初中数学竞赛专题：不等式(2)

初中数学竞赛专题:不等式（2）

§5.4 不等式的证明和应用

5.4.1★设a 、b 、c 的平均数为M ,a 、b 的平均数为N ,N 、c 的平均数为P .若a b c >>,则M 与P 的大小关系是（ ） A.M P = B.M P > C.M P <

D.不确定

解析 因为3a b c M ++=

,2a b N +=,224N c a b c P +++==,212

a b c

M P +--=,因为a b c >>,所以2201212

a b c c c c

+-+->=,即0M P ->,所以M P >.故选B. 5.4.2★若a 、b 是正数,且满足12345(111)(111)a b =+-,则a 与b 之间的大小关系是（ ） A.a b > B.a b = C.a b <

D.不能确定

解析 因为

12345(111)(111)a b =+- 2111111()a b ab =+--,

所以

2111()1234511124a b ab ab -=-+=+.

由于0a >,0b >,所以0ab >.

所以240ab +>,即0a b ->,a b >.故选A.

5.4.3★若223894613M x xy y x y =-+-++（x 、y 是实数）,则M 的值一定是（ ）. A.正数 B.负数 C.零

D.整数

解析 因为223894613M x xy y x y =-+-++

2222(2)(2)(3)0x y x y =-+-++≥,

且3x y -,2x -,3y +这三个数不能同时为0,所以0M >. 故选A.

5.4.4★设a 、b 是正整数,且满足5659a b +≤≤,0.90.91a

b

<<,则22b a -等于（ ）. A.171

B.177

C.180

D.182

解析 由题设得

0.959b b +<,0.9156b b +>,

所以 2932b <<.

因此30b =,31.

当30b =时,由0.90.91b a b <<,得2728a <<,这样的正整数a 不存在. 当31b =时,由0.90.91b a b <<,得2729a <<,所以28a =. 所以,22177b a -=. 故选B.

5.4.5★★已知b x a

=,a 、b 为互质的正整数,且8a ≤11x <<. （1）试写出一个满足条件的x ； （2）求所有满足条件的x . 解析 （1）12

x =满足条件.

（2）因为b x a

=,a 、b 为互质的正整数,且8a ≤,所以

11b

a <

, 即

1)1)a b a <<.

当1a =时11b <<,这样的正整数b 不存在.

当2a =时,1)1)b -<<,故1b =,此时12

x =.

当3a =时,1)1)b <<,故2b =,此时23x =.

当4a =时,1)1)b -<<,与a 互质的正整数b 不存在.

当5a =时,1)1)b <<,故3b =,此时35x =.

当6a =时,1)1)b <<-,与a 互质的正整数b 不存在.

当7a =时,1)1)b -<<,故3b =,4,5,此时37x =,47,57

.

当8a =时,1)1)b <<,故5b =,此时58x =.

所以,满足条件的所有分数为12、23、35、37、47、57、58

. 5.4.6

★

★

已

知:13223a a a +≥,24323a a a +≥,35423a a a +≥,…,810923a a a +≥,911023a a a +≥,102123a a a +≥和

123910100a a a a a +++

++=.求1a ,2a ,3a ,…,9a ,10a 的值.

解析 将10个不等式累加得

12101210()2()a a a a a a ++

+++++

12103()a a a ++

+≥,①

当且仅当10个不等式取等号时,①式才成立. 由13223a a a +=可以得到

12232()a a a a -=-,②

由24323a a a +=可以得到

23342()a a a a -=-,③

…

由102123a a a +=可以得到

101122()a a a a -=-,

由②和③可推知212342()a a a a -=-.类似地,可以推知1012122()a a a a -=-,所以,12a a =.同理可得

12310a a a a ===

=.

所以1231010a a a a ===

==.

5.4.7★★证明:（1）2

()4

a b ab +≤；

（2）a b +

（3）如果a 是正实数,那么12a a

+≥；

（4）设a 、b 是非负实数,则1

1

()4a b a b

??++ ??

?≥； （5）222a b c ab bc ac ++++≥.

解析 （1）在222a b ab +≥的左右两边分别加上2ab 得到

2

()4

a b ab +≤

, 这个不等式说明:如果两个正数的和是一个常数,则乘积有最大值,如果两个正数的乘积是一个

常数,则和有最小值.

（2）在222a b ab +≥的左右两边分别加上22a b +得到

a b +这个不等式说明了两个数的和与平方和之间的不等式关系.

（3）在（1）中令1

b a =,得12a a

+≥,这个不等式说明了一个正数与它倒数的和不小于2. （4）由（3）可得

11()2224a b a b a b b a ??

++=+++= ?

??

≥, 这个不等式说明了两个数的和与倒数和之间的不等式关系. （5）由222a b ab +≥,222a c ac +≥,222b c bc +≥可以得到

222a b c ab bc ac ++++≥.

5.4.8★★设a ,b ,0c >,求证:

222

b c a a b c a b c

++++≥. 解析 因为

22b a b a +≥,22c b c b

+≥,2

2a c a c +≥, 所以

222

b c a a b c a b c

++++≥. 5.4.9★★★设a ,b ,0c >,求证:

3

2

a b c b c c a a b +++++≥. 解析 因为

a b c

b c c a a b ++

+++ 3a b c a b c a b c

b c c a a b ++++++=

++-+++, 而2a b c a b c a b c b c

c a a b ++++++??

++

?+++?? ()()()

a b b c c a b c +++++=+

()()()

a b a c b c c a

++++++

+

()()()

a b b c a c a b

++++++

+

3b c a b a c b c a c a b

a b b c b c a c a b a c

++++++=+

+++++

++++++ 32229+++=≥,

所以,

93322

a b c b c c a a b ++-=+++≥. 5.4.10★★若正数a 、b 、c 满足1a b c ++=,求证:

(1)(1)(1)8(1)(1)(1)a b c a b c +++---≥.

解析 因为

(1)(1)(1)a b c +++

(2)(2)(2)a b c b a c c a b =++++++,

而

2a b c a b a c ++=+++≥,

2b a c b a b c ++=+++≥

2c a b c a c b ++=+++≥所以

(1)(1)(1)8()()()a b c b c a c a b ++++++≥ 8(1)(1)(1)a b c =---.

5.4.11★★（1）已知正数x 、y 、z 满足

1x y z ++=,

求证:

149

36x y z

++≥； （2）已知正数x 、y 满足231x y +=,求证:

32

24x y

+≥； （3）已知正数x 、y 满足1x y +=,求证:

11

122

x y +++≥. 解析 （1）由题设和平均不等式得

149x y z

++

149()x y z x y z ??

=++++ ???

494914y x z x z y x y x z y

z ??????=++++++ ? ? ??????? 14461236+++=≥.

（2）由题设和平均不等式得

3232(23)x y x y x y ??

+=++ ???

9412y x

x y

=+

+

121224+=≥.

（3）由题设和平均不等式得

11111(21)21421x y x y x y ??+=++++ ?++++??

1122421y x x y ??++=++ ?++?? 11122421y x x y ??

++=

++ ?++??

11

122

+=≥. 5.4.12★★（1）若0x >,求4x x

+的最小值； （2）若1x >-,求4

1

x x +

+的最小值； （3）若12

x >-,求1

21x x +

+的最小值.

解析 （1）因为44x x

+≥,当2x =时等号成立,所以,欲求的最小值是4. （2）因为

441111

x x x x +

=++-++

13=≥, 当1x =时等号成立,所以,欲求的最小值是3. （3）因为

1111

212212

x x x x +

=++-++

12

≥

1

2

=,

当x 时等号成立,所以,1

2

. 5.4.13★★（1）若1

02

x <<,求(12)x x -的最大值； （2）若113

x -<<,求(1)(13)x x +-的最大值. 解析 （1）因为

1

(12)2(12)2x x x x -=?-

21(212)1248

x x +-?=≤, 当1

4x =时等号成立,所以,欲求的最大值是18

. （2）因为

1

(1)(13)(33)(13)3x x x x +-=+-

21(3313)4343

x x ++-=≤, 当13x =-时等号成立,所以,欲求的最大值是13

.

5.4.14★★求代数式. 解析 我们有

1

2

≤ 22221

((2)(2))22

a b b a +-++-=≤, 当1a b ==时等号成立,故欲求的最大值为2. 评注 这里,在第一个不等式中,用了

||a a =≤

5.4.15★★★设正实数x 、y 、z 满足

()1xyz x y z ++=,

求()()x y y z ++的最小值. 解析 因为

()()()x y y z zx y x y z ++=+++

2=≥,

当1x =,1y =,1z =时等号成立,故最小值为2. 5.4.16★★★设0a b >>,求21

()

a b a b +-的最小值.

解析 因为

22

(())()44

b a b a b a b +--=

≤, 所以

222144()a a b a b a +

+-≥≥,

当a =2

b =

时等号成立. 所以,欲求的最小值是4.

5.4.17★★设0a b >>,5

9a b +≥,481

ab ≤. 求证:49

a ≥. 解析 因为

44416()99981a b ab a b ?

???--=-++ ????

??? 44516

0819981

-?+=≤

, 又449

9

a b ->-,所以409

a -≥,即49

a ≥. 5.4.18★★已知x 、y 、z 是实数,且

8x y z ++=,22224x y z ++=.

求证:443x ≤≤,443y ≤≤,443

z ≤≤. 解析 因为

8y z x +=-,22224y z x +=-,

而 2222()()y z y z ++≥, 所以

222(24)(8)x x --≥,

224826416x x x --+≥, 2316160x x -+≤, (34)(4)0x x --≤,

解得

4

43

x ≤≤. 同理可证:443y ≤≤,443

z ≤≤.

5.4.19★★★已知实数a 、b 、c 满足:a b c >>,且

1a b c ++=,2221a b c ++=.

求证:

413

a b <+<

. 解析 原不等式等价于

1

03

c -<<. 因为1a b c +=-,2221a b c +=-, 又因为2222()()a b a b +>+,所以

222(1)(1)c c ->-,

222221c c c ->-+, 23210c c --<, (31)(1)0c c +-<,

解得 113

c -<<.

若0c ≥,则0a b >>,由1a b c ++=,可得01c b a <<<≤.于是

222a b c a b c ++<++,

矛盾！ 故

1

03

c -<<.

5.4.20★★★若实数a 、b 满足5||7b =,求3||S b =的取值范围. 解析 由题设分别消去b 、a ,得

215S +=

14319||S b -=.

0,||0b ≥,所以

2150,

1430,S S +??

-?

≥≥ 所以

2114

53

S -

≤≤. 反之,若S 满足不等式2114

53

S -

≤≤,则易知存在a 、b 满足题设条件. 所以,所求的S 的取值范围为2114

53

S -

≤≤. 5.4.21★★★已知实数a 、b 满足221a ab b ++=,且22t ab a b =--,求t 的取值范围. 解析1 由221a ab b ++=,22ab a b t --=相加,得21ab t =+,故1

2

t ab +=. 又

222()a b a ab b ab +=+++

3

102

t ab +=+=

≥,

所以3t -≥且a b +=. 于是可知a 、b 是关于x 的方程

21

02

t x +±

+= 的两个实数根. 由3312(1)0222t t t +?=

-+=--≥,解出1

3

t -≤. 综上所述,t 的取值范围是1

33

t --≤≤.

解析2 由2222()()1()1ab a ab b a b a b -=++-+=-+≤,所以1ab -≥.（当1a b =-=时等号成立） 由

2223()()ab a ab b a b =++-- 21()1a b =--≤,

故31ab ≤,即13ab ≤.（当a b ==

时等号成立） 于是有113

ab -≤≤,从而有2223

ab -≤≤. 根据解析1,可知:21t ab =-.

所以1

33

t --≤≤.

5.4.22★★设正数a 、b 满足11

10a b b a

--++=. 求证:4

13

a b <+≤. 解析 由

11

10a b b a

--++=可得 22a ab b a b ++=+,

则

2()()ab a b a b =+-+

()(1)a b a b =++-. ①

由于a 、b 是两个正数,所以0ab >,0a b +>,所以10a b +->,从而1a b +>.

另一方面,由2

2

()()44a b a b ab ab +=-+≥,可得2()4a b ab +≤,结合①式可得14

a b

a b ++-≥,所以

4

3

a b +≤.

因此,413

a b <+≤.

5.4.23★★★设2()f x ax bx c =++（a 、b 、c 都是实数）,已知|(1)|1f -≤,|(0)|1f ≤,|(1)|1f ≤,求证:当11x -≤≤时,5|()|4

f x ≤. 解析 因为

(0),(1),(1),f c f a b c f a b c =??

-=-+??=++?

所以1((1)(1))(0),21((1)(1)),2(0).a f f f b f f c f ?=+--??

?

=--??

=???

于是

211|()|((1)(1))(0)((1)(1))(0)22f x f f f x f f x f ??

=+--+--+ ???

22211

()(1)(1)(0)()(1)22

x x f x f x x f =

++-+--

211

|||1||(1)||1||(0)||||1||(1)|22x x f x f x x f ?+?+-?+?-?-≤ 211

||(1)1||(1)22x x x x x ++-+-≤ 2

2

155||1||244x x x ?

?=-++=--+ ??

?≤.

5.4.24★★★证明:对任意三角形,一定存在它的两条边,它们的长u 、v 满足

1u v <

≤. 解析 若结论不成立,则对于ABC △的三边长a 、b 、c ,不妨设a b c >>,于是

a b ①

b c ②

记b c s =+,a b t c s t =+=++,则s ,0t >,代入①得

c s t c s +++

, 11s t c c s c

+

+

+令s

x c =,t y c

=,则

11x y x +++. ③

由a b c <+,得c s t c s c ++<++,即t c <,于是1t y c

=<.由②得

1b c s x c c +==+ ④

由③、④得

1(1)y x ?+????

≥

1=, 矛盾.从而命题得证.

5.4.25★★★若正实数x 、y 、z 可以是一个三角形的三边长,则称（x ,y ,z ）是三角形数.若

（a ,b ,c ）和111,,a b c ??

??

?

均为三角形数,且a b c ≤≤.求a

c

的取值范围. 解析 由题设得,111,a b c c b a

+>???+>??所以

11111

c c a c b a

+>+>-, 即有111c c a a +>-,2

310a a c c ????-+< ? ?????,得

a c <<

. 而1a c ≤,所以所求的a c

的取值范围为

1a

c

<≤. §5.5 应用题

5.5.1★某宾馆底楼客房比二楼客房少5间.某旅游团有48人,若全安排住在底楼,每间住4人,房间不够；每间住5人,有房间没有住满5人.又若全安排住二楼,每间住3人,房间不够；每间住4人,有房间没有住满4人.问该宾馆底楼有多少间客房？

解析 设底楼有客房x 间,则二楼有客房(5)x +间.依题意,可得如下不等式组:

448,548,3(5)48,4(5)48,

x x x x ?

?

+? 解不等式组得 9.611x <<. 因为x 是整数,所以,10x =. 故宾馆的底楼有10间客房.

5.5.2★★一列客车始终作匀速运动,它通过长为450米的桥时,从车头上桥到车尾下桥共用33秒；它

穿过长760米的隧道时,整个车身都在隧道里的时间为22秒．从客车的对面开来一列长度为a 米,速

度为每秒v 米的货车,两车交错,从车头相遇到车尾相离共用t 秒． （1）写出用a 、v 表示t 的函数解析式；

（2）若货车的速度不低于每秒12米,且不到每秒15米,其长度为324米,求两车交错所用时间的取

值范围．

解析 （1）设客车的速度为每秒x 米,客车的长度为y 米．依题意知

45033,

76022.y x y x +=??

-=?

解得22,

276.x y =??

=?

所以,276

22

a t v +=

+（0v >,0a >）. （2）当324a =,1215v <≤时,由（1）得600

22

t v =+. 又因为342237v +<≤,所以,

600600300

372217

v <+≤

. 故t 的取值范围为

600600300

372217

v <+≤

. 5.5.3★★8个人乘速度相同的两辆小汽车同时赶往火车站,每辆车乘4人（不包括司机）．其中一辆小

汽车在距离火车站15 km 的地方出现故障,此时距停止检票的时间还有42分钟．这时唯一可利用的交

通工具是另一辆小汽车,已知包括司机在内这辆车限乘5人,且这辆车的平均速度是60 km /h ,人步行的平均速度是5 km /h ．试设计两种方案,通过计算说明这8个人能够在停止检票前赶到火车站．

解析 【方案一】当一辆小汽车出现故障时,乘这辆车的4个人下车步行,另一辆车将车内的4个人送到火车站,立即返回接步行的4个人到火车站．

设乘出现故障汽车的4个人步行的距离为km x ,根据题意,有

1515560

x x +-=

, 解得30

13

x =

．因此这8个人全部到火车站所需时间为 3030515601313?

?÷+-÷ ??

? 3552=

（小时）5

4013

=（分钟）42<（分钟）. 故此方案可行,

【方案二】当一辆小汽车出现故障时,乘这辆车的4个人先下车步行,另一辆车将车内的4个人送到某地方后,让他们下车步行,再立即返回接出故障汽车而步行的另外4个人,使得两批人员最后同时到达车站．

故障点

火车站

分析此方案可知,两批人员步行的距离相同,如图所示,D 为无故障汽车人员下车地点,C 为有故障

汽车人员再次上车地点．因此,设AC DB y ==,根据题意,有

15152560

y y y

-+-=

, 解得2y =．因此这8个人同时到火车站所需时间为215237

56060

-+=（小时）37=（分钟）42<（分

钟）.

故此方案也可行．

5.5.4★★某出租车的收费标准是:5千米之内起步费是10.8元,以后每增加1千米增收1.2元（不足

1千米也算一个1千米）．现从A 地到B 地共支出24元（不计等候时间所需费用）．如果从A 地到

B 地是先

步行460米,然后再乘车也是24元（同样不计等候时间所需费用）,求从AB 的中点C 到B 地需多少车费．

解析 设从A 地到B 地的距离为x 千米,由于

2410.8

111.2

-=,所以510511x +<+≤,即 1516x <≤.

①

又 5100.46511x +<-+≤,

所以

15.4616.46x <≤.

②

由①、②便知15.4616x <≤.故7.7382

x <≤．

即C 与B 之间的路程在7.73千米至8千米之间,所需车费为10.8(85) 1.214.4+-?=（元）． 5.5.5★★从A 站到B 站300千米,每30千米设一路标（如图）,从早700：开始,货车每隔5分钟从A 站发出一辆开往B 站,车速为每小时60千米；早上830：由A 站发出一辆小轿车驶向B 站,车速为每小时100千米．已知小轿车在某两相邻路标之间（不包括路标处）追过三辆货车,问:此时小轿车已经追过

多少辆货车（与小轿车同时出发的那辆货车不计算在内）？

路标11路标3

路标2

路标1B

A

解析 因为相邻两辆货车之间的距离为5

60560

?

=（千米）,所以小轿车从追上第k 辆货车开始,到它追上第1k +辆货车,所需时间为15(10060)8

÷-=（小时）,所以它追上第志辆货车需要18

k 小时,

设小轿车追上第x 、1x +、2(218)x x ++≤辆货车是在两个路标之间,这两个路标分别是第y 、1y +个,则我们有

110030,81100(2)30(1).8x y x y ??>???

??+<+??

①

②

由①得,512x y >；由②得,5122x y <+,而x 、y 都是整数,所以

5121x y =+,0y =,1,2, (10)

于是只有5x =,2y =和17x =,7y =（舍去）． 所以,小轿车追过了7辆货车．

5.5.6★★★正五边形广场ABCDE 的周长为2000米,甲、乙两人分别从A 、C 两点同时出发绕广场沿

A B C D E A →→→→→→

的方向行走,甲的速度为50米／分,乙的速度为46米／分,那么,出发

后经过多少分钟,甲、乙第一次开始行走在同一条边上？

解析 设甲走完x （x 为正整数）条边时,两人第一次开始行走在同一条边上,此时甲走了400x 米,乙走了4004636850

x

x ?

=米.于是 368(1)800400(1)400x x -+-->,

且(368800)400400x x +-≤, 所以,12.513.5x <≤,故13x =,此时40013

10450

t ?==.即经过104分钟,甲、乙第一次开始行走在同一条边上.

5.5.7★★★如图,甲、乙两人在周长为400m 的正方形水池相邻的两顶点上同时同向出发绕池边

行走,

乙在甲后,甲每分钟走50 m ,乙每分钟走44 m ,求

乙

甲

D

C

B

A

（1）甲、乙两人自出发后经几分钟才能初次在同一边上行走（不含甲、乙两人在正方形相邻顶点时的情形）；

（2）第一次相遇之前,两人在正方形同一边上行走了多少分钟？ 解析 （1）两人初次在同一边上时,甲比乙要多走3边．

设两人初次在同一边上时,乙已走了x 边,则甲走了(3)x +边,也就是甲走了100(3)m x +,乙走了

100(3)

44m 50

x +?. 因为甲在前乙在后,所以,当甲、乙同在一边时,乙所走的距离应超过100m x ,并且当甲到了另一边 的端点时,乙肯定没到相邻的端点,所以乙走的距离又应不足100(1)m x +.于是

100(3)

10044100(1)50

x x x +<

?<+, 解得

41

223

x <<． 故当14x =（边）,需经过

100(143)

3450

+=分钟时才能初次在同一边上行走． （2）设出发y 分钟后,甲、乙两人第一次相遇（即甲追上乙）． 则5030044y y -=,50y =（分钟）．

甲从出发后34分钟开始,每走到一顶点,都要与乙同在一边上行走一段距离,直到乙走到顶点开始转弯,甲从第34分钟开始,要走8边后才能与乙在某一顶点相遇． 分别讨论如下:

第34分钟时,34501700?=,34441496?=.甲、乙位置如图（1）所示,第一次同行时间为

4

44

分钟. 第36分钟时,36501800?=,36441584?=.甲、乙位置如图（2）所示,第二次同行的时间为16

44

分钟． 同样,不难推得后6次位置如图（3）～（8）所示．

所以,第一次相遇前,两人在同一边上行走的时间是:

4162840526476883684844444444444444444411

+++++++==（分钟）. 52乙

甲

甲

甲

乙(5)(6)

(7)

(8)

88(4)

(3)

(2)

(1)

乙

甲

甲

甲

4乙

5.5.8★★某人将一本书的页码按1,2,3,…的顺序相加,其中有一个页码被多加了一次,结果得到 一个错误的总和为2005,则被多加的页码是多少？ 解析 设全书共n 页,被多加的页码为x ,则

1x n ≤≤,

(1)

20052

n n x ++=. ①

而

(1)(1)

1200522

n n n n n ++++≤≤, 即 224010(3)n n n n +++≤≤.

②

63,验算知满足②的62n =. 代入①得6263

2005522

x ?=-

=. 5.5.9★★甲、乙两个粮库原来各存有整袋的粮食．如果从甲库调90袋到乙库,则乙库存粮是甲库的2倍；如果从乙库调若干袋到甲库,则甲库存粮是乙库的6倍．问甲库原来最少存粮多少袋？

解析 设甲库原来存粮a 袋,乙库原来存粮b 袋,依题意可得

2(90)90a b -=+.

①

再设乙库调c 袋到甲库,则甲库存粮是乙库的6倍,即

6()a c b c +=-． ②

由①式得 2270b a =-. ③ 把③代入②,并整理得1171620a c -=． 由于1116204(1)23277a a c a -+=

=-+,又a 、c 是正整数,从而有111620

17

a -≥,即148a ≥；并

且7整除4(1)a +,又因为4与7互素,所以7整除1a +. 经检验,可知a 的最小值为153．

5.5.10★★一家机密文件碎纸公司有许多位雇员,这些雇员在输送带前排列成一列,分别编号为

l ,2,

3,…老板接到将一张文件撕碎的任务,他把这份文件撕成5块后交给第1号雇员．每当第n 号雇

员接到前手传来的一叠纸时,都从中取n 块,把每块再分成5块,然后再传给第1n +号雇员．若第k 号雇员接到前手传来的总块数少于2006块,但传给下一位的总块数超过2006块,请问k 是多少？ 解析 第1次操作完毕后为9（块）；第2次操作完毕后为54817++=（块）；第3次操作完毕后为5+

481229++=（块）……第n 次操作完毕后为54(123)S n =+?+++

+块.

当31n =时,5231321989S =+??=； 当32n =时,5232332117S =+??=. 所以,32k =.

5.5.11★★把若干个苹果分给若干个孩子,如果每人分3个,则余8个；每人分5个,则最后一人分得的苹果数不足5个,问共有多少个孩子？多少个苹果？

解析 如设有y 个苹果,x 个孩子,那么解此题的关键是理解“每人分5个,则最后一人分得数不足

5

个”这句话的含义,此话是苹果多于5(1)x -个,同时又少于5x 个. 设有苹果y 个,小孩子x 人,则根据题意,得

38,

5(1)5.y x x y x =+??

-<

于是

385,

385(1).x x x x +

+>-?

解得,4 6.5x <<,所以小孩子数为5或6.

当5x =时,35823y =?+=,当6x =时,36826y =?+=. 所以,有5个孩子,23个苹果,或6个孩子,26个苹果．

5.5.12★★★在黑板上从1开始,写出一组连续的正整数,然后擦去其中一个数,剩下来的数的平均数是7

35

17

,问擦去的数是什么数？ 解析 设在黑板上写出来的数是1,2．…,n ,擦去的数是k ,则1k n ≤≤,于是

1212112n k n n n

n n +++-+++-=--≥,

121212

112

n k n n n n +++-+++-+=

--≤. 由题意便得

735,172

7235.17

2n n ????

+???≥≤ 解得 1414

68

701717

n ≤≤. 由于n 是正整数,且17|(1)n -,故n 只能为69,再由12697

356817

k ++

+-=,解得7k =,故擦

去的数是7．

5.5.13★★某工厂每天用于生产玩具小狗和小猫的全部劳动力为90个工时,原料为80个单位．生产

一个小狗要用2个工时和4个单位的原料；生产一个小猫要用3个工时和1个单位的原料．问每天生产玩具小狗和小猫的总数最多是多少？

解析1 设生产玩具小狗和小猫的数量分别是x 和y ,由已知条件,可以得到两个不等式: