证券组合投资的可行域

（一）两种证券投资组合曲线

对于两种证券的组合，它们之间相关系数为10≤≤AB ρ，几种极端的相关系数的预期收益率曲线为：

A r

B r B ρAB =1

ρAB =-1

r A

·A

·B

0 r B

ρ

AB =0

图10—1：相关性与收益率

下面我们用一个例子讨论一下两种证券组合时，组合P 的预期收益率P μ和收益率标准差P σ之间有什么样的关系。

例：假设有两种风险证券A 和B ，它们的收益率标准差σ和预期收益率μ分别为（5%，6%）和（15%，12%），可在σ、μ坐标上标出A 、B 所在的位置。如果这两种证券的相关系数1=ρ

，则组合的预期收益和标准差分别为：

)()()(B B A A p r E x r E x r E +=

B A A A P x x σσσ)1(-+=

在投资比例0,0>>B A x x 时，B B A A P x x σσσ?+?=，组合的风险是两种证券风险的线性和。投资比例0,1<>B A x x 时，组合卖空证券B ，用自有资金和卖空所得投入证券A ，小风险小收益。根据前面两种证券组合的讨论可知，在

A

B A

A B A B B A x x x σσσσσσ--=

-=-=

1 ,时，有零风险组合。 投资比例1,0>

作图如下：

所以，两种完全正相关的风险证券进行组合时，组合的预期收益与风险的平面图形只能是一条直线，这种组合后可能的预期收益率与标准差的点的轨迹称为组合的可行域。由此类推，几种极端相关状态下的投资组合可行域为：

a b P P P a:1=AB ρ b:0=AB ρ c:1-=AB ρ

图10-2：两种证券的收益风险坐标曲线

a,b,c 三图中的实线部分表示非卖空状态的组合可行集，虚线部分表示卖空状态下的可行集，a, c 两图表明，存在零风险组合，b 图存在最低风险组合。较常见的两证券组合可行集图。

图10-3：一般情形的两种证券组合曲线(不同的相关系数下) 不卖空情况下的可行集，讨论几种关系。折线AFB 表示证券A 与证券B 相关系数为-1时的情形，直线AB 为完全正相关时的情形，三角形内的曲线表示两种证券即不完全正相关，也不完全负相关时的情形，即一般的情形的收益风险关系，可以看出，它们有最小风险组合。

（二）多种证券组合的可行域

以三种证券为例，不允许卖空和允许卖空的可行域分别为实线围成区域a 和虚线包含的区域b ：

图10-4：多种证券的可行域

图10—4的a区域，由A、B、C三种证券组合而成，如图中的G点，是A 和C组合D再与B组合而成。可行域内的任一组合都是可行组合。在允许卖空的情况下，A、B、C三种证券的组合可行域是曲线L环成的无限区域b，该无

讨论：为什么可行域的形状不能是下凹的？

（三）有效组合和有效边界

有效组合原则为：1、在各种风险条件下，提供最大预期收益率；2、在各种预期收益率的水平条件下，提供最小的风险。（同时满足这两个条件的组合为有效组合，有效组合并不唯一）

利用图10-4，我们来解释一下有效边界的定义。图中M点表示所有可行组合中风险最小组合的点。曲线MA及往外延长的虚线（卖空部分）称可行域的上边界。曲线MC及往外延长的虚线（卖空部分）称可行域的下边界。作平行线EF，可看出E点和F点的预期收益相等，但F点的标准差（风险）要大于E点，相对E点，F点表示的组合肯定不是有效组合。再作垂直线EH，E点与H点风险相等，预期收益率H点低，所以H点表示的组合不能是有效组合。而E点同时满足有效组合的二条原则，E点代表的组合为有效组合。

可以验证，上边界所有的点代表的组合均为有效组合。我们称有效组合的集合为有效边界。在多种风险证券组合中，可行域的上边界即为有效边界。在有效边界上的所有组合均为有效组合。

说明：有效组合不是唯一的，且有效组合并不等于最大收益组合。

进一步讨论：在不可卖空区域a中，左边的边界是所有预期收益率水平下风险最小的，所以右边界上的点不可能是有效组合，左边界满足有效组合原则2；上边界是所有风险水平中预期收益最高的组合集，故下边界上的点不可能是有效组合，上边界满足有效原则1，且同时满足有效原则2，所以上边界是有效边界。