机械波点点清专题4 机械波的周期性和多解问题2020.3.6

机械波点点清专题4 波传播的周期性和多解性问题

1.波动问题多解的主要因素

(1)周期性

①时间周期性：时间间隔Δt与周期T的关系不明确.

每经过nT，质点完成n次全振动回到原来的状态，在时间上形成多解，多解通式为t ＝nT＋Δt.

②空间周期性：波传播的距离Δx与波长λ的关系不明确.

在波形图上，相距nλ的质点振动状态完全一致，在空间上形成多解，多解通式为x＝n λ＋Δx.

(2)双向性

①传播方向双向性：波的传播方向不确定.

只告诉波速不指明波的传播方向，应考虑沿两个方向传播的可能，即沿x轴正方向或沿x轴负方向传播。

②振动方向双向性：质点位移、速度方向不确定.

质点达到最大位移处，则有正向和负向最大位移两种可能，质点在某一确定位置，振动速度方向有向上、向下(或向左、向右)两种可能；

(3)波形的不确定：

在波动问题中，往往只给出完整波形的一部分，或给出几个特殊点，波形就有多种情况，形成波动问题的多解性。

2.求解波的多解问题一般思路

(1)根据题设条件结合多解的主要因素判断是唯一解还是多解

(2)根据周期性、双向性、波形的隐含性，采用从特殊到一般的思维方法，即找出一个周期内满足条件的关系Δt或Δx，确定时间t和距离x的关系通式。若此关系为时间，则t

＝nT ＋Δt (n ＝0,1,2，…)；若此关系为距离，则x ＝n λ＋Δx (n ＝0,1,2，…). (3)根据波速公式v ＝Δx Δt 或v ＝λ

T

＝λf 求波速。

题型1 波形的不确定性形成多解

【典例1】（2013年重庆卷）（多选）一列简谐横波沿直线传播，某时刻该列波上正好经过平衡位置的两质点相距6 m ，且这两质点之间的波峰只有一个，则该简谐波可能的波长为（ ）

A.4 m 、6 m 和8 m

B.6 m 、8 m 和12 m

C.4 m 、6 m 和12 m

D.4 m 、8 m 和12 m 【解析】 根据题意，有以下三种情况符合要求：

ab ＝6 m ，即

λ1

2

＝6 m ， λ1＝12

m. cd ＝6 m ，即λ2＝6 m.

ef ＝6 m ，即32

λ3＝6 m ，

λ3＝4 m ，故C 正确，A 、B 、D 错误.

【答案】 C

题型2 双向性形成多解 【典例2】（双向性）一列简谐横波在t ＝0时刻的波形如图中的实线所示，t ＝0.02 s 时刻的波形如图中虚线所示。若该波的周期T 大于0.02 s ，则该波的传播速度可能是( )

A ．2 m/s

B ．3 m/s

C ．4 m/s

D ．5 m/s 解析 这类问题通常要设出波的传播方向：

(1)设波向右传播，则在0时刻x ＝4 cm 处的质点向上振动，t ＝0.02 s 时刻该质点运动到波峰的位置，由题意知T >0.02 s ，则t ＝14T ，即T ＝0.08 s ，v ＝λT ＝0.080.08 m/s ＝1 m/s 。

(2)设波向左传播，则在0时刻x ＝4 cm 处的质点向下振动，t ＝0.02 s 时刻该质点运动到波峰的位置，由于T >0.02 s ，则t ＝34T ，即T ＝0.083 s ，v ＝λT ＝0.08

0.08

3

m/s ＝3 m/s 。

综上所述，只有B 选项正确。 答案 B

题型3 波传播的周期性形成的多解 【典例3】（多选）]（空间周期性）一列简谐横波沿x 轴的正向传播，振幅为2 cm ，周期为

T 。已知为t ＝0时刻波上相距50 cm 的两质点a 、b 的位移都是1 cm ，但运动方向相反，其

中质点a 沿y 轴负向运动，如图所示，下列说法正确的是( )

A ．该列简谐横波波长可能为150 cm

B ．该列简谐横波波长可能为12 cm

C ．当质点b 的位移为＋2 cm 时，质点a 的位移为负

D ．在t ＝5T

12

时刻质点b 速度最大

E ．质点a 、质点b 的速度始终大小相等，方向相反

[解析] 根据质点的振动方程：x ＝A sin ωt ，设质点的起振方向向上，且a 、b 中间的距离小于1个波长，则b 点：1＝2sin ωt 1，所以ωt 1＝π

6，a 点振动的时间比b 点长，所

以由1＝2sin ωt 2，得ωt 2＝

5π6，a 、b 两个质点振动的时间差：Δt ＝t 2－t 1＝5π6ω－π6ω＝2π

3ω

＝T 3，所以a 、b 之间的距离：Δx ＝v Δt ＝v ·T 3＝λ3。则通式为? ??

??n ＋13λ＝50 cm ，n ＝0,1,2,3，…；

则波长可以为λ＝1503n ＋1 cm(n ＝0,1,2,3，…)；当n ＝0时，λ＝150 cm ，由于n 是整数，

所以λ不可能为12 cm ，故A 正确，B 错误。当质点b 的位移为＋2 cm 时，即b 到达波峰时，结合波形知，质点a 在平衡位置下方，位移为负，故C 正确。由ωt 1＝π6，得t 1＝π6ω＝T 12

，

当t ＝T 2－t 1＝5T

12时质点b 到达平衡位置处，速度最大，故D 正确。由题意及以上分析可知，

a 、

b 两质点间的距离不可能是半波长的整数倍，则两质点的速度不可能始终大小相等、方

向相反，故E 错误。

[答案] ACD

【典例4】(2018·武汉华中师大附中模拟)（时间周期性）一列简谐横波沿直线传播，在传播方向上有P 、Q 两个质点，它们相距为0.8 m ，当t ＝0时，P 、Q 两点的位移恰好是正最大值，且P 、Q 间只有一个波谷，t ＝0.6 s 末时，P 、Q 两点正好都处在平衡位置，且P 、Q 两点间只有一个波峰和一个波谷，且波峰距Q 点的距离为λ

4

，试求：

(1)若波由P 传至Q ，波的周期； (2)若波由Q 传至P ，波的速度；

(3)若波由Q 传至P ，从t ＝0时开始观察，哪些时刻P 、Q 间(P 、Q 除外)只有一个质点的位移大小等于振幅？

解析：(1)若波由P 传到Q ，由题结合波形得到，

t ＝?

??

??n ＋34T ，得T ＝

4t 4n ＋3＝ 2.4

4n ＋3

s(n ＝0,1,2，…)。 (2)若波由Q 传到P ，由题结合波形得到，t ＝? ??

??n ＋14T ， 得T ＝2.4

4n ＋1

s 。

又由题意可得波长λ＝0.8 m ，

则波速v ＝λT ＝1

3

(4n ＋1)m/s(n ＝0,1,2，…)。

(3)从t ＝0开始，波形每隔半个周期时，P 、Q 间(P 、Q 除外)只有一个波峰或波谷，即只有一个质点的位移等于振幅，

则t ＝m ·T 2＝1.2m

4n ＋1

s(m ＝1,2,3，…；n ＝0,1,2，…)。

答案：(1)2.4

4n ＋3 s(n ＝0,1,2，…)

(2)1

3

(4n ＋1)m/s(n ＝0,1,2，…) (3)1.2m 4n ＋1

s(m ＝1,2,3，…；n ＝0,1,2，…) 【典例5】(2018·河北唐山一模) (多选)（时空周期性）如图10所示为一列向左传播的横波的图象，图中实线表示t 时刻的波形，虚线表示又经Δt ＝0.2 s 时刻的波形，已知波长为2 m ，下列说法正确的是( )

图10

A.波的周期的最大值为2 s

B.波的周期的最大值为2

9 s

C.波的速度的最小值为9 m/s

D.这列波不能发生偏振现象

E.这列波遇到直径r ＝1 m 的障碍物会发生明显的衍射现象

解析 0.2 m ＝110λ，因波向左传播，则由图象可知波向左传播的距离为? ????n ＋910λ(n ＝0、1、

2…)，所以0.2 s ＝? ????n ＋910T (n ＝0、1、2…)，n ＝0时，周期最大，最大值为T m ＝29 s ，波

速最小，最小值为v min ＝λT m

＝9 m/s ，所以选项A 错误，B 、C 正确；横波可以发生偏振现象，选项D 错误；因为障碍物的直径r ＝1 m<λ＝2 m ，则这列波遇到此障碍物可以发生明显的衍射现象，选项E 正确。 答案 BCE

题型4 波传播的双向性和周期性形成的多解

【典例6】(2018·唐山模拟)(多选)（双向性和时空周期性）一列横波在某时刻的波形图如图中实线所示，经2×10－2

s 后的波形图如图中虚线所示，则该波的波速v 和频率f 可能是( )

A ．v 为5 m/s

B ．v 为35 m/s

C ．f 为50 Hz

D ．f 为37.5 Hz

【答案】 ABD

【解析】 由波形图可以读出：若波向右传播时波传

播的最小距离为0.1 m ；若波向左传播时，波传播的最小距离为0.3 m ，λ＝0.4 m ，考虑到波形图的时间、空间周期性知，这列波向右、向左可能传播的距离分别是：

x 右＝(n λ＋0.1)m ＝(0.4n ＋0.1)m ，(n ＝0，1，2，…) x 左＝(n λ＋0.3)m ＝(0.4n ＋0.3)m ，(n ＝0，1，2，…) 向右、向左传播对应的周期分别为T 右、T 左，则： Δt ＝2×10－2

s ＝nT 右＋14T 右(n ＝0，1，2，…)

或Δt ＝nT 左＋3

4

T 左(n ＝0，1，2，…)

由v ＝x t 得，v 右＝x 右

Δt ＝(20n ＋5) m/s ，

v 左＝x 左

Δt ＝(20n ＋15) m/s ，

由f ＝1

T 得，f 右＝(50n ＋12.5) Hz ，

f 左＝(50n ＋37.5) Hz

令n 取不同的值可得A 、B 、D 三项正确．

【典例7】（双向性和时空周期性）一列横波沿x 轴传播，图中实线表示某时刻的波形，虚线表示从该时刻起0.005 s 后的波形．

(1)如果周期大于0.005 s ，则当波向右传播时，波速为多大？波向左传播时，波速又是多大？ (2)如果周期小于0.005 s ，则当波速为6 000 m/s 时，求波的传播方向． 【答案】：(1)400 m/s 1 200 m/s (2)向左传播

【解析】：(1)如果周期大于0.005 s ，波在0.005 s 内传播的距离小于一个波长．如果波向右传播，从题图上看出传播的距离为2 m ，由此可得波速为v 右＝Δx

Δt ＝400 m/s ；

如果波向左传播，从题图上看出传播的距离为6 m ，由此可得波速v 左＝Δx

Δt ＝1 200 m/s.

(2)由题图知波长λ＝8 m ，波的传播距离为Δx ＝v Δt ＝6 000 m/s×0.005 s ＝30 m ＝3.75λ，所以波向左传播．

1.（空间周期性）(2018·高考北京卷)如图所示，一列简谐横波向右传播，P 、Q 两质点平衡位置相距0.15 m ．当P 运动到上方最大位移处时，Q 刚好运动到下方最大位移处，则这列波的波长可能是( )

A ．0.60 m

B ．0.30 m

C ．0.20 m

D ．0.15 m

【答案】 B

【解析】 可以画出PQ 之间的最简单的波形，如图所示：

由于P 、Q 之间可以含有多个完整的波形，则x PQ ＝(n ＋1

2)λ(n ＝0,1,2，…)

整理可以得到：λ＝2x PQ

2n ＋1(n ＝0,1,2，…)

当n ＝0时，λ＝0.3 m

当n ＝1时，λ＝0.1 m ，故选项B 正确，A 、C 、D 错误．

2.（2019·吉林长春模拟)（时间周期性）一列简谐横波沿x 轴正方向传播，t 时刻波形图如图中的实线所示，此时波刚好传到P 点，t ＋0.6 s 时刻的波形如图中的虚线所示，a 、b 、c 、P 、Q 是介质中的质点，则下列说法正确的是

( )

A ．这列波的波速可能为50 m/s

B ．质点a 在这段时间内通过的路程一定小于30 cm

C ．质点c 在这段时间内通过的路程可能为60 cm

D ．若周期T ＝0.8 s ，则在t ＋0.5 s 时刻，质点b 、P 的位移相同

E ．若周期T ＝0.8 s ，从t ＋0.4 s 时刻开始计时，则质点c 的振动方程为x ＝0.1sin πt (m) 【答案】：ACD

【解析】：由波形图可知波长λ＝40 m ，且0.6 s ＝nT ＋34T (n ＝0,1,2，…)，解得周期T ＝ 2.44n ＋3

s(n ＝0,1,2，…)．当n ＝0时，T ＝0.8 s ，波速v ＝λ

T ＝50 m/s ，选项A 正确；由传播方向沿x

轴正方向可知质点a 在t 时刻向上运动，当n ＝0时，T ＝0.8 s ，则质点a 在这段时间内通过的路程小于30 cm ，当n ＝1时，T ＝24

70

s ，质点a 在这段时间内通过的路程大于30 cm ，选

项B 错误；若n ＝1，则T ＝

2470 s ，波传播到c 点所用时间为14T,0.6 s ＝7T

4

，质点c 振动的时间为74T －14T ＝3

2T ，故在这段时间内质点c 通过的路程为6A ＝60 cm ，选项C 正确；若T ＝0.8

s ，t ＋0.5 s 时刻，质点b 、P 的位移均为负值，大小相等，选项D 正确；若T ＝0.8 s ，在t ＋0.4 s 时刻，c 点处于波峰，从t ＋0.4 s 时刻开始计时，质点c 的振动方程为y ＝0.1·cos 52πt (m)，

选项E 错误．

3.（多选）（时空周期性）[]A 、B 两列简谐横波均沿x 轴正向传播，在某时刻的波形分别如图中甲、乙所示，经过时间t (t 小于A 波的周期T A )，这两列简谐横波的波形分别变为图中丙、丁所示，则A 、B 两列波的波速v A 、v B 之比可能是( )

A ．1∶1

B ．2∶1

C ．1∶2

D ．3∶1

E ．1∶3 解析：选ACE 由题图读出，A 波波长为λA ＝24 cm ，甲图到丙图一定相隔半个周期，所以周期T A ＝2t ；B 波波长为λB ＝12 cm ，乙图与丁图的波形图相同，经过的时间一定是整数个周期，所以周期T B ＝t

n

(n ＝1,2,3，…)，波速v A ＝

λA T A ＝0.242t ＝0.12t ，v B ＝λB T B ＝0.12t n

＝0.12n t

，得到v A ∶v B ＝1∶n ，所以A 、B 两列波的波速v A 、v B 之比可能是A 、C 、E ，不可能是B 、D 。

4. (2016·四川)(多选)（时空周期性）简谐横波在均匀介质中沿直线传播，P 、Q 是传播方向上相距10 m 的两质点，波先传到P ，当波传到Q 时开始计时，P 、Q 两质点的振动图像如图所示．则( )

A ．质点Q 开始振动的方向沿y 轴正方向

B ．该波从P 传到Q 的时间可能为7 s

C ．该波的传播速度可能为2 m/s

D ．该波的波长可能为6 m

【答案】 AD

【解析】 读图可知，从0时刻开始，质点Q 的起振方向沿y 轴正方向，A 项正确．由题可知，简谐横波的传播方向从P 到Q ，由图可知，周期T ＝6 s ，质点Q 的振动图像向左平移4 s 后与P 点的振动图像重合，意味着Q 比P 的振动滞后了4 s ，即P 传到Q 的时间Δt 可能为4 s ，同时由周期性可知，从P 传到Q 的时间Δt 为(4＋nT)s ，n ＝0，1，2，…，即Δt ＝4 s ，10 s ，16 s ，…，

所以B 项错误．由v ＝Δx

Δt ，速度v 可能为2.5 m/s ，1 m/s ，0.625 m/s ，…，C 项错误．同

理，考虑周期性，由λ＝vT 可得，波长可能为15 m ，6 m ，3.75 m ，…，D 项正确． 5．(多选)（时空周期性）一列横波在t ＝0时刻的波形如图中实线所示，在t ＝1 s 时的波形如图中虚线所示。由此可以判定此波的( )

A ．波长一定是4 cm

B ．周期一定是4 s

C ．振幅一定是2 cm

D ．传播速度一定是1 cm/s

解析 解波的图象的题目，一般可分为两类：一类是读图，可以直接从图上读出振幅和波长，此题便可读出波长是4 cm ，振幅是2 cm ，故选项A 、C 正确；另一类是根据图象给定的条件，去计算波速、周期，判定波传播的方向，判定某一质点的运动情况及判定某一时刻的波形图。由题可知nT ＋1

4t ＝1 s(n ＝0，1，2，3，…)是不确定解，因此选项B 错误；同理传播速度v

＝λ

T

也不确定，选项D 错误。

答案 AC

6.（双向性时空周期性）如图14－2－27所示，一简谐横波在t ＝0时的波形是图中实线，

在t 1＝0.2 s 时的波形是图中虚线，P 为介质中x ＝4 m 处的质点，则（ ）

图14－2－27

A.该波一定沿x 轴正方向传播

B.该波的传播速度可能为5 m/s

C.从t ＝0开始，质点P 经过0.2 s 沿x 轴正方向运动1 m

D.t ＝0.4 s 时，质点P 的位置y ＝4 cm

解析：当波向左传播时，传播的距离x ＝n λ＋34λ＝4n ＋3，0.2 s ＝nT ＋3

4T ，波速v ＝

（20n ＋15）m/s ，T ＝0.8

4n ＋3（n ＝0，1，2，3，…）.当波向右传播时，传播的距离x ＝n λ

＋14λ＝4n ＋1，0.2 s ＝nT ＋14T ，波速v ＝（20n ＋5）m/s ，T ＝0.84n ＋1（n ＝0，1，2，3，…）.由于波传播方向的不确定性，所以据波形图与时间无法判断该波的传播方向，故A 错误；据以上分析可知，当波向右传播时，该波的波速可能为5 m/s ，故B 正确；据波传播特点可知，各质点并不随波迁移，而是在平衡位置附近做简谐运动，故C 错误；据波的图象可知，t ＝0.4 s 时，质点P 的位置y ＝0，故D 错误.

答案：B 7．（波形的不确定）如图甲所示，在均匀介质中P 、Q 两质点相距d ＝0.4 m ，质点P 的振动图像如图乙所示，已知t ＝0时刻，P 、Q 两质点都在平衡位置，且P 、Q 之间只有一个波峰。求：

(1)波的传播速度；

(2)质点Q 下一次出现在波谷的时间。 解析：(1)由图乙可得该波的周期T ＝0.2 s 若P 、Q 间没有波谷，P 、Q 间距离等于半个波长， 即λ＝0.8 m ，波速v ＝λT

＝4 m/s

若P 、Q 间有一个波谷，P 、Q 间距离等于一个波长， 即λ＝0.4 m ，波速v ＝λT

＝2 m/s

若P 、Q 间有两个波谷，则32λ＝0.4 m ，即λ＝0.8

3

m ，

波速v ＝λT ＝4

3

m/s 。

(2)t ＝0时刻，质点P 向下振动，经过0.05 s 到波谷处，经过0.15 s 到波峰处 若P 、Q 间距为一个波长，P 、Q 同时出现在波谷处，则质点Q 下一次出现在波谷的时间是t ＝0.05 s

若P 、Q 间距为半波长的1倍或3倍，质点Q 在波谷时，质点P 在波峰，则质点Q 下一次出现在波谷的时间是t ＝0.15 s 。

答案：(1)4 m/s 、2 m/s 或4

3

m/s (2)0.05 s 或0.15 s

8.（空间周期性）如图所示，t ＝0时，位于原点O 处的波源，从平衡位置(在x 轴上)开始沿y 轴正方向做周期T ＝0.2 s 、振幅A ＝4 cm 的简谐振动。该波源产生的简谐横波沿x 轴正方向传播，当平衡位置坐标为(9 m,0)的质点P 刚开始振动时，波源刚好位于波谷。

(1)质点P 在开始振动后的Δt ＝1.05 s 内通过的路程是多少？ (2)该简谐波的最大波速是多少？

(3)若该简谐波的波速为v ＝12 m/s ，质点Q 的平衡位置坐标为(12 m,0)(图中未画出)。请写出以t ＝1.05 s 时刻为新的计时起点的质点Q 的振动方程。

解析：(1)由于质点P 从平衡位置开始振动，且Δt ＝1.05 s ＝51

4 T ，故在Δt ＝1.0

5 s

内质点P 通过的路程s ＝21A ＝84 cm 。

(2)设该简谐波的波速为v ，两质点O 、P 间的距离为Δx

由题意可得Δx ＝? ??

??n ＋34λ＝9 m (n ＝0,1,2，…) 所以v ＝λT ＝

180

4n ＋3

m/s (n ＝0,1,2，…)

当n ＝0时，该简谐波的波速最大，v m ＝60 m/s 。 (3)简谐波从波源传到(12 m,0)点所用时间

t 1＝12

12

s ＝1 s

再经t 2＝t －t 1＝0.05 s ? ?

???

即再经T 4，质点Q 位于波峰位置，则以此时刻为计时起点，质

点Q 的振动方程为

y ＝0.04cos 10πt (m)。

答案：(1)84 cm (2)60 m/s (3)y ＝0.04cos 10πt (m)

9、（2020·安徽黄山一模）如图所示，一列简谐横波在沿x 轴方向传播的过程中，波形由实线变为虚线经历的时间Δt ＝1.0 s ．

（1）若该列波沿x 轴正方向传播，且在Δt 时间内传播的距离小于波长，求传播速度； （2）若该列波沿x 轴负方向传播，求传播速度的可能值。

【答案】见解析

【解析】（1）设该列波的波长为λ，由波的图象可得8m λ= 若该列波沿x 轴正方向传播，依题意可知传播距离3m x ?= 所以传播速度3m/s x

v t

?=

=?

（2）若该列波沿x 轴负方向传播，传播时间5(0,1,2...)8

t kT T k ?=+= 波的传播速度v T λ

=

由以上两式得85

k v t

+=? 将 1.0s t ?=代入解得：

传播速度的可能值为(85)m/s,01

2...v k k =+=其中,, 10. (2017·湖南长沙模拟)（双向性和时空周期性）如图6中实线是一列简谐横波在t 1＝0时刻的波形，虚线是这列波在t 2＝0.5 s 时刻的波形.

图6

(1)写出这列波的波速表达式；

(2)若波速大小为74 m/s ，波速方向如何？ 答案 见解析

解析 (1)由题图图象可知λ＝8 m

当波向右传播时，波传播距离为s ＝n λ＋3

8λ＝(8n ＋3) m(n ＝0,1,2…)

波速为v ＝

s

Δt ＝8n ＋30.5

m/s ＝(16n ＋6) m/s (n ＝0,1,2…). 当波向左传播时，波传播距离为

s ＝n λ＋58

λ＝(8n ＋5) m (n ＝0,1,2…)

波速为v ＝

s

Δt ＝8n ＋50.5

m/s ＝(16n ＋10) m/s (n ＝0,1,2…). (2)若波速大小为74 m/s ，在Δt ＝t 2－t 1时间内波传播的距离为s ＝v ·Δt ＝74×0.5 m ＝

37 m.

因为37 m ＝4λ＋5

8

λ，所以波向左传播.