基于控制l函数的非线性不确定系统的镇定

基于控制Lyapunov函数

的非线性不确定系统的镇定

康云霞

摘要:本文主要对CLF的概念性质，及其近年来应用研究的进展予以综述，首先介绍CLF的概念和相关的主要结论，然后介绍了CLF在非线性控制设计中的应用，基于鲁棒控制lyapunov函数的定义给出一个函数为RCLF的等价条件而获得该系统可鲁棒稳定的条件，以例子仿得以验证。

关键词: 非线性系统控制lyapunov函数结构不确定鲁棒镇定

Abstract:This paper focuses on the concept of CLF properties, and their recent research progress in application shall, first of all introduced the concept of CLF and related main conclusions, and then introduced the CLF in nonlinear control design, the application of robust control based on lyapunov function definition given a function for RCLF equivalent conditions for the system robust stability conditions, with examples to verify imitation

Keywords nonlinear system control lyapunov function the structure is not sure robust stabilization

一、引言

非线性控制理论具有十分重要的理论研究意义，更具有极为广泛的实际应用价值。20世纪80年代以来，非线性控制系统的分析取得了很多成果，建立了微分几何学，非线性算子等许多卓有成效的研究方法，在此基础上，原先仅仅应用于非线性系统进行分析的理论逐渐被应用到系统的设计中去。这种现象被控制界成为“活化过程”[3]

CLF（control lyapunov Function）的概念便是一个突出的范例。众所周知，lyapunov方法在微分方程稳定性理论的建立和发展过程中起了决定性的作用. CLF方法基于传统的Lyapnnov函数方法将控制量引入Lyapunov函数的正则性,使得Lyapunov方法从经典的验证和判定方法成为一种有效的设计工具，从而日益显示出重要的应用价值.同时也为许多复杂非线性系统的设计问题提供了一种新的思路。

上世纪80年代分别由Artstein[2]和Sontag[3][引入CLF的概念。随后，Sontag，Isidori，Teel和Kokotovic等一批世界著名的控制论学者，都对CLF及其应用进行了广泛的研究；近年来，他们的学生以及众多的控制理论工作者又对此倾注了大量的心血。取得了一批成果，并被应用到不同类型的非线性控制系统，诸如神经网络系统、开关控制系统、随机控制系统等方面的研究中去．

二、 CLF 的定义及其主要结论

1．相关概念

首先我们给出以后定理介绍中所需的相关概念的定义

定义2.1 给定连续函数V ：x +→R 称v 是

（i ）正定的（positive Definite ）,如果V(0)=0且当x 0≠时，V(x)>0;

(ii)真的（proper ）,如果当||x||∞→。

定义2.2 称函数γ：R ++→R 为k 类函数，若r(0)=0, 且连续、单调递增。进而，

若它满足∞=∞

→)(lim s r s ，则称之为k ∞类函数。 定义2.3 称函数β：+++→?R R R 称为kl 类函数，若对每个固定的t ，函数?(β,t)

是k 类的；而对每个固定的s ，函数),(?s β是严格递减的，并且0),(lim =∞→t s t β。

2．CLF 的定义

考虑如下非线性系统：

),(.

u x f x = （1）

的全局渐近稳定问题，其中状态变量x n R X ?∈输入变量u m R U ?∈. 定义2.4 称函数V （x ）为系统(1.1)的控制Lyapunov 函数(CLF)，如果满足如下条件

1)V(x)为iE 定的、真的、光滑的。

2)在每个非零x 处，都存

0),(inf

???????u x f x v μ 特别地，对于仿射系统

u x g x f x )()(+=?

（2）

其中x n R X ?∈输入变量u m R U ?∈,)(),(x g x f 为光滑向量，且0)(=x f ，如果系统存在CLF ，则下式成立：

0)(0)(

其中，v l f 表示v （x ）沿f 的导数即)(x f x

v v l f ??=。从上式我们可以看到，集合0)(=x v l g 是非常有意义的，因为在这个集合上，系统必须具有性质0)(

0)(

定理2.5(Artstein-Sontag 定理) 系统)存在{}0\n R 上光滑且在x=0处连续的反馈律u=k(x)，

使得系统在平衡点全局渐近稳定，当且仅当存在正定的、真的、光滑函数v(x),满足下列性

质：

（i ）对于所有x ≠0，0)(0)(

（ii ）(小控制性，SmallControlProperty)任给ε>0，存在δ>0,若x ≠0满足||x||<δ，则必

有某个u ，其范数||u||<ε,使得0)()(<+u x v l x v l g f 成立。

CLF 的重要性在于：v(x)的存在性同时也是使(2)渐近稳定的控制律u=k(x)存在的充分条件。

从这一点我们也可以看出CLF 与传统的Lyapunov 函数的不同之处：对于一个系统，如果存

在一个Lyapunov 函数，则系统是稳定的，如果存在一个CLF ，则系统是可以通过反馈实现

稳定的。

进一步，我们将在下面看到，对于仿射系统(2)，只要给定系统的CLFV(x)，就一定能

够通过系统本身的f(x)，g(x)及v(x)构造出除原点外处处光滑的控制律。

3．基于CLF 的控制律

CLF 的理论最早起源于1983年Artsteint[2]的文章，提出了全局稳定反馈的存在与系统

存在CLF 的充要条件，其证明是基于单位的分划，是非构造性的。Sontag[5]于1989年针对

此问题给出了一个通用公式，并根据Lyapunov 的Lie 导数做出了构造性的证明。

定理2.6 (Sontag 公式)[5]如果对于系统(1.3)，存在v(x)是CLF ，则可以得到在{}0\n

R 上光滑的反馈律：

)()()())()(()()((0)(22x b x b x b x b x b x a x a x k u T T ??

???++-== 0)(0)(≠=x b x b (3) 使系统全局渐近稳定，其中a(x):=)(:)(),(x v l x b x v l g f =.如果v(x)进一步满足小控制性

质，则u 在原点也连续。

另外一个基于CLF 的控制律的构造是由Freeman[6]等提出的逐点最小范数控制

(Pointwise Minimum Norm Contr01)方法。

定理2.7 (Freeman 公式)：如果系统存在v(x)是CLF ，以及存在光滑正定的函数a(x)，

满足如下条件：

)()(0)(x a x v l x v l f g -

则可以得到在{}0\n R 上光滑的反馈律：

)()

()()()(0)(x b x b x b x x a x k u T ??????+-== 0)()(0)()(>?+≤?+x x a x x a (5) 可以看到，当选取)()()()(2x b x b x a x T +=?时，Freeman 公式便成为sontag 公式。

对于控制律具有约束的控制问题，类似的公式也已纷纷建立。文[7]给出了有界控制

(Control Bounded in Magnitude)t 抟控制律的构造。[6]分别对正控制(PositiveContr01)、区间

的控制进行了研究。[9]讨论了限于Minkowskii 球的控制(controls Restricted to Minkowskii

Balls)In]题针对一类普遍存在的输入限制构造出了含有一个待定参数的控制律的通用公式。

三、CLF 在非线性系统设计中的应用

十多年来，关于CLF 的研究受到了普遍的重视，大量的研究结果充分揭示出CLF 在非

线性系统设计中极为广阔的应用前景．纵观其研究过程，我们发现其核心思想是：根据所研

究问题本身的特点及其性质要求，寻求控制Lyapunov 函数应具有的某种正刚性条件，以刻

画出非线性系统设计中各类性质的Lyapunov 特征．正因如此，才衍生出下面将提到的输入

状态稳定CLF(ISS ．CLF)，积分输入状态稳定CLF(IISS —CLF)，鲁棒CLF(RCLF)，干扰抑

制CLF(DACLF)以及自适应CLF(ACLF)等等．对控制系统而言，稳定性无疑是最重要的性

质，而镇定问题则与稳定性密切相关．与经典Lyaplulov 理论类似，CLF 在非线性控制系统

分析和设计中的应用也是从其镇定的作用的研究开始的．

1．稳定性概念的拓广

以Sontag 为代表的一批学者对CLF 及其应用进行了深入而系统的研究，其工作是与对

稳定性概念的推广和“活化”紧密联系在一起的。作为微分方程理论中的全局渐近稳定性

(Globally Asymptotic Stability ，简记为GAS)的自然推广，Sontag 提出了输入状态 定性(Input-to —State Stability ，简记为ISS)。

定义3.1系统(1.1)称为是ISS ，若存在β∈KL 和，∞∈k γ，使得对Vt ≥0，

Vxo ∈R n

”和e l u ,∞∈?，恒有

|x(t,,0x u)|||)(||)|,(|0t u t x γβ+≤ (6)

其中e l ,∞表示本性有界的可测函数u ：R m R →+构成的集合，t u 是在t 时刻的截断函数．

2．非线性控制系统的镇定

Sontag 为CLF 的应用，尤其是在非线性系统镇定研究中的应用提供了一种系统化的方法，因而具有非常重要的意义．一般来说，当))(,(x u x V ?

为负定的，sontag 给出了一种“通用公式”，根据CLF 的导数和系统的有关信息，直接导出必要的控制律．具体地讲，假若系统具有(2)的形式，且m R u =，那么使得相应的闭环系统全局渐近稳定的反馈控制律可由))(),(()(x b x a K x b u T =给出，其中)()(x v l x a f =函数K ：R R R m →?定义为

??

???++-=0||||||||),(242b b a a b a K 00=≠b b (7)

若f ，g 是光滑的，则上述控制律在}0{\n R 上是光滑的．此外，若V 满足小控制性，即满足Artstein —Sontag 定理中的条件(ii)，则该控制律在0点处是连续的。

三、具有结构不确定的非线性系统的鲁棒镇定

Freeman 将CLF 推广到具有干扰的系统，提出鲁棒控制lyapunov 函数（RCLF ）的概念，并用之于非线性系统的设计，获得了若系统存在RCLF 等价于它可鲁棒镇定的结论。

考虑具有结构不确定的多输入非线性系统

2

212211332

313211222

1112213211)()(2)()(2)()(1u x u x x x x x x u x u x x x x x x u e x u x x x x x x x x -++--=+-++-=++-+=???σσσσσσ (8) 其中，232221)()(x x x x +≤???

? ??σσ 取V （x ）=)(5.0232221x x x ++ 3322)(x x x N +=

由于??????????--=322122)(x x x x f ?????????

?-=2233

111)(x x x x e x x x g x ????

??????--=11)(1123x x x x x e

则 31

2322)(2)(x x x x v l f ++-= ),()(32x x x v l e =， (9) 且 B （x ）=0, )()(20,00232223221x x x x x x x +-<+-?≠=?≠

即B （x ）=0, )()()(0x N x c x v l x f -

所以V （x ）为系统的RCLF.

选取设计参数412322)(5.0)(x x x x ++=α，那么当B （x ）=0.0≠x ,则

)()()()(x x N x v l x v l e f α-<+ (10)

由于 )(5.0)(232231411x x x x x +-+=α， )()(2x B x =α

则控制规律为

???

????++-+-=0)1()1))((5.0(221232231413x T

x e x e x x x x u 2/)(2/)(2322314123223141x x x x x x x x +≥++>+ (11) 图1，图2显示初值为x(0)=()T 51016,且取121sin )(x x x =σ 232cos )(x x x =σ时，4.15,4.16所构成闭环系统的轨线x(t),及控制规律u （t ）,仿真验证定理4.2的结果，对

,)0(3

R x ∈? )(1x σ?，)(2x σ 满足232221)()(x x x x +≤???? ??σσ具有相似的仿真结果。

图1闭环系统的状态轨线x(t)

图2：闭环系统的控制率u(t)

结构不确定的非线性系统鲁棒镇定问题，基于RCLF，给出一个函数为RCLF函数的等价条件，进而获得该类系统可鲁棒稳定，可鲁棒实用稳定、可鲁棒渐近稳定的充分条件，并构造了与之相应的逐点最小范数的连续状态反馈控制律．仿真实例说明了所采用方法的有效性．

四、小结

本文首先介绍了非线性系统控制lyapunov函数的概念，性质及在非线性系统中的应用，

充分揭示了这一工具所蕴含的研究价值然后利用系统的鲁棒CLF，研究了一类含有未知参数及扰动的不确定系统的自适应稳定与自适应跟踪问题利用鲁棒CLF设计方法及参数映射技术，针对这两种情况，分别建立了使系统自适应稳定的充分条件，并设计出使系统自适应稳定的反馈控制律。

参考文献

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