上海高中高考数学真题与包括答案.doc
2018 年最新上海市高考数学试卷
参考答案与试题解析
一、填空题（本大题共有12 题，满分 54 分，第 1~6 题每题 4 分，第 7~12 题每题 5 分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果.
1．（4 分）（2018? 上海）行列式的值为18．
【考点】 OM：二阶行列式的定义．
【专题】 11 ：计算题； 49 ：综合法； 5R ：矩阵和变换．
【分析】直接利用行列式的定义，计算求解即可．
【解答】解：行列式 =4× 5﹣ 2× 1=18．
故答案为： 18．
【点评】本题考查行列式的定义，运算法则的应用，是基本知识的考查．
2．（4 分）（2018? 上海）双曲线﹣ y2=1 的渐近线方程为±．
【考点】 KC：双曲线的性质．
【专题】 11 ：计算题．
【分析】先确定双曲线的焦点所在坐标轴，再确定双曲线的实轴长和虚轴长，最后确定双曲线的渐近线方程．
【解答】解：∵双曲线的 a=2，b=1，焦点在 x 轴上
而双曲线的渐近线方程为y=±
∴双曲线的渐近线方程为y=±
故答案为： y=±
【点评】本题考察了双曲线的标准方程，双曲线的几何意义，特别是双曲线的渐近线方程，解题时要注意先定位，再定量的解题思想
3．（ 4 分）（2018? 上海）在（ 1+x）7的二项展开式中， x2项的系数为21 （结果用数值表示）．
【考点】 DA：二项式定理．
【专题】 38 ：对应思想； 4O：定义法； 5P ：二项式定理．
【分析】利用二项式展开式的通项公式求得展开式中x2的系数．
【解答】解：二项式（ 1+x）7展开式的通项公式
为 T r+1=? x r，
令r=2 ，得展开式中 x2的系数为
=21．故答案为： 21．
【点评】本题考查了二项展开式的通项公式的应用问题，是基础题．
4．（4 分）（2018? 上海）设常数a∈ R，函数 f （ x）=1og2（ x+a）．若 f （x）的反函数的图象经过点（ 3，1），则 a= 7．
【考点】 4R：反函数．
【专题】11 ：计算题；33 ：函数思想；4O：定义法；51 ：函数的性质及应用．【分析】由反函数的性质得函数 f （x）=1og2（x+a）的图象经过点（1，3），由此能求出 a．
【解答】解：∵常数 a∈R，函数 f （x）=1og2（x+a）．
f （x）的反函数的图象经过点（3， 1），
∴函数 f （ x）=1og2（ x+a）的图象经过点（ 1，3），
∴log 2（1+a）=3，
解得 a=7．
故答案为： 7．
【点评】本题考查实数值的求法，考查函数的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．
5．（4 分）（2018? 上海）已知复数 z 满足（ 1+i ）z=1﹣7i （i 是虚数单位），则|z|=5．
【考点】 A8：复数的模．
【专题】 38 ：对应思想； 4A ：数学模型法； 5N ：数系的扩充和复数．
【分析】把已知等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数求模公式计算得答案．
【解答】解：由（ 1+i ）z=1﹣7i ，
得，
则|z|= ．
故答案为： 5．
【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数模的求法，是基础题．
6．（4 分）（2018? 上海）记等差数列 {a n} 的前 n 项和为 S n，若 a3=0， a6+a7=14，则S7= 14 ．
【考点】 85：等差数列的前 n 项和．
【专题】 11 ：计算题； 34 ：方程思想； 4O：定义法； 54 ：等差数列与等比数列．
【分析】利用等差数列通项公式列出方程组，求出 a1=﹣4，d=2，由此能求出
S7．【解答】解：∵等差数列 {a n} 的前 n 项和为 S n，a3 =0，a6+a7 =14，∴，
解得 a1=﹣4，d=2，
∴S7=7a1+=﹣ 28+42=14．
故答案为： 14．
【点评】本题考查等差数列的前 7 项和的求法，考查等差数列的性质等基础知识，
考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．
7．（5 分）（2018? 上海）已知α∈ { ﹣ 2，﹣ 1，﹣， 1，2，3} ，若幂函数 f （x） =xα为奇函数，且在（ 0，+∞）上递减，则α= ﹣ 1 ．
【考点】 4U：幂函数的概念、解析式、定义域、值域．
【专题】 11 ：计算题； 34 ：方程思想； 4O：定义法； 51 ：函数的性质及应用．【分析】由幂函数 f （ x ）=xα为奇函数，且在（ 0，+∞）上递减，得到 a 是奇数，
且 a＜0，由此能求出 a 的值．
【解答】解：∵α∈ { ﹣2，﹣ 1，，1，2，3} ，
幂函数 f （ x）=xα为奇函数，且在（ 0，+∞）上递减，
∴a 是奇数，且 a＜0，
∴a=﹣1．
故答案为：﹣ 1．
【点评】本题考查实数值的求法，考查幂函数的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．
8．（5 分）（2018? 上海）在平面直角坐标系中，已知点A（﹣1，0）、B（2，0），E、F 是 y 轴上的两个动点，且 ||=2 ，则的最小值为﹣3 ．
【考点】 9O：平面向量数量积的性质及其运算．
【专题】11 ：计算题；35 ：转化思想；41 ：向量法；5A ：平面向量及应用．【分析】据题意可设E（0，a），F（0，b），从而得出|a ﹣b|=2 ，即a=b+2，或b=a+2，并可求得，将a=b+2 带入上式即可求出的最小值，同理将b=a+2 带入，也可求出的最小值．
【解答】解：根据题意，设E（0，a），F（0，b）；
∴；
∴a=b+2，或 b=a+2；
且；
∴；
当 a=b+2 时，；
∵ b2+2b﹣2 的最小值为；
∴的最小值为﹣ 3，同理求出 b=a+2 时，的最小值为﹣
3．故答案为：﹣ 3．
【点评】考查根据点的坐标求两点间的距离，根据点的坐标求向量的坐标，以及向量坐标的数量积运算，二次函数求最值的公式．
9．（5 分）（2018? 上海）有编号互不相同的五个砝码，其中 5 克、 3 克、 1 克砝码各一个， 2 克砝码两个，从中随机选取三个，则这三个砝码的总质量为9 克的概率是（结果用最简分数表示）．
【考点】 CB：古典概型及其概率计算公式．
【专题】 11 ：计算题； 34 ：方程思想； 49 ：综合法； 5I：概率与统计．
【分析】求出所有事件的总数，求出三个砝码的总质量为 9 克的事件总数，然后
求解概率即可．
【解答】解：编号互不相同的五个砝码，其中 5 克、 3 克、 1 克砝码各一个， 2 克砝码两个，
从中随机选取三个， 3 个数中含有 1 个 2； 2 个 2，没有 2，3 种情况，
所有的事件总数为： =10，
这三个砝码的总质量为9 克的事件只有： 5，3，1 或 5，2，2 两个，
所以：这三个砝码的总质量为 9 克的概率是： =，故
答案为：．
【点评】本题考查古典概型的概率的求法，是基本知识的考查．
10．（ 5 分）（2018? 上海）设等比数列 {a n} 的通项公式为a n=q n﹣1（n∈N*），前 n 项和为 S n．若 =，则 q= 3．
【考点】 8J：数列的极限．
【专题】 11 ：计算题； 34 ：方程思想； 35 ：转化思想； 49 ：综合法； 55 ：
点列、递归数列与数学归纳法．
【分析】利用等比数列的通项公式求出首项，通过数列的极限，列出方程，求解
公比即可．
【解答】解：等比数列 {a n} 的通项公式为 a=q n﹣1（ n∈N*），可得 a1
=1，因为 =，所以数列的公比不是 1，
，a n+1=q n．
可得 ====，
可得 q=3．
故答案为： 3．
【点评】本题考查数列的极限的运算法则的应用，等比数列求和以及等比数列的
简单性质的应用，是基本知识的考查．
11．（ 5 分）（2018? 上海）已知常数 a＞0，函数 f （x）=的图象经过点 P （p，），Q（q，）．若 2p+q=36pq，则 a= 6 ．
【考点】 3A：函数的图象与图象的变换．
【专题】 35 ：转化思想； 51 ：函数的性质及应用．
【分析】直接利用函数的关系式，利用恒等变换求出相应的 a 值．
【解答】解：函数 f （x）=的图象经过点P（p，），Q（q，）．
则：，
整理得：=1，
解得： 2p+q=a2 pq，
由于： 2p+q=36pq，
2
所以： a =36，
由于 a＞0，
故答案为： 6
【点评】本题考查的知识要点：函数的性质的应用，代数式的变换问题的应用．
12．（ 5 分）（2018? 上海）已知实数x1、x2、y1、 y2满足： x12+y12=1， x22+y22=1，x1x2+y1y2=，则 +的最大值为+．
【考点】 7F：基本不等式及其应用；IT ：点到直线的距离公式．
【专题】 35 ：转化思想； 48 ：分析法； 59 ：不等式的解法及应用．
【分析】设 A（ x1， y1）， B（ x2，y2），=（x1，y1），=（x2，y2），由圆的方程和向量数量积的定义、坐标表示，可得三角形OAB为等边三角形， AB=1， +的几何意义为点 A， B 两点到直线 x+y﹣1=0 的距离 d1与 d2之和，由两平行线的距离可得所求最大值．
【解答】解：设 A（ x1，y1），B（x2，y2），
=（x1， y1）， =（ x2， y2），
由x12+y12=1，x22+y22=1， x1 x2+y1y2=，
可得 A，B 两点在圆 x2 +y2=1
上，且 ? =1× 1× cos∠AOB=，
即有∠ AOB=60°，
即三角形 OAB为等边三角形，
AB=1，
+的几何意义为点 A，B 两点
到直线 x+y﹣1=0 的距离 d1与 d2之和，
显然 A，B 在第三象限， AB所在直线与直线 x+y=1 平行，
可设 AB：x+y+t=0 ，（t ＞0），由圆心 O到直线 AB的距
离 d=，
可得 2=1，解得 t= ，
即有两平行线的距离为 =，
即+的最大值为
+，故答案为： +．
【点评】本题考查向量数量积的坐标表示和定义，以及圆的方程和运用，考查点与圆的位置关系，运用点到直线的距离公式是解题的关键，属于难题．
二、选择题（本大题共有 4 题，满分 20 分，每题 5 分）每题有且只有一个正确选项 . 考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑.
13．（5 分）（ 2018? 上海）设 P 是椭圆 =1 上的动点，则 P 到该椭圆的两个焦点的距离之和为（）
A．2B．2C．2D．4
【考点】 K4：椭圆的性质．
【专题】 11 ：计算题； 49 ：综合法； 5D ：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】判断椭圆长轴（焦点坐标）所在的轴，求出 a，接利用椭圆的定义，转化求解即可．
【解答】解：椭圆 =1 的焦点坐标在x 轴， a=，
P 是椭圆 =1 上的动点，由椭圆的定义可知：则 P 到该椭圆的两个焦点的距离之和为2a=2．
故选： C．
【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，椭圆的定义的应用，是基本知识的考查．
14．（ 5 分）（2018? 上海）已知 a∈ R，则“ a＞1”是“＜ 1”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件
C．充要条件D．既非充分又非必要条件
【考点】 29：充分条件、必要条件、充要条件．
【专题】 11 ：计算题； 34 ：方程思想； 4O：定义法； 5L ：简易逻
辑．【分析】“a＞1” ? “”，“” ? “a＞ 1 或 a＜0”，由此能求出结
果．【解答】解： a∈R，则“ a＞1” ? “”，“” ? “a＞ 1 或 a＜
0”，
∴“ a＞1”是“”的充分非必要条件．
故选： A．
【点评】本题考查充分条件、必要条件的判断，考查不等式的性质等基础知
识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．
15．（ 5 分）（2018? 上海）《九章算术》中，称底面为矩形而有一侧棱垂直于底
面的四棱锥为阳马，设AA1是正六棱柱的一条侧棱，如图，若阳马以该正六棱柱
的顶点为顶点、以AA1为底面矩形的一边，则这样的阳马的个数是（）
A．4B．8C．12D．16
【考点】 D8：排列、组合的实际应用．
【专题】 11 ：计算题； 38 ：对应思想； 4R：转化法； 5O ：排列组合．
【分析】根据新定义和正六边形的性质可得答案．
【解答】解：根据正六边形的性质，则D1﹣A1ABB1，D1﹣A1AFF1满足题意，而C1，E1， C， D， E，和 D1一样，有 2×6=12，
当A1ACC1为底面矩形，有 2 个满足题意，
当A1AEE1为底面矩形，有 2 个满足题意，
故有 12+2+2=16
故选： D．
【点评】本题考查了新定义，以及排除组合的问题，考查了棱柱的特征，属于中
档题．
16．（ 5 分）（ 2018? 上海）设 D 是含数 1 的有限实数集， f （ x）是定义在 D 上的函数，若 f （ x）的图象绕原点逆时针旋转后与原图象重合，则在以下各项中， f （ 1）的可能取值只能是（）
A． B． C． D．0
【考点】 3A：函数的图象与图象的变换．
【专题】 35 ：转化思想； 51 ：函数的性质及应用； 56 ：三角函数的求值．
【分析】直接利用定义函数的应用求出结果．
【解答】解：由题意得到：问题相当于圆上由 12 个点为一组，每次绕原点逆时
针旋转个单位后与下一个点会重合．
我们可以通过代入和赋值的方法当 f （1）=，，0 时，此时得到的圆心角为，，0，然而此时 x=0 或者 x=1 时，都有 2 个 y 与之对应，而我们知道函数的定义就是要
求一个 x 只能对应一个 y，因此只有当 x=，此时旋转，此时满足一个 x 只会对应
一个 y，因此答案就选： B．
故选： B．
【点评】本题考查的知识要点：定义性函数的应用．
三、解答题（本大题共有 5 题，满分 76 分）解答下列各题必须在答题纸的相应
位置写出必要的步骤 .
17．（ 14 分）（2018? 上海）已知圆锥的顶点为P，底面圆心为 O，半径为 2．（1）设圆锥的母线长为 4，求圆锥的体积；
（2）设 PO=4，OA、OB是底面半径，且∠ AOB=90°，M为线段 AB的中点，如图．求异面直线 PM与 OB所成的角的大小．
【考点】 LM：异面直线及其所成的角；L5：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）；LF：棱柱、棱锥、棱台的体积．
【专题】 11 ：计算题； 31 ：数形结合； 41 ：向量法； 5F ：空间位置关系与距离； 5G ：空间角．
【分析】（1）由圆锥的顶点为 P，底面圆心为 O，半径为 2，圆锥的母线长为 4 能求出圆锥的体积．
（2）以 O为原点， OA为 x 轴， OB为 y 轴， OP为 z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线 PM与 OB所成的角．
【解答】解：（1）∵圆锥的顶点为 P，底面圆心为 O，半径为 2，圆锥的母线长为 4，
∴圆锥的体积 V==
=．
（2）∵ PO=4，OA，OB是底面半径，且∠ AOB=90°，
M为线段 AB的中点，
∴以 O为原点， OA为 x 轴， OB为 y 轴， OP为 z 轴，
建立空间直角坐标系，
P（0，0，4），A（2， 0， 0），B（0，2，0），
M（1，1，0），O（0， 0， 0），
=（1，1，﹣ 4），=（0，2，0），
设异面直线 PM与 OB所成的角为θ，
则cosθ===．
∴θ =arccos ．
∴异面直线 PM与 OB所成的角的为 arccos ．
【点评】本题考查圆锥的体积的求法，考查异面直线所成角的正切值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．
18．（ 14 分）（2018? 上海）设常数a∈ R，函数 f （x）=asin2x+2cos 2 x．（1）若 f （x）为偶函数，求 a 的值；
（2）若 f （） =+1，求方程 f （x）=1﹣在区间 [ ﹣π，π ] 上的
解．【考点】 GP：两角和与差的三角函数； GS：二倍角的三角函
数．
【专题】 11 ：计算题； 38 ：对应思想； 4R：转化法； 58 ：解三角
形．【分析】（1）根据函数的奇偶性和三角形的函数的性质即可求出，
（2）先求出 a 的值，再根据三角形函数的性质即可求出．
【解答】解：（1）∵ f （x）=asin2x+2cos 2x，
∴f （﹣ x）=﹣asin2x+2cos 2x，
∵ f （ x）为偶函数，
∴f （﹣ x）=f （ x），
∴﹣ asin2x+2cos 2x=asin2x+2cos 2x，
∴2asin2x=0 ，
∴a=0；
（2）∵ f （） =+1，
∴asin+2cos 2（） =a+1=+1，
∴a=，
∴f （ x） =sin2x+2cos 2x=sin2x+cos2x+1=2sin （2x+） +1，
∵ f （ x） =1﹣，
∴2sin （ 2x+）+1=1﹣，
∴sin （2x+）=﹣，
∴2x+=﹣ +2kπ，或 2x+=π +2kπ， k∈Z，
∴x=﹣π +kπ，或 x=π +kπ， k∈ Z，
∵ x∈ [ ﹣π，π ] ，
∴x=或 x=或 x=﹣或 x=﹣
【点评】本题考查了三角函数的化简和求值，以及三角函数的性质，属于基础题．
19．（ 14 分）（2018? 上海）某群体的人均通勤时间，是指单日该群体中成员从
居住地到工作地的平均用时．某地上班族S 中的成员仅以自驾或公交方式通
勤．分析显示：当S 中 x%（0＜x＜100）的成员自驾时，自驾群体的人均通勤时
间为
f（x）=（单位：分钟），
而公交群体的人均通勤时间不受 x 影响，恒为 40 分钟，试根据上述分析结果回答
下列问题：
（1）当 x 在什么围时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间？
（2）求该地上班族 S 的人均通勤时间 g（x）的表达式；讨论 g（ x）的单调性，并说明其实际意义．
【考点】 5B：分段函数的应用．
【专题】 12 ：应用题； 33 ：函数思想； 4C ：分类法； 51 ：函数的性质及应用．【分析】（1）由题意知求出 f （x）＞ 40 时 x 的取值围即可；
（2）分段求出 g（x）的解析式，判断 g（ x）的单调性，再说明其实际意
义．【解答】解；（1）由题意知，当 30＜ x＜ 100 时，
f（x）=2x+﹣90＞40，
即 x2﹣65x+900＞0，
解得 x＜20 或 x＞45，
∴ x∈（ 45， 100）时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时
间；（ 2）当 0＜x≤30 时，
g（x）=30? x%+40（1﹣x%） =40﹣；
当30＜ x＜ 100 时，
g（x）=（2x+﹣ 90）? x%+40（1﹣x%） =﹣ x+58；
∴g（ x） =；
当0＜x＜32.5 时， g（x）单调递减；
当32.5 ＜x＜100 时， g（ x）单调递增；
说明该地上班族S 中有小于 32.5%的人自驾时，人均通勤时间是递减的；
有大于 32.5%的人自驾时，人均通勤时间是递增的；
当自驾人数为 32.5%时，人均通勤时间最少．
【点评】本题考查了分段函数的应用问题，也考查了分类讨论与分析问题、解决
问题的能力．
20．（ 16 分）（ 2018? 上海）设常数t ＞ 2．在平面直角坐标系xOy 中，已知点 F （2， 0），直线 l ：x=t ，曲线Γ： y2=8x（0≤x≤t ，y≥0）． l 与 x 轴交于点
A、与Γ交于点 B． P、 Q分别是曲线Γ与线段 AB上的动点．
（1）用 t 表示点 B 到点 F 的距离；
（2）设 t=3 ，|FQ|=2 ，线段 OQ的中点在直线 FP上，求△ AQP的面积；
（3）设 t=8 ，是否存在以 FP、FQ为邻边的矩形 FPEQ，使得点 E 在Γ上？若存在，求点 P 的坐标；若不存在，说明理由．
【考点】 KN：直线与抛物线的位置关系．
【专题】 35 ：转化思想； 4R：转化法； 5D ：圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】（1）方法一：设 B 点坐标，根据两点之间的距离公式，即可求得 |BF| ；方法二：根据抛物线的定义，即可求得 |BF| ；
（2）根据抛物线的性质，求得Q点坐标，即可求得OD的中点坐标，即可求得直
线 PF 的方程，代入抛物线方程，即可求得 P 点坐标，即可求得△ AQP的面积；
（3）设 P 及 E 点坐标，根据直线 k PF? k FQ=﹣ 1，求得直线 QF的方程，求得 Q 点
坐标，根据 +=，求得 E 点坐标，则（）2=8（ +6），即可求得 P 点坐标．
【解答】解：（1）方法一：由题意可知：设 B（t ，
2t ），则 |BF|==t+2 ，
∴ |BF|=t+2 ；
方法二：由题意可知：设 B（t ，2t ），
由抛物线的性质可知： |BF|=t+=t+2 ，∴ |BF|=t+2 ；
（2） F（ 2， 0），|FQ|=2 ，t=3 ，则 |FA|=1 ，
∴ |AQ|= ，∴ Q（ 3，），设 OQ的中点 D，
D（，），
k QF==﹣，则直线 PF方程： y=﹣（ x﹣2），
联立，整理得： 3x2﹣20x+12=0，
解得： x=，x=6（舍去），
∴△ AQP的面积 S=×× =；
（3）存在，设 P（， y），E（， m），则 k PF==， k FQ=，直线
QF方程为 y=（ x﹣ 2），∴ y Q=（ 8﹣ 2） =， Q（ 8，），
根据 +=， E（+6，），
2 2
∴存在以 FP、FQ的矩形 FPEQ，使得点 E在Γ上，且 P（，）．
【点】本考抛物的性，直与抛物的位置关系，考化思想，算能力，属于中档．
21．（ 18 分）（ 2018? 上海）定无数列 {a n} ，若无数列 {b n} 足：任意 n ∈ N*，都有
|b n a n| ≤1，称 {b n } 与 {a n} “接近”．
（1） {a n} 是首 1，公比的等比数列， b n=a n+1+1， n∈ N*，判断数列 {b n } 是否与 {a n} 接近，并明理由；
（2）数列 {a n} 的前四： a1 =1，a2=2， a3=4，a4=8，{b n} 是一个与 {a n} 接近的数列，
集合 M={x|x=b i，i=1 ， 2， 3， 4} ，求 M中元素的个数 m；
（3）已知 {a n} 是公差 d 的等差数列，若存在数列 {b n} 足： {b n} 与{a n} 接近，
且在 b2b1，b3b2，?， b201b200中至少有 100 个正数，求 d 的取．
【考点】 8M：等差数列与等比数列的合．
【】 34 ：方程思想； 48 ：分析法； 54 ：等差数列与等比数列．
【分析】（1）运用等比数列的通公式和新定“接近”，即可判断；
（2）由新定可得 a n 1≤b n≤a n+1，求得 b i，i=1 ，2，3，4 的，即可得到所求个数；
（3）运用等差数列的通公式可得 a n，公差 d＞0，d=0， 2＜ d＜ 0， d≤ 2，合新定“接近”，推理和运算，即可得到所求．
【解答】解：（1）数列 {b n} 与{a n } 接近．
理由： {a n} 是首 1，公比的等比数列，
可得 a n=，b n=a n+1+1=+1，
|b n a n |=|+1 |=1 ＜ 1， n∈ N*，
可得数列 {b n} 与{a n } 接近；
（ 2） {b n} 是一个与 {a n } 接近的数列，
可得 a n 1≤ b n≤ a n +1，
数列 {a n} 的前四： a1=1， a2=2，a3=4，a4=8，
可得 b1∈ [0 ，2] ，b2∈[1 ， 3] ，b3∈ [3 ，5] ，b4∈[7 ， 9] ，
可能 b1与 b2相等， b2与 b3相等，但 b1与 b3不相等， b4与 b3不相等，
集合 M={x|x=b i，i=1 ，2，3，4} ，
（3） {a n} 是公差 d 的等差数列，若存在数列 {b n } 足： {b n} 与 {a n} 接近，可得
a n=a1+（n 1） d，
①若 d＞0，取 b n=a n，可得 b n+1 b n=a n+1 a n=d＞0，
b2 b1， b3 b2，?， b201 b200中有 200 个正数，符合意；②若 d=0，
取 b n=a1， |b n a n |=|a 1 a1|= ＜1，n∈ N*，
可得 b n+1 b n=＞ 0，
b2 b1， b3 b2，?， b201 b200中有 200 个正数，符合意；③若 2＜d
＜0，可令 b2n﹣1=a2n﹣1 1， b2n=a2n+1，
b2n b2n﹣1=a2n+1（ a2n﹣1 1）=2+d＞0，
b2 b1， b3 b2，?， b201 b200中恰有 100 个正数，符合意；④若 d≤
2，若存在数列 {b n } 足： {b n} 与{a n } 接近，
即 a n 1≤ b n≤ a n +1，a n+1 1≤b n+1≤a n+1+1，可得 b n+1
b n≤a n+1+1（ a n 1）=2+d≤0，
b2b1，b3b2，?， b201b200中无正数，不符合意．
上可得， d 的是（ 2，+∞）．
【点评】本题考查新定义“接近”的理解和运用，考查等差数列和等比数列的定义和通项公式的运用，考查分类讨论思想方法，以及运算能力和推理能力，属于难题．
2017上海高考数学试题(完整Word版含解析)
2017上海高考数学试题(完整Word版含解析)
2017年上海市高考数学试卷 1. 已知集合{1,2,3,4}A =，集合{3,4,5}B =，则A B = 2. 若排列数6 654m P =??，则m = 3. 不等式1 1x x ->的解集为 4. 已知球的体积为36π，则该球主视图的面积等 于 5. 已知复数z 满足30z z +=，则||z = 6. 设双曲线 22 2 19x y b -=(0)b >的焦点为1 F 、2 F ，P 为该 双曲线上的一点，若1 ||5PF =，则2 ||PF = 7. 如图，以长方体111 1 ABCD A B C D -的顶点D 为坐标原 点，过D 的三条棱所在的直线为坐 标轴，建立空间直角坐标系，若1 DB 的坐标为(4,3,2)， 则1 AC 的坐标为 8. 定义在(0,)+∞上的函数()y f x =的反函数为1 ()y f x -=， 若31,0 ()(),0 x x g x f x x ?-≤?=? >?? 为 奇函数，则1 ()2f x -=的解为 9. 已知四个函数：① y x =-；② 1y x =-；③ 3 y x =； ④ 12 y x =. 从中任选2个，则事 件“所选2个函数的图像有且仅有一个公共点” 的概率为 10. 已知数列{}n a 和{}n b ，其中2 n a n =，* n ∈N ，{}n b 的项
A. 等于12- B. 等于0 C. 等于12 D. 不存在 15. 已知a 、b 、c 为实常数，数列{}n x 的通项 2n x an bn c =++，* n ∈N ，则“存在* k ∈N ， 使得100k x +、200k x +、300k x +成等差数列”的一个必要条件 是（ ） A. 0 a ≥ B. 0 b ≤ C. c = D. 20 a b c -+= 16. 在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆221:1 364 x y C +=和 22 2:1 9 y C x +=. P 为1 C 上的动 点，Q 为2 C 上的动点，w 是OP OQ ?的最大值. 记 {(,)|P Q P Ω=在1 C 上，Q 在2 C 上，且}OP OQ w ?=，则Ω中元 素个数为（ ） A. 2个 B. 4个 C. 8个 D. 无穷个 三. 解答题（本大题共 5题，共
2020年上海市高考数学试卷-含详细解析
2020年上海市高考数学试卷 副标题 题号 一 二 三 总分 得分 一、选择题（本大题共4小题，共20.0分） 1. 下列等式恒成立的是( ) A. a 2+b 2≤2ab B. a 2+b 2≥?2ab C. a +b ≥2√|ab| D. a 2+b 2≤?2ab 2. 已知直线方程3x +4y +1=0的一个参数方程可以是( ) A. { x =1+3t y =?1?4t B. {x =1?4t y =?1+3t C. {x =1?3t y =?1+4t D. {x =1+4t y =1?3t 3. 在棱长为10的正方体ABCD ?A 1B 1C 1D 1中，P 为左侧面ADD 1A 1上一点，已知点P 到A 1D 1的距离为3，P 到AA 1的距离为2，则过点P 且与A 1C 平行的直线交正方体于P,Q 两点，则Q 点所在的平面是( ) A. AA 1B 1B B. BB 1C 1C C. CC 1D 1D D. ABCD 4. 命题 p ：存在a ∈R 且a ≠0，对于任意的x ∈R ，使得f(x +a)
2019上海高考数学试卷及参考答案
2019年全国普通高等学校招生统一考试 上海 数学试卷 考生注意：1. 答卷前，考生务必将姓名、高考座位号、校验码等填写清楚. 2. 本试卷共有21道试题，满分150分，考试时间120分钟. 一. 填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，16: 题每题4分，712:题每题5 分. 考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分或5分，否则一律得零分. 1. 已知集合 (A =-∞，3)，(2B =，)+∞，则A B =I . 2. 已知Z C ∈，且满足 1 5 i z =-，则z = . 3. 已知向量(1a =r ，0，2)，(2b =r ，1，0)，则a r 与b r 的夹角为 . 4. 已知二项式5 (21)x +，则其展开式中含2 x 的系数为 . 5. 已知x 、y 满足002x y x y ≥?? ≥??+≤? ，则23z x y =-的最小值为 . 6. 已知函数()f x 的周期为1，且当01x <≤时，2()f x log x =，则3 ()2 f = . 7. 若x ，y R + ∈，且123y x +=，则y x 的最大值为 . 8. 已知数列 {}n a 的前n 项和为n S ，且满足2n n S a +=，则5S = . 9. 过曲线 24y x =的焦点F 并垂直于x 轴的直线分别与曲线24y x =交于A 、B 两点，A 在B 的 上方，M 为曲线上的一点，且(2)OM OA OB λλ=+-u u u u r u u u r u u u r ，则λ= . 10. 某三位数密码，每位数字可在09: 这10个数中任选一个，则该三位数密码中，恰有两位数字相同 的概率为 . 11. 已知数列{}n a 满足1()n n a a n N * +<∈，点(n P n ，)(3)n a n ≥均在双曲线22 162 x y -=上，则1||n n x lim P P +→∞ = .
2016年上海市高考理科数学试题及答案
2016年 普 通 高 等 学 校 招 生 全 国 统 一 考 试 上海 数学试卷（理工农医类） 一、填空题（本大题共有14题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分. 1、设x R ∈,则不等式13<-x 的解集为______________________ 2、设i i Z 23+= ，期中i 为虚数单位，则Im z =______________________ 3、已知平行直线012:,012:21=++=-+y x l y x l ，则21,l l 的距离_______________ 4、某次体检，6位同学的身高（单位：米）分别为1.72,1.78,1.75,1.80,1.69,1.77则这组数据的中位数是_________（米） 5、已知点(3,9)在函数x a x f +=1)(的图像上，则________)()(1 =-x f x f 的反函数 6、如图，在正四棱柱1111D C B A ABCD -中，底面ABCD 的边长为3，1BD 与底面所成角的大小为3 2 arctan ，则该正四棱柱的高等于____________ 7、方程3sin 1cos2x x =+在区间[]π2,0上的解为___________ 学.科.网 8、在n x x ??? ? ? -23的二项式中，所有项的二项式系数之和为256，则常数项等于_________ 9、已知ABC ?的三边长分别为3,5,7，则该三角形的外接圆半径等于_________ 10、设.0,0>>b a 若关于,x y 的方程组1 1 ax y x by +=?? +=?无解，则b a +的取值范围是____________ 11.无穷数列{}n a 由k 个不同的数组成，n S 为{}n a 的前n 项和.若对任意*∈N n ，{}3,2∈n S ，则k 的最大值为. 12.在平面直角坐标系中，已知A （1,0），B （0，-1），P 是曲线21x y -=上一个动点，则BA BP ?的取值范围是. 13.设[)π2,0,,∈∈c R b a ，若对任意实数x 都有()c bx a x +=?? ? ? ? - sin 33sin 2π，则满足条件的有序实数组()c b a ,,的组数为. 14.如图，在平面直角坐标系xOy 中，O 为正八边形821A A A Λ的中心， ()0,11A .任取不同的两点j i A A ,，点P 满足0=++j i OA OA OP ，则点P 落在第一象限的概率是.
上海市2021届高考数学考点全归纳
2021上海高考数学考点笔记大全 1．上海高考数学重难点： 重点：函数，数列，三角函数，平面向量，圆锥曲线，立体几何。 难点：函数、数列、圆锥曲线。 2．上海高考数学考点： （1）集合与命题：集合的概念与运算、命题、充要条件。 （2）不等式：概念与性质、均值不等式、不等式的证明、不等式的解法、绝对值不等式、不等式的应用。 （3）函数：函数的定义、函数解析式与定义域、值域与最值、反函数、三大性质、函数的零点、函数图象、指数与指数函数、对数与对数函数、函数的应用。 （4）三角比与三角函数：有关概念、同角关系与诱导公式、和、差、倍、半公式、万能公式、辅助角公式、求值、化简、证明、三角函数的图象与性质、三角函数的应用、反三角函数、最 简三角方程。 （5）平面向量：有关概念与初等运算、线性运算、三点共线、坐标运算、数量积、三角形“四心”及其应用。 （6）数列：数列的有关概念、等差数列、等比数列、通项公式求法、数列求和、数列的应用、数学归纳法、数列的极限与运算、无穷等比数列。 ⑺直线和圆的方程：方向向量、法向量、直线的方程、两直线的位置关系、线性规划、圆的方程、直线与圆的位置关系。 （8）圆锥曲线方程：椭圆的方程、双曲线的方程、抛物线的方程、直线与圆锥曲线的位置关系、轨迹问题、中点弦问题、圆锥曲线的应用、参数方程。 （9）立体几何与空间向量：空间直线、直线与平面、平面与平面、棱柱、棱锥、球与球面距离、几何体的三视图与直观图、几何体的表面积与体积、空间向量。 （10）排列、组合：排列、组合应用题、二项式定理及其应用。 （11）概率与统计：古典概型、系统抽样、分层抽样、互斥事件、对立事件、独立事件、平均数、中位数、众数、频率分布直方图。 （12）复数：复数的概念与运算、复数的平方根与立方根计算、实系数一元二次方程。 （13）矩阵与行列式初步：二元线性方程组、矩阵的基本运算、二阶行列式、三阶行列式、对角线法则、余子式与代数余子式。 （14）算法初步：流程图、算法语句、条件语句、循环语句。
(完整)2018年上海高考数学试卷
2018年普通高等学校招生全国统一考试 上海 数学试卷 时间120分钟，满分150分 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分） 1.行列式41 25的值为_________. 2.双曲线2 214 x y -=的渐近线方程为_________. 3.在7(1)x +的二项展开式中，2x 项的系数为_________.（结果用数值表示） 4.设常数a R ∈，函数2()log ()f x x a =+。若()f x 的反函数的图像经过点(3,1)，则 a =_________. 5.已知复数z 满足(1)17i z i +=-（i 是虚数单位），则z =_________. 6.记等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若30a =，6714a a +=，则7S =_________. 7.已知12,1,,1,2,32α? ?∈---???? 。若幂函数()f x x α=为奇函数，且在(0,)+∞上递减，则 α=_________. 8.在平面直角坐标系中，已知点(1,0)A -，(2,0)B ，E 、F 是y 轴上的两个动点，且2EF =u u u r ，则AE BF ?u u u r u u u r 的最小值为_________. 9.有编号互不相同的五个砝码，其中5克、3克、1克砝码各一个，2克砝码两个。从中随机选取三个，则这三个砝码的总质量为9克的概率是_________.（结果用最简分数表示）
10.设等比数列{}n a 的通项公式为1n n a q -=（*n ∈N ），前n 项和为n S 。若1 1lim 2n n n S a →+∞+=，则q =_________. 11.已知常数0a >，函数2()2x x f x ax =+的图像经过点6,5P p ?? ???、1,5Q q ??- ?? ?。若236p q pq +=，则a =_________. 12.已知实数1x 、2x 、1y 、2y 满足：22111x y +=，22221x y +=，121212 x x y y += ，则的最大值为_________. 二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分） 13.设P 是椭圆22 153 x y +=上的动点，则P 到该椭圆的两个焦点的距离之和为（ ） （A ） （B ） （C ） （D ）14.已知a ∈R ，则“1a >”是“11a <”的（ ） （A ）充分非必要条件 （B ）必要非充分条件 （C ）充要条件 （D ）既非充分又非必要条件 15.《九章算术》中，称底面为矩形而有一侧棱垂直于底面的四棱锥为阳马。设1AA 是正六棱柱的一条侧棱，如图。若阳马以该正六棱柱的顶点为顶点、以1AA 为底面矩形的一边，则这样的阳马的个数是（ ） （A ）4 （B ）8 （C ）12 （D ）16 16.设D 是含数1的有限实数集，()f x 是定义在D 上的函数。若()f x 的图像绕原点逆时针旋转6 π后与原图像重合，则在以下各项中，(1)f 的可能取值只能是（ ） A 1
上海高考数学真题及答案
2018年上海市高考数学试卷 参考答案与试题解析 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果. 1．（4分）（2018?上海）行列式的值为18 ． 【考点】OM：二阶行列式的定义． 【专题】11 ：计算题；49 ：综合法；5R ：矩阵和变换． 【分析】直接利用行列式的定义，计算求解即可． 【解答】解：行列式=4×5﹣2×1=18． 故答案为：18． 【点评】本题考查行列式的定义，运算法则的应用，是基本知识的考查． 2．（4分）（2018?上海）双曲线﹣y2=1的渐近线方程为±． 【考点】KC：双曲线的性质． 【专题】11 ：计算题． 【分析】先确定双曲线的焦点所在坐标轴，再确定双曲线的实轴长和虚轴长，最后确定双曲线的渐近线方程． 【解答】解：∵双曲线的a=2，b=1，焦点在x轴上 而双曲线的渐近线方程为y=± ∴双曲线的渐近线方程为y=± 故答案为：y=± 【点评】本题考察了双曲线的标准方程，双曲线的几何意义，特别是双曲线的渐近线方程，解题时要注意先定位，再定量的解题思想 3．（4分）（2018?上海）在（1+x）7的二项展开式中，x2项的系数为21 （结果用数值表示）． 【考点】DA：二项式定理． 【专题】38 ：对应思想；4O：定义法；5P ：二项式定理．
【分析】利用二项式展开式的通项公式求得展开式中x2的系数． 【解答】解：二项式（1+x）7展开式的通项公式为 =?x r， T r+1 令r=2，得展开式中x2的系数为=21． 故答案为：21． 【点评】本题考查了二项展开式的通项公式的应用问题，是基础题． （x+a）．若f（x）的反函数的图4．（4分）（2018?上海）设常数a∈R，函数f（x）=1og 2 象经过点（3，1），则a= 7 ． 【考点】4R：反函数． 【专题】11 ：计算题；33 ：函数思想；4O：定义法；51 ：函数的性质及应用． （x+a）的图象经过点（1，3），由此能求出a．【分析】由反函数的性质得函数f（x）=1og 2 【解答】解：∵常数a∈R，函数f（x）=1og （x+a）． 2 f（x）的反函数的图象经过点（3，1）， ∴函数f（x）=1og （x+a）的图象经过点（1，3）， 2 ∴log （1+a）=3， 2 解得a=7． 故答案为：7． 【点评】本题考查实数值的求法，考查函数的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题． 5．（4分）（2018?上海）已知复数z满足（1+i）z=1﹣7i（i是虚数单位），则|z|= 5 ．【考点】A8：复数的模． 【专题】38 ：对应思想；4A ：数学模型法；5N ：数系的扩充和复数． 【分析】把已知等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数求模公式计算得答案． 【解答】解：由（1+i）z=1﹣7i， 得， 则|z|=． 故答案为：5． 【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数模的求法，是基础题．
2020年上海市高考数学试卷
2020年上海市高考数学试卷 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1?6题每题4分，第7?12题每题5分） 1．已知集合A ＝{1，2，4}，集合B ＝{2，4，5}，则A ∩B ＝_____________． 2．计算：1 31lim -+∞→n n n ＝__________． 3．已知复数z ＝1?2i （i 为虚数单位），则|z|＝___________． 4．已知函数f （x ）＝x 3，f 1-（x ）是f （x ）的反函数，则f 1-（x ）＝_________． 5．已知x 、y 满足?? ???≥≤-+≥-+003202y y x y x ，则z ＝y ?2x 的最大值为_____________． 6．已知行列式0 0321d c b a ＝6，则d c b a ＝______________． 7．已知有四个数1，2，a ，b ，这四个数的中位数是3，平均数是4，则ab ＝___________． 8．已知数列{a n }是公差不为零的等差数列，且a 1＋a 10＝a 9，则10 921a a a a +++ ＝______． 9．从6个人挑选4个人去值班，每人值班一天，第一天安排1个人，第二天安排1个人，第三天安排2个人，则共有____________种安排情况． 10．已知椭圆C ：42x ＋3 2 y ＝1的右焦点为F ，直线l 经过椭圆右焦点F ，交椭圆C 于P 、Q 两点（点P 在第二象限），若点Q 关于x 轴对称点为Q ′，且满足PQ ⊥FQ ′，求直线l 的方程是_________________________． 11．设a ∈R ，若存在定义域为R 的函数f （x ）同时满足下列两个条件： （1）对任意的x 0∈R ，f （x 0）的值为x 0或x 20； （2）关于x 的方程f （x ）＝a 无实数解， 则a 的取值范围是_______________． 12．已知1a ，2a ，1b ，2b ，…，k b （k ∈N*）是平面内两两互不相等的向量，满足|1a ?2a |＝1，且|i a ?j b |∈{1，2}（其中i ＝1，2，j ＝1，2，…，k ），则k 的最大值是__________． 二、选择题（本大题共4题，每题5分，共20分） 13．下列等式恒成立的是（ ） A 、a 2＋b 2≤2ab B 、a 2＋b 2≥?2ab C 、a ＋b ≥2||ab D 、a 2＋b 2≤?2ab 14．已知直线方程3x ＋4y ＋1＝0的一个参数方程可以是（ ）
2018年上海市普通高等学校春季招生统一文化考试数学试卷及答案
2018年上海市普通高等学校春季招生统一文化考试 数学试卷 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分） 1．不等式||1x >的解集为__________． 2．计算：31 lim 2 n n n →∞-=+__________． 3．设集合{|02}A x x =<<，{|11}B x x =-<<，则A B =__________． 4．若复数z i i =+（i 是虚数单位），则2 z z + =__________． 5．已知{}n a 是等差数列，若2810a a +=，则357a a a ++=__________． 6．已知平面上动点P 到两个定点(1,0)和(1,0)-的距离之和等于4，则动点P 的轨迹为 __________． 7．如图，在长方形1111B ABC A C D D -中，3AB =，4BC =，15AA =， O 是11AC 的 中点，则三棱锥11A AOB -的体积为__________． 第7题图 第12题图 8．某校组队参加辩论赛，从6名学生中选出4人分别担任一、二、三、 四辩．若其中学生 甲必须参赛且不担任四辩，则不同的安排方法种数为__________． 9．设a R ∈，若9 22x x ??+ ?? ?与9 2a x x ??+ ???的二项展开式中的常数项相等，则a =__________． 10．设m R ∈，若z 是关于x 的方程2 2 10x mx m -+=+的一个虚根，则||z 的取值范围 是__________．
11．设0a >，函数()2(1)sin()f x x x ax =+-，(0,1)x ∈，若函数21y x =-与()y f x = 的图象有且仅有两个不同的公共点，则a 的取值范围是__________． 12．如图，正方形ABCD 的边长为20米，圆O 的半径为1米，圆心是正方形的中心，点P 、 Q 分别在线段AD 、CB 上，若线段PQ 与圆O 有公共点，则称点Q 在点P 的“盲 区” 中．已知点P 以1．5米/秒的速度从A 出发向D 移动，同时，点Q 以1米/秒的速度从 C 出发向B 移动，则在点P 从A 移动到 D 的过程中，点Q 在点P 的盲区中的时长约为 __________秒（精确到0．1） 二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分） 13．下列函数中，为偶函数的是（ ） （A ）2 y x -= （B ）13 y x = （C ）1 2 y x -= （D ）3 y x = 14．如图，在直三棱柱111AB A B C C -的棱虽在的直线中，与直线1BC 异面的直线条数为（ ） （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 15．记n S 为数列{}n a 的前n 项和．“{}n a 是递增数列”是“n S 为递增数列”的（ ） （A ）充分非必要条件 （B ）必要非充分条件 （C ）充要条件 （D ）既非充分也非必要条件 16．已知A 、B 为平面上的两个定点，且|2|AB =．该平面上的动线段PQ 的端点P 、Q ， 满足||5AP ≤，6AB AP ?=，2AQ AP =-，则动线段PQ 所形成图形的面积为（ ） （A ）36 （B ）60 （C ）81 （D ）108 三、解答题（本大题共有5题，满分76分，第17~19题每题14分，20题16分，21题18分） 17．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）
2014上海市高考文科数学(理)试题真题含答案(经典打印版)
1 A 1 P C B 2P 3 P A 1 P B 2 P 3 P 4P 5 P 6 P 7P 8 P 2014年上海市高考数学（理科）试题及答案 本试卷共23道试题;满分150分;考试时间120分钟． 一、填空题（本大题共有14题，满分56分） 1、函数212cos (2)y x =-的最小正周期是__________． 2、若复数12z i =+， 其中i 是虚数单位, 则1z z z ? ?+?= ?? ?___________． 3、若抛物线2 2y px =的焦点与椭圆22195 x y +=的右焦点重合, 则该抛物线的准线方程为_____． 4、设2, (,), (), [,).x x a f x x x a ∈-∞?=?∈+∞? 若(2)4f =, 则a 的取值范围为____________． 5、若实数x ， y 满足1xy =, 则2 2 2x y +的最小值为___________． 6、若圆锥的侧面积是底面积的3倍, 则其母线与底面角的大小为____（结果用反三角函数值表示）． 7、已知曲线C 的极坐标方程为(3cos 4sin )1ρθθ-=, 则C 与极轴的交点到极点的距离是___． 8、设无穷等比数列{}n a 的公比为q ，若134lim()n n a a a a →∞ =++ +, 则q =___________． 9、若2 13 2 ()f x x x - =-, 则满足()0f x <的x 的取值范围是___________． 10、为强化安全意识, 某商场拟在未来的连续10天中随机选择3天进行紧急疏散演练, 则选择的3天恰好为连续 3天的概率是________________（结果用最简分数表示）． 11、已知互异的复数a ， b 满足0ab ≠, 集合2 2 {, }{, }a b a b =, 则a b +=___________． 12、设常数a 使方程sin x x a +=在闭区间[0, 2π]上恰有三个解123, , x x x , 则123x x x ++= ___ 13、某游戏的得分为1, 2, 3, 4, 5, 随机变量ξ表示小白玩该游戏的得分．若() 4.2E ξ=, 则小白得5分的概率至少为___________． 14、已知曲线:C x =直线:6l x =．若对于点(,0)A m , 存在C 上的点P 和l 上的Q 使得 0AP AQ +=, 则m 的取值范围为___________． 二、选择题（本大题共有4题，满分20分）． 15、设, a b R ∈, 则“4a b +>”是“2a >且2b >”的 （ ）． (A) 充分条件 (B) 必要条件 (C) 充分必要条件 (D) 既非充分又非必要条件 16、如图, 四个棱长为1的正方体排成一个正四棱柱, AB 是一条侧棱, (1, 2, , 8)i P i =是上底 面上其余的八个点, 则(1 , 2, , 8)i AB AP i ?=的不同值的个数为 （ ）． (A) 1 (B) 2 (C) 4 (D) 8 17、已知111(,)P a b 与222(,)P a b 是直线1y kx =+（k 为常数）上两个不同的点, 则关于x 和y 的方程组1122 1, 1a x b y a x b y +=??+=?的解的情况是 （ ）． (A) 无论k , 12, P P 如何, 总是无解 (B) 无论k , 12, P P 如何, 总有唯一解 (C) 存在k , 12, P P , 使之恰有两解 (D) 存在k , 12, P P , 使之有无穷多解 18、设2(), 0,()1 , 0. x a x f x x a x x ?-≤? =?++>?? 若(0)f 是()f x 的最小值, 则a 的取值范围为 （ ）． (A) [1,2]- (B) [1,0]- (C) [1,2] (D) [0,2] 三、解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写 出必要的步骤． 19、(本题满分12分)底面边长为2的正三棱锥P ABC -, 其表面展开图是三角形123P P P , 如图．求123PP P △的各边长及此三棱锥的体积V ．
2020年上海市高考数学试卷(有详细解析)
2020年上海市高考数学试卷 班级：___________姓名：___________得分：___________ 一、选择题（本大题共4小题，共20.0分） 1. 下列等式恒成立的是( ) A. a 2+b 2≤2ab B. a 2+b 2≥?2ab C. a +b ≥2√|ab| D. a 2+b 2≤?2ab 2. 已知直线方程3x +4y +1=0的一个参数方程可以是( ) A. { x =1+3t y =?1?4t B. {x =1?4t y =?1+3t C. {x =1?3t y =?1+4t D. {x =1+4t y =1?3t 3. 在棱长为10的正方体ABCD ?A 1B 1C 1D 1中，P 为左 侧面ADD 1A 1上一点，已知点P 到A 1D 1的距离为3，P 到AA 1的距离为2，则过点P 且与A 1C 平行的直线交正方体于P,Q 两点，则Q 点所在的平面是( ) A. AA 1B 1B B. BB 1C 1C C. CC 1D 1D D. ABCD 4. 命题p ：存在a ∈R 且a ≠0，对于任意的x ∈R ，使得f(x +a)
2019年上海市高考数学试卷和答案
2019年上海市高考数学试卷 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分）. 1．（4分）已知集合A＝（﹣∞，3），B＝（2，+∞），则A∩B＝．2．（4分）已知z∈C，且满足＝i，求z＝． 3．（4分）已知向量＝（1，0，2），＝（2，1，0），则与的夹角为． 4．（4分）已知二项式（2x+1）5，则展开式中含x2项的系数为．5．（4分）已知x，y满足，则z＝2x﹣3y的最小值为．6．（4分）已知函数f（x）周期为1，且当0＜x≤1时，f（x）＝log2x，则f（）＝． 7．（5分）若x，y∈R+，且+2y＝3，则的最大值为．8．（5分）已知数列{a n}前n项和为S n，且满足S n+a n＝2，则S5＝． 9．（5分）过曲线y2＝4x的焦点F并垂直于x轴的直线分别与曲线y2＝4x交于A，B，A在B上方，M为抛物线上一点，＝λ+（λ﹣2），则λ＝． 10．（5分）某三位数密码，每位数字可在0﹣9这10个数字中任选一个，则该三位数密码中，恰有两位数字相同的概率是．11．（5分）已知数列{a n}满足a n＜a n+1（n∈N*），P n（n，a n）（n≥3）均在双曲线﹣＝1上，则|P n P n+1|＝．
12．（5分）已知f（x）＝|﹣a|（x＞1，a＞0），f（x）与x轴交点为A，若对于f（x）图象上任意一点P，在其图象上总存在另一点Q（P、Q异于A），满足AP⊥AQ，且|AP|＝|AQ|，则a ＝． 二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项.考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑. 13．（5分）已知直线方程2x﹣y+c＝0的一个方向向量可以是（）A．（2，﹣1）B．（2，1）C．（﹣1，2）D．（1，2）14．（5分）一个直角三角形的两条直角边长分别为1和2，将该三角形分别绕其两个直角边旋转得到的两个圆锥的体积之比为（）A．1B．2C．4D．8 15．（5分）已知ω∈R，函数f（x）＝（x﹣6）2?sin（ωx），存在常数a∈R，使f（x+a）为偶函数，则ω的值可能为（） A．B．C．D． 16．（5分）已知tanα?tanβ＝tan（α+β）．有下列两个结论： ①存在α在第一象限，β在第三象限； ②存在α在第二象限，β在第四象限； 则（） A．①②均正确B．①②均错误C．①对②错 D．①错②对 三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答
2018年高考数学上海卷高考真题(含答案)
数学试卷 第1页（共18页） 数学试卷 第2页（共18页） 绝密★启用前 上海市2018年普通高等学校招生全国统一考试 数 学 本试卷满分150分,考试时间120分钟. 一、填空题(本大题共有12题，满分54分第1-6题每题4分，第7-12题每题5分) 1.行列式41 25 的值为 。 2.双曲线2 214x y -=的渐近线方程为 。 3.在7 1x +（） 的二项展开式中，2x 项的系数为 。(结果用数值表示) 4.设常数a R ∈，函数()2()f x log x a =+，若()f x 的反函数的图像经过点(3,1)，则a = 。。 5.已知复数z 满足(1)17i z i +=-(i 是虚数单位)，则z = 。 6.记等差数列{}n a 的前几项和为Sn ，若3870,14a a a =+= ，则7S = 。 7.已知112,1,,,1,2,322α?? ∈---???? ，若幂函数()n f x x =为奇函数，且在()0,+∞上递减，则 α= 。 8.在平面直角坐标系中，已知点(1,0),(2,0),,A B E F -是y 轴上的两个动点，且 2EF =uu u r ，则AE BF ?uu u r uu u r 的最小值为 。 9.有编号互不相同的五个砝码，其中5克、3克、1克砝码各一个，2克砝码两个，从中随机选取三个，则这三个砝码的总质量为9克的概率是______(结果用最简分数表示) 10.设等比数列{}n a 的通项公式为n 1N*n a q n =+∈（），前n 项和为n S 。若1 Sn 1 lim 2n n a →∞+=，则q = 。 11.已知常数0a >，函数()222()|2f x ax =+的图像经过点6,5p p ?? ???、1,5Q q ??- ?? ?，若 236p q pq +=，则a = 。 12.已知实数x x y y ?、?、?、?满足：22111x y +=，22 2 21x y +=，121212 x x y y +=， 则的最大值为 。 二、选择题(本大题共有4题，满分20分，每题5分)每题有且只有一个正确选项. 13.设P 是椭圆22 153 x y +=上的动点，则P 到该椭圆的两个焦点的距离之和为（ ） A. B. C. D.14.已知a R ∈，则“1a ＞”是“1 1a ＜”的 （ ） A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件 D.既非充分又非必要条件 15.《九章算术》中，称底面为矩形而有一侧棱垂直于底面的四棱锥为阳马.设AA ?是正六棱柱的一条侧棱，如图，若阳马以该正六棱柱的顶点为顶点，以AA ?为底面矩形的一边，则这样的阳马的个数是 （ ） A.4 B.8 C.12 D.16 16.设D 是含数1的有限实数集，()f x 是定义在D 上的函数，若()f x 的图像绕原点逆 时针旋转6 π 后与原图像重合，则在以下各项中，1f （） 的可能取值只能是 （ ） D.0 三、解答题(本大题共5小题,满分76分) 17.(本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分) 已知圆锥的顶点为P ，底面圆心为O ，半径为2 (1)设圆锥的母线长为4，求圆锥的体积； (2)设4PO =，OA ，OB 是底面半径，且90AOB ∠=?，M 为线段AB 的中点，如图， 求异面直线PM 与OB 所成的角的大小. 毕业学校_____________ 姓名________________ 考生号________________ ________________ _____________ -------------在 --------------------此-------------------- 卷-------------------- 上-------------------- 答-------------------- 题-------------------- 无-------------------- 效--- -------------
2015年上海市高考数学卷试题(理科)与参考答案
2015年上海市高考数学卷试题（理科）与参考答案 一、填空题（本大题共有14题，满分48分．）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对4分，否则一律得零分． 1．（4分）（2015?上海）设全集U=R．若集合Α={1，2，3，4}，Β={x|2≤x≤3}，则 Α∩?UΒ=． 2．（4分）（2015?上海）若复数z满足3z+=1+i，其中i是虚数单位，则z=．3．（4分）（2015?上海）若线性方程组的增广矩阵为解为，则c1﹣ c2=． 4．（4分）（2015?上海）若正三棱柱的所有棱长均为a，且其体积为16，则a=． 5．（4分）（2015?上海）抛物线y2=2px（p＞0）上的动点Q到焦点的距离的最小值为1，则p=． 6．（4分）（2015?上海）若圆锥的侧面积与过轴的截面面积之比为2π，则其母线与轴的夹角的大小为． 7．（4分）（2015?上海）方程log2（9x﹣1﹣5）=log2（3x﹣1﹣2）+2的解为． 8．（4分）（2015?上海）在报名的3名男老师和6名女教师中，选取5人参加义务献血，要求男、女教师都有，则不同的选取方式的种数为（结果用数值表示）． 9．（2015?上海）已知点P和Q的横坐标相同，P的纵坐标是Q的纵坐标的2倍，P和Q 的轨迹分别为双曲线C1和C2．若C1的渐近线方程为y=±x，则C2的渐近线方程 为． 10．（4分）（2015?上海）设f﹣1（x）为f（x）=2x﹣2+，x∈[0，2]的反函数，则y=f（x）+f﹣1（x）的最大值为． 11．（4分）（2015?上海）在（1+x+）10的展开式中，x2项的系数为（结果用数值表示）． 12．（4分）（2015?上海）赌博有陷阱．某种赌博每局的规则是：赌客先在标记有1，2，3，4，5的卡片中随机摸取一张，将卡片上的数字作为其赌金（单位：元）；随后放回该卡片，再随机摸取两张，将这两张卡片上数字之差的绝对值的1.4倍作为其奖金（单位：元）．若
2016年上海高考数学(理科)真题含解析
2016年上海高考数学（理科）真题 一、解答题（本大题共有14题，满分56分） 1. 设x ∈R ，则不等式31x -<的解集为________________ 【答案】(2,4) 【解析】131x -<-<，即24x <<，故解集为(2,4) 2. 设32i i z +=，其中i 为虚数单位，则Im z =_________________ 【答案】3- 【解析】i(32i)23i z =-+=-，故Im 3z =- 3. 1l :210x y +-=, 2l :210x y ++=, 则12,l l 的距离为__________________ 【解析】d == 4. 某次体检，6位同学的身高（单位:米）分别为1.72,1.78,1.75,1.80,1.69,1.77，则这组数据的中位数是___ （米） 【答案】1.76 5. 已知点(3,9)在函数()1x f x a =+的图像上，则()f x 的反函数1()f x -=____________ 【答案】2log (1)x - 【解析】319a +=，故2a =，()12x f x =+ ∴2log (1)x y =- ∴12()log (1)f x x -=- 6. 如图，在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 的边长为3，1BD 与底面所成角的大小为2arctan 3 ， 则该正四棱柱的高等于____________________ 【答案】 【解析】BD =, 123 DD BD =?= 7. 方程3sin 1cos 2x x =+在区间[0,2π]上的解为________________
【真题】2019年上海市高考数学试题含答案解析
2018年高考数学真题试卷（上海卷） 一、填空题 1.（2018?上海）行列式41 25 的值为 。 【答案】18 【解析】【解答】 41 25 =45-21=18 【分析】 a c b d =ad-bc 交叉相乘再相减。 【题型】填空题 【考查类型】中考真题 【试题级别】高三 【试题地区】上海 【试题来源】2018年高考数学真题试卷（上海卷） 2.（2018?上海）双曲线2 214 x y -=的渐近线方程为 。 【答案】12 y x =± 【解析】【解答】2 214x y -=，a=2，b=1。故渐近线方程为12 y x =± 【分析】渐近线方程公式。注意易错点焦点在x 轴上，渐近线直线方程为22 221x y b a -=时， b y x a =± 。 【题型】填空题 【考查类型】中考真题 【试题级别】高三
【试题地区】上海 【试题来源】2018年高考数学真题试卷（上海卷） 3.（2018?上海）在（1+x ）7的二项展开式中，x 2项的系数为 。（结果用数值表示） 【答案】21 【解析】【解答】（1+x ）7中有T r+1=7r r C x ，故当r=2时，2 7C = 76 2 ?=21 【分析】注意二项式系数，与各项系数之间差别。考点公式()n a b +第r+1项为T r+1=r n r r n C a b -。 【题型】填空题 【考查类型】中考真题 【试题级别】高三 【试题地区】上海 【试题来源】2018年高考数学真题试卷（上海卷） 4.（2018?上海）设常数a R ∈，函数2()log ()f x x a =+，若f x （） 的反函数的图像经过点31（，），则a= 。 【答案】7 【解析】【解答】f x （） 的反函数的图像经过点31（，），故()f x 过点3（1，），则()13f =， ()2log 1a +=3，1+a=23所以a=23-1，故a=7. 【分析】原函数()f x 与反函数图像关于y=x 对称，如：原函数上任意点()00,x y ，则反函数上 点为 ()00,y x 【题型】填空题 【考查类型】中考真题 【试题级别】高三 【试题地区】上海
上海市高考数学试卷(理科)解析
2015年上海市高考数学试卷（理科） 一、填空题（本大题共有14题，满分48分．）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对4分，否则一律得零分． 1．（4分）（2015?上海）设全集U=R．若集合Α={1，2，3，4}，Β={x|2≤x≤3}，则Α∩?UΒ=． 2．（4分）（2015?上海）若复数z满足3z+=1+i，其中i是虚数单位，则z=． 3．（4分）（2015?上海）若线性方程组的增广矩阵为解为，则c1﹣c2=．4．（4分）（2015?上海）若正三棱柱的所有棱长均为a，且其体积为16，则a=． 5．（4分）（2015?上海）抛物线y2=2px（p＞0）上的动点Q到焦点的距离的最小值为1，则p=． 6．（4分）（2015?上海）若圆锥的侧面积与过轴的截面面积之比为2π，则其母线与轴的夹角的大小为． 7．（4分）（2015?上海）方程log2（9x﹣1﹣5）=log2（3x﹣1﹣2）+2的解为． 8．（4分）（2015?上海）在报名的3名男老师和6名女教师中，选取5人参加义务献血，要求男、女教师都有，则不同的选取方式的种数为（结果用数值表示）． 9．（2015?上海）已知点P和Q的横坐标相同，P的纵坐标是Q的纵坐标的2倍，P和Q 的轨迹分别为双曲线C1和C2．若C1的渐近线方程为y=±x，则C2的渐近线方程为．10．（4分）（2015?上海）设f﹣1（x）为f（x）=2x﹣2+，x∈[0，2]的反函数，则y=f（x）+f﹣1（x）的最大值为． 11．（4分）（2015?上海）在（1+x+）10的展开式中，x2项的系数为（结果用数值表示）． 12．（4分）（2015?上海）赌博有陷阱．某种赌博每局的规则是：赌客先在标记有1，2，3，4，5的卡片中随机摸取一张，将卡片上的数字作为其赌金（单位：元）；随后放回该卡片，再随机摸取两张，将这两张卡片上数字之差的绝对值的1.4倍作为其奖金（单位：元）．若随机变量ξ1和ξ2分别表示赌客在一局赌博中的赌金和奖金，则Eξ1﹣Eξ2=（元）．