小学六年级奥数专题大全
第一讲 计数原理
知识纵横：
如果完成一件事情，有几类不同的方法，而且每类方法中又有几种可能的方法，那么求完成这件事 的方法总数，即各
类方法的总和，就是我们要掌握的加法原理。
加法原理：完成某件事情，如果有几类方法，而在第一类方法中有
m 1种方法，第二类方法中有
方法??第 n 类有 m n 种，那么完成这件事的方法总数可以表示为
m 1+ m 2+ m 3+? +m n 。
完成一件事，需要分几个步骤来完成，而完成每步又有几种不同的方法，要求完成这件事的方法的 总数，应当将
各步骤方法总数相乘，这就是我们应掌握的乘法原理。
乘法原理：完成一件事需要分成几个步骤，第一步有
m 1 种方法，第二步有 m 2 种方法，第三步有
种方法??第 n 步有 m n 种方法，那么完成这件事共有 m 1× m 2× m 3×?× m n 种不同的方法。 例题求解：
【例 1】 10 个人进行乒乓球比赛，每两个人之间比赛一场，问：一共要比赛多少场？
例 2】一天有 6 节不同的课，这一天的课表有多少种排法？
例 3】 1000 至 1999 这些自然数中，个位数大于百位数的有多少个？
例 4】 4 只鸟飞入 4 个不同的笼子里，每只小鸟都有自己的一个笼子（不同的鸟，笼子也不同） 每个笼子只能进一只
鸟。若都不飞进自己的笼子里去，有 种不同的飞法。
例 5】 如果组成三位数 abc 的三个数字 a ， b ，c 中，有一个数字是另外两个数字的乘积，则称它为 特殊数”。在所有的三位数中，共有 个“特殊数” 。
m 2种
m 3
1、2、3、4 的长方形，使任何相邻的
【例6】如下图所示，用红、绿、蓝、黄四种颜色，涂编号为
两个长方形的颜色都不相同，一共有多少种不同的涂法？
基础夯实
1、一件工作可以用3 种方法完成，有5 人会用第1 种方法完成，有4 人会用第2 种方法完成，有6 人会用第3 种方法完成。选出一个人来完成这项工作共有多少种选法？
2、一件工序可以分3 步方法完成，有5人会做第1步，有4人会做第2步，有6人会做第3 步，每个人只会做一步。选出三个人来完成这组工序共有多少种选法？
3、用1、2、3、
4、5 这五个数字组成的不含重复数字的四位数有多少个？其中有多少个偶数？
4、有20 个队参加篮球比赛，比赛先分三组，第一组7个队，第二组6个队，第三组7 个队，每组先
进行单循环赛，然后由每小组的前两名共6 个队，再进行单循环赛，决出冠亚军。问：共需要比赛多少场？
5、7个人并排站成一排，如果甲必须站在中间，有多少种排法？如甲、乙两人必须站在两端，有多少种排法？
6、某信号兵用红、黄、蓝三面旗子从上到下挂在竖直的旗杆上表示信号，每次可以任挂一面、二面
或三面，并且不同的顺序表示不同的信号，一共可以表示多少种不同的信号？
7、四位数2336、2445、2782、2116等有一些共同的特征，每个数都以 2 开头，并且恰好每个数中只有两个相同的数字，求这样的四位数一共有多少个？
综合创新：
8、如下图，一共有九个点，相邻两个点之间的距离为 1 厘米，求用这九个点一共可以组成多少个三
角形？
第二讲抽屉原理
知识纵横：
抽屉原理：有m件物体，放进n 个抽屉里去。如果物体比抽屉多（即m大于n），那么必有一个抽屉要放进两件或两件以上的物体。
例题求解：
【例1】把10个苹果摆到9 个盘子里，不管怎么摆，一定有一个盘子里至少有__________________ 个苹果。
有4 个同学练习投篮，一共投进30 个球，一定有一个人至少投进了几个球？
【例2】有5 个小朋友，每人都从装有许多黑白围棋子的布袋中任意摸出 3 枚棋子。请问，这5 个人
中至少有几个小朋友摸出的棋子的颜色的配组是一样的？
例3】一副扑克牌（去掉两张王），每人随意摸两张牌，至少有多少人才能保证他们当中一定有两人
所摸两张牌花色情况是相同的？
例4】从2，4，6，?30这15 个偶数中，任取9个数，证明：其中一定有两个数之和是34.
【例5】用红、蓝两种颜色将一个3× 9 的矩形中的小方格随意涂色，证明：必有两列，他们的小方格中涂的颜色完全相同。
例6】学校图书馆里有A、B、C、D四类书，规定每个同学最我可以借2本书，在借书的85 名同学中，可以保证至少几个人所借书的类型是完全一样的？
【例7】问在1，3，5，7??97，99 这50个奇数中，最多能取出多少个数，使其中任何一个数都不是另一个数的倍数。
基础夯实
1、6只小鸡飞进5 个鸟笼里，不管怎么飞，一定有一个笼子里至少飞进了（、三名同学到图书馆借书，他们共借了7 本书，那么一定有一个同学至少借了（、一位同学一星期读完了一本80 页的故事书，那么他一定有一天至少读了（、某小学有367 个同学，那么一定有两人的生日是同一天，为什么？、有13 个学生，其中至少有两个人在同一个月内过生日，为什么？、棕、蓝、绿、橙四种颜色的小球各10 个，混合放在一个布袋里，一次摸出小球）只小鸟。
）本书。
）页。
5 个，其中至少有
几个小球的颜色是相同的？
7 、小朋友帮助幼儿园的阿姨搬运兔、狗、长颈鹿三种塑料玩具，每个小朋友从中任意选择两件，那么，至少要有几个小朋友才能保证总有两人选择的玩具相同？
8 、一副扑克牌有4 种花色，每种花色有13 张，从中任意抽牌，问最少要抽多少张牌，才能保证有4 张牌是同一花色的？
9、有19 个同学参加了生物组、音乐组、美术组等课外活动，每人可参加一个组，两个组或三个组，这些同学中至少有几个同学参加了相同的组？
10 、从10到20这11 上自然数中，任取7个数，证明：其中一定有两个数之和是29.
拓展延伸：用红、黄两种颜色将一个2× 5 的矩形中的小方格，随意涂色，每个方格涂一种颜色。证明：必有两列，他们的
小方格中涂的颜色完全相同。
第三讲容斥原理
知识纵横：
容斥原理：当两个计数部分有重复时，为了不重复计数，应从它们的和中减去重复部分，这种计数方法叫做容斥原理，也叫包含与排除。
例题求解：
【例1】、在1～2003的自然数中，能被2 整除或能被5整除的数共有多少个？
例2】、在1～500中，不能被2 整除，也不能被3整除，又不能被7 整除的数有多少个？
【例3】、六年级的160 名学生参加期末考试，其中数学得满分的有58名，语文得满分的有53 分，英语得满分的有59名，数学、语文都得满分的有17 名，数学、英语都得满分的有22名，语文、英语都得满分的有20 名，数学、语文、英语都得满分的有10 名。问六年级三科考试都没有得满分的有多少名？
【例4】、如图所示，A、B、C 分别代表面积为12、28、16 的三张不同形状的纸片，它们放在一起盖住的面积为38，且A 与B，B与C，C与A 公共部分面积为8，7，6，求A、B、C三个图形公共部分的面积。
【例5】、星期日小丰骑自行车去同学A、B、C三家玩，他如果从A 出发经过
B到C，共行10千米，如果从B出发经C达A，共行13千米，如果从C出发经过A到达B，共行11千米。问：哪两个同学家之间的距离最短？最短的距离是多少千米？
【例 5】、如图，在长方形 ABCD 中， AD=15厘米， AB=8厘米，四边形 OEFG 的面积是 9平方厘米，求阴影部 分的总面积。
基础夯实
1、50 以内 5 的倍数和 7 的倍数的自然数共有多少个？
2、在 1 至 100 的全部自然数中，既不是 3 的倍数也不是 5 的倍数的数有多少？
3、在从 1 到 60 的整数中，能被 3 或 4或 5 整除的数有多少个？
4、四（一）班 50 个学生，每人至少参加了一个兴趣小组，其中
37 人参加科技组， 25 人参加美术组，求
同时参加两个兴趣小组的人数是多少？
5、六（一）班全体同学在期末测试中，语文、数学这两科至少有一门获得优秀，其中有
秀，有 32 人数学获得优秀，两科都获得优秀的学生有 17人。求该班学生的总人数。
6、六年级有 60人爱好数学， 50人爱好语文， 42人爱好体育， 30人既爱好数学又爱好语文， 20 人既爱好 语文又爱好体
育， 35 人既爱好优育又爱好数学，有 18 人则三方面都爱好，请问这个年级中数学、语文、 体育三个方面至少爱好一项的学生有多少名？
30 人语文获得优
7、五年级四班48 个学生中，每个人至少会骑自行车和游泳中的一项，平均每12 个人中有7 人会游泳，每4 个人中有一个人两样都会，并且每个人至少会一样，求会骑自行车的有多少人？
8、有一个数，除以3 余数是2，除以4 余数是1，问这个数除以12余数是几？
9、有50 名同学面向老师站成一行。老师让同学们从左到右依次按1、2、3、4、??的顺序报数，报完后，
让报数是4的倍数的同学向后转，接着又让报数是 6 的倍数的同学向后转，问此时还有多少名同学面向老
师？
第四讲推理与论证
知识纵横：
本专题主要涉及计算推理、列表推理来进行逻辑推理和用奇偶分析法、极端化思考来进行证明的一些方法。这类数学题似乎不像数学题，因为题目中有时没有数据和图形，只出现一些相互关联的条件，有时也不需要演算或作图来解决，但是讨论这些问题必须有条理清晰的思维和严谨的推理与证明方法，这种训练对提高我们的数学思维能力，形成良好的思维方式和意识，具有不可低估的作用。
例题求解：
【例1】、甲说：“乙和丙都说谎。”乙说：“甲和丙都说谎。”丙说：“甲和乙都说谎。”根据三人所说，下面四种说法中，哪一种说法是正确的。（1）三人都说谎；（2）三人都不说谎；
（3）三人中有一人且只有一人说谎；
（4）三人中有一人且只有一人不说谎。
【例2】、甲、乙、丙三名运动员囊括了全部比赛项目的前三名，他们的总分分别是：8、7和17 分，甲得
了一个第一名，已知各个比赛项目分数相同，且第一名得分不低于二、三名得分的和，那么比赛共有多少个赛项？甲的每项得分分别是多少？
【例3】、孙明、李冬和陈元是中学教师，在语文、数学、政治、地理、音乐和图画六门课中每人教两门，现在已知：
（1）政治老师和数学老师是邻居。
（2）陈元最年轻。
（3）李冬老师常对地理老师和数学老师说他爱看书、爱听音乐。
（4）地理老师比语文老师年纪大。（5）陈元、音乐老师和语文老师三人常一起看足球赛。
问：三位老师每人教哪两门？
【例4】、一本书的页码共需N个数字来表示。例如，一本书11页，页码1～11就需13 个数字表示，小冬统计了5 本书页码所用数字的个数，分别是109，157，1005，1995，2002，这5 个统计数据中的错误的数据是哪个数？
【例5】、6个人围成一圈，每人心里想一个数，并把这个数告诉左、右相邻的两个人。然后每个人把左、右两个相邻人告诉自己的数的平均数亮出来，如下图。问：亮出数11 的人原来心中想的数是多少？
基础夯实
1、某年的三月有五个星期一，四个星期二，这一年的四月一日是星期几？
2、A、B、C三人所读学校为甲校、乙校和丙校，分别爱好篮球、足球、排球。已知： A 不在甲校；B在乙校；爱好排球的不在丙校；爱好篮球的在甲校； B 不爱好篮球。问A 在什么学校？爱好什么？
3、A、B、C、D四支足球队进行单循环比赛，共要比赛多少场？规定：胜一场得2分，平一场得1 分，负
一场得0 分。全部比赛结束后，A、B 两队的总分并列第一名，C队第二名，D队第三名，C队最多得多少分？
4、某校由A、B、C三个班各出3 名选手比赛长跑。规定第一名得9分，以后每个名次得8、7、6、
5、4、
3、2、1 分。比赛结果，三个班总分相同，没有并列名次，也没有同一个班的学生得相连名次，如果第一名是C班，第二名是B 班，那么最后一名是哪个班的？
5、已知A、B、C、D、E、F、G、H、I、K代表十个互不相同的大于0 的自然数，要使下列等式都成立，A 最小是多少？
B+C=A D+E=B E+F=C G+H=D H+I=E I+K=F
6、平面上有99 条直线，这些直线最多有多少个交点？
7、能不能把54 个棋子放进十个盒子，并且每个盒子里的棋子数都不相同，如果能，怎么做？如果不能，为什么？（每个盒子都不能空）
8、如果某个月有5个星期天，并且有三个星期天都是在双号，那么这个月的18 日是星期几？
第五讲探究规律
知识纵横：
“探究给定事物中隐含的规律或变化趋势” 是小学数学新课标的具体目标。寻找和探索规律是人类认识世界的重要图径，找到规律并灵活利用规律不只在数学上，而且在人类社会的发展过程中都具有非常重要的意义。小学数学“探究规律”题大致有以下几类：
例题求解：
一、探索自然数间的某种规律
【例1】在下列横线上填上合适的数字，并说明理由：
（1）1，2，5，14，41，；
（2）3，4，6，8，9，16，18，19，36，，，。
试一试：按一定的规律排列的一列数依次为
，按此
规律排列下去，这列数中的第7 个数是。
二、探索算式所反映的规律
2 2 2 2
【例2】观察下列算式：52=25, 15 2=225, 25 2625, 35 2=1225,45 =2025,55 2=3025??通过观察猜想，852的是（）
A、4225 B 、5625 C 、7225 D 、9025
试一试：观察算式：1=12；
1+3=4=22；
2
1+3+5=9=32；
2
1+3+5+7=16=42；
2
1+3+5+7+9=25=52；
用式子表示这个规律（n 为不等于0 的自然数）
1+3+5+7+9+??+（2n-1 ）= 。
三、探索图形拼接的规律
【例3】如右图：是用火柴棍摆出的
一系列三角形图案，按这种方式
摆下去，当每边上摆n=5 根时，
需要的火柴棍总数为标。
试一试：如下图，下列几何体是由棱长为 1 的小立方体按一定规律在地面上摆成的，都涂上颜色（底面不涂色），则第4 个几何体中只有两个面涂色的小立方体共有若将露出的表面个
四、探索实际问题中隐含的规律
【例4】庆祝“六一”联欢会上，小明按照3个红气球、2 个黄气球、1 个绿气球的顺序把气球串起来装饰会场。你知道第20 个气球是什么颜色吗？
试一试：A,B,C,D,E,F,G 七盏灯各自装有一个拉线开关，开始B,D,F 亮着，一个小朋友从A到G，再从A 到G，再??的顺序依次拉开头，一共拉了2009 次，这时亮着的灯是。
基础夯实
1、有数组（1，1，1），（2，4，8），（3，9，27），?，求第100 组的三个数之和。
2、有一列数2，3，6，8，8，?从第三个数起，每个数都是前两个数乘积的个位数字，那么这一列数的第2002 个数应是几？
3、将1 到200 的自然数，分成A、B、C三组：A 组：1，6，7，12，13，18，?
B 组：2，5，8，11，14，17，? C
组：3，4，9，10，15，16，根据分组规律，请回答：
1）B 组中一共有（）个自然数；
2）A组中第24 个数是（）；
3）178 是（）组里的第（）个数。
4 、数列3，48，1，5，49，4，7，50，7，9，51，10，11，?的第2002 个数是多少？
5、500 个同学从前往后排成一列，按下面的规定报数：如果某个同学报的是一位数，后面的同学就要报出这个数与7的和，如果某个同学报的是两位数，后面的同学就要报出这个数的个位数与 4 的和。现在让第
一个同学报“ 1”，问最后一个同学报几？
第六讲概率
知识纵横：
概率：是表示事件发生可能性大小的数量，它产生于博弈，原来主要用于统计中，现在随着电脑的普及及运用，概率知识在生活中的运用越来越广泛，本讲主要是概率的初步识识，求概率的这类问题往往要借助于枚举和其他计数原理进行分类、计数，然后根据总数求出概率。
基础练习
1、抛掷两枚质地均匀的正方体骰子，骰子的六个面上分别刻有事件的是（）
（A）点数之和为12 （B）点数之和小于
（C）点数之和大于4 且小于8 （D）点数之和为
2 、下列说法正确的是（）
（A）可能性很小的事件在一次实验中一定不会发生
（B）可能性很小的事件在一次实验中一定发生
（C）可能性很小的事件在一次实验中有可能发生（D）不可能事件在一次实验中也可能发生3、下列事件中，概率是1 的是（）（A）太平洋中的水常年不干（B）男生比女生高
（C）计算机随机产生的两位数是偶数
（D）星期天是晴天
4、一只小鸟自由自在地在空中飞行，然后随意落在如图所示的某个方格中1 到6 的点数，下列事件中是不可能
3
13
（每个方格除颜色外完全一样），小鸟停在黑色方格中的概率是（）
B）A）
C）
5、一个均匀的立方体六个面上分别标有
D)
1、2、3、4、5、6，如图所示是这个立方体表面的展开图，
抛掷这个立方体，则朝上一面上的数恰好等于朝下一面上的数的 2 倍的概率是
B) A)