梯形蝴蝶定理
梯形蝴蝶定理
如上图，在梯形中，存在以下关系：
1.相似图形，面积比等于对应边长比的平方S1：S2=a2/b2
2.S1:S2:S3:S4= a2:b2:ab:ab
3.S3=S4
4.S1×S2=S3×S4(由S1/S3=S4/S2推导出)
5.AO:BO=(S1+S3):(S2+S4)
【例】E是平行四边形ABCD的CD边上的一点，BD、AE相交于点F，已知三角形AFD的面积是6，三角形DEF的面积是4，求四边形BCEF的面积为多少？
【解】如图，由梯形蝴蝶定理可得△BEF面积等于6，而△ABF的面积为6×6÷4=9
因为△BCD面积等于△ABD，所以△BCE面积为9+6-6-4=5
因此所求四边形面积为5+6=11。
蝴蝶定理的证明：
右上角为A，左下角为B
S1和S2的的三角形是相似的（AAA）~~~所以面积比=边长比的平方即a2：b2
设梯形高为h，S3+S2=1/2 bh=S4+S2。。。。所以S3=S4
设S3+S1的三角形的AB上的高为h1，可知S3:S1=OB:OA
因为S1和S2的的三角形是相似，S3:S1=OB:OA=b：a
所以S1︰S2︰S3︰S4= a^2︰b^2︰ab︰ab
射影定理
公式: 如图，Rt△ABC中，∠ABC=90°，BD是斜边AC上的高，则有射影定理如下：（1）(BD)^2=AD·DC，（2）(AB)^2=AD·AC ，（3）(BC)^2=CD·CA 。
等积式（4）AB×BC=AC×BD(可用“面积法”来证明）
直角三角形射影定理的证明
射影定理简图(几何画板)：
（主要是从三角形的相似比推算来的）
证法一
在△BAD与△BCD中，∵∠ABD+∠CBD=90°，且∠CBD+∠C=90°，
∴∠ABD=∠C，
又∵∠BDA=∠BDC=90°
∴△BAD∽△CBD
∴ AD/BD=BD/CD
即BD^2=AD·DC。其余同理可得可证
注：由上述射影定理还可以证明勾股定理。
有射影定理如下：AB^2=AD·AC，BC^2=CD·CA
两式相加得：AB^2+BC^2=AD·AC+CD·AC =（AD+CD)·AC=AC^2 .
即AB^2+BC^2=AC^2（勾股定理结论）。
证法二
已知:三角形中角A=90度，AD是高.
用勾股证射影
∵AD^2=AB^2-BD^2=AC^2-CD^2，
∴2AD^2=AB+AC-BD-CD=BC-BD-CD=(BD+CD)-(BD+CD)=2BD×CD.
故AD^2=BD×CD.
运用此结论可得:AB=BD+AD=BD+BD×CD=BD×(BD+CD) =BD×BC，AC=CD+AD=CD+BD×CD=CD(BD+CD)=CD×CB.
综上所述得到射影定理。同样也可以利用三角形面积知识进行证明。
椭圆中的蝴蝶定理及其应用
2003年北京高考数学卷第18（III）题考查了椭圆内的蝴蝶定理的证明，本文给出了一般圆锥曲线的蝴蝶定理的两种形式，并由它们得到 圆锥曲线的若干性质. 定理1：在圆锥曲线中，过弦AB中点M任作两条弦CD和EF，直线CE与DF 交直线AB于P，Q，则有. 证明：如图1，以M为原点，AB所在的直线为y轴，建立直角坐标系. 设圆锥曲线的方程为(*)，设A（0，t），B（0，-t），知t，-t是的两个根，所以. 若CD，EF有一条斜率不存在，则P，Q与A，B重合，结论成立. 若CD，EF斜率都存在，设C（x1，k1x1）, D（x2，k1x2），E（x3，k2x3）, F（x4,k2x4），P（0，p），Q（0， q），, ,同理, 所以 将代入(*)得,又得 , , 同理 , ，所以，即 .
注:2003年高考 数学北京卷第18 （III）题，就是定理1中取圆锥曲线为椭圆，AB为平行长轴的弦的特殊情形. 定理2：在圆锥曲线中，过弦AB端点的切线交于点M，过M的直线l∥AB，过M任作两条弦CD和EF，直线CE与DF交直线l于P，Q，则有. 证明：如图2，以M为原点，AB所在的直线为y轴，建立直角坐标系. 设圆锥曲线的方程为(*)，设A（），B（），则切线MA的方程是，切线MB的方程是 ，得，所以.（下面与定理1的证明相同，略） 特别的，当弦AB垂直圆锥曲线的对称轴时，点M在圆锥曲线的该对称轴上. 性质1：过点M（m，0）做椭圆、双曲线的弦CD，EF是其焦点轴， 则直线CE、DF的连线交点G在直线l：上.特别的，当M为焦点时，l就是准线.当M为准线与焦点轴所在直线的交点时，l就是过焦点的直线. 证明：如图3，过M做直线AB垂直焦点轴所在的直线，直线CE与DF交直线AB于P，Q，则根据定理1，定理2得.
梯形蝴蝶定理
梯形蝴蝶定理 如上图，在梯形中，存在以下关系： 1.相似图形，面积比等于对应边长比的平方S1：S2=a2/b2 2.S1:S2:S3:S4= a2:b2:ab:ab 3.S3=S4 4.S1×S2=S3×S4(由S1/S3=S4/S2推导出) 5.AO:BO=(S1+S3):(S2+S4) 【例】E是平行四边形ABCD的CD边上的一点，BD、AE相交于点F，已知三角形AFD的面积是6，三角形DEF的面积是4，求四边形BCEF的面积为多少？ 【解】如图，由梯形蝴蝶定理可得△BEF面积等于6，而△ABF的面积为6×6÷4=9 因为△BCD面积等于△ABD，所以△BCE面积为9+6-6-4=5 因此所求四边形面积为5+6=11。 蝴蝶定理的证明：
右上角为A，左下角为B S1和S2的的三角形是相似的（AAA）~~~所以面积比=边长比的平方即a2：b2 设梯形高为h，S3+S2=1/2 bh=S4+S2。。。。所以S3=S4 设S3+S1的三角形的AB上的高为h1，可知S3:S1=OB:OA 因为S1和S2的的三角形是相似，S3:S1=OB:OA=b：a 所以S1︰S2︰S3︰S4= a^2︰b^2︰ab︰ab 射影定理 公式: 如图，Rt△ABC中，∠ABC=90°，BD是斜边AC上的高，则有射影定理如下：（1）(BD)^2=AD·DC，（2）(AB)^2=AD·AC ，（3）(BC)^2=CD·CA 。 等积式（4）AB×BC=AC×BD(可用“面积法”来证明） 直角三角形射影定理的证明 射影定理简图(几何画板)： （主要是从三角形的相似比推算来的） 证法一 在△BAD与△BCD中，∵∠ABD+∠CBD=90°，且∠CBD+∠C=90°， ∴∠ABD=∠C， 又∵∠BDA=∠BDC=90°
蝴蝶定理的证明及推广
一 蝴蝶定理的证明 （一）运用简单的初中高中几何知识的巧妙证明 蝴蝶定理经常在初中和高中的试卷中出现，于是涌现了很多利用中学简单几何 方法完成蝴蝶定理的方法。 1 带有辅助线的常见蝴蝶定理证明 在蝴蝶定理的证明中有各种奇妙的辅助线，同时诞生了各种美妙的思想，蝴蝶定理在这些辅助线的帮助下，翩翩起舞！ 证法1 如图2，作OU AD OV BC ⊥⊥，，则垂足U V ，分别为AD BC 、的中点，且由于 EUO EMO 90∠=∠=? FVO FMO 90∠=∠=? 得M E U O 、、、共圆；M F V O 、、、共圆。 则AUM=EOM MOF MVC ∠∠∠=∠， 又MAD MCB ，U V 、为AD BC 、的中点，从而M U A M V ?? ， AUM MVC ∠=∠ 则 EOM MOF ∠=∠，于是ME=MF 。[1] 证法2 过D 作关于直线OM 的对称点D'，如图3所示，则 FMD'EMD MD=MD'∠=∠， ○1 联结D'M 交圆O 于C'，则C 与C'关于OM 对称，即 PC'CQ =。又 111CFP=QB+PC =QB+CC'+CQ =BC'=BD'C'222 ∠∠（）（） 故M F B D'、、、四点共圆，即MBF MD'F ∠=∠ 而 M B F E D M ∠=∠ ○2 由○1、○2知，DME D'MF ???，故ME=MF 。 证法3 如图4，设直线DA 与BC 交于点N 。对NEF ?及截线AMB ，NEF ?及截线CMD 分别应用梅涅劳斯定理，有 F M E A N B 1M E A N B F ??=，FM ED NC 1ME DN CF ??= 由上述两式相乘，并注意到
蝴蝶定理的证明
图 5 蝴蝶定理的证明 定理：设M 为圆内弦PQ 的中点，过M 作弦AB 和CD 。设AD 和BC 各相交PQ 于点E 和F ，则M 是EF 的中点。 在蝴蝶定理的证明中有各种奇妙的辅助线，同时诞生了各种美妙的思想，蝴蝶定理在这些辅助线的帮助下，翩翩起舞！ 证法1 如图2，作OU AD OV BC ⊥⊥，，则垂足U V ，分别为AD BC 、的中点，且由于 EUO EMO 90∠=∠=? FVO FMO 90∠=∠=? 得M E U O 、、、共圆；M F V O 、、、共圆。 则AUM=EOM MOF MVC ∠∠∠=∠， 又MAD MCB ，U V 、为AD BC 、的中点，从而MUA MVC ??，AUM MVC ∠=∠ 则 EOM MOF ∠=∠，于是ME=MF 。 证法2 过D 作关于直线OM 的对称点D'，如图3所示，则 FMD'EMD MD=MD'∠=∠， ○ 1 联结D'M 交圆O 于C'，则C 与C'关于OM 对称，即 PC'CQ =。又 111CFP=QB+PC =QB+CC'+CQ =BC'=BD'C'222 ∠∠（）（） 故M F B D'、、、四点共圆，即MBF MD'F ∠=∠ 而 MBF EDM ∠=∠ ○2 由○1、○2知，DME D'MF ???，故ME=MF 。 证法 3 如图4，设直线DA 与BC 交于点N 。对NEF ?及截线AMB ，NEF ?及截线CMD 分别应用梅涅劳斯定理，有 FM EA NB 1ME AN BF ??=，FM ED NC 1ME DN CF ??= 由上述两式相乘，并注意到 NA ND NC NB ?=? 得 2 2 FM AN ND BF CF BF CF ME AE ED BN CN AE ED ?=???=? ()()()()2 2 22 PM MF MQ MF PM MF PM ME MQ+ME PM ME -= =-+-- 化简上式后得ME=MF 。 [2] 2 不使用辅助线的证明方法 单纯的利用三角函数也可以完成蝴蝶定理的证明。 证法 4 （Steven 给出）如图5，并令 图 2 图 3 图 4
蝴蝶定理
一、蝴蝶定理的发展历程简介：。 蝴蝶定理最先是作为一个征求证明的问题，刊载于1815年的一份通俗杂志《男士日记》上。由于其几何图形形象奇特、貌似蝴蝶，便以此命名，定理内容：圆O中的弦PQ的中点M，过点M任作两弦AB，CD，弦AD与BC分别交PQ于X，Y，则M为XY之中点。 如图,过圆中弦AB的中点作M引任意两弦CD和EF,连结CF和ED,分别交AB于P、Q，则PM＝QM 由于此图形似只蝴蝶飞舞，故此定理因此而得名：蝴蝶定理。此定理早在1815年在英国杂志《男士日记》上见刊，征求证明，有意思的是，迟到1972年以前，人们的证明都并非初等，且十分繁琐。然近些年来，证明者不乏其人，使得这只翩翩起舞的蝴蝶栖止不定，变化多端。笔者结合自己的证明和收集别人的研究，整理证法十种，以飨读者。 证法1 （证∠POM＝∠QOM） 作CF、DE的弦心距OG、OH，连OM，则OM⊥AB且OGPM四点共圆。 ∴∠POM＝∠PGM…①。同理，∠QOM＝∠QHM…② ∵△MFC∽MDE，∴MF﹕FC＝MD﹕DE ∴MF﹕2FG＝MD﹕2DH，∴MF﹕FG＝MD﹕DH ∠F＝∠D ∴△MFG∽△MDH，∴∠MGF＝∠MHD…③
由①②③得：∠POM＝∠QOM ∴PM＝QM 证法2 （作△PMD′≌△QM D） 作C关于直线OM的对称点C＇连C＇M交⊙O于D＇，则AC弧＝BC＇弧，MD＇＝MD，∠PMD＇＝∠QMD ∠CPM＝0.5AF弧＋0.5BC＇C弧＝0.5AF弧＋0.5AC弧＋0.5CC＇弧＝0.5FCC＇弧＝∠FD＇M 从而PFD’M四点共圆。 ∴∠PD’M＝∠PFM＝∠D ∴在△PD’M与△QDM中 ∠PD’M＝∠D MD’＝MD ∠PMD’＝∠QMD ∴△PMD’≌△QMD ∴PM＝QM 证法3 （利用梅氏定理） 延长CF、ED相交于G点。
(完整word版)蝴蝶定理的八种证明及三种推广
蝴蝶定理的证明 定理：设M 为圆内弦PQ 的中点，过M 作弦AB 和CD 。设AD 和BC 各相交PQ 于点E 和F ，则M 是EF 的中点。 在蝴蝶定理的证明中有各种奇妙的辅助线，同时诞生了各种美妙的思想，蝴蝶定理在这些辅助线的帮助下，翩翩起舞！ 证法1 如图2，作OU AD OV BC ⊥⊥，，则垂足U V ，分别为AD BC 、的中点，且由于 EUO EMO 90∠=∠=? FVO FMO 90∠=∠=? 得M E U O 、、、共圆；M F V O 、、、共圆。 则AUM=EOM MOF MVC ∠∠∠=∠， 又MAD MCB ，U V 、为AD BC 、的中点，从而MUA MVC ??，AUM MVC ∠=∠ 则 EOM MOF ∠=∠，于是ME=MF 。 证法2 过D 作关于直线OM 的对称点D'，如图3所示，则 FMD'EMD MD=MD'∠=∠， ○ 1 联结D'M 交圆O 于C'，则C 与C'关于OM 对称，即 PC'CQ =。又 111CFP=QB+PC =QB+CC'+CQ =BC'=BD'C'222 ∠∠（）（） 故M F B D'、、、四点共圆，即MBF MD'F ∠=∠ 而 MBF EDM ∠=∠ ○2 由○1、○2知，DME D'MF ???，故ME=MF 。 证法 3 如图4，设直线DA 与BC 交于点N 。对NEF ?及截线AMB ，NEF ?及截线CMD 分别应用梅涅劳斯定理，有 FM EA NB 1ME AN BF ??=，FM ED NC 1ME DN CF ??= 由上述两式相乘，并注意到 NA ND NC NB ?=? 得 2 2 FM AN ND BF CF BF CF ME AE ED BN CN AE ED ?=???=? ()()()()2 2 22 PM MF MQ MF PM MF PM ME MQ+ME PM ME -= =-+-- 化简上式后得ME=MF 。[2] 2 不使用辅助线的证明方法 单纯的利用三角函数也可以完成蝴蝶定理的证明。 图 2 图 3 图 4
蝴蝶定理的证明及推广
摘要 蝴蝶定理想象洵美，蕴理深刻，近两百年来，关于蝴蝶定理的研究成果不断，引起了许多中外数学家的兴趣。到目前为止，关于蝴蝶定理的证明就有60多种，其中初等证法就有综合证法、面积证法、三角证法、解析证法等。而基于蝴蝶定理的推广与演变，能得到很多有趣与漂亮的结果。 关键词：蝴蝶定理；证明；推广； 一摘要 [1]作者简介：陈富，祖籍江苏泰州，现就读于湖南工业大学机械工程学院机械系。 [2]指导老师简介：刘东南，祖籍湖南邵阳，现任湖南工业大学讲师。
在20世纪20年代时，蝴蝶定理作为一道几何题传到我国中学数学界，严济慈教授在《几何证题法》中有构思奇巧的证明。 如可将蝴蝶定理中的圆“压缩变换”为椭圆，甚至变为双曲线、抛物线、筝形、凸四边形、两直线，都依然成立。另外，如果将蝴蝶定理中的条件一般化，即M 点不再是中点，能得到坎迪定理、若M 、N 点是AB 的三等分点，两次应用坎迪定理，能得到“三翅蝴蝶定理”。 二 蝴蝶定理的证明 （一）运用简单的初中高中几何知识的巧妙证明 蝴蝶定理经常在初中和高中的试卷中出现，于是涌现了很多利用中学简单几何 方法完成蝴蝶定理的方法。 1 带有辅助线的常见蝴蝶定理证明 在蝴蝶定理的证明中有各种奇妙的辅助线，同时诞生了各种美妙的思想，蝴蝶定理在这些辅助线的帮助下，翩翩起舞！ 证法1 如图2，作OU AD OV BC ⊥⊥，，则垂足U V ，分别为AD BC 、的中点，且由于 EUO EMO 90∠=∠=? FVO FMO 90∠=∠=? 得M E U O 、、、共圆；M F V O 、、、共圆。 则AUM=EOM MOF MVC ∠∠∠=∠， 又MAD MCB ，U V 、为AD BC 、的中点，从而MUA MVC ?? ，AUM MVC ∠=∠ 则 EOM MOF ∠=∠，于是ME=MF 。[1] 证法2 过D 作关于直线OM 的对称点D'，如图3所示，则 FMD'EMD MD=MD'∠=∠， ○1 联结D'M 交圆O 于C'，则C 与C'关于OM 对称，即 PC'CQ =。又 111CFP=QB+PC =QB+CC'+CQ =BC'=BD'C'222 ∠∠（）（） 故M F B D'、、、四点共圆，即MBF MD'F ∠=∠ 而 M B F E D M ∠=∠ ○2 图 2 图 3
蝴蝶定理
蝴蝶定理 少26杨明煜 蝴蝶定理最早在1815年在英国杂志《男士日记》上见刊，征求证明，由于其几何图形形象奇特、貌似蝴蝶，便以此命名。蝴蝶定理出现过许多优美奇特的解法，其中最早的，应首推霍纳在1815年所给出的证法。有意思的是，迟至1972年，人们都均用高等数学给出繁琐的证明。然近些年来，证明者不乏其人，使得这只翩翩起舞的蝴蝶栖止不定，变化多端。至于初等数学的证法，在国外资料中，一般都认为是由一位中学教师斯特温首先提出的，他给予出的是面积证法，其中应用了面积公式：S=1/2 AB·AC·sinA。1969年，查克里恩给出蝴蝶定理的逆定理：任何具有蝴蝶性质的凸闭曲线必定是椭圆。1985年，在河南省《数学教师》创刊号上，杜锡录老师以《平面几何中的名题及其妙解》为题，向国内介绍蝴蝶定理，从此蝴蝶定理在中国传开。接着，我国数学教育者马明在论文中指出，将蝴蝶定理弦AB上的M点，拓广到弦AB外，蝴蝶定理仍然有成立之处。从此以后，蝴蝶定理的研究出现了一个高潮，人们发现，不仅仅是圆，任何二次曲线中蝴蝶定理都有适用的形式，例如椭圆中的蝴蝶定理。1990年，出现了筝形中的蝴蝶定理，并发现，蝴蝶定理在退化的二次曲线中仍然适用。关于蝴蝶定理的证明，仅在初等几何的范围内，就有多达50多种证法，譬如综合法、面积法、三角法、解析法、相似法、向量法、全等三角形法等等。 证明
引理1：共边定理引理2：共角定理
引理3： 共圆定理证：
连结AP，PD，CQ，QB 若MX=MY，则MX/MY=MP/MQ=1,MX/MP=MY/MQ,MX/XP=MY/YQ，MX/XP·YQ/MY=1 ∴往证MX/XP·YQ/MY=1 MX/XP·YQ/MY=S△AMD/S△APD·S△CQB/S△CMB(共边定理) =S△AMD/S△CMB·S△CQB/S△APD =MA·MD/MB·MC(共角定理)·CQ·QB·BC/AP·PD·DA(共圆定理) =MA/MB·MD/MC·QB/AP·CQ/PD·BC/DA =MA/MB·MD/MC·MB/MP·MQ/MD·MC/MA（相似） =MQ/MP=1 （证 毕）
小学几何之蝴蝶定理
几何之蝴蝶定理 一、 基本知识点 定理1：同一三角形中，两个三角形的高相等，则面积之比 等于对应底边之比。 S 1 : S 2 = a : b 定理2：等分点结论( 鸟头定理) 如图，三角形△AED 的面积占三角形△ABC 的面积的 20 34153=? 定理3：任意四边形中的比例关系( 蝴蝶定理) 1） S 1∶S 2 =S 4∶S 3 或 S 1×S 3 = S 2×S 4 上、下部分的面积之积等于左、右部分的面积之积 2）AO ∶OC = （S 1＋S 2）∶（S 4＋S 3） 梯形中的比例关系( 梯形蝴蝶定理) 1）S 1∶S 3 =a 2∶b 2 上、下部分的面积比等于上、下边的平方比 2）左、右部分的面积相等 3）S 1∶S 3∶S 2∶S 4 =a 2∶b 2 ∶ab ∶ab 4）S 的对应份数为（a+b ）2 定理4：相似三角形性质
C B E F D A 1） H h C c B b A a === 2） S 1 ∶S 2 = a 2 ∶A 2 定理5：燕尾定理 S △ABG ∶ S △AGC = S △BGE ∶ S △GEC = BE ∶EC S △BGA ∶ S △BGC = S △AGF ∶ S △GFC = AF ∶FC S △AGC ∶ S △BCG = S △ADG ∶ S △DGB = AD ∶DB 二、 例题分析 例1、如图，AD DB =，AE EF FC ==，已知阴影部分面积为5平方厘米，ABC 的面积是多少平方厘米？ 例2、有一个三角形ABC 的面积为1，如图，且12AD AB =，13BE BC =，1 4 CF CA =，求三角形DEF 的面积. 例3、如图，在三角形ABC 中，，D 为BC 的中点，E 为AB 上的一点，且BE= 1 3 AB,已知四边形EDCA 的面积是35，求三角 形ABC 的面积.
圆锥曲线中的蝴蝶定理及其应用
圆锥曲线中的蝴蝶定理及其应用 金荣生（上海市市北中学 200071） 2003年北京高考数学卷第18（III ）题考查了椭圆内的蝴蝶定理的证明，本文给出了一般圆锥曲线的蝴蝶定理的两种形式，并由它们得到圆锥曲线的若干性质. 定理1：在圆锥曲线中，过弦AB 中点M 任作两条弦CD 和EF ，直线CE 与DF 交直线AB 于P ，Q ，则有MQ MP =. 证明：如图1，以M 为原点，AB 所在的直线为y 轴，建立直角坐标系. 设圆锥曲线的方程为022=+++++F Ey Dx Cy Bxy Ax (*)，设A （0，t ），B （0，-t ），知t ，-t 是02=++F Ey Cy 的两个根，所以0=E . 若CD ，EF 有一条斜率不存在，则P ，Q 与A ，B 重合，结论成立. 若CD ，EF 斜率都存在，设C （x 1，k 1x 1）, D （x 2，k 1x 2），E （x 3，k 2x 3）, F （x 4,k 2x 4），P （0，p ），Q （0，q ）， 1 111 31132)(:x k x x x x x k x k y CE +-?--=, 1 321 31111131132) ()0(x x k k x x x k x x x x k x k p --=+-?--= ,同理242142)(x x k k x x q --=, 所以) ()()] ()()[(13244321214321x x x x x x x x x x x x k k q p -?-+-+-= + 将x k y 1=代入(*)得0 )()(122 11=+++++F x Ek D x Ck Bk A ,又0=E 得 2 1 121Ck Bk A D x x ++-= +, 2 1 121Ck Bk A F x x ++= , 同理 2 2 243Ck Bk A D x x ++-= +, 22 243Ck Bk A F x x ++= ，所以0=+q p ，即MQ MP =. 注:2003年高考数学北京卷第18（III ）题，就是定理1中取圆锥曲线为椭圆，AB 为平行长轴的弦的特殊情形. 定理2：在圆锥曲线中，过弦AB 端点的切线交于点M ，过M 的直线l ∥AB ，过M 任作两条弦CD 和EF ，直线CE 与DF 交直线l 于P ，Q ，则有MQ MP =.
蝴蝶定理
不会飞的蝴蝶 ——蝴蝶定理 在中学平面几何中，有这样一个著名的命题： 过一圆的弦AB的中点M引任意两弦CD和EF，连结 CF和ED交AB于Q、P。 求证：PM=MQ。 由于题目的图形象一只蝴蝶，因此后人给它取名为 “蝴蝶定理”。 这个题最早出现在公元1815年西欧的一本通俗杂志《男士日记》上，登出来是为了征求证明。 登出的当年，英国一个自学成才的中学数学教师霍纳就给出了第一个证明。不过，霍纳的证明比较繁，使用的知识也比较深。 158年以后的1973年，又一位中学教师斯特温利用三角形面积关系，给出了一个漂亮而简捷的证明。从这以后，这个定理限于初等数学，甚至只限于初中数学的证明象雨后春笋般脱颖而出，证法多得不枚胜举。下面仅举四例与读者共同欣赏。 证法一：（斯特温法）如图，设AM=MB=a，MQ=x， PM=y。又设△EPM、△CMQ、△FMQ、△DMP的面积分别 为S1、S2、S3、S4。
因为∠E =∠C ，∠D =∠F ，∠CMQ =∠PMD ，∠FMQ =∠PME ， 所以有 1 4433221S S S S S S S S ???=1， 即 PME PM AE FMQ MF MQ F FQ MF D DP DM PMD MD MP CMQ MQ MC C CQ MC E EM PE sin sin sin sin sin sin sin sin ??????????????????? =22 )()(PM FQ CQ MQ DP PE ????=1。 就是 PE ·DP ·(MQ )2=CQ ·FQ ·(MP )2。 由相交弦定理有 CQ ·FQ =BQ ·QA =(a -x )(a+x ) =a 2-x 2， PE ·DP =AP ·PB =(a -y )(a+y ) =a 2-y 2， 所以有 (a 2-y 2)x 2=(a 2-x 2)y 2， 即 a 2y 2=a 2x 2， ∵ x 、y 都是正数， ∴ x=y ， 即 PM =MQ 。 这就是斯特温的证明方法。
蝴蝶定理
蝴蝶定理最先是作为一个征求证明的问题，刊载于1815年的一份通俗杂志《男士日记》上。由于其几何图形形象奇特、貌似蝴蝶，便以此命名，定理内容：圆O中的弦PQ的中点M，过点M任作两弦AB，CD，弦AD与BC分别交PQ于X，Y，则M为XY之中点。 出现过许多优美奇特的解法，其中最早的，应首推霍纳在1815年所给出的证法。至于初等数学的证法，在国外资料中，一般都认为是由一位中学教师斯特温首先提出的，它给予出的是面积证法，其中应用了面积公式：S=1/2 BCSINA。1985年，在河南省《数学教师》创刊号上，杜锡录同志以《平面几何中的名题及其妙解》为题，载文向国内介绍蝴蝶定理，从此蝴蝶定理在神州大地到处传开。 这里介绍一种较为简便的初等数学证法。 证明：过圆心O作AD与BC的垂线，垂足为S、T，连接OX，OY，OM，SM，MT。 ∵△AMD∽△CMB ∴AM/CM=AD/BC ∵SD=1/2AD，BT=1/2BC ∴AM/CM=AS/CT 又∵∠A=∠C ∴△AMS∽△CMT ∴∠MSX=∠MTY ∵∠OMX=∠OSX=90° ∴∠OMX+∠OSX=180° ∴O，S，X，M四点共圆 同理，O，T，Y，M四点共圆 ∴∠MTY=∠MOY，∠MSX=∠MOX ∴∠MOX=∠MOY ， ∵OM⊥PQ ∴XM=YM 这个定理在椭圆中也成立，如图 1，椭圆的长轴A1、A2与x轴平行，短轴B1B2在y轴上，中心为M（o，r）（b＞r＞0）。（Ⅰ）写出椭圆的方程，求椭圆的焦点坐标及离心率； （Ⅱ）直线y=k1x交椭圆于两点C（x1,y1）,D(x2，y2)（y2＞0）；直线y=k2x交椭圆于两点G（x3，y3），H（x4，y4）（y4＞0）。 求证：k1x1x2／(x1+x2)=k2x3x4／(x3+x4) （Ⅲ）对于（Ⅱ）中的C，D，G，H，设CH交X轴于点P，GD交X轴于点Q。 求证：| OP | = | OQ |。 （证明过程不考虑CH或GD垂直于X轴的情形） 2．解答：北京教育考试院招生考试办公室专家在公布的《2003年全国普通高等学校招生统一考试试题答案汇编》中给出的参考解答如下： （18）本小题主要考查直线与椭圆的基本知识，考查分析问题和解决问题的能力。满分15分。 （Ⅰ）解：椭圆方程为x2/a2+(y-r)2/b2=1 焦点坐标为 （Ⅱ）证明：将直线CD的方程y=k x代入椭圆方程，得b2x2+a2(k1x-r)2=a2b2，
蝴蝶定理
中学数学几何一个重要的定理----蝴蝶定理 蝴蝶定理想象洵美，蕴理深刻，近两百年来，关于蝴蝶定理的研究成果不断，引起了许多中外数学家的兴趣。到目前为止，关于蝴蝶定理的证明就有60多种，其中初等证法就有综合证法、面积证法、三角证法、解析证法等。而基于蝴蝶定理的推广与演变，能得到很多有趣与漂亮的结果。 蝴蝶定理最先是作为一个征求证明的问题，刊载于1815年的一份通俗杂志《男士日记》上。由于其几何图形形象奇特、貌似蝴蝶，便以此命名，定理内容：圆O中的弦PQ的中点M，过点M任作两弦AB，CD，弦AD与BC分别交PQ于E，F，则M为EF之中点。 关于蝴蝶定理的证明，出现过许多优美奇特的解法，并且知道现在还有很大的研究价值。其中最早的，应首推霍纳在1815年所给出的证法。至于初等数学的证法，在国外资料中，一般都认为是由一位中学教师斯特温首先提出的，它使用的是面积证法。1985年，在河南省《数学教师》创刊号上，杜锡录老师以《平面几何中的名题及其妙解》为题，载文向国内介绍蝴蝶定理，从此蝴蝶定理在神州大地到处传开。 在20世纪20年代时，蝴蝶定理作为一道几何题传到我国中学数学界，严济慈教授在《几何证题法》中有构思奇巧的证明。 如可将蝴蝶定理中的圆“压缩变换”为椭圆，甚至变为双曲线、抛物线、筝形、凸四边形、两直线，都依然成立。另外，如果将蝴蝶定理中的条件一般化，即M点不再是中点，能得到坎迪定理、若M、N点是AB的三等分点，两次应用坎迪定理，能得到“三翅蝴蝶定理”。
蝴蝶定理的证明 （一）运用简单的初中高中几何知识的巧妙证明 蝴蝶定理经常在初中和高中的试卷中出现，于是涌现了很多利用中学简单 几何方法完成蝴蝶定理的方法。 1 带有辅助线的常见蝴蝶定理证明 在蝴蝶定理的证明中有各种奇妙的辅助线，同时诞生了各种美妙的思想，蝴蝶定理在这些辅助线的帮助下，翩翩起舞！ 证法1 如图2，作OU AD OV BC ⊥⊥，，则垂足U V ，分别为AD BC 、的中点，且由于 EUO EMO 90∠=∠=? FVO FMO 90∠=∠=? 得M E U O 、、、共圆；M F V O 、、、共圆。 则AUM=EOM MOF MVC ∠∠∠=∠， 又MAD MCB :V V ，U V 、为AD BC 、的中点，从而MUA MVC ??:，AUM MVC ∠=∠ 则 EOM MOF ∠=∠，于是ME=MF 。[1] 证法2 过D 作关于直线OM 的对称点D'，如图3所示，则 FMD'EMD MD=MD'∠=∠， ○ 1 联结D'M 交圆O 于C'，则C 与C'关于OM 对称，即 PC'CQ =。又 111 CFP=QB+PC =QB+CC'+CQ =BC'=BD'C'222 ∠∠（）（） 故M F B D'、、、四点共圆，即MBF MD'F ∠=∠ 而 MBF EDM ∠=∠ ○2 由○1、○2知，DME D'MF ???，故ME=MF 。 证法3 如图4，设直线DA 与BC 交于点N 。对NEF ?及截线AMB ，NEF ?及截线CMD 分别应用梅涅劳斯定理，有 FM EA NB 1ME AN BF ??=，FM ED NC 1ME DN CF ??= 由上述两式相乘，并注意到 NA ND NC NB ?=? 得22 FM AN ND BF CF BF CF ME AE ED BN CN AE ED ?=???=?
蝴蝶定理的八种证明及三种推广
蝴蝶定理的证明 定理：设M 为圆内弦PQ 的中点，过M 作弦AB 和CD 。设AD 和BC 各相交PQ 于点E 和F ，则M 是EF 的中点。 在蝴蝶定理的证明中有各种奇妙的辅助线，同时诞生了各种美妙的思想，蝴蝶定理在这些辅助线的帮助下，翩翩起舞！ 证法1 如图2，作OU AD OV BC ⊥⊥，，则垂足U V ，分别为AD BC 、的中点，且由于 EUO EMO 90∠=∠=? FVO FMO 90∠=∠=? 得M E U O 、、、共圆；M F V O 、、、共圆。 则AUM=EOM MOF MVC ∠∠∠=∠， 又MAD MCB ，U V 、为AD BC 、的中点，从而MUA MVC ??，AUM MVC ∠=∠ 则 EOM MOF ∠=∠，于是ME=MF 。 ] 证法2 过D 作关于直线OM 的对称点D'，如图3所示，则 FMD'EMD MD=MD'∠=∠， ○ 1 联结D'M 交圆O 于C'，则C 与C'关于OM 对称，即 PC'CQ =。又 111 CFP=QB+PC =QB+CC'+CQ =BC'=BD'C'222 ∠∠（）（） 故M F B D'、、、四点共圆，即MBF MD'F ∠=∠ 而 MBF EDM ∠=∠ ○2 由○1、○2知，DME D'MF ???，故ME=MF 。 证法 3 如图4，设直线DA 与BC 交于点N 。对NEF ?及截线AMB ，NEF ?及截线CMD 分别应用梅涅劳斯定理，有 ） FM EA NB 1ME AN BF ??=，FM ED NC 1ME DN CF ??= 由上述两式相乘，并注意到 NA ND NC NB ?=? 得 2 2FM AN ND BF CF BF CF ME AE ED BN CN AE ED ?=???=? ()()()()2 2 22 PM MF MQ MF PM MF PM ME MQ+ME PM ME -= =-+-- 化简上式后得ME=MF 。[2] 2 不使用辅助线的证明方法 图 2 图 3 图 4
蝴蝶定理
“蝴蝶定理”和四点共圆 蝴蝶定理：如图1：设MN 是圆O 的弦，过MN 的中点A 任作两弦BC 、DE ，设CD 、EB 分别交MN 于P 、Q ．求证：AP ＝AQ ． 证明：如图2，连接OA 、OP 、OQ ，过O 点作OX ⊥CD 于X ，OY ⊥EB 于Y,连接AY 、AX 。 因为 OA ⊥MN ，由垂径定理可知：CX=XD,EY=BY. 在四边形OXPA 中，∠OAP=∠OXP=90°,于是有O 、X 、 P 、A 四点共圆，从而有∠AOP=∠AXC. (Ⅰ) 同理可得：A 、O 、Y 、Q 四点共圆， 有∠AOQ=∠AYE.(Ⅱ) 由∠C=∠E,∠D=∠B ，证得：△ADC ∽△ABE ， 有EB AE CD AC =，根据CX=XD,EY=BY ，有EQ AE CX AC 22=， 于是得出EQ AE CX AC =，结合∠C=∠E ， 证得△AXC ∽△AQE,有∠AXC=∠AYE,(Ⅲ) 综合(Ⅰ) 、(Ⅱ)、 (Ⅲ)，得出 ∠AOP=∠AOQ.① 由OA ⊥MN ，得知：∠OAP=∠OAQ=90° ② 加上 OA=OA ③ 由①、②、③可以证得△OAP ≌△OAQ, 由全等三角形的性质得出AP ＝AQ. 无独有偶，在教学实际中笔者遇到了这样一道题： 如图3，设MN 是圆O 外一直线，过O 作OA ⊥MN 于A ，自A 引圆的两条直线，交圆于B 、C 及D 、E ，直线EB 及CD 分别交MN 于P 、Q ．求证：AP ＝AQ ． 通过对“蝴蝶定理”的证明，我们可以看出，此题是把MN 由圆内移到了圆外，根据上题的思路，我们同样可以借鉴。证法简要叙述如下： 如图4所示，连接OP 、OQ ，过O 点作OX ⊥CD,OY ⊥BE ， 垂足分别为X 、Y ，连接AX 、AY 。 由OX ⊥CD ，OA ⊥MN ，得知∠OXQ=∠OAQ 于是O 、X 、A 、Q 四点共圆
蝴蝶定理的一个证明及其在圆锥曲线上的推广
蝴蝶定理的一个证明及其在圆锥曲线上的推广 摘要从蝴蝶定理及其证明的过程中，发现禁锢“蝴蝶”的条件，适当地变换条件，拓广适用范围，将圆内的蝴蝶飞出圆外.最后将蝴蝶定理在圆锥曲线上进行推广，并给出简洁证明. 关键词蝴蝶定理；圆锥曲线；衍变推广 The Proof and Promotion in Conical Curve of Butterfly Theorem Abstract Finding constraint condition of the Butterfly Theorem application basing the course of this proof, has properly transformed condition and spread applicable scope. Providing concise proof and applying the theorem to Conical Curve, one can reach a new level which widens its scope of application. Abstract Key words the Butterfly Theorem;Conical Curve; Development and generalization
蝴蝶定理的一个证明及其在 圆锥曲线上的推广 一 引言 蝴蝶定理最先是作为一个征求证明的问题，刊载于1815年的一份通俗杂志《男士 日记》上。由于其几何图形形象奇特、貌似蝴蝶，便以此命名，定理内容是： 蝴蝶定理 过圆O 的AB 弦中点M 引任意两弦CD 和EF ，连结CF 和ED ，交AB 弦于P 、 Q 两点，则有：PM=MQ. （如图一） 1944年2月《美国数学月刊》，直接以“蝴蝶定理”的美名进行征解，随后“蝴蝶 定理”的名称广为流传.蝴蝶定理(Butterfly theorem)出现过许多优美奇特的解法，其中最早的，应首推霍纳在职1815年所给出的证法.蝴蝶定理出现在《美国数学月刊》、《中学数理》、《数学难题》、《找到了》等等,至今它仍在遍布全球的数学百花园中. 1946年蝴蝶定理曾成为美国普特南大学数学竞赛的试题.由于蝴蝶定理想象洵美， 蕴理深刻，近两百年来，关于蝴蝶定理的研究成果不断，引起了许多中外数学家的兴趣.在20世纪20年代时，蝴蝶定理作为一道几何题传到我国中学数学界，严济慈教授在《几何证题法》中有构思奇巧的证明.1985年, 在我国河南省《数学教师》创刊号上, 杜锡录同志以《平面几何中的名题及其妙解》为题, 载文向国内介绍蝴蝶定理, 从此蝴蝶定理在国内广泛传开，证法不枚胜举. 二 蝴蝶定理的一个证明 下面提供一个不添助线且较简单的直接证法]1[. 证明：由图二易见，有四对相等的角，分别用字母,αβ,,γδ表示(如图二). 如图二，不妨设 题目的图形酷似一只蝴蝶，因此被后人称为“蝴蝶定理”.蝴蝶定理是平面几何中构图最优美、引起的关注也最多的定理之一. 据说后来有一不知名的诗人数学家发现这个问题的图形像蝴蝶的翅膀，于是称之为 “蝴蝶定理”.当时是为寻求解答而设制的、一直以来， 始终吸引着人们去探求新的更优美简捷的证法，探求她 的多种形式的推广. （图一）
小学几何之蝴蝶定理大全
小学几何之蝴蝶定理大全 一、 基本知识点 定理1：同一三角形中，两个三角形的高相等，则面积之比 等于对应底边之比。 S 1 : S 2 = a : b 定理2：等分点结论( 鸟头定理) 如图，三角形△AED 的面积占三角形△ABC 的面积的 20 3 4153= ? 定理3：任意四边形中的比例关系( 蝴蝶定理) 1） S 1∶S 2 =S 4∶S 3 或 S 1×S 3 = S 2×S 4 上、下部分的面积之积等于左、右部分的面积之积 2）AO ∶OC = （S 1＋S 2）∶（S 4＋S 3） 梯形中的比例关系( 梯形蝴蝶定理) 1）S 1∶S 3 =a 2∶b 2 上、下部分的面积比等于上、下边的平方比 2）左、右部分的面积相等 3）S 1∶S 3∶S 2∶S 4 =a 2∶b 2 ∶ab ∶ab 4）S 的对应份数为（a+b ）2
定理4：相似三角形性质 1） H h C c B b A a = = = 2）S1∶S2 = a2 ∶A2 定理5：燕尾定理 S△ABG ∶S△AGC = S△BGE ∶S△GEC = BE∶EC S△BGA ∶S△BGC = S△AGF ∶S△GFC = AF∶FC S△AGC ∶S△BCG = S△ADG ∶S△DGB = AD∶DB 二、例题分析 例1、如图，AD DB =，AE EF FC ==，已知阴影部分面积为5平方厘米，ABC的面积是多少平方厘米？
C F E A C B E F D A 例2、有一个三角形ABC 的面积为1，如图，且12AD AB =，13BE BC =，1 4 CF CA =，求三角形DEF 的面积. 例3、如图，在三角形ABC 中，，D 为BC 的中点，E 为AB 上的一点，且BE=1 3 AB,已知四边形EDCA 的面积是35，求三角形ABC 的面积. 例4、例1 如图，ABCD 是直角梯形，求阴影部分的面积和。（单位：厘米） 例5、两条对角线把梯形ABCD 分割成四个三角形。已知两个三角形的面积（如图所示），求另两个三角形的面积各是多少？（单位：平方厘米） 例6、如下图，图中BO=2DO ，阴影部分的面积是4平方厘米，求梯形ABCD 的面积是多少平
蝴蝶定理证明
蝴蝶定理证明 已知圆O，PQ是一条弦，设M为弦PQ的中点，过M作弦AB和CD。 设AD和BC各相交PQ于点X和Y，则M是XY的中点。 证明:过圆心O作AD与BC垂线，垂足为S、T，连接OX,OY,OM,SM,MT. ∵△AMD∽△CMB，且SD=1/2AD BT=1/2BC， ∴DS/BT=DM/BM又∵∠D=∠B ∴△MSD∽△MTB，∠MSD=∠MTB ∴∠MSX=∠MTY； 又∵O，S，X，M与O，T。Y。M均是四点共圆， ∴∠XOM=∠YOM ∵OM⊥PQ ∴XM=YM 分角定理指出：在△ABC中，D是BC或其延长线上的一点，连结AD，则有BD/CD=(sin ∠BAD/sin∠CAD)*(AB/AC)。 张角定理证明 证法1： 设∠1=∠BAD，∠2=∠CAD 由分角定理， S△ABD/S△ABC=BD/BC=(AD/AC)*(sin∠1/sin∠BAC) → (BD/BC)*(sin∠BAC/AD)=sin∠1/AC (1.1) S△ACD/S△ABC=CD/BC=(AD/AB)*(sin∠2/sin∠BAC) → (CD/BC)*(sin∠BAC/AD)=sin∠2/AB (1.2) (1.1)式+(1.2)式即得sin∠1/AC+sin∠2/AB=sin∠BAC/AD。 证法2： 由正弦定理， AD/sinB=BD/sin∠1，(2.1)
AD/sinC=CD/sin∠2，(2.2) AB/sinC=BC/sin(∠1+∠2)，(2.3) AC/sinB=BC/sin(∠1+∠2)；(2.4) 那么由(2.1)，(2.2)，BD=ADsin∠1/sinB，CD=ADsin∠2/sinC，从而 BC=BD+CD=AD(sin∠1/sinB+sin∠2/sinC)(2.5) 由(2.3)，(2.4)，知sin∠1/AC=sin∠1sin(∠1+∠2) / BCsinB，sin∠2/AB=sin∠2sin(∠1+∠2) / BCsinC。 将以上两式相加，并将(2.5)代入即可。 证法3： 由面积和得： 0.5sin∠BAD*BA*AD+0.5sin∠DAC*DA*AC=0.5sin∠BAC*BA*AC
蝴蝶定理问题
摘 要 蝴蝶定理想象洵美，蕴理深刻，近两百年来，关于蝴蝶定理的研究成果不断，引起了许多中外数学家的兴趣。到目前为止，关于蝴蝶定理的证明就有60多种，其中初等证法就有综合证法、面积证法、三角证法、解析证法等。而基于蝴蝶定理的推广与演变，能得到很多有趣与漂亮的结果。 关键词：蝴蝶定理；证明；推广； 一 摘要 蝴蝶定理最先是作为一个征求证明的问题，刊载于1815年的一份通俗杂志《男士日记》上。由于其几何图形形象奇特、貌似蝴蝶，便以此命名，定理内容：圆O 中的弦PQ 的中点M ，过点M 任作两弦AB ，CD ，弦AD 与BC 分别交PQ 于E ，F ，则M 为EF 之中点。 关于蝴蝶定理的证明，出现过许多优美奇特的解法，并且知道现在还有很大的研究价值。其中最早的，应首推霍纳在1815年所给出的证法。至于初等数学的证法，在国外资料中，一般都认为是由一位中学教师斯特温首先提出的，它使用的是面积证法。1985年，在河南省《数学教师》创刊号上，杜锡录老师以《平面几何中的名题及其妙解》为题，载文向国内介绍蝴蝶定理，从此蝴蝶定理在神州大地到处传开。 在20世纪20年代时，蝴蝶定理作为一道几何题传到我 国中学数学界，严济慈教授在《几何证题法》中有构思奇巧的证明。 如可将蝴蝶定理中的圆“压缩变换”为椭圆，甚至变为双曲线、抛物线、筝形、凸四边形、两直线，都依然成立。另外，如果将蝴蝶定理中的条件一般化，即M 点不再是中点，能得到坎迪定理、若M 、N 点是AB 的三等分点，两次应用坎迪定理，能得到“三翅蝴蝶定理”。 二 蝴蝶定理的证明 （一）运用简单的初中高中几何知识的巧妙证明 蝴蝶定理经常在初中和高中的试卷中出现，于是涌现了很多利用中学简单几何方法完成 蝴蝶定理的方法。 图 1 F E B D M O P Q A C
研究性学习39(蝴蝶定理、相交弦定理)
2013届高三理科数学研究性学习（38） 专题：椭圆中的相关探索（椭圆中蝴蝶定理和相交弦定理） 1．蝴蝶定理 已知圆O 内，M 是弦AB 的中点，CD 、GH 是过M 点的两条弦，连结CH 、DG 分别 . 类比联想：椭圆内，蝴蝶定理还能成立吗？ 可从特例实验一下： （1）已知过椭圆：122 22=+b y a x )0(>>b a 的中心的两条弦CD 和GH ，连结HC 、GD 与长轴AB 分别交于点P 、Q. 思考：OQ OP =成立吗？
（2）过椭圆122 22=+b y a x )0(>>b a 短轴上一点),0(m M 任作两条弦CD 、GH （D 在C 的上方，H 在G 的上方），CH 、GD 分别交直线0y y =于P 、Q.直线CD 、GH 的斜率分别为21k k 、.设),(11y x C ，),(22y x D ，),(33y x G ，),(44y x H . (Ⅰ)思考：4 343221211x x x x k x x x x k +=+ 成立吗？ (Ⅱ)思考：PM=MQ 还能成立吗？(过程中可以不考虑CH 或GD 垂直于x 轴的情形). 反思总结：________________________________________________________________. )
2．点圆位置关系 已知圆O ：222r y x =+，则 （1）点),(00y x M 在圆上?直线200r y y x x =+与圆O 相切于M ； （2）点),(00y x M 在圆外?直线200r y y x x =+与圆相交，且该直线为圆O 的切点弦所在直线； （3）点),(00y x M 在圆内?直线200r y y x x =+与圆相离，且该直线为圆在过),(00y x M 的弦AB 的两端点处切线的交点的轨迹. 类比联想： 点与椭圆的位置关系 已知椭圆122 22=+b y a x )0(>>b a ，完成下列命题，并作出判断和证明： （1）“点),(00y x M 在椭圆上?直线12020=+b y y a x x 与椭圆________”还成立吗？ （2）“点),(00y x M 在椭圆外?直线 12020=+b y y a x x 与椭圆________，且该直线为____________________________________________”还成立吗？； （3）“点),(00y x M 在椭圆内?直线12020=+b y y a x x 与椭圆________，且该直线为椭圆内在过点),(00y x M 的弦的两端点处切线的交点轨迹”还成立吗？ 反思总结：_________________________________________________________________.