放到与轨道圆心O处于同一水平面的A点，并给小车一竖直向下的初速度，使小车沿轨道内侧做圆周运动。要使小车不脱离轨道，则在A处使小车获得竖直向下的最小初速度应为( )

图2

A.7gr

B.5gr

C.3gr

D.2gr

解析：选C 小车恰好不脱离轨道的条件是在最高点满足mg＝m v2

r

。小车沿轨道内侧做圆周运动

的过程中，只有重力做功，机械能守恒。设小车在A处获得的最小初速度为v A，由机械能守恒定律

得1

2

mv A2＝mgr＋

1

2

mv2，解得v A＝3gr。故选项C正确。

3．(多选)如图3所示，半径为R 的1

4光滑圆弧槽固定在小车上，有一小球静止在圆弧槽的最低

点。小车和小球一起以速度v 向右匀速运动，当小车遇到障碍物突然停止后，小球上升的高度可能( )

图3

A ．等于v 2

2g

B ．大于v 2

2g

C ．小于v 2

2g

D ．与小车的速度v 无关

解析：选AC 设小球的质量为m ，上升的高度为h 。如果v 较小，小车停止运动后， 小球还没有脱离圆弧槽，则根据机械能守恒定律有12mv 2＝mgh ，可得h ＝v 2

2g ，选项A 正确；如果v 较大，小车

停止运动后，小球能够跑出圆弧槽，那么小球出了圆弧槽后将做斜抛运动，当小球到达最高点时，其还有水平方向上的速度，所以12mv 2＞mgh ，可得h ＜v 2

2g

，选项C 正确。

4.童非，江西人，中国著名体操运动员，首次在单杠项目上实现了“单臂大回环”：用一只手抓住单杠，伸展身体，以单杠为轴做圆周运动，如图4所示，假设童非的质量为65 kg ，那么，在完成“单臂大回环”的过程中，童非的单臂至少要能够承受多大的力？(g 取10 m/s 2)

图4

解析：童非恰好能通过最高点时，重力和支持力相等，临界速度应当为零，即v 临＝0，从最高点到最低点的过程中，由机械能守恒定律得：

mg ·2r ＝1

2

mv 2①

童非通过最低点时，由牛顿第二定律得：

F－mg＝m v2 r

②

联立①②可得F＝5mg，代入数据得F＝3 250 N，

即童非单臂至少能承受3 250 N的力。

答案：3 250 N

5．游乐园里过山车原理的示意图如图5所示。设过山车的总质量为m，由静止从高为h的斜轨顶端A点开始下滑，到半径为r的圆形轨道最高点B时恰好对轨道没有压力。求：

图5

(1)过山车在圆形轨道最高点B时的速度大小v。

(2)过山车从A到B过程中克服阻力所做的功W。

解析：(1)在B点，由牛顿第二定律和向心力公式，有mg＝m v2

r

，得v＝gr。

(2)由动能定理有mg(h－2r)－W＝1

2

mv2，

得W＝mgh－5

2 mgr。

答案：(1)gr(2)mgh－5

2

mgr

6.如图6所示，AB是竖直平面内的四分之一圆弧形光滑轨道，下端B与水平直轨道相切。一个小物块自A点由静止开始沿轨道下滑，已知轨道半径R＝0.2 m，小物块的质量m＝0.1 kg，小物块与水平面间的动摩擦因数μ＝0.5，取g＝10 m/s2。求：

图6

(1)小物块在B点时受到的圆弧轨道的支持力大小。

(2)小物块在水平面上滑动的最大距离。

解析：(1)从A 点运动到B 点，小物块机械能守恒，得mgR ＝1

2

mv B 2，

在B 点有N －mg ＝m v B 2

R

，

联立以上两式得支持力

N ＝3mg ＝3×0.1×10 N ＝3 N 。

(2)设小物块在水平面上滑动的最大距离为s ，对整个过程由动能定理得

mgR －μmgs ＝0，

得s ＝R μ＝0.2

0.5 m ＝0.4 m 。

答案：(1)3 N (2)0.4 m

7.如图7所示，长度为l 的轻绳上端固定在O 点，下端系一质量为m 的小球(小球的大小可以忽略)。

图7

(1)在水平拉力F 的作用下，轻绳与竖直方向的夹角为α。小球保持静止，画出此时小球的受力图，并求力F 的大小。

(2)由图示位置无初速释放小球，求当小球通过最低点时的速度大小及轻绳对小球的拉力，不计空气阻力。

解析：(1)受力图如图所示，根据平衡条件，可得

T cos α＝mg ，T sin α＝F ， 则拉力大小F ＝mg tan α。

(2)设小球通过最低点时的速度为v ，对小球由动能定理得mgl (1－cos α)＝12

mv 2

， 解得v ＝2gl

1－cos α；

小球在最低点时，对小球受力分析如图所示，

则T ′－mg ＝m v 2

l

，解得T ′＝mg (3－2cos α)。

答案：(1)受力图见解析 mg tan α

(2)2gl

1－cos α

mg (3－2cos α)

8.如图8所示，小球沿光滑的水平面冲上一个光滑的半圆形轨道，已知轨道的半径为R ，小球到达轨道的最高点时对轨道的压力大小恰好等于小球的重力。求：

图8

(1)小球到达轨道最高点时的速度大小； (2)小球落地时距A 点的距离； (3)落地时速度的大小。

解析：(1)小球到达轨道的最高点时对轨道的压力大小恰好等于小球的重力，由牛顿第二定律得：

mg ＋N ＝2mg ＝m v 2

R

则小球的速度为v ＝2gR 。

(2)小球离开轨道后做平抛运动，由平抛运动规律得，2R ＝12

gt 2

s ＝vt

联立解得：s ＝22R 。

(3)小球脱离轨道后，只受重力作用，只有重力做了功，机械能守恒，取水平面为零重力势能面，则

2mgR ＋12mv 2＝1

2

mv ′2

落地时的速度为v ′＝6gR 。 答案：(1)2gR (2)22R (3)6gR