2020年上海市交大附中高考数学考前试卷(附解析)

2020年上海市交大附中高考数学考前试卷

一、选择题（本大题共4小题，共12.0分） 1. “x ∈[?π2,π

2]是“sin(arcsin)=x ”的( )条件

A. 充分非必要

B. 必要非充分

C. 充要

D. 既非充分又非必要

2. 已知F 为抛物线y 2=2px(p >0)的焦点，A(x 1,y 1)、B(x 2,y 2)是抛物线上的不同两

点，则下列条件中与“A 、F 、B 三点共线”等价的是( )

A. x 1x 2=p 2

4 B. y 1y 2=?p 2

C. 1

|FA|+1

|FB|=2

p

D. x 1x 2+y 1y 2=?3p 2

4

3. 已知曲线Γ的参数方程为{x =t 3?tcost

y =ln(t +√t 2+1)

，其中参数t ∈R ，则曲线Γ( )

A. 关于x 轴对称

B. 关于y 轴对称

C. 关于原点对称

D. 没有对称性

4. 已知数列{a n }与{b n }前n 项和分别为S n ，T n ，且a n >0,2S n =a n 2+a n ,n ∈N ?，b n =

2n +1

(2n +a n )(2n+1+a n+1)

，对任意的n ∈N ?，k >T n 恒成立，则k 的最小值是( )

A. 1

B. 1

2

C. 1

3

D. 1

6

二、填空题（本大题共12小题，共36.0分）

5. 已知集合A ={x||x|≤2,x ∈R}，B ={x|√x ≤4,x ∈Z}，则A ∩B = ______ ．

6. 函数y =√3sin2x +cos2x 的最小正周期是______．

7. 抛物线y =x 2的准线方程是______．

8. 已知方程∣∣∣x

?1b

x ?2∣

∣∣

=0的一个根是a +2i(其中a ∈R ，i 是虚数单位)，则实数b =______．

9. 设x ，y 满足约束条件{2x +3y ?3≤0

2x ?3y +3≥0y +3≥0，则z =2x +y 的最小值是____________

10. 若a n 是(2+x)n (n ∈N ?,n ≥2,x ∈R)展开式中x 2

项的系数，则n →∞lim

(22a 2

+23

a 3

+

?+2n

a n

)=______．

11. 在我国古代数学名著《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖

臑．如图，在鳖臑ABCD 中，AB ⊥平面BCD ，其三视图是三个全等的等腰直角三

角形，则异面直线AC与BD所成的角的余弦值为______．

12.为抗击此次疫情，我市某医院从3名呼吸内科医生、4名急诊重症科医生和5名护

士中选派5人组成一个抗击疫情医疗小组，则呼吸内科与急诊重症科医生都至少有一人的选派方法种数是______．

13.若关于x的方程1

|x?1|+|2x+2|?4

=a的解集为空集，求实数a的取值范围______．14.已知函数y=f(x)为定义域R上的奇函数，且在R上是单调递增函数，函数g(x)=

f(x?3)+x，数列{a n}为等差数列，且公差不为0，若g(a1)+g(a2)+?+g(a9)= 27，则a1+a2+?+a9=______．

15.已知整数数列{a n}共5项，其中a1=1，a5=4，且对任意1≤i≤4，都有|a i+1?

a i|≤2，则符合条件的数列个数为______．

16.已知点P(0,2)，椭圆x2

16+y2

8

=1上两点A(x1,y1)，B(x2,y2)满足AP

????? =λPB

????? (λ∈R)，

则|2x1+3y1?12|+|2x2+3y2?12|的最大值为______．

三、解答题（本大题共5小题，共60.0分）

17.如图，四棱锥O?ABCD的底面是边长为1的菱形，OA=

2，∠ABC=60°，OA⊥平面ABCD，M、N分别是OA、

BC的中点．

(1)求证：直线MN//平面OCD；

(2)求点M到平面OCD的距离．

18.某居民小区为缓解业主停车难的问题，拟对小区内一块

扇形空地AOB进行改建．如图所示，平行四边形OMPN

区域为停车场，其余部分建成绿地，点P在围墙AB弧上，

点M和点N分别在道路OA和道路OB上，且OA=60米，

∠AOB=60°，设∠POB=θ．

(1)求停车场面积S关于θ的函数关系式，并指出θ的取值范围；

(2)当θ为何值时，停车场面积S最大，并求出最大值(精确到0.1平方米)．

19.对于函数f(x)，若在定义域内存在实数x0，满足f(?x0)=?f(x0)，则称f(x)为“M

类函数”．

(1)已知函数f(x)=2cos(x?π

3

)，试判断f(x)是否为“M类函数”？并说明理由；

(2)若f(x)={log2(x2?2mx)

?2,x≥3

,x<3为其定义域上的“M类函数”，求实数m取值

范围．

20.已知椭圆M：x2

a2+y2

b2

=1(a>b>0)的一个焦点与短轴的两端点组成一个正三角

形的三个顶点，且椭圆经过点N(√2,√2

2

)．

(1)求椭圆M的方程；

(2)若斜率为?1

2

的直线l1与椭圆M交于P，Q两点(点P，Q不在坐标轴上)；证明：直线OP，PQ，OQ的斜率依次成等比数列．

(3)设直线l2与椭圆M交于A，B两点，且以线段AB为直径的圆过椭圆的右顶点C，

求ABC面积的最大值．

21.已知f(x)是定义在[0,+∞)上的函数，满足：①对任意x∈[0,+∞)，均有f(x)>0；

②对任意0≤x1

f(a n)

，n∈N?．

(1)若函数f(x)=a?2x?1(x≥0)，求实数a的取值范围；

(2)若函数f(x)在[0,+∞)上单调递减，求证：对任意正实数M，均存在n0∈N?，

使得n>n0时，均有a n>M；

(3)求证：“函数f(x)在[0,+∞)上单调递增”是“存在n∈N?，使得f(a n+1)<

2f(a n)”的充分非必要条件．

答案和解析1.【答案】B

【解析】解：∵y=arcsinx的定义域为[?1,1]，

∴sin(arcsinx)=x?x∈[?1,1]，

∵x∈[?π

2,π

2

]推不出x∈[?1,1]，

x∈[?1,1]?x∈[?π

2,π

2 ]，

∴“x∈[?π

2,π

2

]是“sin(arcsin)=x”的必要非充分条件．

故选：B．

根据充分条件和必要条件的定义分别进行判断即可．

本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据充分条件和必要条件的定义是解决本题的关键．

2.【答案】B

【解析】解：P(p

2

,0)，若A，B，F三点共线，

设直线AB的方程为：x=my+p

2

，

代入y2=2px可得：y2?2pmy?p2=0，

∴y1y2=?p2，∴x1x2=y12y22

4p =p2

4

．

∴x1x2+y1y2=p2

4?p2=?3p2

4

，

又|FA|=x1+p

2，|FB|=x2+p

2

，

∴1

|FA|+1

|FB|

=1

x1+p

2

+1

x2+p

2

=x1+x2+p

x1x2+p

2

(x1+x2)+p

2

4

=x1+x2+p

p2

2

+p

2

(x1+x2)

=x1+x2+p

p

2

(x1+x2+p)

=2

p，

设B关于x轴的对称点为B′(x2,?y2)，显然A，F，B′满足条件x1x2=p2

4

，且|FB|=|FB′|，但此时A，F，B′三点不共线，故A，C错误；

若x1x2+y?y2=?3p2

4，则y1

2y

2

2

4p2

+y1y2+3p2

4

=0，解得y1y2=?p2或y1y2=?3p2，故D

错误，

故选：B．

当A，B，F共线时计算各结论，再根据对称点的坐标关系判断是否等价．本题考查了直线与抛物线的位置关系，属于中档题．

3.【答案】C

【解析】 【分析】

本题考查曲线的参数方程，属于基础题型．

设出当t =t 0时，对应点的坐标为(x 0,y 0)，判断出(?x 0,?y 0)也在曲线上，进而求出结果． 【解答】

解：设当t =t 0时，对应点的坐标为(x 0,y 0)， 此时有{

x 0=t 03?t 0cost 0

y 0=ln(t 0+√t 02+1)

, 设x =f(t)=t 3?tcost ，y =g(t)=ln(t +√t 2+1)， 对于每一个参数t ，都有唯一对应的x 和y ， 则当t =?t 0时，

有{

(?t 0)3?(?t 0)cos (?t 0)=?(t 03?t 0cost 0)=?x 0

ln[(?t 0)+√(?t 0)2+1]=?ln(t 0+√t 02+1)=?y 0, 即点(?x 0,?y 0)也在曲线Γ上，

而点(x 0,y 0)和点(?x 0,?y 0)关于原点对称， 故曲线Γ关于原点对称． 故选：C ．

4.【答案】C

【解析】解：数列{a n }的前n 项和分别为S n ，且a n >0,2S n =a n 2

+a n ,n ∈N ?， 当n ≥2时，2S n?1=a n?12+a n?1，

两式相减得2a n =a n 2?a n?12+a n ?a n?1，所以(a n +a n+1)(a n ?a n?1?1)=0，整理

得a n ?a n?1=1(常数)．

当n =1时，2a 1=a 12+a 1，解得a 1=1(a 1=0舍去)，故数列{a n }是以1为首项，1为

公差的等差数列．所以a n =n(首项符合通项)． 所以b n =2n +1

(2n +a

n )(2n+1+a

n+1

)

=12n +n ?1

2n+1+n+1，

所以T n =(1

3?16)+(16?1

11)+?+1

2n +n ?1

2n+1+n+1=1

3?1

2n+1+n+1<1

3， 所以对任意的n ∈N ?，k >T n 恒成立，只需k ≥1

3即可． 即k 的最小值为1

3．

故选C．

首先利用已知条件利用递推关系式求出数列的通项公式，进一步利用裂项相消法、放缩法和恒成立问题的应用求出结果．

本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，裂项相消法在数列求和中的应用，放缩法和恒成立问题的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力，属于中档题．

5.【答案】{0,1，2}．

【解析】解：∵集合A={x||x|≤2,x∈R}={x|?2≤x≤2}，

B={x|√x≤4,x∈Z}={0,1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，14，15，16}，∴A∩B={0,1，2}．

故答案为：{0,1，2}．

先分别求出集合A和B，由此能求出A∩B．

本题考查交集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集性质的合理运用．

6.【答案】π

【解析】解：y=√3sin2x+cos2x=2(√3

2sin2x+1

2

cos2x)=2sin(2x+π

6

)，

∵ω=2，∴T=2π

2

=π．

故答案为：π

函数解析式提取2变形后，利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，找出ω的值，代入周期公式即可求出最小正周期．

此题考查了两角和与差的正弦函数公式，以及周期公式，将函数解析式化为一个角的正弦函数是解本题的关键．

7.【答案】4y+1=0

【解析】解：因为抛物线的标准方程为：x2=y，焦点在y轴上；

所以：2p=1，即p=1

2

，

所以：p

2=1

4

，

∴准线方程y=?p

2=?1

4

，即4y+1=0．

故答案为：4y+1=0．

先根据抛物线的标准方程得到焦点在y轴上以及2p=1，再直接代入即可求出其准线方

程．

本题主要考查抛物线的基本性质．解决抛物线的题目时，一定要先判断焦点所在位置．

8.【答案】5

【解析】解：方程∣∣∣x ?1b x ?2∣

∣∣

=0可化为 x(x ?2)+b =0，

把x =a +2i 代入方程，得(a +2i)(a ?2+2i)+b =0， 即(a 2?2a ?4+b)+(4a ?4)i =0，

所以{a 2

?2a ?4+b =04a ?4=0

， 解得a =1，b =5； 所以实数b =5． 故答案为：5．

根据行列式列出方程，把根代入方程，利用复数的运算性质列出方程组求出a 、b 的值． 本题考查了行列式与复数的计算问题，也考查了运算求解能力，是基础题．

9.【答案】?15

【解析】解：x ，y 满足约束条件{2x +3y ?3≤0

2x ?3y +3≥0y +3≥0的可

行域如图：

z =2x +y 经过可行域的A 时，目标函数取得最小值， 由{y =?32x ?3y +3=0，解得A(?6,?3)， 则z =2x +y 的最小值是：?15． 故答案为：?15．

画出约束条件的可行域，利用目标函数的最优解求解目标函数的最小值即可． 本题考查线性规划的简单应用，考查数形结合以及计算能力．

10.【答案】8

【解析】解：∵a n 是(2+x)n (n ∈N ?,n ≥2,x ∈R)展开式中x 2项的系数，

又(2+x)n 的展开式的通项公式为T r+1=C n r ?2n?r ?x r ，令r =2，可得x 2项的系数为C n 2?

2n?2．

∴a n =C n 2

?2n?2．

∴n →∞lim

(22a 2+23a 3+?+2n a n )=n →∞lim

(221+23C n 2?2+?+2n C n 2?2

n?2)

=n →∞lim

(221

+

22C 3

2+?+

22

C n 2)=n →∞lim

4?(11

+

1

C 3

2+?+

1

C n

2)

=n →∞lim

4?(11

+

22×3+

2

3×4

…+

2

n(n?1)

)=n →∞lim

8?(1?1

2

+12

?13

+13

?14

+?+

1n?1

?1

n

)

=n →∞lim

8?(1?1

n

)=8，

故答案为：8．

由题意可得x 2项的系数为C n 2?2n?2，即a n =C n 2

?2n?2.再把要求的式子 n →∞lim

(22a 2

+23

a 3

+

?+

2n a n

) 化为n →∞lim

4?(11+1C 3

2+?+1C

n

2)，即n →∞lim

8?(1?1n

)，从而得到结果．

本题主要考查二项式定理的应用，求展开式中某项的系数，极限及其运算，属于中档题．

11.【答案】√3

3

【解析】解：由三视图可知AB ⊥平面BCD ，BD ⊥CD ，且AB =BD =CD ，

以D 为原点建立空间坐标系如图所示：

设AB =1，则A(1,0，1)，B(1,0，0)，C(0,1，0)，D(0,0，0)，

∴AC ????? =(?1,1，?1)，DB ?????? =(1,0，0)， ∴cos =AC ????? ?DB ??????

|AC

????? ||DB ?????? |=?1√

3×1

=?√3

3

． 设AC 与BD 所成的角为α，则cosα=|cos

?????? >|=√33

． 故答案为：√3

3

．

根据三视图得出三棱锥的结构特征，建立空间坐标系，利用平面向量计算异面直线所成角．

本题考查了异面直线所成角的计算，属于基础题．

12.【答案】611

【解析】解：根据题意，有3名呼吸内科医生、4名急诊重症科医生和5名护士共12

人，从中选出5人，有C 125

=792种选法，

其中没有内科医生的选法有C 95=126种，没有重症科医生的选法有C 8

5=56种， 内科医生和重症科医生都没有，即只有护士的选法有1种， 则有792?126?56+1=611种选派方法；

故答案为：611

根据题意，首先计算从12人中选出5人的选法，进而计算其中“没有内科医生”、“没有重症科医生”和“内科医生和重症科医生都没有”的选法，分析可得答案．

本题考查排列组合的应用，注意用间接法分析，避免分类讨论，属于基础题．

13.【答案】(?1

2

,0]

【解析】解：由已知设y=1

|x?1|+|2x+2|?4

=

{1

3x?3,x≥1

1 x?1,?1

1

?3x?5,x≤?1

，

所以函数的值域为{y|y>0，或y≤?1

2

}，

要使

1

|x?1|+|2x+2|?4

=a的解集为空集，

只要函数y=1

|x?1|+|2x+2|?4

与y=a没有交点，

所以满足条件的a的取值范围为?1

2

故答案为：(?1

2

,0]．

设y=1

|x?1|+|2x+2|?4

，得到函数的值域，利用y=a在函数值域的补集中即可．

本题考查了方程解的个数问题；关键是正确求出函数的值域．

14.【答案】27

【解析】解：因为函数f(x)为定义域上的奇函数，则f(x)关于(0,0)对称．

设?(x)=f(x?3)+x?3，所以?(x)关于(3,0)对称，则?(x)+?(6?x)=0．

由g(a1)+g(a2)+?…+g(a9)=27可得：f(a1?3)+a1+f(a2?3)+a2+?…+

f(a9?3)+a9=27，

所以f(a1?3)+a1?3+f(a2?3)+a2?3+?…+f(a9?3)+a9?3=0即

?(a1)+?(a2)+?…+?(a9)=0

又数列{a n}为等差数列，且?(x)在R上是单调递增函数，所以必有?(a1)+?(a9)=0，则有a1?3+a9?3=0，所以2a5=a1+a9=6，即a5=3

所以a1+a2+?…+a9=9a5=27

故答案为：27．

设?(x)=f(x?3)+x?3，则可得?(a1)+?(a2)+?…+?(a9)=0，综合等差数列的性质可得；a1+a9=a2+a8=?…=a5+a5，再利用函数?(x)的单调性和对称性，

即可计算得出．

本题主要考查函数综合，函数概念与性质以及等差数列，属于中档题．

15.【答案】52

【解析】解：根据题意，设x 1=a 2?a 1，x 2=a 3?a 2，x 3=a 4?a 3，x 4=a 5?a 4，x 5=a 5?a 4，

∴x 1+x 2+x 3+x 4=3且x 1、x 2、x 3、x 4∈{?2,?1,0，1，2}， 不妨设x 1≤x 2≤x 3≤x 4，

则(x 1,x 2,x 3,x 4)=(?2,1，2，2)，(?1,1，1，2)，(?1,0，2，2)，(0,0，1，2)，(0,1，1，1)共五类，

则符合条件的数列个数为4C 42C 21

+4=52，

故答案为：52．

根据题意，设x 1=a 2?a 1，x 2=a 3?a 2，x 3=a 4?a 3，x 4=a 5?a 4，x 5=a 5?a 4，可得x 1+x 2+x 3+x 4=3且x 1、x 2、x 3、x 4∈{?2,?1,0，1，2}，再利用组合知识进行求解．

本题考查排列组合的应用，涉及数列的表示方法，属于基础题．

16.【答案】24

【解析】解：如图所示，

满足AP

????? =λPB ????? (λ∈R)，可得：λ∈[3?2√2,1]． 直线l 的方程为：2x +3y ?12=0． 点A ，P ，B 到直线l 的距离分别为：d 1=|2x 1+3y 1?12|

√13

，

d 0=

√13

=

√13

，d 2=22√13

．

∴|2x 1+3y 1?12|+|2x 2+3y 2?12|

=√13(d 1+d 2).

λ=1时，d 1+d 2=2d 0=√13，可得√13(d 1+d 2)=12． λ=3?2√2时，d 1+d 2=

√2

√13+

√3√13

=

√13

.可得√13(d 1+d 2)=24．

λ∈[3?2√2,1].可得：d 1+d 2∈[12,24]．

则|2x 1+3y 1?12|+|2x 2+3y 2?12|的最大值为24． 故答案为：24．

如图所示，满足AP ????? =λPB ????? (λ∈R)，可得：λ∈[3?2√2,1].直线l 的方程为：2x +3y ?12=0.点A ，P ，B 到直线l 的距离分别为：d 1=

11√13

，d 0=

√13

=

√13

，d 2=

22√13

.|2x 1+3y 1?12|+|2x 2+3y 2?12|=√13(d 1+d 2).λ=1时，d 1+d 2=

2d 0.λ=3?2√2时，可得√13(d 1+d 2)=24.进而得出结论．

本题考查了椭圆的标准方程及其性质、点到直线的距离公式、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

17.【答案】(1)证明：取OD 的中点P ，连接PC 、PM ，

∵M 、N 分别是OA 、BC 的中点，∴PM//AD ，且PM =1

2AD ，NC//AD ，且NC =1

2AD ，

∴PM//NC ，且PM =NC ，则PMNC 是平行四边形，得MN//PC ，

∵PC ?平面OCD ，MN ?平面OCD ， ∴直线MN//平面OCD ；

(2)解：连接ON 、ND ，设点M 到平面OCD 的距离为d ， 由(1)得，点N 到平面OCD 的距离为d ，

设三棱锥O ?CDN 的体积为V ，则V =1

3×S △CDN ×OA =1

3×S △OCD ×d ， 依题意，S △CDN =1

2×CD ×CN ×sin∠BCD =√3

8

， ∵AC =AD =CD =1，∴OC =OD =√5，则S △OCD =1

2×CD ×√5?1

4=√19

4．

由1

3

×√3

8

×2=1

3

×√

194

×d ，得点M 到平面OCD 的距离d =

√57

19

．

【解析】(1)取OD 的中点P ，连接PC 、PM ，由三角形的中位线定理可得PMNC 是平行四边形，得MN//PC ，再由直线与平面平行的判定可得直线MN//平面OCD ； (2)连接ON 、ND ，设点M 到平面OCD 的距离为d ，可得点N 到平面OCD 的距离为d ，然后利用等体积法求点M 到平面OCD 的距离．

本题考查直线与平面平行的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用等体积法求多面体的体积，是中档题．

18.【答案】解：(1)△OPN 中，由正弦定理得，

OP

sin

2π

3

=

ON

sin(π3

?θ)，

即√3

2

=

ON

sin(π3

?θ)，

解得ON =40√3sin(π

3?θ)；

所以停车场面积S 关于θ的函数关系式为

S =40√3sin(π

3?θ)?60sinθ=2400√3sin(π

3?θ)sinθ，其中θ∈(0,π

3)；

(2)由S =2400√3sin(π

3?θ)sinθ

=2400√3(

√3

2cosθ?12

sinθ)?sinθ =1200√3(√3sinθcosθ?sin 2θ) =1200√3(

√3

2sin2θ+12cos2θ?12

) =1200√3[sin(2θ+π

6

)?1

2]；

当2θ+π6=π2，即θ=π

6时，停车场面积S 最大，最大值为： 1200√3×(1?1

2)=600√3=600×1.732=1039.2(平方米)．

【解析】(1)由正弦定理求得ON ，再计算停车场面积S 关于θ的函数关系式； (2)化简函数解析式S ，求出S 的最大值以及取最大值时对应θ的值． 本题考查了三角函数模型的应用问题，也考查了运算求解能力，是中档题．

19.【答案】解：(1)由题意，函数f(x)在定义域内存在实数x 0，满足f(?x 0)=?f(x 0)，

可得2cos(?x 0?π

3)=?2cos(x 0?π

3)，即cos(?x 0?π

3)=?cos(x 0?π

3)，整理得√3cosx 0=0，所以存在x 0=π

2满足f(?x 0)=?f(x 0)所以函数f(x)=2cos(x ?π

3)是“M 类函数”．

(2)由x 2?2mx >0在x ≥3上恒成立，可得m <3

2，

因为f(x)={log 2(x 2?2mx)?2

x ≥3

x <3为其定义域上的“M 类函数”，

所以存在实数x 0使得f(?x 0)=?f(x 0)，

①当x 0≥3时，则?x 0≤?3，所以?2=?log 2(x 0

2?2mx 0)，所以x 02

?2mx 0=4，即m =12x 0?2

x 0

，

因为函数y =12x ?4x ，x ≥3为单调增函数，所以m ≥5

6； ②当?3

③当x 0≤?3，则?x 0≥3，所以log 2(x 0

2

+2mx 0)=2，所以m =?12x 0+2

x 0

因为函数y =?12x +4x (x ≤?3)为单调减函数，所以m ≥5

6； 综上所述，求实数m 取值范围[56,3

2)．

【解析】(1)根据题意只需2cos(?x 0?π

3)=?2cos(x 0?π

3)有解，即可判断f(x)是否为“M 类函数”．

(2)由对数函数的性质可得由x 2?2mx >0在x ≥3上恒成立，即m <3

2；若是“M 类函数”，则存在实数x 0使得f(?x 0)=?f(x 0)，分①当x 0≥3时，②当?3

【答案】解：(1)根据题意，设椭圆的上下顶点为B 1(0,b)，B 2(0,?b)，左焦点为F 1(?c,0)， 则△B 1B 2F 1是正三角形，所以2b =√c 2+b 2=a ，则椭圆方程为x 2

4b 2+y 2b 2=1．

将(√2,√2

2)代入椭圆方程，可得2

4b 2+1

2b 2=1，解得a =2，b =1．

故椭圆的方程为

x 24

+y 2=1．

(2)证明：设直线u 的方程为y =?1

2x +m ，P(x 1,y 1)，Q(x 2,y 2)， 由{y =?1

2x +m

x 24

+y 2=1

，消去y ，得x 2?2mx +2(m 2?1)=0

则△=4m 2?8(m 2?1)=4(2?m 2)>0，且x 1+x 2=2m >0，x 1x 2=2(m 2?1)>0； 故y 1y 2=(?1

2x 1+m)(?1

2x 2+m) =1

4x 1x 2?1

2m(x 1+x 2)+m 2=m 2?12

，

k OP k OQ =

y 1y 2x 1x 2

=

14x 1x 2?1

2

m(x 1+x 2)+m 2x 1x 2

=14

=k PQ

2． 即直线OP 、PQ 、OQ 的斜率依次成等比数列．

(3)由题意，设直线v 的方程为x =ky +n ，联立{x 2

4+y 2=1

x =ky +n ，

消去x 得(k 2+4)y 2+2kny +n 2?4=0． 设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，则有y 1+y 2=

?2kn

k 2+4，y 1y 2=n 2?4

k 2+4

， 因为以线段AB 为直径的圆过椭圆的右顶点C(2,0)，所以CA ????? ?CB ????? =0， 由CA ????? =(x 1?2,y 1)，CB

????? =(x 2?2,y 2)，则(x 1?2)(x 2?2)+y 1y 2=0， 将x 1=ky 1+n ，x 2=ky 2+n 代入上式并整理得(k 2+1)y 1y 2+k(n ?2)(y 1+y 2)+

(n ?2)2=0， 则

(k 2+1)(n 2?4)

k +4

+

?2k 2n(n?2)

k +4

+(n ?2)2=0，

化简得(5n ?6)(n ?2)=0，解得n =6

5或n =2， 因为直线x =ky +n 不过点C(2,0)，

所以n ≠2，故n =6

5.所以直线l 恒过点D(6

5,0)． 故S ABC =1

2|DC||y 1?y 2|

=

12×(2?6

5

)√(y 1+y 2)2?4y 1y 2 =25√(?125k k 2+4)2?4(36

25?4)k 2+4

=8

25√

25(k 2+4)?36(k 2+4)2，

设t =1

k 2+4(0

4)，

则S ABC =8

25√?36t 2+25t 在t ∈(0,1

4]上单调递增， 当t =1

4时，S ABC =

825

√?36×

116

+25×14

=

1625

，

所以ABC 面积的最大值为16

25．

【解析】(1)设椭圆的上下顶点为B 1(0,b)，B 2(0,?b)，左焦点为F 1(?c,0)，椭圆方程为

x 24b 2

+y 2

b 2=1．

将(√2,√2

2

)代入椭圆方程，解得a ，b ，即可得到椭圆方程．

(2)设直线u 的方程为y =?1

2x +m ，P(x 1,y 1)，Q(x 2,y 2)，由{y =?1

2x +m x 24+y 2=1，消去y ，

得x 2?2mx +2(m 2?1)=0利用韦达定理，转化求解直线的斜率乘积，然后说明直线OP 、PQ 、OQ 的斜率依次成等比数列．

(3)设直线v 的方程为x =ky +n ，联立{x 2

4+y 2

=1

x =ky +n

，消去x 得(k 2+4)y 2+2kny +n 2?

4=0.设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，利用韦达定理，结合斜率的数量积为0，转化求解n ，得到直线恒过的定点，推出三角形的面积，然后求解最大值．

本题考查椭圆方程的求法直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力，是难题．

21.【答案】解：(1)由f(x)=a ?2x ?1>0，即a >(1

2)x 对一切x ∈[0,+∞)恒成立，所

以a >1，

当a >1时，f(x)在x ∈[0,+∞)上单调递增，所以对任意0≤x 11；

证明(2)：由函数f(x)在[0,+∞)上单调递减，即对一切x ∈[0,+∞)，均有f(x)≤f(0)， 所以对一切n ∈N ?，均有f(a n )≤f(0)，可得：a n+1=a n +1f(a n

)≥a n +1

f(0)，

所以：a n =a n ?a n?1++a 2?a 1+a 1≥n?1

f(0)，对一切n ≥2， 对任意正实数M ，取n 0=[Mf(0)]+2∈N ?， 当n >n 0时，a n ≥n?1

f(0)>

n 0?1f(0)

>

Mf(0)+1?1

f(0)

=M ；

证明：(3)非必要性：取f(x)={x +13?x ，x ∈[0,1]∪[2,+∞)

x ∈(1,2)，在[0,+∞)不为增函数，

但a 1=0，a 2=a 1+1f(a 1

)=1，a 3=a 2+1f(a 2

)=32，f(a 2)=2，f(a 3)=3

2<2f(a 2)，

充分性：假设对一切n ∈N ?，均有f(a n+1)≥2f(a n )>0， 所以：f(a n )≥2n?1f(a 1)=2n?1f(0)，①

由递推式a n+1=a n +1f(a n

)≤a n +12n?1f(0)≤≤a 1+1f(0)(12n?1++12+1)<2

f(0)，

因为f 为增函数，所以f(a n+1)≤f(2

f(0))，②

由①②可知：2n f(0)≤f(2

f(0))对一切n ∈N ?，n ≥2均成立，

又A =f(0)>0，B =f(2

f(0))>0可知，当n >log 2(A

B )时，上述不等式不成立， 所以假设错误，即存在n ∈N ?，使得f(a n+1)<2f(a n ).

【解析】(1)根据定义可得a >(1

2)x 对一切x ∈[0,+∞)恒成立，即可求出a 的范围； (2)根据函数的单调性可得对一切n ∈N ?，均有f(a n )≤f(0)，即可证明； (3)分别从必要性和充分性两个方面证明即可．

本题考查了数列的函数特征，不等式的证明，充分性和必要性，考查了转化与化归能力，逻辑推理能力，属于难题．