双曲线专题复习讲义及练习学生

双曲线专题复习讲义

考点1双曲线的定义及标准方程 题型1:运用双曲线的定义

题型1求离心率或离心率的范围 2 2

［例3］已知双曲线X y 每 1,（a 0,b 0）的左，右

焦

a b

点分别为F 1,F 2，点P 在双曲线的右支上，且

端点，若该椭圆的长轴长为 4，则△ AF 1F 2面积的最大值 为 ___ .

4.过点（-6 , 3）且和双曲线x 2

-2y 2

=2有相同的渐近线 的双曲线方程为 _________________ 。

| PF 1 | 4|PF 2 |，则此双曲线的离心率 e 的最大值为_.

【新题导练】

双曲线

x2

64 y2

36

=1上一点P 到双曲线右焦点的距离是4,那么点P 到左准线的距离是 题型2与渐近线有关的问题

在双曲线的几何性质中，应充分利用双曲线的渐近线方程，简化 解题过程.同时要熟练掌握以下三方面内容： （1）已知双曲线方

程,

求它的渐近线；（2）求已知渐近线的双曲线的方程； （3）渐近线

的

b 、f c2 — a2 /c2. ----------

斜率与离心率的关系，如

k =a —a2—1= . e2—1. 【新题导练】 2

1. 设P 为双曲线X 2

- 1上的一点F 1、F 2是该双曲 12 线的两个焦点，若|PF 1|： |PF 2|=3 : 2,则厶PF 1F 2的面 积为 （ ） A. 6、3 B. 12 C. 12 .3 D. 24 2 2 2. 如图2所示，F 为双曲线C : — — 1的左焦点， 9 16 双曲线C 上的点P 与P 7 i i 1,2,3关于y 轴对称， ［例4］若双曲

线

2

X ~2

a

2

莒 1（a 0,b 0）的焦点到

渐

b 2 近线的距离等于实轴长，则双曲线的离心率为

7

. 【新题导

练】

2

双曲线— 4

2

y_ 9 1的渐近线方程

是

A.

2 x B. 3

C.

D.2

则 RF P 2F P 3F F 4F F ^F P 6F 的值是（） 8.焦点为（0, 6），且与双曲线

1有相同的渐近线

A . 9 B. 16 C. 18 D. 27 题型2求双曲线的标准方程 2 ［例2 ］已知双曲线C 与双曲线— 16 2

—=1有公共焦点, 4

的双曲线方程是

2

A .—

12

2

y 24

2

1B .—

12

2

x

24 )

2

C . 乂

24

2 x

12 2 D .— 24 2

乂 1

12

双曲线专题练习

且过点（3 ...2，2）.求双曲线C 的方程. 【新题导练】

3.已知双曲线的渐近线方程是 y 2，焦点在坐标轴上 且焦距是10，则此双曲线的方程为 __________________ ; 4?以抛物线y 2 8 -. 3x 的焦点F 为右焦点，且两条渐近

线 是x J3y 0的双曲线方程为 _________________________ .

考点2双曲线的几何性质

一、填空题

2

1 .椭圆工

9

k= 。

2

1与双曲线丄 k 仝1的焦点相同，则

3

2

2.双曲线丄 9 2

鼻1的渐近线为

4

3 ?已知 戸、F 2为椭圆的两个焦点， A 为它的短轴的一个 5.过原点与双曲线 1交于两点的直线斜

率

2 2

5.已知双曲线—'

m n 1的一条渐近线方程

为

的取值范围是 6、若双曲线8kx 2

ky 2

8的一个焦点是

0, 3),则 k

C .

5 1

或2 D.不存在

2

4

y x，则该双曲线的离心率e为_________________ .

3

2 2

6.已知双曲线x- 1（a 0 b 0）的右顶点为E，双

a b '

曲线的左准线与该双曲线的两渐近线的交点分别为A、B 两点，若/ AEB=60。，则该双曲线的离心率e是（）

的值是_________

7 .点P是双曲线

点，若 F1PF a=120°,则

1上一点，F1、F2是双曲线焦

F1PF2的面积_____________ 8 .若对任意k R,直线y k（x 2） b与双曲线x2 y2 1

总有公共点，则 b范围__________ 。

二、选择题

2

9.经过双曲线x2—1的右焦点F2作直线I交双曲

2

线与A、B两点，若|AB|=4,则这样的直线存在的条数

为( )

(A)4; ( B) 3; (C) 2; (D)1

10.双曲线与其共轭双曲线有( )

A.相同的焦点

B. 相同的渐近线

C.相等的实轴长

D.相等的虚轴长

2 2

11.过点 P(3,4) 与双曲线c: x —1只有一个交点

9 16

的直线的条数为( )

A. 4

B. 3

C.2

D.

1

三、解答题

12 .已知动圆与圆 C i：(x+5) 2+y2=49 和圆◎ (x-5) 2+y2=1 都外切，

(1)求动圆圆心P的轨迹方程。(2)若动圆P与圆C2内切, 与圆C外切，则动圆圆心P的轨迹是_______________ 。若动圆P 与圆C内切，与圆G外切，则动圆圆心P的轨迹是________ 。若把圆C的半径改为1,那么动圆P的轨迹是_____________ 。(只需写出图形形状)

2 2

13.已知双曲线方程为2x y 2与点P(1,2),

(1)求过点P (1, 2)的直线I的斜率k的取值范围，使直线与双曲线有一个交点，两个交点，没有交点。

⑵过点P (1 , 2)的直线交双曲线于 A、B两点，若P 为弦AB 的中点，求直线 AB的方程；

(3)是否存在直线l，使Q ( 1, 1 )为|被双曲线所截弦的中点？若存在，求出直线I的方程；若不存在，请说明理由。

14、已知中心在原点，顶点 A1、A2在x轴上，离心率e= —21的双曲线过点P(6, 6) (1)求双曲线方程

3

(2)动直线l经过△ A1PA2的重心G,与双曲线交于不同的两点M、N,问

是否存在直线I,使G平分线段MN，证明你的结论

一、填空题

2 y

2

1 . k= _

2 ____ 。 2.3x-2y=0

3 .2.

4 .令9 1

5(,孑)(手，).6、zU . 3。 8 . [ -3, 3]

二、选择题

9 ( B ) 10. ( B ) 11.C

三、解答题12. (1)从已知条件可以确定圆C、C2的圆心与半径。

两圆外切可得：两圆半径和=圆心距动圆半径r,依题意

有 7 + r = |PC1|,1 + r = |PC2|，两式相减得：|PG| —

|PC2| = 6 v |C1G|。由双曲线定义得：点P的轨迹是以

2 2

G、C2为焦点的双曲线的右支。二L 1 ( x> 3)

9 16

(2)若动圆P与圆G内切，与圆C外切，则动圆圆心P的轨迹是 __________ (双曲线右支)若动圆P与圆G内切，与圆C2

外切，则动圆圆心P的轨迹是____________ (双曲线左支)

若把圆C的半径改为1,那么动圆P的轨迹是______________ 。(两定圆连心线的垂直平分线)

13 .当k= ± .. 2 ,或k= 3，或k不存在时，I与C只有一

2

个交点；当2 v k v 3 ,或一2 v k v 2 ,或k v—2

2

3

时，I与C有两个交点；当k> 时，I与C没有交点.

2

(2)以P为中点的弦为：y x 1.

⑶假设以Q为中点的弦存在，设为AB,且

2 2 2 2 、

A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)，则 2x1 —屮=2,2x 2 — y2 =2 两式相减得: 2(x 1— X2)(x 1+X2)=(y 1 — y2)(y 1+y2)

又T X1+X2=2,y 1+y2=2 /? 2(x 1 — x2)=y 1 —屮即kAE= y1 y2 =2但渐近线斜率为土?、2 ,结合图形知直线x1x2

AB与C无交点，所以假设不正确，即以Q为中点的弦不

存在.

14.解.

2 2

■

\

y

所求双曲线方程为—乞=1 H N..

9 12 i

j

G. l

(2)P、A1、A2的坐标依次为(6,6)、( A 1f

JT f J T

o A2 X 3, 0)、( — 3, 0),.?.其重心G的M,

坐标为(2, 2)

假设存在直线1，使G(2, 2)平分线

段 MN，设 M(X1,y1), N(X2,y2) 则有

2 2

x-i x2 4 12x1 9y1 108 y1 y2 12 4 Y1 y2 4 12x2 9y2108 X1 X2 9 3 4

,.?? k=- /? I的方程为

3

y=3

2 2

12x29y2108

(x— 2)+2,由4，消去 y,整理得 x2—

4x+28=0

y -(x 2)

?/ ^=16 — 4X28v 0,「.所求直线I不存在