高等代数(北大版)第9章习题参考答案

第九章 欧氏空间

1.设()ij a =A 是一个n 阶正定矩阵,而

),,,(21n x x x =α, ),,,(21n y y y =β,

在n R 中定义内积βαβα'A =),(,

1)

证明在这个定义之下, n R 成一欧氏空间；

2)

求单位向量

)0,,0,1(1 =ε, )0,,1,0(2 =ε, … , )1,,0,0( =n ε，

的度量矩阵；

3)

具体写出这个空间中的柯西—布湿柯夫斯基不等式。

解 1)易见

βαβα'A =),(是n R 上的一个二元实函数，且

(1) ),()(),(αβαβαββαβαβα='A ='A '=''A ='A =，

(2) ),()()(),(αβαββαβαk k k k ='A ='A =，

(3) ),(),()(),(γβγαγβγαγβαγβα+='A '+'A ='A +=+，

(4) ∑='A =j

i j i ij y x a ,),(αααα，

由于A 是正定矩阵，因此∑j

i j i ij y x a ,是正定而次型，从而0),(≥αα，且仅当0=α时有0),(=αα。

2)设单位向量

)0,,0,1(1 =ε, )0,,1,0(2 =ε, … , )1,,0,0( =n ε，

的度量矩阵为)(ij b B =，则

)0,1,,0(),()( i j i ij b ==εε??????? ??nn n n n n a a a a a a

a a a

2

1

22222

11211

)(010j ?

?

??

?

?

?

?

?? =ij a ，),,2,1,(n j i =， 因此有B A =。

4)

由定义，知

∑=j

i j

i ij y x a ,),(βα

，

α==

β==

故柯西—布湿柯夫斯基不等式为

2.在4R 中,求βα,之间><βα,(内积按

通常定义)，设:

1) )2,3,1,2(=α, )1,2,2,1(-=β，

2) )3,2,2,1(=α, )1,5,1,3(-=β，

3) )2,1,1,1(=α, )0,1,2,3(-=β。

解 1)由定义,得

012)1(32112),(=?+-+?+?=βα，

所以

2,π

βα>=

<。

,,ij i j

ij

i j

i j

i j

a x y

a

y y ≤

∑

2)因为

1813521231),(=?+?+?+?=βα，

1833222211),(=?+?+?+?=βα，

3633221133),(=?+?+?+?=βα，

2236

1818,cos =

>=

<βα，

所以

4,π

βα>=

<。

3)同理可得

3),(=βα, 17),(=αα, 3),(=ββ, 773

,cos >=

<βα，

所以

773cos ,1

->=<βα。

3. βαβα-=),(d 通常为βα,的距离，证明；

),(),(),(γββαβαd d d +≤。

证 由距离的定义及三角不等式可得

)()(),(γββαγαβα-+-=-=d

γββα-+-≤

),(),(γββαd d +=。

4在R 4中求一单位向量与()()()3,1,1,2,1,1,1,1,1,1,1,1---正交。

解 设()4321,,,x x x x =α与三个已知向量分别正交，得方程组

???

??=+++=+--=+-+0

32004321

43214321x x x x x x x x x x x x ， 因为方程组的系数矩阵A 的秩为3，所以可令

x 3,0,414213-===?=x x x ，即()3,1,0,4-=α。

再将其单位化，则

()3,1,0,426

1

1-=

=

αηa ，

即为所求。

5．设n ααα ,,21是欧氏空间V 的一组基，证明：

1） 如果V ∈γ使()(),,,2,10,n i i ==αγ，那么0=γ。

2） 如果V

∈21,γγ使对任一V ∈α有()()αγαγ,,21=，那么21γγ=。

证 1)因为n ααα ,,21为欧氏空间V 的一组基，且对V ∈γ，有

()()n i ,,2,10, =αγ ，

所以可设n n k k k αααγ ++=2211，

且有

()()

()()()

n n n n k k k k k k αγαγαγαααγγγ,,,,,22112211+++=+++=

即证0=γ。

2)由题设，对任一V ∈α总有()()αγαγ,211

=，特别对基i α也有

()()i i αγαγ

,211

=，或者()()n i i ,,2,10,21 ==-αγγ，

再由1)可得021=-γγ，即证21γγ=。

6设3,2,1εεε是三维欧氏空间中一组标准正交基，证明：

()()()

321332123211223

1

2231

2231

εεεαεεεαεεεα--=+-=-+=

也是一组标准正交基。

证 因为

()()3213212122,2291,εεεεεεαα+--+=

()()()[]3322112,,22,29

1

εεεεεε-+-+=

[]0)2()2(49

1=-+-+=，

同理可得

()()0,,3231==αααα，

另一方面

()()3213211122,2291

,εεεεεεαα-+-+=

()()()[]332211,,4,49

1

εεεεεε--++=

1)144(9

1

=++=， 同理可得

()()1,,3322==αααα，

即证321,,ααα也是三维欧氏空间中的一组标准正交基。

7.设54321,,,,εεεεε也是五维欧氏V 空间中的一组标准正交基,

()3221,,αααL V =，其中

511εεα+= , 4212εεεα+-= , 32132εεεα++=，

求1V 的一组标准正交基。

解 首先证明321,,ααα线性无关.事实上，由

???????

? ??-=001010100

110

21

1),,,,(),,(54321321εεεεεααα，

其中 ?????

??

?

??-=00101010

011

0211A 的秩为3，所以321,,ααα线性无关。 将正交化，可得

5111εεαβ+==，

=-

=),(),(112222βββααβ5

42121

21εεεε-+-，

单位化，有

)(2

2

511εεη+=

， )22(10

10

54212εεεεη-+-=

， )(2

153213εεεεη-++=，

则321,,ηηη为1V 的标准正交基。

8. 求齐次线性方程组

??

?=+-+=-+-+0

32532154321x x x x x x x x x 的解空间(作为5R 的子空间)的一组标准正交基。

解 由

??

?+--=+--=-3

2153

215423x x x x x x x x x 可得基础解系为

)1,5,0,0,1(1--=α，)1,4,0,1,0(2--=α，)1,4,1,0,0(3=α，

它就是所求解空间的一组基。将其正交化，可得

)1,5,0,0,1(11--==αβ，

)

2,1,0,9,7(9

1

),(),(1111222---=-

=ββββααβ，

)2,1,15,6,7(15

1

),(),(),(),(222231111333=--

=ββββαββββααβ，

再将321,,βββ单位化,可得

)1,5,0,0,1(3

311--=

η，)2,1,0,9,7(15

312---=

η，)2,1,15,6,7(35

313=

η，

则321,,ηηη就是所求解空间的一组标准正交基。

9.在R[X]4中定义内积为(f,g)=?-dx x g x f )()(11 求R[X]4的一组标准正交基(由基1.32,,χχχ出发作正交化)。

解 取R[X]4的一组基为,,,,1342321x x x ====αααα将其正交化,可得

111==αβ，

x =-

=1111222)

,()

,(ββββααβ，其中(?=?=-01),1112dx x βα，又因为

?=

==-3

2),(),(21

12213dx x βββα， ?=?=-211),(1111dx ββ， ?=?=-0),(21

123xdx x βα，

所以3

1

),(),(),(),(2222231111333-=--

=x ββββαββββααβ，

同理可得x x 5

3

),(),(),(),(),(),(333334222241111444-=---

=ββββαββββαββββααβ，

再将4321,,,ββββ单位化，即得2

2

1

11

1=

=

ββη，

x

26

1

22

2=

=

ββη，)13(41023-=x η，)35(41434x x -=η， 则4321,,,ηηηη即为所求的一组标准正交基。

10.设V 是一n 维欧氏空间,0≠α是V 中一固定向量,

1)证明:V },0),(|{1V x a x x ∈==是V 的一个子空间；

2)证明:V 1的维数等于n-1。

证 1)由于0,01V ∈因而V 1非空.下面证明V 1对两种运算封闭.事实上,任取,,121V x x ∈

则有 (0),(),21==ααx x ，于是又有(0)()(),2121=+++=+αααx x x x ，

所以121x x V +∈。另一方面，也有 (0),(),11==ααx k kx ， 即11kx V ∈。故V 1是V 的一个子空间。

2)因为0≠α是线性无关的，可将其扩充为V 的一组正交基2,,n αηη，且(0),=αηi (),3,2n i =，1(2,3,)i V i n η∈=。下面只要证明:对任意的

ββ,1V ∈可以由n ηηη ,,32线性表出，则1V 的维数就是1-n 。

事实上，对任意的1V ∈β，都有V ∈β，于是有线性关系

n

n k k k ηηαβ+++= 221，且

),(),(),(),(221αηαηαααβn n k k k +++= ，

但有假设知 ),,2,1(0),(),(n i i ===αηαβ，

所以0),(1=ααk ，又因为0≠α，故01=k ，从而有n n k k ηηβ++= 22，

再由β的任意性，即证。

11．1）证明：欧氏空间中不同基的度量矩阵是合同的。

2）利用上述结果证明：任一欧氏空间都存在标准正交基。

证：1）设n ααα,,,21 与n βββ,,,21 是欧氏空间V 的两组不同基，它们对应的度量矩阵分别是)(ij a A =和)(ij b B =，另外，设n ααα,,,21 到

n βββ,,,21 的过渡矩阵为)(ij c C =，即???

??+++=+++=n nn n n n n n c c c c c c α

ααβαααβ 221112121111 ，

),(),(1111n nj j n ni i j i ij c c c c b ααααββ++++==

=∑=++n

k n nj j k ki c c c 1

11),(ααα

=∑∑==n k n

s s k sj ki c c 11

),(αα

=∑∑==n k n

s ks si ki c c 11

α，

另一方面,令

)(),(''ij ij e DC AC C d A C D ====，

则D 的元素为

∑==n

k ks ki is c d 1

α，

故AC C '的元素

∑∑∑=======n s n

n ij sj ks ki n s sj is ij n j i b c c c d e 1

1

1

),2,1,()( α，

即证B AC C ='。再由,,,,;,,,2121n n βββααα 皆为V 的基，所以C 非退化，从而B 与A 合同。

2）在欧氏空间V 中，任取一组基n ααα,,,21 ，它的度量矩阵为),(ij a A =其中(,)ij i j ααα=，且度量矩阵A 是正定的，又因为正定矩阵与单位矩

阵合同，即AC C E '=。于是只要

C n n ),,,(),,,(2121αααβββ =，

则由上面1）可知基n βββ,,,21 的度量矩阵为E ，这就是说，

n βββ,,,21 就是所求的标准正交基。

12．设n ααα,,,21 是n 维欧氏空间V 中的一组向量，而

1112121

22212(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)

(,)m m m m m m αααααααααααααααααα??

?

?

?= ?

?

??

证明：当且仅当0?≠时m ααα,,21 线性无关。

证 设有线性关系

02211=+++m m k k k ααα ，

将其分别与i α取内积，可得方程组

),,2,1(0),(),(),(2211m i k k k m i m i i ==+++αααααα，

由于上述方程组仅有零解的充要条件是系数行列式不等于0，即证。

13．证明：上三角的正交矩阵必为对角矩阵，且对角线上元素为+1或-1。

证 设

????

??

?

?

?=nn n n a a a a q a A 222

11211为上三角矩阵，则???????

??=-nn n n b b b b b b A 222112111也是上三角矩阵。由于A 是正交阵，所以'1A A =-，即

???

??

?

? ??=???????

??=nn n n nn n

n

b b b b b b a a a a a a A 22211211212212

11

， 所以)(0j i a ij ≠=，因而

????

??

?

?

?=nn a a a A

22

11

为对角阵。再由,'E A A =知12=ii a ，即证1=ii a 或-1。

14．1）设A 为一个n 阶矩阵，且0≠A ，证明A 可以分解成

A=QT ，

其中Q 是正交矩阵，T 是一上三角矩阵

?????

?

? ??=nn n n t t t t t t T 22211211， 且),2,1(0n i t ii =>，并证明这个分解是唯一的；

2)设A 是n 阶正交矩阵，证明存在一上三角矩阵T ，使

T T A '=。

证 1)设A 的n 个列向量是,.,21n a a a 由于0A ≠，因此n a a a ,,,21 是线性无关的。从而它们也是V 的一组基，将其正交单位化，可得一组标准正交基为

?????

?

??

???

+

---=+-==--n n n n n n n n αβηβηαηβηαηαβηαβηααη1

),(),(1),(11111122

122211

1 ， 其中

??

????

?

---=-==--1

111

122211),(),(),(n n n n n n ηηαηααβηηααβαβ ， ??

????

?+++=+==n

nn n n n t t t t t t ηηηαηηαηα 22112

2211221111， 其中),,2,1(0n i t i ii =>=β。即

???

?

?

?

?

??==nn n n n n t t t t t t A 222112112121),,,(),,(ηηηααα， 令???

?

?

??=nn n t t t T 111，则T 是上三角矩阵,且主对角线元素0>ii t 。 另一方面，由于i η是n 维列向量，不妨记为

),2,1(21n i b b b ni i i i =????

??

?

??=η，

且令

),,,(211111n nn n n b b b b Q ηηη =???

?

? ??=，

则有QT A =,由于n ηηη,,,21 是一组标准正交基，故Q 是正交矩阵。

再证唯一性，设QT T Q A ==11是两种分解，其中1,Q Q 是正交矩阵，1,T T 是主对角线元素大于零的上三角阵，则1111--=T T Q Q ，由于

111

1,--T T Q Q 从而是正交矩阵也是正交矩阵,且11-T T 为上三角阵，因此,

11-T T 是主对角线元为1或-1的对角阵，但是1T T 与的主对角线元大于

零，所以11-T T 的主对角线元只能是1，故E T T =-11，即证T T =1。进而有1Q Q =,从而分解是唯一的。

2)因为A 是正定的，所以A 与E 合同，即存在可逆阵C 使C C A '=,再由1)知QT C =,其中Q 是正交矩阵T 为三角阵，所以T T QT Q T A '''==。

15.设η是欧氏空间中一单位向量，定义ηαηαα),(2-=A ，

证明:1)A 是正交变换,这样的正交变换称为镜面反射；

2) A 是第二类的；

3)如果n 维欧氏空间中正交变换A 以1作为一个特征值,且属于特征值1的特征子空间1V 的维数为1-n ，那么A 是镜面反射。

证:1)βα,?,有:ηβαηβαβα),(2)(212121k k k k k k A +-+=+

βαηβηηαηβαA k A k k k k k 212121),(2),(2+=--+=，

所以A 是线性变换。

又因为 ]),(2,),(2[),(ηβηβηαηαβα--=A A

),)(,)(,(4),)(,(2),)(,(2),(ηηβηαηβηαηβηαηβα+--=，

注意到1),(=ηη，故),(),(βαβα=A A ,此即A 是正交变换。

2)由于η是单位向量，将它扩充成欧氏空间的一组标准正交基

n εεη,,,2 ,则

??

?==-=-=-=),,3,2(),(2),(2n i A A i i i i

εηεηεεη

ηηηηη， 即 ????

?

?

?

??-=111),,,(),,,(22

n n A εεηεεη， 所以A 是第二类的。