初二数学 分式经典讲义
第十七章 分式
§17.1 分式及其基本性质 一． 知识点：
1.分式的概念：形如
B
A
(A 、B 是整式，且B 中含有字母（未知数），B ≠0)的式子，叫做分式(fraction ).其中A 叫做分式的分子(numerator ),B 叫做分式的分母（denominator ）.整式和分式统称有理式（rational expression ）. 注意：在分式中，分母的值不能是零.如果分母的值是零，则分式没有意义。（分式有意义的条件）
2.分式的基本性质：分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变.与分数类似，根据分式的基本性，可以对分式进行约分和通分.
3.分式值为零的条件：分子等于零且分母不等于零。
二．学习过程：
1．先由分数，整数，有理数的概念引入分式，有理式。（单项式和多项式统称为整式。代数式中的一种有理式.不含除法运算或分数,以及虽有除法运算及分数,但除式或分母中不含变数者，则称为整式） 再按教材的思路讲解，并归纳相关的知识点。 2. 和学生一起完成课后习题。
三．例题及习题：
教材中的题目。 典型例题
1.23m m
是一个分式么？
答：是。虽然可以化成3m 的整式形式，但在化简的过程中正是运用了分式的基
本性质化简的，另外2
3m m
与3m 中的字母的取值也不同．
习题一
（1）．当x 取什么值时，下列分式有意义？(1)12+a a ;(2) 3252
-a a （2）. 要使分式)5)(32(23-+-x x x
有意义，则.（ ）
（A ）x ≠23-
(B)x ≠5 (C)x ≠23-且x ≠5 (D)x ≠23
-
或x ≠5
（3）. 当a 为任意有理数时，下列分式一定有意义的是.（ ）
（A ）112++a a （B ）12+a a （C ）112++a a （D ）2
1
a a +
（4）. 当x 是什么数时，分式25
2++x x 的值是零？ 解：由分子x+2=0得x=-2 而当x=-2时，分母2x-5≠0
所以，当x=-2时，分式的值是零
习题二
一、填空题 1.约简公式
= .
2.a 取整数 时，分式(1-114++a a )·a 1
的值为正整数.
3.如果x+x 1=3，则1x x x 2
42
++的值为 .
4.已知x=1+a 2,y=1-a 1
.用x 的代数式表示y ，得y= ；用y 的代数式表
示x ，得x= .
5．要使代数式3a 2a 3
a 2
---的值为零，只须 .
6.已知s=)
y s (q 1yq
x ≠--,用x 、y 、s 表示q 的式子是 .
7.两个容积相等的瓶子中装满了酒精和水的溶液，其中一个瓶子中酒精与水的容积之比是p ∶1，另一个瓶子中是q ∶1.若把这两瓶溶液混合在一起，混合液中酒精与水的容积之比为 .
二、解答题
8.化简分式2
32m m 21m m m 1+-+--
9.解关于x 的方程，其中a+2b-3c ≠0,a 、b 、c 互不相等.
10.已知ab=1，证明1
1b b 1a a =+++
11.甲的工作效率是乙的2倍，若甲先完成32
后乙来完成，这样完成工作所用时
间比甲、乙两人同时工作晚4天，甲、乙两人单独完成这项工作各需多少天？
参考答案
【同步达纲练习】
一、1. c d a c b a -+-+ 2.-2或-4 3.81
4.2x 3- 3-2y
5.a=-3
6.q=y S x S --
7.2q p pq 2q p ++++
二、8.当m ≥0时，且m ≠1时，原式=1+m. 当m ＜0时，且m ≠-1时，原式=m 1)m 1(2
+-
9.x=c 3b 2a bc
ac 2ab 3-+-- 10.提示：将第二个分式的分母中的1换为ab.
11.甲单独完成需6天，乙需12天.
§17.2 分式的运算 一． 知识点：
1.分式的乘除法：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母.如果得到的不是最简分式，应该通过约分进行化简.分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。分式乘方的法则：分子的乘方作分子，
分母的乘方作分母。
2.分式的加减法：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减；异分母的分式相加减，先通分，变为同分母的分式，然后再加减.
二．学习过程：
1．按教材的思路讲解，并归纳相关的知识点。 2. 和学生一起完成课后习题。
三．例题及习题：
教材中的题目。
分式的运算 一、选择题:
1.下列各式计算正确的是( )
A.22
2a ab b a b b a -+=--; B.223
2()x xy y x y x y ++=++
C.2
3546
x x y y ??= ???; D.11
x y x y -=-+- 2.计算
2
111111x x ?
???+÷+ ? ?--???? 的结果为( ) A.1 B.x+1 C.1x x + D.1
1x -
3.下列分式中,最简分式是( )
A.a b
b a -- B.22x y x y ++ C.242x x -- D.2
22a a a ++-
4.已知x 为整数,且分式2
221x x +-的值为整数,则x 可取的值有( )
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
5.化简11x y y x ????-÷- ? ????
?的结果是( ) A.1 B.x y C.y
x D.-1
6.当
,代数式2111x x x x x x ??-÷ ?-+-?? 的值是( )
A.
B.
C.
D.
二、填空题
7.计算213122x x x --
-- 的结果是____________.
8.计算a 2÷b ÷1b ÷c ×1c ÷d ×1
d 的结果是__________. 9.若代数式13
24x x x x ++÷
++有意义,则x 的取值范围是__________.
10.化简131224a a a -??-÷
?--?? 的结果是___________. 11.若
22222
2M xy y x y
x y x y x y --=+--+ ,则M=___________. 12.公路全长s 千米,骑车t 小时可到达,要提前40分钟到达,每小时应多走____千米.
三、计算题
13.222299369x x x x x x x +-++++; 14.
23111x x x x -??÷+- ?--?? 四、解答题
15.阅读下列题目的计算过程:
2
3232(1)
11(1)(1)(1)(1)x x x x x x x x x ----=--++-+- ①
=x-3-2(x-1) ② =x-3-2x+2 ③ =-x-1 ④
(1)上述计算过程,从哪一步开始出现错误?请写出该步的代号:______. (2)错误的原因是__________.
(3)本题目的正确结论是__________.
16.已知x 为整数,且2
22218339x x x x ++++--为整数,求所有符合条件的x 值的和.
答案 一、 1.D
2.C 解:原式=22211111111x x x x x x ??--??+÷+
? ?----????
=222
(1)(1)1111
x x x x x x x x x x x +-+÷=?=--- 3.B 点拨:A 的最简结果是-1;C 的最简结果是x+2;D 易被错选,因为
a 2+a-2=(a+2)(a-1)易被忽视,故化简结果应为1
1a -.
4.D 解:先化简分式2
222(1)2
1(1)(1)1x x x x x x ++==-+-- ,故当x-1分别等于2,1,-1或
-2,即x 分别等于3,2,0或-1时,分式的值为整数.
点拨:解决此类问题,最关键的是先将分式化成最简形式.
5.B 解:原式=1111xy xy xy xy x
y y x x y x y ??--??-÷-=÷= ? ???
??. 6.B 解:原式=(1)(1)2(1)(1)(1)(1)1x x x x x
x x x x x
??+--÷??+-+--??
=222211
(1)(1)1(1)(1)21x x x x x x x x x x x x x
x +-+--÷=?=
+--+-+. 把
,得原式
12==
. 点拨:
这一步时,并未结束,还应进一步进行分母有理化, 应引
起足够的重视. 二、
7.5322x x -- 解:原式=
2134134135312222222222x x x x
x x x x x x --+--+=+==
------. 8. 222
a c d 解:原式=
22
22
11111a a b b c c d d c d ??????=. 点拨:先将除法统一成乘法后再运算,即简便又不易出错,否则,很容易犯运算顺
序的错误.
9.x ≠-2,-3和-4
点拨:此题易忽略了“x ≠-3”这个条件,(x+3)虽然是分式3
4x x ++ 的分子,但是3
4x x ++ 又是整个算式的除式部分,由于除数不能为零,所以x+3≠0,即x ≠-3.
10.-2 解:原式=21332(2)2222(2)23a a a a a a a a a ----??-÷=?=- ?-----??.
11.x 2 点拨:①将等号右边通分,得222x x y - ,比较等号左边的分式22
M
x y - ,不
难得出M=x 2. ②可以在等号两边都乘以(x 2-y 2
)后,化简右边即可.
12.2
232s t t - 点拨:①首先把“40分钟”化为“23 小时”.②易列出
2
3s
s
t t -
-的
非最简形式,应进一步进行化简计算:上式
=2
33(32)232(32)(32)32s s st s t s
t t t t t t t t --=-=----.
三、
13.解:原式=2
(9)(3)(3)93262(3)
2(3)(3)3333x x x x x x x x x x x x x x x ++-+-+++=+===++++++.
点拨:计算该题易错将26
3x x ++ 看成最终结果.强调:进行分式的运算, 要将结果化成最简形式为止.
14.解:原式=
2213213111111x x x x x x x x x ??
-+--??÷-=÷- ? ?-----????
=222421(2)11
11
141(2)(2)2x x x x x x x x x x x x x x --------÷=?=?=
-----+-+. 四、15.(1)②;(2)错用了同分母分式的加减法则.
(3)1
1x -
-.
点拨:等学习了解分式方程之后,②步的错更易发生,特别提醒读者,进行分式的运算,每步都要严格遵守法则.
16.解:原式=
22218
33(3)(3)
x
x x x x
-+
++
+-+-
=
2(3)2(3)218 (3)(3)(3)(3)(3)(3)
x x x
x x x x x x --++
++
+-+-+-
=2626218
(3)(3)
x x x
x x
---++
+-
=
262(3)2 (3)(3)(3)(3)3
x x
x x x x x
++
==
+-+--.
显然,当x-3=2,1,-2或-1,即x=5,4,2或1时,
2
3
x-的值是整数, 所以满
足条件的数只有5,4,2,1四个,5+4+2+1=12.
点拨:显然在原式形式下无法确定满足条件的x的值, 需先经过化简计算才能使问题得到解决,这是解决分式问题常用的做法.
§17.3 可化为一元一次方程的分式方程
一．知识点：
1.分式方程：方程中含有分式，并且分母中含有未知数，像这样的方程叫做分式方程.
2.解分式方程的过程，实质上是将方程的两边乘以同一个整式，约去分母，把分式方程转化为整式方程来解.所乘的整式通常取方程中出现的各分式的最简公分母.在将分式方程变形为整式方程时，方程两边同乘以一个含未知数的整式，并约去了分母，有时可能产生不适合原分式方程的解（或根），这种根通常称为增根.因此，在解分式方程时必须进行检验.
二．学习过程：
1．按教材的思路讲解，并归纳相关的知识点。
2. 和学生一起完成课后习题。
三．例题及习题：
教材中的题目。
[例1]解方程
解：
（1）方程两边同乘(x-2)，去分母，得
3x-5=2(x-2)-(x+1)
整理，得x=0
检验：当x=0时，x-2≠0
∴x=0是原方程的根。
（2）去分母，两边都乘x(x-1),得
6x-(8-2x)=0
∴x=1
检验：当x=1时，x(x-1)=0
∴x=1是原方程增根，原方程无解。
[例2]关于x的方程有增根，则a的值为___________。
解：去分母，得ax+1-x+1=0
(a-1)x=-2
∴a=-1
[例3]解方程
思路分析：
解这类问题应将可分解因式的分母分解，便于找出最简公分母，x2-2x=x(x-2),最简公分母为x(x-2)
解：方程两边都乘以x(x-2)，约去分母，得
4=2x-(x-2),
解这个整式方程，得x=2.
检验：当x=2时，x(x-2)=2×(2-2)=0
所以2是增根，原方程无解。
[例4]解方程
思路分析：
若直接去分母，最简公分母为(x+5)(x+6)(x+7)(x+8)，运算量大，分析各分母x+5、x+6、x+7、x+8，相邻两者间距为
1，可适当分组，再通分求解。
解：
方程两边分别通分，得：
∴(x+8)(x+7)=(x+6)(x+5)，
去括号，得x2+15x+56=x2+11x+30
4x=-26,
[例5]k为何值时，方程会产生增根？
思路分析：
此例类似解分式方程，但不同的是有待定系数k,k的取值决定着未知数x的值，故可用k的代数式表示x。结合增
根产生是最简公分母x-3=0时产生的，可建立新的方程求解。
解：去分母，得
x-4(x-3)=k,
当x-3=0即x=3时，方程会产生增根。
∴k=3.
[例6]一小船由A港到B港顺流需行6小时，由B港到A港逆流需行8小时，一天，小船早晨6点由A港出发顺流到B港
时，发现一救生圈在途中掉落在水中，立刻返回，1小时后找到救生圈，问：（1）若小船按水流速度由A港漂流
到B港要多少小时？（2）救生圈是何时掉入水中的？
思路分析：
本题的关键是：（1）弄清顺流速度、逆流速度与船在静水中速度和水速的关系；（2）弄清问题中的过程和找出所包含
的相等关系。
解：（1）设小船由A港漂流到B港用x小时，则水速为
由静水速度=顺流速度-水速=逆流速度+水速。
解得：x=48（小时）。
经检验x=48是原方程的解。
答：小船按水流速度由A港漂流到B港要48小时。
（2）设救生圈在y点钟落入水，由问题（1）可知水流速度为每小时，小船
顺流由A港到B港用6小时，
逆流走1小时，同时救生圈又顺流向前漂了1小时，依题意有：
解得：y=11
答：救生圈在中午11点落水。
三、检测题
A组
1、方程的解是x=_________.
2、当x=_______时，两分式的值相等。
3、若方程有增根,则增根是________
4、若关于x 的方程有增根是1，则 a=_______.
5、若方程有增根，则增根是______.
6、如果方程有增根，则m=( )
A.0
B.1
C.2
D.3
7、，则x的值为
A．-1 B.2 C.-2 D.无解
8、若分式的值为0，则x为
A.-3
B.2
C.-2 D±2
9、如果关于x的方程有增根，则m的值等于
A.-3
B.-2
C.-1
D.3
10、下列说法正确的是
A、方程的解等于零就是增根
B、使分子的值为零的解是增根
C、使所有分母的值都为零的解是增根
D、使最简公分母的值为零的解是增根
11、有纯酒精800克，要配制浓度为64%的酒精溶液，问需要加多少克蒸馏水？A组答案
1、x≠5的所有数
2、x=7
3、x=6
4、x=-1
5、x=2
6、C
7、D
8、C
9、B
10、D
x=450 经检验x=450是原方程的解答：需要加水450克
B组
1、若关于x的方程有增根，则增根是_______.
2、已知，且a,b,c是互不相等的常数，则
x+y+z=___________.
3、某校有70%的学生住校，住校学生的40%和不住校学生的60%是男生，求该校男生占学生总数的百分比是多少？
4、一项工程，甲、乙、丙三队合做4天可以完成，甲队单独做15天可以完成，乙队单独做12天可以完成，丙队单独做
几天可以完成？
5、甲、乙两人分别从相距36千米的A、B两地同时相向而行，甲从A地出发和行至1千米时，发现有物件遗忘在A地，
便立即返回，取到物件后又立即从A地向B地行进，这样甲、乙两人恰好在AB 中点处相遇，又知甲比乙每小时多走
0.5千米，求甲、乙两人的速度？
B组答案
1、3或-3
2、0
3、简解：设该校男生占学生总数的百分比是x:
x=46% 经检验x=46% 是原方程的解。 答：该校男生占学生总数的x=46%.
评析：百分比问题设求知数时不要设x%,要将百分数设为x.
4、简解：设丙队单独做x 天可以完成
所以x=10 经
检验x=10是原方程的解
答：丙队单独做10天可以完成。
5、简解：设乙的速度是每小时x 千米，则甲的速度是每小时x+0.5千米
即
答：甲的速度是每小时5千米，乙的速度是每小时4.5千米
§17.4 零指数幂与负整指数幂 一． 知识点：
1.零指数幂：任何不等于零的数的零次幂都等于1。
2.负整指数幂：任何不等于零的数的－n （n 为正整数）次幂，等于这个数的n 次幂的倒数.
3. 科学记数法：可以利用10的负整数次幂，用科学记数法表示一些绝对值较 小的数，即将它们表示成a ×10-n 的形式，其中n 是正整数，1≤∣a ∣＜10.
二．学习过程：
1．按教材的思路讲解，并归纳相关的知识点。 2. 和学生一起完成课后习题。
三．例题及习题：
教材中的题目。
分式单元测试题
一、填空题（每小题2分，共20分）
1、在有理式22xy ，πx ，11
+a ，y x +1，122-m 中属于分式的有 . 2、分式3
-x 的值为0，则x= .
3、分式x x 2
-和它的倒数都有意义，则x 的取值范围是 . 4、当_____=x 时，
x
--11
的值为负数；当x 、y 满足 时，)(3)(2y x y x ++的
值为3
2
；
5、若分式y x y
-3的值为4，则x,y 都扩大两倍后，这个分式的值为 6、当x= 时，分式11+x 与11
-x 互为相反数. 7、若分式方程=-1x m 1-x -11
有增根，则m= .
8、要使方程=-11x a x -2
有正数解，则a 的取值范围是 9、+++)2)(1(1
x x )3)(2(1
++x x +)2007)(2006(1
.....
+++x x =_____________
10、若=a
3b 4=c 5
，则分式222c b a ac bc ab +++-=____________
二、选择题（每小题3分，共30分）
11、已知m 、n 互为相反数，a 、b 互为倒数,|x|=2,则ab x x
n
m -++2的值为
（ ） A 、2 B 、3 C 、4 D 、5 12、晓晓根据下表，作了三个推测：
①3-
x-1
x
(x>0)的值随着x 的增大越来越小； ②3-
x-1
x
(x>0)的值有可能等于2； ③3-
x-1
x
(x>O)的值随着x 的增大越来越接近于2．
则推测正确的有( )
A 、0个
B 、1个
C 、2个
D 、3个 13. 下列分式方程有解的是（ ）
A 、++12x 13-x =162-x
B 、012=+x x
C 、0122=-x
D 、111
=-x
14. 下列式子:（1）
y x y x y x -=--12
2；（2）c
a b
a a c a
b --=--；（3）1-=--b a a b ； （4）
y
x y x y x y x +-=--+-中正确的是 （ ）
A 、1个
B 、2 个
C 、3 个
D 、4 个
15. 若分式m x x ++21
2不论m 取何实数总有意义，则m 的取值范围是（ ）
A 、m ≥1
B 、m ＞1
C 、m ≤1
D 、m ＜1
16. 下列分式中是最简单分式的是（ ）.
A 、264x y
B 、x y y x --2)(2
C 、b a b a ++2
2 D 、y x y x --22
17.下列分式与y x y
x +-相等的是（ ）
A 、55+++-y x y x
B 、y x y
x +-22 C 、222)(y x y x --（x ≠y ） D 、2222y x y x +-
18. 纳米是一种长度单位，1纳米＝10－9米，已知某种花粉的直径为3 500纳米，
?那么用科学记数法表示该种花粉的直径为（ ）
A 、3.5×104米
B 、3.5×10－5米
C 、3.5×10－9米
D 、3.5×10－
6
米
19.张老师和李老师同时从学校出发，步行15千米去县城购买书籍，张老师比李老师每小时多走1千米，结果比李老师早到半小时，两位老师每小时各走多少千米？若设李老师每小时走x 千米，则由题意得到的方程是（ ）
A 、2115115=-+x x
B 、2111515=+-x x
C 、2115115=--x x
D 、21
11515=--x x
20. 已知分式
xy
y
x -+1的值是a ，如果用x 、y 的相反数代入这个分式所得的值为b ，
则a 、b 关系（ ）
A 、相等
B 、互为相反数
C 、互为倒数
D 、乘积为－1 三、解答题（每题5分，共20分）
21、化简：[22222a b a ab b -+++2ab ÷(1a +1b
)2
]·22
22a b ab -+.
22、当21,23-==b a 时，求??? ??-+???? ?
?
-+-b a ab b a b a ab b a ＋44的值.
23、请你先化简：112
223+----x x x
x x x ，再选取一个使．．．原式有意义，而你又喜爱的数代入求值.
24、A 玉米试验田是边长为a 米的正方形减去一个边长为1米的正方形蓄水池后余下部分，B 玉米试验田是边长为（a －1）米的正方形，两块试验田的玉米都收获了500千克.
（1）那种玉米的单位面积产量高？
（2）高的单位面积产量是低的单位面积产量的多少倍？
四、探索题（每题10分，共30分） 25、观察以下式子：
1112122132+→=+＞，5527544264+→=+＜，33543
55555
+→=+＞，
7737
22232+→=+＜.请你猜想，将一个正分数的分子分母同时加上一个正数，这个分数的变化情况，并证明你的结论.
26、甲、乙两位采购员同去一家饲料公司购买两次饲料.两次饲料的价格有变化，
两位采购员的购货方式也不同，其中，甲每次购买1000千克，乙每次用去800元，而不管购买多少饲料.
（1）甲、乙所购饲料的平均单价各是多少？（2）谁的购货方式更合算？
27、一个批发兼零售的文具店规定：凡一次购买铅笔300枝以上，（不包括300
枝），可以按批发价付款，购买300枝以下，（包括300枝）只能按零售价付款.小明来该店购买铅笔，如果给八年级学生每人购买1枝，那么只能按零售价付款，需用120元，如果多购买60枝，那么可以按批发价付款，同样需要120元，
①这个八年级的学生总数在什么范围内？
②若按批发价购买6枝与按零售价购买5枝的款相同，那么这个学校八年级
学生有多少人？
参考答案
一、1. 11
+a ，y x +1
2. 3
3.x ≠0 且x ≠2
4.x<1，x+y ≠0
5. 4
6. 0
7. 1
8. a ＜2
9. )2007)(1(2006
++x x 10. 507
二、11. B 12.C 13. D 14. B 15. B 16.C 17. C 18. D
19. B 20. B 三、21.
2
2()
a b + 22. 原式＝a 2－b 2
＝2 23.原式＝2x －1，答案不唯一，如取x ＝3，得原式＝2×3－1＝5 24. （1）A 玉米试验田面积是(a 2－1)米2，单位面积产量是
1
5002
-a 千克／米2
； B 玉米试验田面积是(a －1)2米2，单位面积产量是
2
)
1(500-a 千克／米2
； 因为a 2－1－(a －1)2＝2(a －1)，而a －1＞0，所以0＜(a －1)2＜a 2－1， 所以
15002
-a ＜2)
1(500-a ，即B 玉米的单位面积产量高. (2) 2)1(500-a ÷15002
-a ＝2)1(500-a ×50012-a ＝2)1()1)(1(--+a a a ＝1
1
-+a a ， 所以高的单位面积产量是低的单位面积产量的
1
1
-+a a 倍. 四、25. 猜想：当一个分数的分子小于分母时，分子与分母同加上一个正数后所得的分数大于原来的分数，当一个分数的分子大于分母时，分子与分母同加
上一个正数后所得的分数小于原来的分数，即设一个分数b
a
(a 、b 均是正数)
和一个正数m ，则b a (a ＞b )→b m a m ++＞b a ，b
a
(a ＜b )→b m a m ++＜b a .
理由是：b m a m ++－b
a ＝()()()a
b m b a m a a m +-++＝()()m a b a a m -+，由于a 、b 、m 均是正
数，所以当a ＞b ，即a －b ＞0时，
b m a m ++－b a ＞0，即b m a m ++＞b
a
，当a ＜b ，即a －b ＜0时，b m a m ++－b a ＜0，即b m a m ++＜b
a .
26. （1）设两次购买的饲料单价分别为m 元/千克和n 元/千克（m ，n 是正数，且m ≠n ）
甲两次购买饲料的平均单价为2100010001000?+n m ＝2
n
m +（元/千克），
乙两次购买饲料的平均单价为n
m 8008002
800+?＝n m mn +2（元/千克）.
（2）甲、乙两种饲料的平均单价的差是2n m +－n
m mn
+2＝)(2)(2n m m m ++－
)
(24n m mn
+
＝)(24222n m mn n mn m +-++＝)
(2)(2n m n m +-，
由于m 、n 是正数，因为m ≠n 时，)(2)(2n m n m +-也是正数，即2n m +－n
m mn
+2＞
0，
因此乙的购买方式更合算.
27. ①设这个学校八年级学生有x 人.由题意得，x ≤300且x +60＞300，所以240
＜x ≤300；②有两个数量关系：一是批发价购买6枝与按零售价购买5枝的款相同；二是用120元按批发价付款比按零售价付款可以多购买60枝.若设
批发价每支y 元，则零售价每支6
5
y 元.由题意得，y y 120605
6120=+.解之得，y ＝31，经检验，y ＝3
1为原方程的解.所以，
.3005
6120
=y 即①240人＜八年级的学生总数≤300人，②这个学校八年级学生有300人.
分式知识点总结和练习题讲义
分式知识点总结和题型归纳 （一）分式定义及有关题型 题型一：考查分式的定义: 一般地，如果A ，B 表示两个整数，并且B 中含有字母，那么式子 B A 叫做分式，A 为分子，B 为分母。 【例1】下列代数式中：y x y x y x y x b a b a y x x -++-+--1 , ,,21,22π，是分式的有： . 题型二：考查分式有意义的条件 分式有意义：分母不为0（0B ≠） 分式无意义：分母为0（0B =） 【例1】当x 有何值时，下列分式有意义 （1） 44+-x x （2）232+x x （3）1 2 2-x （4） 3||6--x x （5）x x 11- 题型三：考查分式的值为0的条件 分式值为0：分子为0且分母不为0（?? ?≠=0 B A ） 【例1】当x 取何值时，下列分式的值为0. （1）3 1 +-x x （2）4 2||2--x x （3）6 53222----x x x x 【例2】当x 为何值时，下列分式的值为零： （1）4 |1|5+--x x （2） 5 6252 2+--x x x 题型四：考查分式的值为正、负的条件 分式值为正或大于0：分子分母同号（???>>00B A 或???<<00B A ） 分式值为负或小于0：分子分母异号（???<>00B A 或???><0 B A ） （1）当x 为何值时，分式x -84 为正； （2）当x 为何值时，分式2 )1(35-+-x x 为负； （2）当x 为何值时，分式32 +-x x 为非负数.
题型五：考查分式的值为1，-1的条件 分式值为1：分子分母值相等（A=B ） 分式值为-1：分子分母值互为相反数（A+B=0） 【例1】若 2 2 ||+-x x 的值为1，-1，则x 的取值分别为 （二）分式的基本性质及有关题型 1．分式的基本性质： M B M A M B M A B A ÷÷= ??= 2．分式的变号法则：b a b a b a b a =--=+--=-- 题型一：化分数系数、小数系数为整数系数 【例1】不改变分式的值，把分子、分母的系数化为整数. （1）y x y x 4 1313221+- （2） b a b a +-04.003.02.0 题型二：分数的系数变号 【例1】不改变分式的值，把下列分式的分子、分母的首项的符号变为正号. （1）y x y x --+- （2）b a a --- （3）b a --- 题型三：化简求值题 【例1】 已知：511=+y x ，求y xy x y xy x +++-2232的值 【例2】 已知：21=-x x ，求2 21 x x +的值. 【例3】 若0)32(|1|2=-++-x y x ，求y x 241 -的值. 【例4】 已知：311=-b a ，求a ab b b ab a ---+232的值.
新人教版八年级数学分式典型例题(供参考)
分式的知识点及典型例题分析 1、分式的定义： 例：下列式子中，y x +15、8a 2 b 、-239a 、y x b a --25、4322b a -、2-a 2、m 1、65xy x 1、21、212+x 、πxy 3、 y x +3、m a 1 +中分式的个数为（ ） （A ） 2 （B ） 3 （C ） 4 (D) 5 练习题：（1）下列式子中，是分式的有 . ⑴275x x -+； ⑵ 123 x -；⑶25a a -；⑷22x x π--；⑸22b b -；⑹22 2xy x y +. （2）下列式子，哪些是分式？ 5a -； 234x +；3 y y ； 78x π+；2x xy x y +-；145b -+. 2、分式有，无意义，总有意义： 例1：当x 时，分式 51 -x 有意义； 例2：分式x x -+212中，当____=x 时，分式没有意义 例3：当x 时，分式112-x 有意义。 例4：当x 时，分式1 2+x x 有意义 例5：x ，y 满足关系 时，分式 x y x y -+无意义； 例6：无论x 取什么数时，总是有意义的分式是（ ） A ． 122+x x B.12+x x C.133+x x D.2 5 x x - 例7：使分式2 +x x 有意义的x 的取值范围为（ ）A ．2≠x B ．2-≠x C ．2->x D ．2 初二数学总复习 第十六章 分式（分式方程部分） 一、本单元 知识结构图： 二、例题与习题： 1．解方程： （1） 233x x =- （2）1222x x x +=-- （3）263111x x -=-- （4）01 2 142=---x x 2．2008年初我国南方发生雪灾，某地电线被雪压断，供电局的维修队要到30千米远的郊区进行抢修。维修工骑摩托车先走，15分钟后，抢修车装载所需材料出发，结果两车同时到达抢修点。已知抢修车的速度是摩托车速度的1.5倍，求两种车的速度。 4．某人往返于A 、B 两地，去时先步行2千米，再乘汽车行10千米，回来时骑自行车，来回所用时间恰好相等.已知汽车每小时比这人步行多走16千米，步行又比骑车每小时少走8千米. 若来回完全乘汽车能节约多少时间？ 第十七章 反比例函数 一、本章知识结构图： 二、例题与习题： 1．下面的函数是反比例函数的是 （ ） A ． 13+=x y B ．x x y 22 += C ． 2x y = D ．x y 2= 5．某物体对地面的压力为定值，物体对地面的压强p （Pa ）与受力面积S （m 2）之间的函数关系如图所示，这一函数表达式为p ＝ ． 6．点(231) P m -，在反比例函数1 y x =的图象上，则m = ． 7.点（3，－4）在反比例函数k y x = 的图象上，则下列各点中，在此图象上的是（ ） A.（3,4） B. （－2，－6） C.（－2，6） D.（－3，－4） 12.对于反比例函数x k y 2 =(0≠k )，下列说法不正确．．．的是（ ） A. 它的图象分布在第一、三象限 B. 点（k ，k ）在它的图象上 C. 它的图象是中心对称图形 D. 每个象限，y 随x 的增大而增大 14．已知反比例函数y ＝ x 2 k -的图象位于第一、第三象限，则k 的取值围是（ ）． ( 第 15 题 ） 2 10.1 分式 教学目标1、经历“列分式”的过程，理解分式的意义，会确定分式何时有意义； 2、能分析出一个简单分式有、无意义的条件； 3、经历“分式与分数的比较”过程，体验分式与分数的联系与区别，加深对分式的理解，了解类比的数学思想． 重点分式的有关概念．难点怎样确定分式何时有意义． 教法教具自主先学当堂检测交流展示检测反馈小结反思教具：多媒体等 教学过程 教学内容个案调整教师主导活动 学生主体活 动 一、情境引入 1、计算玻璃的长． 一块长方形玻璃的面积为2m2，如果长是3m，那么 宽是 2 3 m． 如果它的宽是a m，那么这块玻璃的长是 2 a m． 2、小丽买瓜子的情境． 小丽用n元人民币买了m袋相同包装的瓜子， 你能写出每袋瓜子的价格吗？ （是（n÷m）元，通常用 n m 元来表示．） 二、自主先学 1、自学内容：P98--99 2、自学指导： （1）分式的形式。 （2）分式有无意义的情况。 （3）分式的值为零的情况。 3、自学检测： 思考回顾。 教学（1）、下列各式哪些是分式，哪些是整式？ ① 3 8n m+ ＋m2②1＋x＋y2－ z 1 ③ π2 1 3- x ④ x 1 分式有，整式有。 （2）、当x= 时，分式 1 3 5 - + x x 无意义。 （3）、当x= 时，分式 1 2 3 - + x x 的值为零； 当分式 2 3 + - x x =0时，x= 。 （4）、当x 时，分式 1 2 1 + - x x 有意义。 三、交流展示 （一）展示一 分组展示自主先学中的问题，归纳所学知识。 讲清： 1、如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母， 那么代数式 A B 叫做分式（fraction），其中A是分式 的分子，B是分式的分母． 2、赋予a与b不同的含义， a b－1 可以表示不同的 意义． （二）展示二（例题） 例1.试解释分式 2 a b+ 所表示的实际意义. 例2.求分式 3 2 a a - + 的值： (1)1 a=-；(2)3 a=；(3) 2 3 a=. 例3.当x取什么值时，分式 24 1 x x + - (1)没有意义？ (2)有意义？ (3)值为零. 自学教材内 容 完成检测题 交流问难 初二数学经典难题 一、解答题（共10小题，满分100分） 1．（10分）已知：如图，P是正方形ABCD内点，∠PAD=∠PDA=15°．求证：△PBC是正三角形．（初二） 2．（10分）已知：如图，在四边形ABCD中，AD=BC，M、N分别是AB、CD的中点，AD、BC的延长线交MN于E、F． 求证：∠DEN=∠F． 》 3．（10分）如图，分别以△ABC的边AC、BC为一边，在△ABC外作正方形ACDE和CBFG，点P是EF的中点，求证：点P到AB的距离是AB的一半． 4．（10分）设P是平行四边形ABCD内部的一点，且∠PBA=∠PDA． 求证：∠PAB=∠PCB． 5．（10分）P为正方形ABCD内的一点，并且PA=a，PB=2a，PC=3a，求正方形的边长． ； 6．（10分）一个圆柱形容器的容积为V立方米，开始用一根小水管向容器内注水，水面高度达到容器高度一半后，改用一根口径为小水管2倍的大水管注水．向容器中注满水的全过程共用时间t分．求两根水管各自注水的速度． 7．（10分）（2009?郴州）如图1，已知正比例函数和反比例函数的图象都经过点M（﹣2，﹣1），且P（﹣1，﹣2）为双曲线上的一点，Q为坐标平面上一动点，PA垂直于x轴，QB垂直于y轴，垂足分别是A、B． （1）写出正比例函数和反比例函数的关系式； （2）当点Q在直线MO上运动时，直线MO上是否存在这样的点Q，使得△OBQ与△OAP面积相等如果存在，请求出点的坐标，如果不存在，请说明理由； （3）如图2，当点Q在第一象限中的双曲线上运动时，作以OP、OQ为邻边的平行四边形OPCQ，求平行四边形 OPCQ周长的最小值． 8．（10分）（2008?海南）如图，P是边长为1的正方形ABCD对角线AC上一动点（P与A、C不重合），点E在线段BC上，且PE=PB． （1）求证：①PE=PD；②PE⊥PD； （2）设AP=x，△PBE的面积为y． 、 ①求出y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围； ②当x取何值时，y取得最大值，并求出这个最大值． 《分式》的教案 班级：初二2班 科目：数学 任课教师：*** 教学时数：1节 上课日期：2011年10月17日 第七周 第一节 教学目的： 1、引导学生熟练掌握分式的概念及分式的性质等知识； 2、经历通过观察、归纳、类比、猜想，获得分式的基本性质，发展学生思维能力、分析问题、解决问题能力、实际操作能力、 语言表达能力、自学能力、合情推理能力与代数恒等能力等； 3、引导学生学习劳动人民的优良品德；尊重客观、尊重事实的良好品德；刻苦顽强品德等； 4、激发学生热爱劳动人民的情感；热爱科学、热爱生活的情感； 5、通过学习，能获得学习代数知识的常用方面，能感受代数学习的价值。 教学重点： 1、分式的概念 2、分式的性质 教学难点： 1、分式的有意义的条件 2、分子、分母是多项式的分式约分 教学方法：讲授法、谈话法、讨论法、练习法、读书指导法 教具：多媒体课件 ppt 教学过程： 一、复习旧课（时间5~10分钟） 同学们，我们一起来复习一下上一节课学习的内容： 提问 1：我们上节课学习的什么知识啊？ 生（一起回答）：学习了完全平方公式。 提问2：那什么叫做完全平方公式? 生（一起回答）：两个数的平方和，加上(或者减去)这两个数的积的2倍，等于这两个数的和(或者差)的平方，这样的式子就叫做完全平方公式. 提问3：那有没有同学愿意上来，在黑板上默写完全平方公式的公式？ 好，第四组举手的那位同学上来默写一下公式。 生：()()b a b a b a _22+=- ()2 222b a b ab a +=++ ()2 222b a b ab a -=+- 二、学习新课（时间20~25分钟）（重点） 第十六章分式知识点和典型例习题 【知识网络】 第一讲 分式的运算 【知识要点】1.分式的概念以及基本性质; 2.与分式运算有关的运算法则 3.分式的化简求值(通分与约分) ４.幂的运算法则 【主要公式】１.同分母加减法则:()0b c b c a a a a ±±=≠ 2.异分母加减法则:()0,0b d bc da bc da a c a c ac ac ac ±±=±=≠≠; 3．分式的乘法与除法：b d bd a c ac ?=,b c b d bd a d a c ac ÷=?= ４.同底数幂的加减运算法则:实际是合并同类项 5.同底数幂的乘法与除法；a m ● a n =a m+ｎ; ａm ÷ a n =ａm －n 6.积的乘方与幂的乘方:(ab)m = ａm b ｎ , （a m ) ｎ = a ｍn 7.负指数幂: a -p = 1p a a 0 =1 8.乘法公式与因式分解：平方差与完全平方式 (ａ+b ）(a-b ）= a 2 - b ２ ;(ａ±b ）2= a ２±2a ｂ+ｂ2 （一)、分式定义及有关题型 题型一:考查分式的定义 【例1】下列代数式中：y x y x y x y x b a b a y x x -++-+--1 , ,,21,2 2 π，是分式的有： ． 题型二:考查分式有意义的条件 【例2】当x 有何值时，下列分式有意义 (1) 44+-x x ?(2)2 32+x x (3） 1 22-x （4） 3||6--x x （5）x x 11- 题型三：考查分式的值为0的条件 【例３】当x 取何值时，下列分式的值为0. （1)3 1+-x x (2) 4 2 ||2--x x ?（3)653 222----x x x x 题型四:考查分式的值为正、负的条件 【例4】（1)当x 为何值时，分式 x -84 为正； （２)当x 为何值时,分式2 )1(35-+-x x 为负； (３）当x 为何值时,分式 3 2 +-x x 为非负数. 练习: 1．当x 取何值时,下列分式有意义： （1) 3 ||61 -x (2） 1 )1(32++-x x ??（3) x 111+ 2．当x 为何值时，下列分式的值为零： (1）4 |1|5+--x x (2) 5 6252 2+--x x x 3．解下列不等式 (１） 01 2 ||≤+-x x （2) 03 252 >+++x x x (二）分式的基本性质及有关题型 1．分式的基本性质: M B M A M B M A B A ÷÷=??= 2．分式的变号法则： b a b a b a b a =--=+--=-- 题型一:化分数系数、小数系数为整数系数 【例1】不改变分式的值,把分子、分母的系数化为整数． (1)y x y x 4 1313221+- (2) b a b a +-04.003.02.0 题型二:分数的系数变号 【例２】不改变分式的值，把下列分式的分子、分母的首项的符号变为正号. （1）y x y x --+-? (2）b a a --- ?（３)b a --- 题型三:化简求值题 【例3】已知： 511=+y x ,求 y xy x y xy x +++-2232的值． 提示:整体代入,①xy y x 3=+，②转化出 y x 1 1+． 第十六章分式知识点和典型例习题 【知识网络】 【思想方法】 1．转化思想 转化是一种重要的数学思想方法，应用非常广泛，运用转化思想能把复杂的问题转化为简单问题，把生疏的问题转化为熟悉问题，本章很多地方都体现了转化思想，如，分式除法、分式乘法；分式加减运算的基本思想：异分母的分式加减法、同分母的分式加减法；解分式方程的基本思想：把分式方程转化为整式方程，从而得到分式方程的解等． 2．建模思想 本章常用的数学方法有：分解因式、通分、约分、去分母等，在运用数学知识解决实际问题时，首先要构建一个简单的数学模型，通过数学模型去解决实际问题，经历“实际问题———分式方程模型———求解———解释解的合理性”的数学化过程，体会分式方程的模型思想，对培养通过数学建模思想解决实际问题具有重要意义． 3．类比法 本章突出了类比的方法，从分数的基本性质、约分、通分及分数的运算法则类比引出了分式的基本性质、约分、通分及分式的运算法则，从分数的一些运算技巧类比引出了分式的一些运算技巧，无一不体现了类比思想的重要性，分式方程解法及应用也可以类比一元一次方程． 第一讲 分式的运算 【知识要点】1.分式的概念以及基本性质; 2.与分式运算有关的运算法则 3.分式的化简求值(通分与约分) 4.幂的运算法则 【主要公式】1.同分母加减法则:()0b c b c a a a a ±±=≠ 2.异分母加减法则:()0,0b d bc da bc da a c a c ac ac ac ±±=±=≠≠; 3.分式的乘法与除法: b d bd a c ac ?= ,b c b d bd a d a c ac ÷=?= 4.同底数幂的加减运算法则:实际是合并同类项 5.同底数幂的乘法与除法;a m ● a n =a m+n ; a m ÷ a n =a m －n 6.积的乘方与幂的乘方:(ab)m = a m b n , (a m ) n = a mn 7.负指数幂: a -p = 1p a a 0 =1 8.乘法公式与因式分解:平方差与完全平方式 (a+b)(a-b)= a 2 - b 2 ;(a ±b)2= a 2±2ab+b 2 （一）、分式定义及有关题型 题型一：考查分式的定义（一）分式的概念： 形如 A B (A 、B 是整式，且B 中含有字母，B ≠0)的式子，叫做分式.其中 A 叫做分式的分子,B 叫做分式的分母. 【例1】下列代数式中：y x y x y x y x b a b a y x x -++-+--1 , ,,21,22π，是分式的有： . 题型二：考查分式有意义的条件：在分式中，分母的值不能是零.如果分母的值是零，则分式没 有意义. 【例2】当x 有何值时，下列分式有意义 （1） 44+-x x （2）232+x x （3）122-x （4）3||6--x x （5）x x 11- 题型三：考查分式的值为0的条件： 1、分母中字母的取值不能使分母值为零，否则分式无意义 2、当分子为零且分母不为零时，分式值为零。 【例3】当x 取何值时，下列分式的值为0. （1）31+-x x （2）4 2||2--x x 初二（下册）数学题精选 分式： 一：如果abc=1,求证11++a ab +11++b bc +1 1 ++c ac =1 解： 二：已知a 1+b 1= )(29b a +，则a b +b a 等于多少？ 解： 三：一个圆柱形容器的容积为V 立方米，开始用一根小水管向容器内注水，水面高度达到容器高度一半后，改用一根口径为小水管２倍的大水管注水。向容器中注满水的全过程共用时间t 分。求两根水管各自注水的速度。 解： 四：联系实际编拟一道关于分式方程228 8+=x x 的应用题。要求表述完整，条件充分并写出解答过程。 解略 五：已知M ＝222y x xy -、N ＝2 22 2y x y x -+，用“+”或“－”连结M 、N,有三种不同的 形式，M+N 、M-N 、N-M ，请你任取其中一种进行计算，并简求值，其中x ：y=5：2。 解： 反比例函数： 一：一张边长为16cm正方形的纸片，剪去两个面积一定且一样的小矩形得到一个“E”图案如图1所示．小矩形的长x（cm）与宽y（cm）之间的函数关系如图2所示： （1）求y与x之间的函数关系式； （2）“E”图案的面积是多少？ （3）如果小矩形的长是6≤x≤12cm，求小矩形宽的范围. 二：是一个反比例函数图象的一部分，点(110)A ，，(101)B ，是它的两个端点． （1）求此函数的解析式，并写出自变量x 的取值范围； （2）请你举出一个能用本题的函数关系描述的生活实例． 三：如图，⊙A 和⊙B 都与x 轴和y 轴相切，圆心A 和圆心B 都在反比例 函数1 y x 的图象上，则图中阴影部分的面积等于 . 四：如图11，已知正比例函数和反比例函数的图像都经过点M （－2，1），且P （1，－2）为双曲线上的一点，Q 为坐标平面上一动点，PA 垂直于 x 轴，QB 垂直于y 轴，垂足分别是A 、B ． （1）写出正比例函数和反比例函数的关系式； （2）当点Q 在直线MO 上运动时，直线MO 上是否存在这样的点Q ，使得△ OBQ 与△OAP 面积相等？如果存在，请求出点的坐标，如果不存在，请说 明理由； 从分数到分式 教学目标 一、知识与技能目标 1．使学生了解分式的概念，明确分母不得为零是分式概念的组成部分． 2．使学生能够求出分式有意义的条件． 二、过程与方法目标 能用分式表示现实情境中的数量关系，体会分式是表示现实世界中一类量的数学模型，进一步发展符号感，通过类比分数研究分式的教学，引导学生运用类比转化的思想方法研究解决问题． 三、情感与价值目标 在土地沙化问题中，体会保护人类生存环境的重要性。培养学生严谨的思维能力． 教学重点和难点 准确理解分式的意义，明确分母不得为零既是本节的重点，又是本节的难点． 教学方法:分组讨论． 教学过程 1、 情境引入：面对日益严重的土地沙化问题，某县决定分期分批固沙造林，一期工程计划在一定期限内固沙造林2400公顷，实际每月固沙造林的面积比原计划多30公顷，结果提前4个月完成原计划任务，原计划每月固沙造林多少公顷？ （1）这一问题中有哪些等量关系？ （2）如果设原计划每月固沙造林x 公顷，那么原计划完成一期工程需要____________个月，实际完成一期工程用了____________个月；根据题意，可得方程 ； 2、解读探究： x 2400，302400+x ，430 24002400=+?x x 认真观察上面的式子，方程有什么特点？ 做一做1.正n 边形的每个内角为 度 2一箱苹果售价a 元，箱子与苹果的总质量为mkg ，箱子的质量为nkg ，则每千克苹果售价是多少元？ 上面问题中出现的代数式x 2400，302400+x ，n n 180)2(??；它们有什么共同特征？ (1)由学生分组讨论分式的定义，对于“两个整式相除叫做分式”等错误，由学生举反例一一加以纠正，得到结论： 的分母． (2)由学生举几个分式的例子． (3)学生小结分式的概念中应注意的问题． ①分母中含有字母． 分式 知识点一：分式的定义 一般地，如果A ，B 表示两个整数，并且B 中含有字母，那么式子 B A 叫做分式，A 为分子， B 为分母。 知识点二：与分式有关的条件 1、分式有意义：分母不为0（0B ≠） 2、分式值为0：分子为0且分母不为0（???≠=0 0B A ） 3、分式无意义：分母为0（0B =） 4、分式值为正或大于0：分子分母同号（?? ?>>00 B A 或? ??<<00B A ） 5、分式值为负或小于0：分子分母异号（?? ?<>00B A 或???><00B A ） 知识点三：分式的基本性质 分式的分子和分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变。 字母表示：C B C ??=A B A ，C B C ÷÷=A B A ，其中A 、B 、C 是整式，C ≠0。 拓展：分式的符号法则：分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变，即 B B A B B --=--=--=A A A 注意：在应用分式的基本性质时，要注意 C ≠0这个限制条件和隐含条件B ≠0。 知识点四：分式的约分 定义：根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分。 步骤：把分式分子分母因式分解，然后约去分子与分母的公因。 注意：①分式的分子与分母为单项式时可直接约分，约去分子、分母系数的最大公约数，然 后约去分子分母相同因式的最低次幂。 ②分子分母若为多项式，约分时先对分子分母进行因式分解，再约分。 知识点四：最简分式的定义 一个分式的分子与分母没有公因式时，叫做最简分式。 知识点五：分式的通分 ① 分式的通分：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的 同分母分式，叫做分式的通分。 ② 分式的通分最主要的步骤是最简公分母的确定。 最简公分母的定义：取各分母所有因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母。 确定最简公分母的一般步骤： Ⅰ 取各分母系数的最小公倍数； Ⅱ 单独出现的字母（或含有字母的式子）的幂的因式连同它的指数作为一个因式； Ⅲ 相同字母（或含有字母的式子）的幂的因式取指数最大的。 Ⅳ 保证凡出现的字母（或含有字母的式子）为底的幂的因式都要取。 注意：分式的分母为多项式时，一般应先因式分解。 知识点六：分式的四则运算与分式的乘方 1、分式的乘除法法则： 分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母。式子表示为：d b c a d c b a ??=? 分式除以分式：式子表示为 c c ??=?=÷b d a d b a d c b a 2、分式的乘方：把分子、分母分别乘方。式子n n n b a b a =?? ? ?? 3、 分式的加减法则： 初中数学新课程标准教材 数学教案( 2019 — 2020学年度第二学期 ) 学校： 年级： 任课教师： 数学教案 / 初中数学 / 八年级数学教案 编订：XX文讯教育机构 分式的基本性质(教案) 教材简介:本教材主要用途为通过学习数学的内容，让学生可以提升判断能力、分析能力、理解能力，培养学生的逻辑、直觉判断等能力，本教学设计资料适用于初中八年级数学科目, 学习后学生能得到全面的发展和提高。本内容是按照教材的内容进行的编写，可以放心修改调整或直接进行教学使用。 第一课时 （一）教学过程 【复习提问】 1．分式的定义？ 2．分数的基本性质？有什么用途？ 【新课】 1．类比分数的基本性质，由学生小结出： 分式的分子与分母乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变，即： ， （其中是不等于零的整式．） 2．加深对分式基本性质的理解： 例1 下列等式的右边是怎样从左边得到的？ （1）； 由学生口述分析，并反问：为什么？ 解：∵ ∴． （2）； 学生口答，教师设疑：为什么题目未给的条件？（引导学生学会分析题目中的隐含条件．）解：∵ ∴． （3） 学生口答． 解：∵， ∴． 例2 填空： （1）； （2）； （3）； （4）． 把学生分为四人一组开展竞赛，看哪个组做得又快又准确，并能小结出填空的依据．例3 不改变分式的值，把下列各式的分子与分母中各项的系数都化为整数． （1）； 分析学生讨论：①怎样才能不改变公式的值？②怎样把分子分母中各项系数都化为整数？ 解：． （2）． 解：． 例4 判断取何值时，等式成立？ 学生分组讨论后得出结果： ∴． （二）随堂练习 1．当为何值时，与的值相等（） A．B．C．D． 2．若分式有意义，则，满足条件为（） 分式知识点总结和题型归纳 （一）分式定义及有关题型 题型一：考查分式的定义: 一般地，如果A ，B 表示两个整数，并且B 中含有字母，那么式子 B A 叫做分式，A 为分子，B 为分母。【例1】下列代数式中：y x y x y x y x b a b a y x x -++-+--1 , ,,21,2 2 π，是分式的有： . 题型二：考查分式有意义的条件 分式有意义：分母不为0（0B ≠） 分式无意义：分母为0（0B =） 【例1】当x 有何值时，下列分式有意义 （1） 44+-x x （2）232+x x （3）122-x （4）3||6--x x （5）x x 11- （2）使分式 53-+x x ÷79 -+x x 有意义的x 应满足 . （3）若分式3 21 +-x x 无意义，则x= . 题型三：考查分式的值为0的条件 分式值为0：分子为0且分母不为0（? ??≠=00 B A ） 【例1】当x 取何值时，下列分式的值为0. （1）3 1 +-x x （2） 4 2 ||2 --x x （3） 6 5322 2----x x x x 【例2】当x 为何值时，下列分式的值为零： （1）4 |1|5+--x x （2） 5 62522+--x x x 题型四：考查分式的值为正、负的条件 分式值为正或大于0：分子分母同号（?? ?>>00B A 或???<<00 B A ） 分式值为负或小于0：分子分母异号（???<>00B A 或? ??><00 B A ） （1）当x 为何值时，分式x -84为正； （2）当x 为何值时，分式2 )1(35-+-x x 为负； 第十六章 分式 16．1分式 16.1.1从分数到分式 一、 教学目标 1． 了解分式、有理式的概念. 2．理解分式有意义的条件，分式的值为零的条件；能熟练地求出分式有意义的条件，分式的值为零的条件. 二、重点、难点 1．重点：理解分式有意义的条件，分式的值为零的条件. 2．难点：能熟练地求出分式有意义的条件，分式的值为零的条件. 三、课堂引入 1．让学生填写P4[思考]，学生自己依次填出：7 10，a s ，33 200，s v . 2．学生看P3的问题：一艘轮船在静水中的最大航速为20千米/时，它沿江以最大航速顺流航行100千米所用实践，与以最大航速逆流航行60千米所用时间相等，江水的流速为多少？ 请同学们跟着教师一起设未知数，列方程. 设江水的流速为x 千米/时. 轮船顺流航行100千米所用的时间为v +20100小时，逆流航行60千米所用时间v -2060小时， 所以v +20100=v -2060. 3. 以上的式子v +20100，v -2060，a s ，s v ，有什么共同点？它们与分数有什么相同点和不 同点？ 五、例题讲解 P5例1. 当x 为何值时，分式有意义. [分析]已知分式有意义，就可以知道分式的分母不为零，进一步解 出字母x 的取值范围. [提问]如果题目为：当x 为何值时，分式无意义.你知道怎么解题吗？这样可以使学生一题二用，也可以让学生更全面地感受到分式及有关概念. (补充)例2. 当m 为何值时，分式的值为0？ （1） （2） (3) [分析] 分式的值为0时，必须同时．． 满足两个条件：○1分母不能为零；○2分子为零，这样求出的m 的解集中的公共部分，就是这类题目的解. [答案] （1）m=0 （2）m=2 （3）m=1 六、随堂练习 1．判断下列各式哪些是整式，哪些是分式？ 9x+4, x 7 , 209y +, 54-m , 238y y -，91-x 2. 当x 取何值时，下列分式有意义？ （1） （2） （3） 1-m m 3 2 +-m m 11 2+-m m 45 22--x x x x 235 -+2 3 +x 第二讲分式方程 【知识要点】 1.分式方程的概念以及解法 ; 2.分式方程产生增根的原因 3.分式方程的应用题 【主要方法】 1. 分式方程主要是看分母是否有外未知数; 2.解分式方程的关健是化分式方程为整式方程; 方程两边同乘以最简公分母 3.解分式方程的应用题关健是准确地找出等量关系, 恰当地设末知数 . 题型一：用常规方法解分式方程 解下列分式方程 （ 1） 1 3 （ 2） 2 1 x 1 x x 3 x （ 3）x 1 4 1 （ 4） 5 x x 5 x 1 x2 1 x 3 4 x 题型二：特殊方法解分式方程解下列方程 （1）x4x 4 4 ；（2）x 7 x 9 x 10 x 6 x 1 x x 6 x 8 x 9 x 5 （3） 1 1 1 1 x 2 x 5 x 3 x 4 1 题型三：求待定字母的值 （ 1）若关于 x 的分式方程 2 1 m 有增根，求 m 的值 . x 3 x 3 （ 2）若分式方程 2 x a 1 的解是正数，求 a 的取值范围 . x 2 （ 3）若分式方程 x 1 m 无解，求 m 的值。 x 2 2 x （ 4）若关于 x 的方程 x k 2 x 不会产生增根，求 k 的值。 x 1 x 2 1 x 1 （ 5）若关于 x 分式方程 1 k x 2 3 有增根，求 k 的值。 x 2 x 2 4 题型四：解含有字母系数的方程 解关于 x 的方程 (1 ) x a c (c d 0) （2） 1 1 2 (b 2a) ； b x d a x b 2 1a1 b （ 3）(a b) . 题型五：列分式方程解应用题 一、工程类应用性问题 1、一项工程，甲、乙、丙三队合做 4 天可以完成，甲队单独做 15 天可以完成，乙队单独做 12 天可以完成，丙队单独做几天可以完成？ 2、某市为治理污水，需要铺设一段全长3000 米的污水输送管道，为了尽量减少施工对城 市交通造成的影响，实际施工时每天的工效比原计划增加25%，结果提前30 天完成了任务，实际每天铺设多长管道？ 二、行程中的应用性问题 2、甲、乙两地相距828km，一列普通快车与一列直达快车都由甲地开往乙地，直达快车 的平均速度是普通快车平均速度的 1.5 倍．直达快车比普通快车晚出发2h，比普通快车早 4h 到达乙地，求两车的平均速度． 3 ，AE⊥于EBD交BCAB=AC、如图，1Rt△ABC中，∠BAC=90°，，D是AC的中点，CDE ADB=∠连接ED，求证；∠ D ，P是三角形内一点，PA＝3，PB＝4ABC，PC＝5．求∠2APB度数、。正三角形△ 3、P是等边三角形ABC内一点，∠APC、∠APB、∠BPC之比为5、6、7，以PA，PB，PC为边的三角形三个内角的大小。 求证：AE=CF.的中点，AB为D点AC=BC,，°ACB=90中，∠ABC已知：在三角形、4．DF? ⊥DE ，FAB于且延长线上一点，AD=1/2AC，DE交E5、△ABC中，是BC的中点，D是CA 。求证：DF=EF 6、如图，△ABC和△ADE都是等边三角形，点D在BC边上，AB边上有一点F，且BF=DC， 连接EF、EB． （1）求证：△ABE≌△ACD；（2）求证：四边形EFCD是平行四边形． 答案：1、解：过C作CG⊥AC交AE延长线于G 互余）EAB都与∠GAC(∠DBA=，所以∠F于BD⊥AE∵． °DAB=∠GCA=90又∵AB=CA，∠)≌△GCA(角边角∴△DAB∴∠ADB=∠CGA,AD=CG 又∵AD=DC,所以CD=CG 又∵∠GCE=∠DCE=45°，CE=CE ∴△GCE≌△DCE（边角边） ∴∠CGA=∠CDE ∴∠ADB=∠CDE 2、解：以PA为一边，向外作正三角形APQ，连接BQ，可知 PQ=PA=3，∠APQ=60°， 由于AB=AC，PA=QA，∠CAP+∠PAB=60°=∠PAB+∠BAQ，即：∠CAP=∠BAQ 所以△CAP≌△BAQ 可得：CP=BQ=5， 在△BPQ中，PQ=3，PB=4，BQ=5，由勾股定理，知△BPQ是直角三角形。所以 ∠BPQ=90° 所以∠APB=∠APQ+∠BPQ=60°+90°=150°。 3、解：在AP的一侧以AP长为边作等边△APD，使D位于△ABC外AC边一侧， 易证△ABP≌△ACD（SAS） 因此，CD＝PB，PD＝PA，△APD就是以AP、BP、CP为边的三角形 设∠APB＝5x,∠BPC=6x,∠APC=7x, 由周角为360°，得∠APB+∠BPC+∠APC=18x＝360°∴x=20°, 南通市初中数学分式经典测试题 一、选择题 1．化简22 a b b a +-的结果是（ ） A ．1a b - B ．1b a - C ．a ﹣b D ．b ﹣a 【答案】B 【解析】 【分析】 原式分子分母提取公因式变形后，约分即可得到结果． 【详解】 原式= a+b )()b a b a +-（= 1b a - 故答案选B. 【点睛】 本题考查的知识点是约分，解题的关键是熟练的掌握约分. 2．下列运算中，正确的是（ ） A ．2+= B ．632x x x ÷= C ．122-=- D ．325a a a ?= 【答案】D 【解析】 【分析】 根据实数的加法对A 进行判断；根据同底数幂的乘法对B 进行判断；根据负整数指数幂的意义对C 进行判断；根据同底数幂的除法对D 进行判断． 【详解】 解：A 、2不能合并，所以A 选项错误； B 、x 6÷x 3=x 3，所以B 选项错误； C 、2-1=12 ，所以C 选项错误； D 、a 3?a 2=a 5，所以D 选项正确． 故选：D ． 【点睛】 此题考查实数的运算，负整数指数幂，同底数幂的乘法与除法，解题关键在于掌握先算乘方，再算乘除，然后进行加减运算；有括号先算括号． 3．关于分式 25x x -，下列说法不正确的是（ ） A ．当x=0时，分式没有意义 B ．当x ＞5时，分式的值为正数 C ．当x ＜5时，分式的值为负数 D ．当x=5时，分式的值为0 【答案】C 【解析】 【分析】 此题可化转化为分别求当分式等于0、大于0、小于0、无意义时的x 的取值范围，分别计算即可求得解． 【详解】 A ．当x=0时，分母为0，分式没有意义；正确，但不符合题意． B ．当x>5时，分式的值为正数；正确，但不符合题意 C ．当0＜x ＜5时，分式的值为负数；当x=0是分式没有意义，当x ＜0时，分式的值为负数，原说法错误，符合题意． D ．当x=5时，分式的值为0；正确，但不符合题意． 故选：C ． 【点睛】 本题主要考查分式的性质的运用，注意分式中分母不为0的隐性条件． 4．要使分式 81x -有意义，x 应满足的条件是（ ） A ．1x ≠- B ．0x ≠ C ．1x ≠ D ．2x ≠ 【答案】C 【解析】 【分析】 直接利用分式有意义的条件得出答案． 【详解】 要使分式81 x -有意义， 则x-1≠0， 解得：x≠1． 故选：C ． 【点睛】 此题考查分式有意义的条件，正确把握分式的定义是解题关键． 5．若分式 12x x +-在实数范围内有意义，则x 的取值范围是（ ） A ．2x > B ．2x < C ．1x ≠- D ．2x ≠ 【答案】D 【解析】 F 八年级数学几何经典题【含答案】 1、已知：如图，在四边形ABCD 中，AD ＝BC ，M 、N 分别是AB 、CD 的中点，AD 、BC 的延长 线交MN 于E 、F ． 求证：∠DEN ＝∠F ． 2、如图，分别以△ABC 的AC 和BC 为一边，在△ABC 的外侧作正方形ACDE 和正方形CBFG ， 点P 是EF 的中点． 求证：点P 到边AB 的距离等于AB 的一半． 3、如图，四边形ABCD 为正方形，DE ∥AC ，AE ＝AC ，AE 与CD 相交于F ． 求证：CE ＝CF ． . 4、如图，四边形ABCD 为正方形，DE ∥AC ，且CE ＝CA ，直线EC 交DA 延长线于F ． 求证：AE ＝AF ． B 5、设P 是正方形ABCD 一边BC 上的任一点，PF ⊥AP ，CF 平分∠DCE ． 求证：PA ＝PF ． 6、平行四边形ABCD 中，设E 、F 分别是BC 、AB 上的一点，AE ＝CF ．求证：∠DPA ＝∠DPC ． 7如图，△ABC 中，∠C 为直角，∠A=30°，分别以AB 、AC 为边在△ABC 的外侧作正△ABE 与正△ACD ，DE 与AB 交于F 。 求证：EF=FD 。 8如图，正方形ABCD 中，E 、F 分别为AB 、BC 的中点，EC 和DF 相交于G ，连接AG ，求证：AG=AD 。 9、已知在三角形ABC 中,AD 是BC 边上的中线,E 是AD 上的一点,且BE=AC,延长BE 交AC 与F,求证AF=EF D F E P C B A F P D E C B A 15．1 分 式 第1课时 从分数到分式 教学目标 1．了解分式的概念，知道分式与整式的区别和联系． 2．了解分式有意义的含义，会根据具体的分式求出分式有意义时字母所满足的条件． 3．理解分式的值为零、为正、为负时，分子分母应具备的条件． 教学重点 分式的意义． 教学难点 准确理解分式的意义，明确分母不得为零． 教学设计一师一优课 一课一名师 (设计者： ) 教学过程设计 一、创设情景，明确目标 一艘轮船在静水中的最大航速是20 km/h ，它沿江以最大船速顺流航行100 km 所用时间，与以最大航速逆流航行60 km 所用的时间相等．江水的流速是多少？ 提示：顺流速度＝水速＋静水中的速度；逆流速度＝静水中的速度－水速． ●自主学习 指向目标 1．自学教材第127至128页． 2．学习至此：请完成《学生用书》相应部分． 三、合作探究，达成目标 探究点一 分式的概念 活动一：阅读教材思考问题：式子S a ，V S 以及式子10020＋v 和6020－v 有什么共同特点？它们与分数有什么相同点和不同点？ 展示点评：如果A ，B 表示两个________(整式)，并且B 中含有________(字母)，那么式子A B 叫做分式． 小组讨论：如何判断一个式子是否为分式？分式与整式有什么区别？ 反思小结：判断一个式子是否为分式，可根据：①具有分数的形式；②分子、分母都是整式；③分母中含有字母，分式与整式的区别在于：分式的分母中含有字母，而整式的分母中不含字母． 针对训练：见《学生用书》相应部分 探究点二 分式有意义的条件 活动二：(1)当x ≠0时，分式23x 有意义； (2)当x ≠1时，分式x x －1 有意义； (3)当b ≠53时，分式15－3b 有意义； (4)x ，y 满足__x≠y __时，分式x ＋y x －y 有意义． 展示点评：教师示范解答的一般步骤，强调分母不为零． 小组讨论：归纳分式有意义的条件． 反思小结：对于任何分式，分母均不能为零，即当分母不为零时，分式有意义；反之，分母为零时，分式无意义． 针对训练：见《学生用书》相应部分 四、总结梳理，内化目标 1．知识小结——(1)学习了分式，知道了分式与分数的区别．(2)知道了分式有意义和值为零的条件． 2．思想方法小结——类比、转化等数学思想． 五、达标检测，反思目标 1．下列各式①2x ，②x ＋y 5，③12－a ，④x π－1 中，是分式的有( C ) A ．①② B ．③④ C ．①③ D ．①②③④ 2．当x 为任意实数时，下列分式中，一定有意义的是( C ) A.x －1x 2 B.x ＋1x 2－1 C.x －1x 2＋1 D.x －1x ＋2 3．某食堂有煤m t ，原计划每天烧煤a t ，现每天节约用煤b(b初二数学总复习经典例题含答案
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