四种命题间的相互关系

【课标要求】

1.了解“若p，则q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题.

2.能够把一个“若p，则q”形式的命题熟练地写出其逆命题、否命题和逆否命题.

3.掌握四种命题之间的关系及真假性之间的联系，会利用命题的等价性解决问题.

自主学习基础认识

|新知预习|

1．四种命题的概念

(1)互逆命题：一个命题的条件和结论分别是另一个命题的，这样的两个命题叫做互逆命题，把其中一个命题叫做原命题，另一个命题叫做原命题的．

结论和条件

逆命题

(2)互否命题：一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定，这样的两个命题叫做互否命题，把其

中的一个命题叫做原命题，另一个命题叫做原命题的．

(3)互为逆否命题：一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定，这样的两个命题叫做互为逆否命题，把其中的一个命题叫做原命题，另一个命题叫做原命题的．

否命题逆否命题

2．四种命题的相互关系

|自我尝试|

1．判断下列各题．(对的打“√”，错的打“×”)

(1)一个命题的否命题和逆命题有相同的真假性()

(2)原命题与逆命题之间的真假性没有关系()

|自我尝试|

1．判断下列各题．(对的打“√”，错的打“×”)

(1)一个命题的否命题和逆命题有相同的真假性()

(2)原命题与逆命题之间的真假性没有关系()

答案：(1)√(2)√

2．命题“若m＝10，则m2＝100”与其逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，真命题是()

A．原命题、否命题B．原命题、逆命题

C．原命题、逆否命题D．逆命题、否命题

2．命题“若m＝10，则m2＝100”与其逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，真命题是()

A．原命题、否命题B．原命题、逆命题

C．原命题、逆否命题D．逆命题、否命题

解析：因为原命题是真命题，所以逆否命题也是真命题．答案：C

3．已知a，b，c∈R，命题“若a＋b＋c＝3，则a2＋b2＋c2≥3”的否命题是()

A．若a＋b＋c≠3，则a2＋b2＋c2<3

B．若a＋b＋c＝3，则a2＋b2＋c2<3

C．若a＋b＋c≠3，则a2＋b2＋c2≥3

D．若a2＋b2＋c2≥3，则a＋b＋c＝3

3．已知a，b，c∈R，命题“若a＋b＋c＝3，则a2＋b2＋c2≥3”的否命题是()

A．若a＋b＋c≠3，则a2＋b2＋c2<3

B．若a＋b＋c＝3，则a2＋b2＋c2<3

C．若a＋b＋c≠3，则a2＋b2＋c2≥3

D．若a2＋b2＋c2≥3，则a＋b＋c＝3

解析：a＋b＋c＝3的否定是a＋b＋c≠3，a2＋b2＋c2≥3的否定是a2＋b2＋c2<3.

答案：A

4．设m∈R，命题“若m>0，则方程x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题是()

A．若方程x2＋x－m＝0有实根，则m>0

B．若方程x2＋x－m＝0有实根，则m≤0

C．若方程x2＋x－m＝0没有实根，则m>0

D．若方程x2＋x－m＝0没有实根，则m≤0

解析：由原命题和逆否命题的关系可知原命题为“若p，则q”，则其逆否命题为“若?q，则?p”．

答案：D

5．命题“若a>1，则a>0”的逆命题是________，逆否命题是________．

解析：逆命题：变换题设与结论

逆否命题：先求逆命题，再否定．

答案：若a>0，则a>1，若a≤0，则a≤1

课堂探究互动讲练

类型一四种命题的概念

[例1]写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题．

(1)垂直于同一平面的两直线平行；

(2)若m·n<0，则方程mx2－x＋n＝0有实数根．

【解析】(1)逆命题：如果两条直线平行，那么这两条直线垂直于同一个平面．

否命题：如果两条直线不垂直于同一平面，那么这两条直线不平行．

逆否命题：如果两条直线不平行，那么这两条直线不垂直于同一平面．

(2)逆命题：若方程mx2－x＋n＝0有实数根，则m·n<0.

否命题：若m·n≥0，则方程mx2－x＋n＝0没有实数根．

逆否命题：若方程mx2－x＋n＝0没有实数根，则m·n≥0.

方法归纳

写出一个命题的其他三种命题的步骤

(1)分析命题的条件和结论；

(2)将命题写成“若p，则q”的形式；

(3)根据逆命题、否命题、逆否命题各自的结构形式写出这三种命题.

跟踪训练1写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题．

(1)无理数的平方是有理数；

(2)当x2＋x－6＝0时，x＝2或x＝－3.

解析：(1)改写成“若一个数是无理数，则它的平方是有理数”．

逆命题：若一个数的平方是有理数，则它是无理数．

否命题：若一个数不是无理数，则它的平方不是有理数．

逆否命题：若一个数的平方不是有理数，则它不是无理数．

(2)逆命题：若x＝2或x＝－3，则x2＋x－6＝0.

否命题：若x2＋x－6≠0，则x≠2且x≠－3.

逆否命题：若x≠2且x≠－3，则x2＋x－6≠0.