3. 第三讲线性变换之一

7.3 线性变换的矩阵

第七章线性变换学习单元3：线性变换的矩阵 _________________________________________________________ ● 导学学习目标：理解线性变换在一个基下的矩阵的概念；会计算线性变换在一个基下的矩阵；理解线性变换在不同基下的矩阵的相似关系；掌握矩阵等价与矩阵相似的区别与联系。学习建议：线性变换在一个基下的矩阵建立了线性变换与矩阵的对应关系，类似于平面上点与坐标的对应关系，有了这种对应关系，可以让线性变换问题与矩阵问题互相转化。建议大家多看书，认真理解概念与结论。重点难点：重点：深刻理解线性变换在一个基下的矩阵。难点：理解线性变换在两个不同基下的矩阵的相似关系。 _________________________________________________________ ● 学习内容一、线性变换的确定设V 为P 上n 维线性空间，1,,n εεL 为V 的一个基，对任何11,n n V x x ξξεε∈=++L ， ()A L V ∈，则11()()()n n A x A x A ξεε=++L 。即只要知道了1(),()n A A εεL ，则()A ξ也就确定了。命题1 设1,,n εεL 为线性空间V 的一个基，,()A B L V ∈，则A = B 当且仅当 ()(),1,2,,i i A B i n εε==L 。命题2 设1,,n εεL 为线性空间V 的一个基，1,,n ααL 为V 中一个向量组，则存在 ()A L V ∈，使

(),1,2,,i i A i n εα==L 。定理设1,,n εεL 为V 的一个基，1,,n ααL 为V 中任意n 个向量，则存在唯一的 ()A L V ∈，使 (),1,2,,i i A i n εα==L 。例设V 为P 上n 维线性空间，()A L V ∈，A 不可逆，证明存在V 的非零线性变换B ，使得BA = 0。注：由定理可知P 上n 维线性空间V 的线性变换的集合()L V 与V 上n 元向量组之集合间有一一对应关系。二、线性变换的矩阵设V 为数域P 上n 维线性空间，取定V 的一个基1,,n εεL ，则对V 中任一n 元向量组1,,n ααL ，存在唯一的()A L V ∈，使(),1,2,,i i A i n εα==L 。这说明()L V 与V 的n 元有序向量组之集有一一对应关系，但n 元有序向量组1,,n ααL 又可由它们在基1,,n εεL 下的坐标确定。定义设1,,n εεL 为V 的基，()A L V ∈，令 11112121212122221122()()()n n n n n n n nn n A a a a A a a a A a a a εεεεεεεεεεεε=+++??=+++?? ??=+++?L L K L ，即 1212((),(),())(,,)n n A A A A εεεεεε=L L 其中 111212122212n n n n nn a a a a a a A a a a ?? ????=???????? L L L L L L

§7.3线性变换和矩阵.

1．在向量空间 3 F 3中,设1, 1, 1, 1, 是F3的两个基, F 3), 1) 3到基§7.3 线性变换和矩阵 1, 0, 1, 1 , 1, 1, 1 2, 1, 1 3 的过渡矩阵； 1,2,3 2) 在基1, 2, 3下的矩阵； 3)求基1, 2, 3下的矩阵； 4)设 (2,1,3) ,分别求在基 1, 2, 3与1 设三维向量空间V 的线性变换在基1, 2 , 3 下的矩阵是 a11a12a13 A a21a22a23 a31a32a33 1)求在基3, 2, 1下的矩阵； 2)求在基1,k 2 , 3下的矩阵, 其中0k F；2 2． 12 12 3 下的坐标．3) 在基3下的矩阵． 3．在向量空间M 2 (F) 中,定义线性变换 (x)= a b a b (X)= a c b d X c a d b

在基E11, E12, E21, E22下的矩阵. 4.在F 2 2中，求在基E11, E12, E21, E22下的矩阵为 1020 0102 A 3040 0304 的线性变换 . 5. 在n维向量空间V中， L(V)，存在向量V ，使得 n1 0，但 n 0 .证明：V中存在一个基，使得在这个基下的矩阵是 0E n1 00 6. 设A s B，C s D,证明 A0B0 s 0C0C 7. 设A可逆，证明：AB^BA. 8. 在向量空间F3 3中，设 ab c c a b b c a A b c a ， B a b c， C c a b ca b b c a a b c 证明：A，B， C 彼此此相似. 9.设V 是数域 F 上n 维向量空间，证明：V 的与全体线性变换可交换的线性变换是数乘变换. 10.设V是数域F上n维向量空间，问V中是否有线性变换，，使其中I 是恒等变换，为什么？对无限维空间结论又如何？ I.

线性变换与矩阵地关系

线性变换与矩阵的关系学院：数学与计算机科学学院班级：2011级数学与应用数学：学号：

线性变换与矩阵的关系（西北民族大学数学与应用数学专业， 730124）指导教师一、线性变换定义1 设有两个非空集合V,U，若对于V中任一元素α，按照一定规则总有U中一个确定的元素β和它对应，则这个对应规则被称为从集合V到集合U的变换（或映射），记作β=T(α)或β=T α,( α∈V)。设α∈V，T(α)= β,则说变换T把元素α变为β，β称为α在变换T下的象，α称为β在变换T下的源，V称为变换T的源集，象的全体所构成的集合称为象集，记作T(V)。即 T(V)={ β=T(α)|α∈V}, 显然T(V) ?U 注：变换的概念实际上是函数概念的推广。定义2 设V n,U m分别是实数域R上的n维和m维线性空间，T是一个从V n到U m得变换，如果变换满足（1）任给α1 ，α2∈V n，有T(α1+α2)=T(α1)+T(α2); （2）任给α∈V n，k∈R，都有 T(kα)=kT(α)。那么，就称T为从V n到U m的线性变换。说明：

○1线性变换就是保持线性组合的对应的变换。 ○2一般用黑体大写字母T,A,B,…代表现象变换，T(α)或Tα代表元 α在变换下的象。 ○3若U m=V n，则T是一个从线性空间V n到其自身的线性变换，称为线性空 V n中的线性变换。下面主要讨论线性空间V n中的线性变换。二、线性变换的性质设T是V n中的线性变换，则 (1)T(0)=0,T(-α)=-T(α); (2)若β=k1α1+k2α2+…+k mαm,则Tβ=k1Tα1+k2Tα2+…+k m Tα m; (3)若α1，…αm线性相关，则Tα1…Tαm亦线性相关；注：讨论对线性无关的情形不一定成立。 (4)线性变换T的象集T(V n)是一个线性空间V n的子空间。记S T={α|α∈V n,T α=0}称为线性变换T的核，S T是V n的子空间。设V和W是数域F上的向量空间，而σ：V→W是一个线性映射。那么 (i)σ是满射Im(σ)=W; (ii)σ是单射Ker(σ)={0}

线性变换和矩阵.

§3 线性变换和矩阵一、线性变换关于基的矩阵设V 是数域P 上n 维线性空间.n εεε,,,21 V 的一组基，现在建立线性变换与矩阵关系. 空间V 中任意一个向量ξ可以被基n εεε,,,21 线性表出，即有关系式 n n x x x εεεξ+++= 2211 (1) 其中系数是唯一确定的，它们就是ξ在这组基下的坐标.由于线性变换保持线性关系不变，因而在ξ的像A ξ与基的像A 1ε,A 2ε,…，A n ε之间也必然有相同的关系： A ξ=A （n n x x x εεε+++ 2211） =1x A (1ε)+2x A (2ε)+…+n x A (n ε) (2) 上式表明，如果知道了基n εεε,,,21 的像，那么线性空间中任意一个向量ξ 的像也就知道了，或者说 1. 设n εεε,,,21 是线性空间V 的一组基，如果线性变换?与?在这组基上的作用相同，即 A i ε= B i ε， ,,,2,1n i = 那么A = B . 结论1的意义就是，一个线性变换完全被它在一组基上的作用所决定.下面指出，基向量的像却完全可以是任意的，也就是 2. 设n εεε,,,21 是线性空间V 的一组基，对于任意一组向量n ααα,,,21 一定有一个线性变换?使 A i ε=i α .,,2,1n i = 定理1 设n εεε,,,21 是线性空间V 的一组基，n ααα,,,21 是V 中任意n 个向量.存在唯一的线性变换?使

A i ε=i α .,,2,1n i = 定义2 设n εεε,,,21 是数域P 上n 维线性空间V 的一组基，A 是V 中的一个线性变换.基向量的像可以被基线性表出： ???????+++=+++=+++=. ,,22112222112212211111n nn n n n n n n n a a a A a a a A a a a A εεεεεεεεεεεε 用矩阵表示就是 A （n εεε,,,21 ）=（A (1ε)，A ?(2ε)，…， A (n ε)） =A n ),,,(21εεε (5) 其中 ?????? ? ??=nn n n n n a a a a a a a a a A 2122221 11211 矩阵A 称为线性变换A 在基n εεε,,,21 下的矩阵. 例 1 设m εεε,,,21 是n )(m n >维线性空间V 的子空间W 的一组基，把它扩充为V 的一组基n εεε,,,21 .指定线性变换A 如下 ???+====. ,,1,0,,,2,1,n m i A m i A i i i εεε 如此确定的线性变换A 称为子空间W 的一个投影.不难证明 A 2=A 投影A 在基n εεε,,,21 下的矩阵是

第一章线性空间与线性变换概述

第一章线性空间与线性变换线性空间与线性变换是学习现代矩阵论时经常用到的两个极其重要的概念．本章先简要地论述这两个概念及其有关理论，然后再讨论两个特殊的线性空间，这就是Euclid 空间和酉空间． §1.1 线性空间线性空间是线性代数最基本的概念之一，也是学习现代矩阵论的重要基础，所考虑的数域是实数域(记为R)和复数域(记为C)，统称数域F ．一、线性空间的定义及性质定义1 设V 是一个非空集合，F 是一数域．如果存在一种规则，叫做V 的加法运算：对于V 中任意两个元素,αβ，总有V 中一个确定的元素γ与之对应．γ称为αβ与的和，记为γαβ=+．另有一种规则，叫做V 对于F 的数乘运算：对于F 中的任意数k 及V 中任意元素α，总有V 中一个确定的元素σ与之对应，σ叫做k 与α的数乘，记为k σα=．而且，以上两种运算还具有如下的性质：对于任意α，β，V γ∈及k ，l F ∈，有 1)αββα+=+； 2)()()αβγαβγ++=++； 3)V 中存在零元素０，对于任何V α∈，恒有αα+=0； 4)对于任何V α∈，都有α的负元素V β∈，使0αβ+=； 5)1αα=； 6)()()k l kl αα=；(式中kl 是通常的数的乘法) 7)()k l k l ααα+=+；(式中k l +是通常的数的加法) 8)()k k k αβαβ+=+．则称V 为数域F 上的一个线性空间，也称向量空间． V 中所定义的加法及数乘运算统称为线性运算，其中数乘又称数量乘法．在不致产生混淆时，将数域F 上的线性空间简称为线性空间．需要指出，不管V 的元素如何，当F 为实数域R 时，则称V 为实线性空间；当F 为复数域C 时，就称V 为复线性空间．线性空间{0}V =称为零空间．

高等代数与解析几何第七章(1-3习题)线性变换与相似矩阵答案

第七章线性变换与相似矩阵习题 7.1 习题 7.1.1 判别下列变换是否线性变换？（1）设是线性空间中的一个固定向量，（Ⅰ），，解：当时，显然是的线性变换；当时，有，，则，即此时不是的线性变换。（Ⅱ），；解：当时，显然是的线性变换；当时，有，，则，即此时不是的线性变换。（2）在中，（Ⅰ），解：不是的线性变换。因对于，有，，所以。（Ⅱ）；解：是的线性变换。设，其中，，则有，

。（3）在（Ⅰ）解：是中，，的线性变换：设，则，，。（Ⅱ）解：是，其中的线性变换：设是中的固定数；，则，，。（4）把复数域看作复数域上的线性空间，共轭复数；解：不是线性变换。因为取，时，有，即。，其中是的，（5）在中，设与是其中的两个固定的矩阵，，。解：是的线性变换。对，，有，。习题7.1.2 在中，取直角坐标系，以表示空间绕轴由轴向方向旋转900的变换，以表示空间绕轴由轴向方向

旋转 900的变换，以表示空间绕轴由轴向方向旋转900的变换。证明（表示恒等变换），，；并说明是否成立。证明：在中任取一个向量，则根据，及的定义可知：，，，；；，，，，即，故。因为因为，，所以，，所以。。因为，，所以。习题 7.1.3 在中，，，证明。证明：在中任取一多项式，有。所以。习题 7.1.4 设，是上的线性变换。若，证明。证明：用数学归纳法证明。当时，有

命题成立。假设等式对成立，即。下面证明等式对也成立。因有，即等式对也成立，从而对任意自然数都成立。习题 7.1.5 证明（1）若是上的可逆线性变换，则的逆变换唯一；（2）若，是上的可逆线性变换，则也是可逆线性变换，且。证明：（进而（2）因1）设，都是都是的逆变换，则有，。即的逆变换唯一。上的可逆线性变换，则有。，同理有由定义知是可逆线性变换，为逆变换，有唯一性得。习题7.1.6 设是上的线性变换，向量，且，，，都不是零向量，但。证明，，，线性无关。证明：设，依次用可得，得，而，故即得；同理有：；依次类推可得，即得，得，，进而得。

线性变换的矩阵表示式

§5 线性变换的矩阵表示式上节例10中，关系式 ()T x Ax = ()n x R ∈ 简单明了地表示出n R 中的一个线性变换. 我们自然希望n R 中任何一个线性变换都能用这样的关系式来表示. 为此，考虑到n n Ae Ae ==αα,,11 （n e e ,,1 为单位坐标向量），即 ()n i Ae i i ,,2,1 ==α，可见如果线性变换T 有关系式()Ax x T =，那么矩阵A 应以()i e T 为列向量. 反之，如果一贯个线性变换T 使()()n i e T i i ,,2,1 ==α，那么T 必有关系式 ()11122(), ,() n n n T x T e e x T x e x e x e ==++ +???? 1122()()() n n x T e x T e x T e =++ + ()11(),,()(,,)n n T e T e x x Ax αα=== 总之，n R 中任何线性变换T ，都能用关系式 ()()n R x Ax x T ∈=表示，其中1((),,())n A T e T e =. 把上面的讨论推广到一般的线性空间，我们有定义7 设T 是线性空间n V 中的线性变换，在n V 中取定一个基 n αα,,1 ，如果这个基在变换T 下的象（用这个基线性表示）为 11112121212122221122(),(),(), n n n n n n n nn n T a a a T a a a T a a a αααααααααααα=++ +??=+++???? =++ +? 记()()()()n n T T T αααα,,,,11 = ，上式可表示为

#第七章线性变换(小结)

第七章线性变换(小结) 本章的重点: 线性变换的矩阵以及它们对角化的条件和方法. 本章的难点: 不变子空间的概念和线性变换和矩阵的一一对应关系. 线性变换是线性代数的中心内容之一,它对于研究线性空间的整体结构以及向量之间的内在联系起着重要作用.线性变换的概念是分析几何中的坐标变换、数学分析中的某些变换替换等的抽象和推广,它的理论和方法,(特别是和之相适应的矩阵理论和方法)在分析几何、微分方程等许多其它使用学科,都有极为广泛的使用. 本章的中心问题是研究线性变换的矩阵表示,在方法上则充分利用了线性变换和矩阵对应和相互转换. 一、线性变换及其运算 1. 基本概念: 线性变换,可逆线性变换和逆变换; 线性变换的值域和核，秩和零度; 线性变换的和和差, 乘积和数量乘法, 幂及多项式. 2. 基本结论 (1) 线性变换保持零向量、线性组合和线性关系不变; 线性变换把负向量变为象的负向量、把线性相关的向量组变为线性相关的向量组 (2) 线性变换的和、差、积、数量乘法和可逆线性变换的逆变换仍为线性变换. (3) 线性变换的基本运算规律(略). (4) 一个线性空间的全体线性变换关于线性变换的加法和数量乘法作成一个线性空间. (5) 线性空间V 的线性变换A 的象Im(A )= A V 和核ker A = A -1(0) (a) A 的象Im(A )= A V 和核ker A = A -1(0)是V 的(A -)子空间. (b)若dim(V )=n ,则Im(A )由V 的一组基的象生成: 即设V 的一组基 n ααα,...,,21, Im(A )= A V =L(A α1, A α2,… ,A αn )={ A α|α∈V }. ker A = A -1(0)= { α∈V | A α=0}. (c)A 的秩(dim Im(A ))+A 的零度(dim ker A )=n . (d)A 是双射?A 是单射? Ker(A )={0}?A 是满射.

线性变换及其矩阵

第三讲线性变换及其矩阵一、线性变换及其运算定义：设V 是数域K 上的线性空间，T 是V 到自身的一个映射，使得对于V 中的任意元素x 均存在唯一的 y ∈V 与之对应，则称T 为V 的一个变换或算子，记为 y x T =)( 称y 为x 在变换T 下的象，x 为y 的原象。若变化T 还满足 )()()(y T x T y x T +=+ )()(x kT kx T = K k V y x ∈∈?,, 称T 为线性变换。 [例1] 二维实向量空间12 2i R R ξξξ?? ??=∈???????? ，将其绕原点反时针方向旋转θ 角的操作即 ??? ? ?????? ??-=???? ??2121cos sin sin cos ξξθθ θθ ηη就是一个线性变换。 [例2] 次数不超过 n 的全体实多项式n P 构成实数域上的一个 1n +维的线性空间，其基可选为 {}2 1,,,,n x x x ，微分算子d D dx = 是n P 上的一个线性变换。 [例3] 取定矩阵n n K C B A ?∈,,，定义n n K ?的变换C XB AX X T ++= )( n n K X ?∈,是否是线性变换 2. 性质（1）线性变换把零元素仍变为零元素（2）负元素的象为原来元素的象的负元素（3）线性变换把线性相关的元素组仍变为线性相关的元素组应该注意，线性无关的元素组经过线性变换不一定再是线性无关的。但（4）如果线性变换是一个单射，则把线性无关的元素组变为线性无关的元素组 3. 线性变换的运算（1）恒等变换e T ：,e x V T x x ?∈= （2）零变换0T ：0,0x V T x ?∈= （3）变换的相等：1T 、2T 是V 的两个线性变换，x V ?∈，均有12T x T x =，则称1T ＝2T （4）线性变换的和1T +2T ：x V ?∈，1212()T T x T x Tx +=+ （5）线性变换的数乘kT ：x V ?∈，()()kT x k Tx = 负变换：()()T x Tx -=-

高等代数与解析几何第七章(1-3习题) 线性变换与相似矩阵答案

第七章线性变换与相似矩阵习题7、1 习题7、1、1判别下列变换就是否线性变换？ (1)设就是线性空间中得一个固定向量, (Ⅰ),, 解:当时,显然就是得线性变换; 当时,有,,则,即此时不就是得线性变换。(Ⅱ),; 解:当时,显然就是得线性变换; 当时,有,,则,即此时不就是得线性变换。(2)在中, (Ⅰ), 解:不就是得线性变换。因对于,有,,所以。(Ⅱ); 解:就是得线性变换。设,其中,,则有 , 。 (3)在中, (Ⅰ), 解:就是得线性变换:设,则 , ,。

(Ⅱ),其中就是中得固定数; 解:就是得线性变换:设,则 , ,。 (4)把复数域瞧作复数域上得线性空间,,其中就是得共轭复数; 解:不就是线性变换。因为取,时,有,,即。 (5)在中,设与就是其中得两个固定得矩阵,,。解:就是得线性变换。对,,有 , 。习题7、1、2在中,取直角坐标系,以表示空间绕轴由轴向方向旋转900得变换,以表示空间绕轴由轴向方向旋转900得变换,以表示空间绕轴由轴向方向旋转900得变换。证明(表示恒等变换), , ; 并说明就是否成立。

证明:在中任取一个向量,则根据,及得定义可知:,,;, ,;,,,即,故。因为, ,所以。因为, ,所以。因为, ,所以。习题7、1、3在中,,,证明。证明:在中任取一多项式,有。所以。习题7、1、4设,就是上得线性变换。若,证明。证明:用数学归纳法证明。当时,有命题成立。假设等式对成立,即。下面证明等式对也成立。因有

,即等式对也成立,从而对任意自然数都成立。习题7、1、5证明(1)若就是上得可逆线性变换,则得逆变换唯一;(2)若,就是上得可逆线性变换,则也就是可逆线性变换,且。证明:(1)设都就是得逆变换,则有,。进而。即得逆变换唯一。 (2)因,都就是上得可逆线性变换,则有 ,同理有由定义知就是可逆线性变换,为逆变换,有唯一性得。习题7、1、6设就是上得线性变换,向量,且,,,都不就是零向量,但。证明,,,线性无关。证明:设,依次用可得 ,得,而,故;同理有:,得,即得;依次类推可得,即得,进而得。有定义知,,,线性无关。习题7、1、7设就是上得线性变换,证明就是可逆线性变换得充要条件为既就是单射线性变换又就是满射线性变换,即就是一一变换。

1.什么是线性空间什么是线性变换线性变换

1. 什么是线性空间？什么是线性变换？线性变换的秩如果小于空间的维数将会怎样？平方的秩？ 2. 描述一下密度矩阵的特征，纯态和混合态的区别（表现在密度矩阵的秩） 3. 什么是U 变换，U 变换对应的矩阵满足什么样的特点。U 矩阵一定是可对角化的吗？对应欧氏空间的正交变换有什么特点？正交变换对应的矩阵的矩阵元一定是实的吗？ 4. 什么是厄米算符，厄米算符的物理意义？对应的矩阵具有什么样的特点？厄米算符的本征值具有什么样的特征？厄米算符对应的矩阵的矩阵元是实的吗？厄米算符是否可以表示成实矩阵，特点是什么？互相对易的厄米算符具有共同的本征态，具有共同本征态的算符一定是对易的吗？具有共同本征值的呢？厄米算符的和是厄米算符吗？厄米算符的乘积呢？直积呢？不对易的厄米算符一定不可交换吗？ 5. exp （A ）exp （B ）＝exp （A+B ）？LnA 怎么计算？ 6. 简单介绍一下三种picture 的物理意义，态的特征，算符的特征。为什么采用这三种picture ，只有这三种picture 吗？你觉得相互作用picture 可以用在什么地方？Heisenberg picture 的波函数不随时间演化，本征态呢？与哈密顿量对易算符的本征态呢？本征值怎么样？ 7. 传播子的物理意义？路径积分与惠更斯原理有什么联系吗？两个光子能够叠加吗？最小作用原理和路径积分的联系。 8. 什么是态的纠缠？什么是直积态？ 9. 量子力学的五大假设是什么？什么是测量假设？测量假设可以从量子力学的其它假设推导出来吗？能够从态演化过程推导出来吗？它是一个物理过程吗？ 10. EPR 佯谬讲了一些什么内容？说明了什么物理本质？ 11. Bell 不等式怎么写？它有什么作用？2),(),(),(),(≤-++=''''b a b a b a b a u u E u u E u u E u u E S 12. 在quantum teleportation 中，对于粒子1的初态10βαψ+=，如果根据粒子1和2的Bell 基测量结果推知粒子3的量子态为10βαψ-=，10αβψ+=以及10αβψ-=，怎么样才能是粒子3的态恢复到粒子1原来的量子态？ 13. 什么是定态？第二次作业中的2.2题中的(e)小问, 为什么在上一次测量x μ得到0μ+之后隔一个时间间隔t ?再测量x μ，得到0μ+的几率并不完全等于1？ 1). 若体系的H 不显含时间t ，在初始时刻（t=0）体系处于某一个能量本征态)()0,(E ψψ=，其中),(),(t r E t r H E E ψψ=，则 ]/exp[)(),( iEt t E -=ψψ

线性变换和矩阵

§3 线性变换和矩阵一、线性变换在某组基下对应的矩阵设V 是数域P 上n 维线性空间.n εεε,,,21ΛV 的一组基，现在建立线性变换与矩阵关系. 空间V 中任意一个向量ξ可以被基n εεε,,,21Λ线性表出，即有关系式 n n x x x εεεξ+++=Λ2211 (1) 其中系数是唯一确定的，它们就是ξ在这组基下的坐标. 由于线性变换保持线性关系不变，因而在ξ的像A ξ与基的像A 1ε,A 2ε,…，A n ε之间也必然有相同的关系： A ξ=A （n n x x x εεε+++Λ2211） =1x A(1ε)+2x A(2ε)+…+n x A (n ε) (2) 上式表明，如果知道了基n εεε,,,21Λ的像，那么线性空间中任意一个向量ξ的像也就知道了，或者说 1. 设n εεε,,,21Λ是线性空间V 的一组基，如果线性变换A 与?在这组基上的作用相同，即 A i ε= B i ε， ,,,2,1n i Λ= 那么A= B. 结论1的意义就是，一个线性变换完全被它在一组基上的作用所决定.下面指出，基向量的像却完全可以是任意的，也就是 2. 设n εεε,,,21Λ是线性空间V 的一组基，对于任意一组向量n ααα,,,21Λ一定有一个线性变换 A , 使 A i ε=i α .,,2,1n i Λ=

定理1 设n εεε,,,21Λ是线性空间V 的一组基，n ααα,,,21Λ是V 中任意n 个向量. 存在唯一的线性变换A 使 A i ε=i α .,,2,1n i Λ= 定义2 设n εεε,,,21Λ是数域P 上n 维线性空间V 的一组基，A 是V 中的一个线性变换. 基向量的像可以被基线性表出： ???????+++=+++=+++=. ,,22112222112212211111n nn n n n n n n n a a a A a a a A a a a A εεεεεεεεεεεεΛΛΛΛΛΛΛΛΛ 用矩阵表示就是 A （n εεε,,,21Λ）=（A(1ε)，A(2ε)，…， A(n ε)） =A n ),,,(21εεεΛ (5) 其中 ?????? ? ??=nn n n n n a a a a a a a a a A ΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛ2122221 11211 矩阵A 称为线性变换A 在基n εεε,,,21Λ下的矩阵. 例1 设m εεε,,,21Λ是n )(m n >维线性空间V 的子空间W 的一组基，把它扩充为 V 的一组基n εεε,,,21Λ.指定线性变换A 如下 ???+====.,,1,0,,,2,1,n m i A m i A i i i ΛΛεεε 如此确定的线性变换A 称为子空间W 的一个投影.不难证明 A 2=A 投影A 在基n εεε,,,21Λ下的矩阵是 ]练习：7, 8, 9

第六章线性空间与线性变换

第六章线性空间与线性变换柴中林 (A) 1. 检验下列集合对于所指的线性运算是否构成实数域上的线性空间：（1）全体n 阶上三角矩阵，对矩阵的加法和数量乘法。（2）平面上不平行于某一向量的全部向量所成的集合，对向量的加法和数乘运算。（3）平面上的全体向量对于通常的加法和如下定义的数量乘法：k 。a =0 . 2. 设V 1和V 2都是线性空间V 的子空间，如果V 1∪V 2也是的子空间，求证有：V 1 V 2或V 2 V 1。 3. 检验下列各向量集合是否是R 3的子空间：（1）},0|),,{(213211R x x x x x x V i ∈≥=, （2）}(|),,{(3212有理数）Q x x x x V i ∈=. 4. R 4中，求向量ξ在基α1，α2，α3，α4下的坐标，已知：（1）α1（1，1，1，1）， α2=（1，1，-1，-1）， α3=（1，-1，1，-1）， α4=（1，-1，-1，1）， ξ=（1，2，1，1）。（2）α1（1，1，0，1）， α2=（2，1，3，-1）， α3=（1，1，0，0）， α4=（1，1，-1，-1）， ξ=（0，0，0，1）。 5. R 4中，求由基α1，α2，α3，α4到基β1，β2，β3，β4的过渡矩阵，并求向量ξ在指定基下的坐标。已知：（1）α1=（1，0，0，0）， α2=（0，1，0，0）， α3=（0，0，1，0）， α4=（0，0，0，1）， β1=（2，1，-1，1）， β2=（0，3，1，0）， β3=（5，3，2，1）， β4=（6，6，1，3）。 ξ=（1，2，1，1）在基β1，β2，β3，β4下的坐标。（2）α1=（1，1，1，1）， α2=（1，1，-1，-1）， α3=（1，-1，1，-1）， α4=（1，-1，-1，1）， β1=（1，1，0，1）， β2=（2，1，3，1）， β3=（1，1，0，0）， β4=（0，1，-1，-1）。 ξ=（1，0，0，-1）在基α1，α2，α3，α4下的坐标。 6. 向量α、β、γ满足0321=++γβαk k k ，且k 1k 2≠0, 求证向量组α、β和向量组β、γ生成相同的向量空间。 7. 判断下面所定义的变换，哪些是线性变换，哪些不是：（1）在线性空间V 中，T （ξ）=ξ+α，其中α∈V 是一已知向量, （2）在R 3 中， T T x x x x x x x T ),,()),,((233221321+=, （3）在R 3中，T T x x x x x x x x T ),,2()),,((13221321+-=, （4）在P[x]n 中，T(f (x ))=f (x +1). 8. 证明线性变换将一个子空间变为一个子空间。 9. 已知矩阵A 与B 相似，C 与D 相似，证明： ???? ??C A 00与???? ??D B 00相似。 10. 设α1，α2，α3，α4是4维线性空间V 的一组基, 线性变换T 在这组基下的矩阵为: ??????? ??--------=7113102/52/92/1323133425T ,

7.3线性变换的矩阵

§3 线性变换的矩阵设V 是数域P 上n 维线性空间，12,,,n εεε是V 的一组基，现在我们来建立线性变换与矩阵的关系。空间V 中任一向量ξ可以被基12,, ,n εεε表示出，即有关系式 1122n n x x x ξεεε=++ +，（1）其中系数是唯一确定的，它们就是ξ在这组基下的坐标。由于线性变换保持线性关系不变，因而在ξ的象A ξ与基的象12,,,n A A A εεε之间也必然有相同的关系： )(2211n n x x x A A εεεξ+++= )()()(2211n n A x A x A x εεε+++= （2）上式表明，如果我们知道了基12,,,n εεε的象，那么线性空间中任意一个向量ξ的象也就知道了，或者说 1．设12,,,n εεε是线性空间V 的一组基。如果线性变换A 与B 在这组基上的作用相同，即 n i B A i i ,,2,1, ==εε，那么A =B 。证明 A 与B 相等的意义是它们对每个向量的作用相同。因此，我们就是要证明对任一向量ξ，等式A B ξξ=成立。而由（2）及假设，即得 ξεεεεεεξB B x B x B x A x A x A x A n n n n =+++=+++= 22112211 结论1的意义就是，一个线性变换完全被它在一组基上的作用所决定。下面我们进一步指出，基向量的象完全可以是任意的，也就是说， 2．设12,,,n εεε是线性空间V 的一组基。对于任意一组向量12,,,n ααα一定有一个线性变换A 使 ,1,2, ,i i A i n εα== （3）证明我们来作出所要的线性变换。设 ∑==n i i i x 1εξ 是线性空间V 的任意一个向量，我们定义V 的变换A 为 1 n i i i A x ξα ==∑ （4）下面来证明变换A 是线性的。在V 中任取两个向量， ∑∑====n i i i n i i i c b 1 1 ,εγεβ。于是 ∑=+=+n i i i i c b 1 )(ελβ， P k kb k n i i i ∈=∑=,1εβ。按所定义的A 的表达式（4），有

高等代数和解析几何第七章(1~3习题集)线性变换和相似矩阵答案解析

第七章线性变换与相似矩阵习题7.1 习题7.1.1判别下列变换是否线性变换？（1）设是线性空间中的一个固定向量，（Ⅰ），，解：当时，显然是的线性变换；当时，有，，则，即此时不是的线性变换。（Ⅱ），；解：当时，显然是的线性变换；当时，有，，则，即此时不是的线性变换。（2）在中，（Ⅰ），解：不是的线性变换。因对于，有，，所以。（Ⅱ）；解：是的线性变换。设，其中，，则有，

。（3）在中，（Ⅰ），解：是的线性变换：设，则，，。（Ⅱ），其中是中的固定数；解：是的线性变换：设，则，，。（4）把复数域看作复数域上的线性空间，，其中是的共轭复数；解：不是线性变换。因为取，时，有，，即。（5）在中，设与是其中的两个固定的矩阵，，。解：是的线性变换。对，，有，。习题7.1.2在中，取直角坐标系，以表示空间绕轴由轴向方向旋转900的变换，以表示空间绕轴由轴向方向

旋转900的变换，以表示空间绕轴由轴向方向旋转900的变换。证明（表示恒等变换），，；并说明是否成立。证明：在中任取一个向量，则根据，及的定义可知：，，；，，；，，，即，故。因为，，所以。因为，，所以。因为，，所以。习题7.1.3在中，，，证明。证明：在中任取一多项式，有。所以。习题7.1.4设，是上的线性变换。若，证明。证明：用数学归纳法证明。当时，有

命题成立。假设等式对成立，即。下面证明等式对也成立。因有，即等式对也成立，从而对任意自然数都成立。习题7.1.5证明（1）若是上的可逆线性变换，则的逆变换唯一；（2）若，是上的可逆线性变换，则也是可逆线性变换，且。证明：（1）设都是的逆变换，则有，。进而。即的逆变换唯一。（2）因，都是上的可逆线性变换，则有，同理有由定义知是可逆线性变换，为逆变换，有唯一性得。习题7.1.6设是上的线性变换，向量，且，，，都不是零向量，但。证明，，，线性无关。证明：设，依次用可得，得，而，故；同理有：，得，

03线性变换及其矩阵(精)

第三讲线性变换及其矩阵一、线性变换及其运算定义：设V 是数域K 上的线性空间，T 是V 到自身的一个映射，使得对于V 中的任意元素x 均存在唯一的 y ∈V 与之对应，则称T 为V 的一个变换或算子，记为 Tx ＝y 称y 为x 在变换T 下的象，x 为y 的原象。若变化T 还满足 T(kx+ly)=k(Tx)+l(Ty) ?x,y ∈V , k,l ∈K 称T 为线性变换。 [例1] 二维实向量空间12 2i R R ξξξ?? ??=∈???????? ，将其绕原点旋转θ 角的操作就是一个线性变换。 [证明] 12x ξξ??=???? 12y Tx ηη?? ==???? 112212cos sin sin cos ηξθξθ ηξθξθ =+?? =-+? 1122cos sin sin cos ηξθθηξθθ??????=??????-? ????? 2 R ∈ 可见该操作T 为变换，下面证明其为线性变换 12x x x ???=???? 12z z z ?? =????2R ∈，k ，l R ∈ 11112222=kx lz kx lz kx lz kx lz kx lz +?????? ++=?????? +?????? 1122cos sin ()sin cos kx lz T kx lz kx lz θ θθθ+?? ??+=??? ?+-???? 1122cos sin cos sin sin cos sin cos x z k l x z θ θθθθ θθ θ???? ????=+????????--? ??????? ()()k Tx l Tz =+ ∴ T 是线性变换。 [例2] 次数不超过 n 的全体实多项式n P 构成实数域上的一个 1n +维的线性空间，其基可选为

04 线性变换及其矩阵

第四讲线性变换及其矩阵一、线性变换及其运算 1，定义：T 是到自身的一个映射，满足()n V F x ?∈V 中的任意元，均存在唯一的 y ∈V 与之对应，则称T 为V 的一个变换，记为 Tx ＝y 称y 为x 在变换T 下的象，x 为y 的原象。若变化T 还满足线性性：T(kx+ly)=k(Tx)+l(Ty) x,y ∈V , k,l F ?∈称T 为线性变换。 [例1] 二维实向量空间12 2i R R ξξξ?????????=∈????????????? ，将其绕原点旋转角的操作就是一个线性变换。 θ[证明] 12 2,x R x ξξ?????∈=????12y Tx ηη????==???? 112212cos sin sin cos ηξθξθηξθξ?=+????=?+??θ 1122cos sin sin cos ηξθθηξθθ???? ??????? ?=????????????? 2R ∈ 可见T 为变换，下面证明其为线性变换. [例2] 次数不超过-1的全体实多项式[x]构成实数域上的一个n 维的线性空间，微分算子n n P d dx D =是[x]上的一个线性变换。 n P [证明] Remark: [x]上的积分变换n P 0 (())()x J p x p s ds =∫ 不是[x]上的线性变换，为 C[0,1]上的线性变换。 n P [例3])上对任意固定α为线性变换0=时称零变 (n V F ,()F T λα∈=λ。换； λ

1λ=时称恒等变换。 [例4] 上定义，选定，为上线性变换。 n F (),n n A T X AX A F ×=∈A T n F 2. 性质（1）线性变换把零元素仍变为零元素（T(0)=T(0x)=0(Tx)=0）（2）负元素的象为原来元素的象的负元素（T (-x )=(-1)(Tx )=-(Tx )）（3）线性变换把线性相关的元素组仍变为线性相关的元素组 [证明] Remark: 线性无关的元素组经过线性变换不一定再是线性无关的。 3, 线性变换相关的空间 ★象空间 {}|(),..()n V F s t T βαβα=?∈=()R T ()N T dimR(T)为线性变换T 的秩 ★零空间 {}|()0T αα== dimN(T)为线性变换T 的零度。 [例] 求线性变换的象空间和零空间。 A T 4. 线性变换的运算（1）恒等变换e T ：,e x V T x x ?∈= （2）零变换0T ：0 ,0x V T x ?∈=（3）变换的相等：1T 、2T 是V 的两个线性变换，x V ?∈，均有，则称1T ＝2T . 12T x T x =（4）线性变换的和1T +2T ：x V ?∈，2() 121T T x T x Tx +=+（5）线性变换的数乘kT ：x V ?∈，()() kT x k Tx =负变换：() (T x Tx ?=?)

线性空间和线性变换

故 T U A U A A ))((11*--=, 令 T U A P )(1-=，则P 可逆，且P P A T =*，所以*A 为正定矩阵. 例28(1999.Ⅲ) 设A 为n m ?实矩阵，E 为n 阶单位矩阵，已知矩阵A A E B T +=λ，试证：当0λ>时，矩阵B 为正定矩阵. 证因为 B A A E A A E B T T T T =+=+=λλ)(，所以B 为n 阶实对称矩阵，且对任意的实n 维向量x ，有 ,)()(A Ax x A A E x B x T T T T T T T +=+=λλ 当0x ≠时，有 0,T x x > 0)(>A Ax T ，于是当0λ>时，0=>x B x T T ，所以B 为正定矩阵. 例29(1999.Ⅰ) 设A 为m 阶实对称矩阵且正定，B 为n m ?实矩阵，T B 为B 的转置矩阵，试证：AB B T 为正定矩阵的充分必要条件是R (B )=n . 证必要性设AB B T 为正定矩阵，则对任意的实n 维列向量0x → → ≠，有 ()0T T x B AB x → → >，即0)()(>x B A x B T . 于是当0x ≠时，有0Bx ≠，因此齐次线性方程组B x =0只有零解，故n B R =)(. 充分性因为AB B B A B AB B T T T T T ==)(，所以AB B T 为实对称矩阵，若R (B )=n ，则B x =0只有零解，从而对任意的实n 维列向量0x ≠均有0Bx ≠, 又A 为正定矩阵，所以对任意的实n 维列向量0Bx ≠，有 0)()(>x B A x B T

第六章线性空间与线性变换.

第六章线性空间与线性变换 1.验证: (1)2阶矩阵的全体S i ； ⑵主对角线上的元素之和等于0的2阶矩阵的全体S 2； (3)2阶对称矩阵的全体S 「对于矩阵的加法和乘数运算构成线性空间, 解(1)设A,B 分别为二阶矩阵，则A,B S i 显然 (A B) S i ,k A S i ,从而对于矩阵的加法和乘数运算构成线性空间. 0 0 1 是S 1的一个基. a b de A B ⑵设 c a , f d A,B S 2 (a d) c b ka kb A B S 2 kA S 2 c a a d kc ka 1 0 0 1 0 0 1 2 3 0 1 0 0 1 0 是 ?个基. ⑶设A, B S 3 ，则 T A A,B T B (A B)T A T B T A B ，从而(A B) S 3 (kA) kA 从，故kA S 3，所以对于加法和乘数运算构成线性空间. 2.验证：与向量(0,0,1) 不平行的全体3维数组向量，对于数组向量的加法和乘数运算不构成线性空间. 解设V 与向量(0,0,1)不平行的全体三维向量，设「1 (1,1,0) r 2 ( 1,0,1)，则「1,「2 V .但「1 「2 (0,0,1) V 即 V 不是线性空间. 1 0 0 1 0 0 0 0 2 1 0 3 0 1 是S 3的一个基. 1 并写出各个空间的一个基.

3 .设U 是线性空间V 的一个子空间，试证：若U 与V 的维数相等，则 U V . 证明设1 2 r 为U 的一组基，它可扩充为整个空间 V 的一个基，由于dim(U) dim(V)从而i 2 r 也为V 的一个基，贝卩：对于x V 可以表示为x ki 1 k 2 2 kr r .显然，x U ，故V U ，而由已知知U V ，有U V . 4 .设V r 是n 维线性空间V n 的一个子空间，a 1, a r 是V r 的一个基.试证：V n 中存在元素a r 1, a n ，使印， a 2, a r 冃仆，a n 成为V n 的一个基. 证明设r n ,则在V n 中必存在一向量a r 1 V r ,它不能被ai ，a 2, a r 线性表示，将 a r 1 添加进来，则a i ，a 2，a 3， a r 1是线性无关的.若 r 1 n ,则命题得证，否则存在a r 2 L(a 1,a 2, ,a r 1)则 a 1,a 2, ,a r 2线性无关，依此类推，可找到n 个线性无关的向量 a 1，a 2，，a n ，它们是V n 的一个基. 5 .在 R 3 中求向量 (3,7,1) 在基 1 (1,3,5) , 2 (6,3,2), 3 (3,1,0/ 下的坐标. 解 1 (1,0,0), 2 (0,1,0), 3 (0O1) 1 6 3 A 3 3 1 ( T T (1 , 2 , T )(:, T 2 , ；)A 5 2 0 X 1‘ X 1 2 6 3 x 1 X 2' A 1 X 2 5 15 8 x 2 坐标变换公式： X 3‘ X 3 9 28 15 X 3 X 1' 2 6 3 3 33 X 2‘ 5 15 8 7 82 故所求为X 3' 9 28 15 1 154 ? 所求坐标为33, 82,154

3. 第三讲 线性变换之一