上海市大同中学2018届高三三模数学试题Word版含详细答案

2018年上海大同中学高三三模

第Ⅰ卷（共60分）

一、填空题（每题5分，满分60分，将答案填在答题纸上） 1.复数

122i

i

-+的虚部为 ． 2.

二项式4

x ?

- ?

的展开式中常数项为 ． 3.甲、乙两个袋子中均装有红、白两种颜色的小球，这些小球除颜色外完全相同，其中甲袋装有4个红球、2个白球，乙袋装有1个红球、5个白球.现分别从甲、乙两袋中各随机抽取1个球，则取出的两球颜色不同的概率为 ．（用分数作答） 4.过点()6,3M

-且和双曲线2222x y -=有相同的渐近线的双曲线方程为 ．

5.已知实数x 、y 满足1210x x y x y m ≥?

?

-+≤??+≤?

，若此不等式组所表示的平面区域形状为三角形，则m

的取值范围为 ．

6.设圆锥底面圆周上两点A 、B 间的距离为2，圆锥顶点到直线AB

AB 和圆

锥的轴的距离为1，则该圆锥的体积为 ． 7.等比数列

{}n a 的前n 项和为n S ，若对于任意的正整数k ，均有()lim k n k n a S S →∞

=-成立，则公比q = ．

8.三棱锥D ABC -及其三视图中的主视图和左视图如图所示，则棱BD 的长为 ．

9.将函数()sin

2y x ?=+的图象向左平移

4π个单位后得到得到函数图象关于点4,03π??

???

成中心对称，那么?的最小值为 ．

10.已知不等式20ln 0m m n n ????

-≥

? ?????

对任意正整数n 恒成立，则实数m 取值范围是 ．

11.若[]0,απ∈，,44ππβ??

∈-??

??

，R λ∈，满足：3

cos 202πααλ??---= ??

?

，

3

4sin cos 0βββλ

++=，则cos 2αβ??

+

???

的值为 ． 12.如图直角梯形ABCD 中，2AB BC ==，1CD =，//AB CD ，AD AB ⊥.点P 是直角梯形区域内任意一点，0PA

PB ≤.点P 所在区域的面积是 ．

二、选择题：本大题共4个小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

13.已知,a b R ∈，下列四个条件中，使“a b >”成立的必要而不充分的条件是（ ） A ．1a

b >- B ．1a b >+ C. a b > D ．22a b >

14. 设等差数列

{}n a 的前n 项和为n S ，且满足190S >，200S <，则

11S a 、22S a 、3

3

S a 、…、19

19

S a 中最大项为（ ） A ．

88S a B ．99S a C. 1010

S a D ．1111S

a

15.平面α外有两条直线m 和n ，如果m 和n 在平面α内的摄影分别是1m 和1n ，给出下列四个命题：①1

1m n m n ⊥?⊥；②11m n m n ⊥?⊥；③1m 与1n 相交?m 与n 相交或重

合；④1m 与1n 平行?m 与n 平行或重合；其中不正确的命题个数是（ ） A ．1 B ．2 C. 3 D ．4

16.如图，正ABC 的中心位于点()0,1G

，()0,2A ，动点P 从A 点出发沿

ABC 的边界

按逆时针方向运动，设旋转的角度()02AGP x

x π∠=≤≤，向量OP 在()1,0a =方向的

投影为y （O 为坐标原点），则y 关于x 的函数()y f x =

的图像是（ ）

三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 如图，四棱锥S ABCD -的底面是边长为1的菱形，60DAB ∠=?，SD 垂直于底面

ABCD ，SB =

（1）求四棱锥S ABCD -的体积；

（2）设棱SA 的中点为M ，求异面直线DM 与SB 所成角的大小. 18. 函数2x y

=和3y x =的图像的示意图如图所示，设两函数的图像交于点()11,A x y ，

()22,B x y ，且12x x <.

（1）设曲线1C ，2C 分别对应函数()y f x =和()y g x =，请指出图中曲线1C ，2C 对应

的函数解析式，若不等式()()0kf g x g x ??-

（2）若[]1,1x a a ∈

+，[]2,1x b b ∈+，且a 、b {}1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12∈，求a 、

b 的值.

19.已知1m >，直线l ：202m x my --=，椭圆C ：2221x y m

+=，1F 、2F 分别为椭圆C

的左、右焦点.

（1）当直线l 过右焦点2F 时，求直线l 的方程；

（2）设直线l 与椭圆C 交于A 、B 两点，12AF F ?、12BF F ?的重心分别为G 、

H .若原点O 在以线段GH 为直径的圆上，求实数m 的值.

20.如图一块长方形区域ABCD ，2AD =，1AB =，在边AD 的中点O 处有一个可转动的探照灯，其照射角EOF ∠始终为4

π

，设AOE α∠=，探照灯照射在长方形ABCD 内部区域的面积为S .

（1）当02

π

α≤≤

时，求S 关于α的函数关系式；

（2）当04

π

α≤≤

时，求S 的最大值；

（3）若探照灯每9分钟旋转“一个来回”（OE 自OA 转到OC ，再回到OA ，称“一个来回”，忽略OE 在OA 及OC 处所用的时间），且转动的角速度大小一定，设AB 边上有一点G ，且

6

AOG π

∠=

，求点G 在“一个来回”中被照到的时间.

21.设函数()()23232k k f x x k x k =-++?，x R ∈.

（1）若

()10f ≤，求实数k 的取值范围；

（2）若k 为正整数，设()0f x ≤的解集为[]212,k k a a -，求1234

a a a a +++及数列

{}n a 的

前2n 项和2n S ；

（3）对于（2）中的数列

{}n a ，设()

2121n

n n n

b a

a

--=，求数列

{}n b 的前n 项和n T 的最大值.

试卷答案

一、填空题

1. 1-

2. 4-

3. 1118

4. 22

1189

x y -=

5. 2m >

6.

3

7. 12 8.

9.

6π 10. []4,5 11. 2 12. 34

π+ 二、选择题

13. A 14. C 15. D 16. C 三、解答题

17.（1）证明：连结BD ，SD ⊥平面ABCD ，BD ?平面ABCD ，∴ ，

ABCD 为边长为1的菱形，且60DAB ∠=?，

∴ 1BD AB ==，SB = ∴ SD =，AC =

∴ 122ABCD

S BD AC =??=，∴ 1326

S ABCD V -=?=

（2）解法一：取AB 中点E ，连结ME 、DE ，

∴ //ME SB 且12ME

SB ==

， ∴ EMD ∠为异面直线DM 与SB 所成的角，

又∵ 在Rt SDA 中，SA =

，∴ 122

DM SA ==

，

同时，2

DE =

， ∴ DME ?为等边三角形，∴ 3DME π∠=，

即异面直线DM 与SB 所成的角的大小为

3

π

.

解法二：如图以D 为原点，建立空间直角坐标系，

其中Dx DC ⊥，设Dx 与AB 交于点E

，则2

DE

=

， ∴

1,022A ??- ???

，又(S ，∴

1,4

42M ?- ??

，即314

42DM ?

=- ??，

∵ 1,022B ??

???，∴ 31,22SB ?= ?， ∴ cos ,DM

SB DM SB DM SB

=

?1112-?-==-，

即异面直线DM 与SB 所成的角的大小为3

π

. 18. 解：（1）1C 对应的函数为

()3f x x =，2C 对应的函数为()2x g x =，

()()3022x x kf g x g x k ??-

，则4x

k -<对任意()0,1x ∈恒成立， 14,14x -??

∈ ???

，所以14k ≤；

（2）令()()()32x x g x f x x ?=-=-，则1x ，2x 为函数()x ?的零点，

由于()110?

=>，()240?=-<，()939290?=-<，()103102100?=->， 则方程()()()x f x g x ?

=-的两个零点()11,2x ∈，()29,10x ∈，

因此整数1a =，9b

=.

19. 解：（1）因为l ：2

02

m x my --=

经过)

2

F

2

2

m =， 得2

2m

=，又因为1m >

，所以m =

故直线l

的方程为10x -=；

（2）设()11,A

x y ，()22,B x y ，

由22

2221

m x my x y m ?=+????+=??，消去x 得222104m y my ++-=，

则由22

281804m m m ??

?=--=-+> ???

，知28m <， 且有122m y y +=-，2121

82

m y y ?=-，

由于()1

,0F c -，()2,0F c ，可知11,33x y G ??

???，22,33x y H ??

???

， 由题意可知0OG

OH =，12120x x y y +=，

而221212121222m m x x y y my my y y ????+=+++ ???????()22

1182m m ??=+-

??

?， 所以21

082

m -=，24m =，满足0?>，又因为1m >，所以2m =.

20. 解：（1）当04

π

α≤≤

时，E 在AB 上，F 在BC 上111tan tan 224S

παα??

=--- ???

，

当04

π

α<<时，E 、F 都在AB 上，11132tan tan 4S παα??

???

?=+????

- ???????

； （2）当04

π

α≤≤

时，1121tan 2tan S

αα??

=-++ ???

，

由于[]tan 0,1α∈

，所以当tan 1α=

时，max 2S =；

（3）在“一个来回”中，OE 共转动了33242

ππ

?

=， 其中点G 被照到时，OE 共转动了26

3

π

π

?

=

，

点G 被照到的时间为39232t ππ??

=?÷= ???

分钟.

21. 解：（1）∵ ()10f ≤即()132320k k k k -++?<，

∴

()()13120k k --≤即()()31210k k --≤，

310210k k -≤???-≥?或310210

k k -≥??-≤?∴ 103k ≤≤；

（2）由

()0f x ≤即()()320k x k x --≤的解集为[]212,k k a a -，

∴ 2122123232

k

k k k

k k a a k a a k --?+=+??=??， ∴ 1k

=时，1123125a a +=?+=，2k =时，23432210a a +=?+=，

∴ 123451015a a a a +++=+=，

212342n n S a a a a a =+++++()()()1234212n n a a a a a a -=++++++

()()()1231232232n n =?++?++

+?+()()12312222n n =++

+++

+

()()2

1212133

322212

2

2

n

n n n n

n +-+=?+=+-+-； （3）12n

n T b b b =++

+，2n ≥时，()

11

132

n

n n n n

T T b n --==-?， n 为奇数时，10n n T T --<，即32T T <，54T T <，76T T <，…，1n n T T -<，…， n 为偶数时，10n n T T -->，即21T T >，43T T >，65T T >，…，1n n T T ->…，

∴ n T 的最大值必为

{}n T 的偶数项，故当n 为偶数时（4n ≥）时，

21n n n n T T b b ---=+()11131232n n n n -=-

+-??()1

0312

n

n n n +=-<-?， ∴ n 为偶数时，{}n T 为递减数列，∴ ()22max

111

323228

n T T ==-+=-???.