单摆受力与摆角关系的研究

一、实验目的

1．研究不同起始摆角单摆的受力情况

2．研究大角度下阻尼对单摆摆动周期的影响

二、实验原理

1，绳的张力

如图１，从小球受力分析中可知, 小球受两个力的作用:重力mg 和绳的拉力T。设单摆初始释放角度为θ０，摆动过程中某一角度为θ．根据牛顿第二定律，可知:

（１）

由机械能守恒关系得：

（２）

式中ｈ０为初始摆角θ０时摆球离最

低点高度，ｈ为摆角θ处的高度，又: 图（一）ｈ＝Ｌ（１－ｃｏｓθ）

ｈ０＝Ｌ（１－ｃｏｓθ０）

代入式（２）可得:

（3）

联立式（１）可得

Ｔ＝ｍｇｃｏｓθ＋２ｍｇ（ｃｏｓθ－ｃｏｓθ０）

＝ｍｇ（３ｃｏｓθ－２ｃｏｓθ０）（4）

当θ＝θ０，即单摆位于最高点时，由式（4）知

Ｔ０最小＝ｍｇｃｏｓθ０，此时绳中张力最小。

当θ＝０，即单摆位于最低点时，由式（4）知

Ｔ０最大＝ｍｇ（３－２ｃｏｓθ０），此时绳中张力最大。

单摆绳中张力与绳子长度Ｌ无关，无论摆球的初始角度如何，

张力表达式都相同。ma= - mg sinθ

即,

2，大角度下阻尼对单摆张力的影响

在大角度情况下摆动周期做，会引起了多次摆动后阻尼累积带来的影响。在多次摆动中，可以把第一次摆动近似为无阻尼摆动。此后单摆的摆动角度会逐渐减小，摆动情况会接近越来越接近小角度。由于数学推导多次摆动后的单摆所受的张力较难。可通过拉力传感器直接测量、观察。

三、实验装置

1，铁架台，绳子，摆球，力传感器

四、实验步骤

1，按实验装置图连接实验装置，调节铜管口方向，和拉力传感器的位置，使静止时单摆线成一直线。

2，测量用螺旋测微计小球直径，用米尺测量摆长，用力传感器测量小球重力。

3，打开力传感器，把摆球拉高到一定角度，静止释放小球，记录力传感器受到的拉力。比较测量值与理论值的误差。画出

θ０—T最高图及θ０—T最低图。

4，把摆球拉高到不同的角度，重复步骤2.比较不同角度下落的摆球对力传感器的拉力大小。观察多次摆动后单摆受力的改变

五、数据处理

1，把第一次摆动当作是无阻尼摆动，测量不同起始摆角条件下第一

次摆动摆球在最高点和最低点所受的拉力。

球直径d1=20.474 mm，d2=20.490 mm，d3=20.491mm 游标卡尺初始读数d0=0.496mm,线长l0=79.8cm

d=[(d1-d0)+ (d1-d0) +(d1-d0)]/3=19.989mm

摆长l= l0+d/2=80.8cm

mg=0.32N L OA/=39.0cm θ０=arctan(L OA/L AB)

L AB/cm 20.0 30.0 40.0 50.0 ——θ０27.2°37.6°45.7°50.0°90°T最高/N 0.311 0.310 0.250 0.261 0.04 Ｔ０最小/N0.292 0.253 0.223 0.206 0

T最低/N 0.371 0.430 0.471 0.580 0.90 Ｔ０最大/N0.390 0.453 0.513 0.549 0.96

2，观察多次摆动时，阻尼对单摆张力的影响。

画出摆球多次摆动时绳子拉力最大值和最小值的包洛线。观察最大值和最小值的变化。

观察同一幅图可以看出，同一起始摆角的绳子拉力最大值的变化趋势是逐渐变小的，而最小值是逐渐变大的。比较不同的几幅图可以看出，起始摆角越大，这最大值变大和最小值变小的趋势就越大。

六、存在问题与解决办法

1、铜管对绳的拉力比较大，导致某些角度测量的拉力比摆球实际给绳子的拉力大。

改进方法：1，把铜管的开口磨得比较平滑，或加润滑油、更换比较滑的绳子。2，增加小球质量，减小摩擦了造成的相对误差。

2，小球释放的时候不够稳定导致小球不是做严格的单摆运动。造成偶然误差。

改进方法：1，加装电磁铁，用电磁铁控制小球从静止释放。2，多次测量减小偶然误差。

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