初中数学解题思想方法

数学解题思想方法有配方法、换元法、判别式法、待定系数法、消元法。以上是解题技

巧上的思想方法，比它们更具有普遍意义的思想方法有转化与化简思想方法、数学结合思想方法、归纳猜想、分类讨论、函数与方程思想等。在数学解题过程中我们要养成灵活运用数学思想方法的意义和习惯。

联想在解题中起着重要的作用，从自己的大脑知识仓库中找出与要解题目接很相似

的原理、方法或结论，变通使用这些知识使问题得以解决。

一、配方法：是指将代数式通过配凑等途径，得到完全平方式或立方式，它广泛应用于

初中数学的各个方面，代数式的化简求值、解方程（组）、求最值等方面。

例1、求5245422

2-+-++y x y xy x 的最小值。

例2、设a ，b 为实数，求b a b ab a 222--++的最小值。

例3、在直角坐标中，有三点A （0，1），B （1，3），C （2，6），已知b ax y +=上横

坐标为0，1，2的点分别为D 、E 、F ，试求：222CF BE AD ++的最小值。例4、已知x ，y ，z 是实数，且

0))((4)2=----z y y x x z （，求y z x 2+的值。例5．已知实数,a b 满足221a b +=，则44a ab b

++的最小值为（）（2012）

A ．18-.

B ．0.

C ．1.

D ．

98. 例6 .已知a<0,动点11(,),(1,0),,A a a B A B AB a a

+-定点则两点距离的最小值为二、换元思想方法

根据问题的特征或关系适当引进辅助的元素，替换原问题中的数、字母或式子，从而使

原问题得以解决，这种通过引用变量替换来解决问题的思想方法叫做换元思想方法，它是数学解题的一种基本思想方法，有着广泛的应用。

例722011

例8、已知12433++=a ，求

32133a a a ++的值。（其中0402≥-≠mq ，n m ）

例9、已知是a ，b ，c ，d 是满足a+b+c+d+e=8，1622222=++++e d c b a 的实数，

求e 的取值范围。

三、方程思想与函数思想

方程思想是指通过建立方程（组）来解决问题的思想，函数思想是指通过建立函数关系

来解决问题的思想，由于方程和函数关系密切，它们都是含有未知数的等式，它们之间可以

相互转化。

例10、若实数x,y 满足16

5451634333333332=+++=+++y x ，y x ，则=+y x ______

例11、已知实数a,b,c 满足a+b+c =2,abc=4，（1）求a,b,c 中最大者的最小值；（2）求

c b a ++的最小值。

例12．已知p n m ,,为正整数，n m <．设(,0)A m -，(,0)B n ，(0,)C p ，O 为坐标

原点．若?=∠90ACB ，且)(32

22OC OB OA OC OB OA ++=++．

（1）证明：3+=+p n m ；

（2）求图象经过C B A ,,三点的二次函数的解析式．（2011）

例12、已知λ是实数，若a,b,是关于的一元二次方程，2210x x t -+-=的两个非负实根，求

））（b （a 1122--的最小值。

例13、设a ，b ，c ，d 都是不为零的实数，且

=+++22222c b ）d b （a 2（a+c ）bd ，

求b 2-ac 的值。

例14．已知二次函数2

y x ax b =++的图象与x 轴的两个交点的横坐标分别为m ，n ，且1m n +≤.设满足上述要求的b 的最大值和最小值分别为p ，q ，则p q +=____

四、数形结合思想方法

就是把抽象的数量关系和直观的几何图形有机地结合起来，“以形易数”“用数解形”两

个方面，它体现了数学的和谐美、统一美。

例15、若1+=ax x 有一个负根，而没有正根，求实数a 的取值范围。

例16x 的值。

例17、当21≤≤-x 时，函数22422

2+++-=a a ax x y 有最小值，求a 所有可能

取的值。

例18、方程01=--k ）（x x 有三个不相等的实根，则k 的取值范围____________

例1921x x x a a -=+设关于的方程有两个正数解，则的取值范围是

五、特值法

特值法就是根据题设条件取一些特殊值（或特殊图形或特殊位置、特殊点等）然后探求

出结论或满足结论所需要的部分条件，是解答选择题、填空题的一种有效方法。

例20、当n 为任意实数，k 为某一特定整数时，等式n （n+1）（n+2）（n+3）+1221）kn （n ++=，则k=____________

例21、如图,在矩形ABCD 中，AD=12，AB=5，P 是AD 边上任意一点，PE ⊥BD ，PF

⊥AC ，E 、F 分别是垂足，求PE+PF 。

例22、已知，不论a 取何值，函数310132

---+

=a ）x a （ax y 的图象恒过两点，试求这两点的坐标。

例23.(1)证明:若x 取任意整数时，二次函数2y ax bx c =++总取整数值，那么2a,a-b,c

都是整数.

(2)判断上述命题的逆命题的真假并证明你的结论

六、分类讨论思想方法

分类讨论是数学中的一种重要的思想方法和解题策略，在分类讨论中每次分类要按照同

一个标准进行，并做到“不重复”、“不遗漏”。

例23、若关于x 的方程a x =--12有三个整数解，则a 的值是____________.

例24、如图，在2×3矩形方格纸上，各个小正方形的顶点称为格点，则以格点为顶点

的等腰三角形的个数为____________.

例25．设正方形ABCD 的中心为点O ，在以五个点A 、B 、C 、D 、O 为顶点所构成的

所有6角形中任意取出两个，它们的面积相等的概率为（）（2009） A.3

14. B. 37. C. 1

D. 47.