高等职业院校单独招生考试数学一轮复习讲义(含答案)
高等职业院校单独招生考试数学一轮复习讲义（含答案）
近年来，单招考试作为国家正规的高等学校招生考试逐渐被大家所了解和认可，为广大考生提供了一条进入高校的便捷之路。单招考试相对高考来说，竞争相对没有那么激烈。同样的学习能力水平，通过单招往往能进入更好的学校、更好的专业，为美好的人生之路开启新的篇章!
根据近几年的真题可见，考试内容还是我们高中所学内容，但是难度比高考有大幅度的降低，相当于或略低于学业水平考试难度。因此复习的时候要跟着教材走，弄懂课文内容，搞懂教材的练习题和习题（部分较难的除外）。搞定课本，应对单招也就足够了！如果一定要买资料，请注意选择简单的。
下面，我将针对近年来的单招考试数学真题，对命题的角度做一些简要的分析，并附上相应的练习供同学们使用。
一、集合的运算 主要考察最基本的子、交、并、补关系及运算。 练练手： 1. 已知集合 ，设 的真子集有 个，则
A. B. C.
D.
2. 已知集合
，，则
A. B.
C.
D.
3. 已知集合 ，，则
A.
B. C.
D.
4. 已知全集 ，，则
A.
B.
C.
D.
5. 已知集合
，
，则
A.
B. C.
D.
6. 已知集合 ，
，那么
A. B.
C.
D.
7. 已知全集 ，
，则
A. B.
C. D.
8. 已知集合 ，，则集合
中元素的个数
为 ． 9. 已知集合
，，则 ．
10. 若全集 且
，则集合
．
二、函数部分
这部分内容较多，具体可能考察 定义域的求法 函数记号)(x f 、奇偶性、单调性、函数的零点，以及指数对数的运算。有可能以解答题形式考察。
练练手1：
1. 设函数，且，则
A. B. C. D.
2. 函数的定义域为
B. C. D.
A.
3. 函数的定义域为，那么其值域为
A. B.
C. D.
4. 函数的零点是
A. B. C. D.
5. 下列函数中，在区间上是减函数的是
A. B. C. D.
6. 若函数在上是减函数，则
A. B. C. D.
7. 函数在区间上是
A. 递减函数
B. 递增函数
C. 先递减再递增
D. 先递增再递减
8. 的值是
A. B. C. D.
9. 设函数是上的减函数，若，则实数的取值范围是．
10. 函数的图象经过点，则的值为
练练手2
1. 将写成根式，正确的是
A. B. C. D.
2. 的值是
A. B. C. D.
3. 若，则
A. B. C. D.
4. 下列式子中成立的是（假定各式均有意义）
A. B.
C. D.
5. 计算得
A. B. C. D.
6. 已知，，则等于
A. B. C. D.
7. 已知，则，，的大小是
A. B.
C. D.
8. 函数的定义域为
A. B.
C. D.
9. .
10. 若，则.
11. 已知函数，则．
12. 求的值．
13. 求的值．
14. 求的值．
15. 化简：．
三、三角函数与解三角形
这部分公式较多，首先应该记忆这些公式，比如同角三角函数基本关系、诱导公式、两角和与差的三角函数公式、二倍角公式、辅助角公式、正弦定理余弦定理。有可能以解答题形式考察。
练练手：
1. 化为弧度是
A. B. C. D.
2. 若且，则的终边在
A. 第一象限
B. 第二象限
C. 第三象限
D. 第四象限
3. 化简的结果是
A. B. C. D.
4. 已知，且是钝角，则等于
A. B. C. D.
5. 的值为
A. B. C. D.
6. .
7. ．
8. 求下列各式的值．
（1）；
（2）．
9. 化简下列各式：
（1）；
（2）．
10. 已知，求下列各式的值：
（1）；
（2）．
11. 已知函数．
（1）求函数的最小正周期；
（2）求函数在上的值域．
12. 已知函数的最小正周期为．
（1）求的值；
（2）求的单调递增区间．
1. 对任意，设角，，所对的边分别为，，，则下列等式成立的是
A. B.
C. D.
2. 中，若，，，则的面积为
A. B. C. D.
3. 在中，，，，则的值为
A. B. C. D.
4. 在中，，则角为
A. 或
B.
C.
D.
5. 若的三个内角满足，则一定是
A. 锐角三角形
B. 直角三角形
C. 钝角三角形
D. 等腰三角形
6. 在中，若，，则
A. B. C. D.
7. 中，，，，则等于
A. B. 或 C. 或 D.
8. 在中，角，，所对的边分别为，，，若，，，
则
A. B. C. D.
9. 中，，，，则
A. B. C. D.
10. 在中，，，．
（1）求角；
（2）求的值．
11. 在中，角，，所对的边分别为，，，已知．
（1）求的值；
（2）当，，求及的长．
12. 在中，角，，所对应的边分别为，，，且满足
.
（1）求角的值；
最常考的知识点是数量积和坐标运算。
练练手：
1. 已知，点坐标为，则点坐标为
B. C. D.
A.
2. 化简后等于
A. B. C. D.
3. 已知向量，，那么向量的坐标是
A. B. C. D.
4. 若向量，满足，与的夹角为，则
A. B. C. D.
5. 已知，，则与的夹角为
A. B. C. D.
6. 如果向量，，那么等于
A. B. C. D.
7. 已知向量，则
A. B. C. D.
8. 向量，，若，则的值是
A. B. C. D.
9. 设，若，则的值为
A. B. C. D.
10. 若向量，，则向量与的夹角等于
A. B. C. D.
11. 在中，，，则等于
A. B. C. D.
12. 向量，，则
A. B. C. D.
13. 已知，与的夹角为，则等于
A. B. C. D.
14. 若向量，的夹角为，则
A. B. C. D.
五．数列
强调最基本的公式，记好公式做简单的带入常常就能拿分。有可能以解答题形式考察。
1. 设数列的前项和，则的值为
A. B. C. D.
2. 已知数列的前项和，则等于
A. B. C. D.
3. 在等差数列中，，则的值为
A. B. C. D.
4. 等差数列的首项，公差，如果成等比数列，那
么等于
A. B. C. D.
5. 在等比数列中，，，则公比
A. B. 或 C. D. 或
6. 在等比数列中，已知，，那么等于
A. B. C. D.
7. 已知等差数列满足，则有
A. B. C. D.
8. 在等差数列中，，则
A. B. C. D.
9. 已知等比数列的前项和为，，，则
A. B. C. D.
10. 复数的值是
A. B. C. D.
11. 已知等比数列的公比为，其前项和为，且，则
A. B. C. D.
12. 等比数列的前项和为，且，，成等差数列，若，
则
A. B. C. D.
13. 设是等差数列的前项和，已知，，则
．
14. 若等比数列的前项和为，，，则公比
．
15. 已知是一个等差数列，且，．
（1）求的通项；
（2）求前项和的最大值．
16. 在等比数列中，，，试求：
（1）和公比；
（2）前项的和．
六．不等式
重点掌握基本不等式和一元二次不等式的解法。
1. 已知，，且，则下列不等式中一定成立的是
A. B. C. D.
2. 不等式的解集是
A. B.
C. D.
3. 若，则
A. B.
C. D. 或
4. 若，则关于的不等式的解集为
A. B.
C. D.
5. 已知，若要使的值大于零，则的取值范围是
A. B. C. D.
或
6. 若不等式的解集为，则
高中：高三数学第一轮复习讲义(教学设计)
高中数学新课程标准教材 数学教案( 2019 — 2020学年度第二学期 ) 学校： 年级： 任课教师： 数学教案 / 高中数学 / 高三数学教案 编订：XX文讯教育机构
高三数学第一轮复习讲义(教学设计) 教材简介:本教材主要用途为通过学习数学的内容，让学生可以提升判断能力、分析能力、理解能力，培养学生的逻辑、直觉判断等能力，本教学设计资料适用于高中高三数学科目, 学习后学生能得到全面的发展和提高。本内容是按照教材的内容进行的编写，可以放心修改调整或直接进行教学使用。 高三数学第一轮复习讲义直线的方程一．复习目标：1．深化理解倾斜角、斜率的概念，熟练掌握斜率公式； 2．掌握直线方程的点斜式、斜截式、两点式、截距式和一般式，并能熟练写出直线方程． 二．知识要点：1．过两点、的直线斜率公式：． 2．直线方程的几种形式：点斜式：；斜截式：； 两点式：；截距式：；一般式：． 三．课前预习： 1．设，则直线的倾斜角为（） 2．已知，则过不同三点，，的直线的条数为（）多于 3．已知的顶点 , ，重心，则边所在直线方程为；经过点且与轴、轴围成的三角形面积是的直线方程是；过点，且它的倾斜角等于已知直线的倾斜角的一半的直线的方程是 .4．若直线的方向向量是 ,则直线的倾斜角是；若点，，直线过点且与线段相交，则直线的斜率k的取值范围为 .
四．例题分析：例1．已知直线的方程为，过点作直线，交轴于点，交于点，且，求的方程. 例2．⑴已知，试求被直线所分成的比λ；⑵已知，，若直线与直线相交于点，不与重合，求证：点分的比 .例3．过点引一条直线，使它在两条坐标轴上的截距都是正数，且它们的和最小，求直线的方程. 例4．的一个顶点，两条高所在直线方程为和，求三边所在直线方程． 五．课后作业：班级学号姓名 1．若，则过点与的直线的倾斜角的取值范围是（） 2．以原点为中心，对角线在坐标轴上，边长为的正方形的四条边的方程为（） 3．已知三点，，在同一直线上，则的值为．4．过点的直线与轴、轴分别交于、两点，点分有向线段所成的比为，则直线的斜率为，直线的倾斜角为 .5．设，，则直线的倾斜角为．6．不论为何实数，直线恒过定点．7．设过点作直线l交x轴的正半轴、y轴的正半轴于a、b两点，（1）当取得最小值时，求直线l的方程．（2）当取得最小值时，求直线l的方程． 8．对直线上任意一点，点也在直线上，求直线的方程．9．求过点p(0，1)的直线l，使它包含在两已知直线l1：2x＋y－8＝0和l2：x－3y＋10＝0间的线段被点p所平分． 10．设同在一个平面上的动点、的坐标分别是、，并且坐标间存在关系，，当动点在不平行于坐
最新高三数学专题复习资料函数与方程
第八节 函数与方程 1．函数f(x)＝ln(x ＋1)－2 x 的一个零点所在的区间是( ) A ．(0,1) B ．(1,2) C ．(2,3) D ．(3,4) 2．若x 0是方程? ????12x ＝x 13的解，则x 0属于区间( ) A.? ????23，1 B.? ???? 12，23 C.? ????13，12 D.? ? ???0，13 3．(A.金华模拟)若函数f(x)＝(m －2)x 2＋mx ＋(2m ＋1)的两个零点分别在区间(－1,0)和区间(1,2)内，则m 的取值范围是( ) A.? ????－12，14 B.? ???? －14，12 C.? ????14，12 D.???? ??14，12 4．(A.舟山模拟)设函数f 1(x)＝log 2x －? ????12x ，f 2(x)＝log 12x －? ???? 12x 的零点分 别为x 1，x 2，则( ) A ．0 A ．7 B ．8 C ．9 D ．10 7．函数f(x)＝?? ? x 2 ＋2x －3，x ≤0 －2＋ln x ，x>0 的零点个数为________． 8．(A.杭州模拟)已知函数f(x)＝??? x ，x ≤0， x 2 －x ，x>0， 若函数g(x)＝f(x)－m 有三个不同的零点，则实数m 的取值范围为__________． 9．(A.义乌模拟)已知函数f(x)＝ln x ＋3x －8的零点x 0∈[a ，b]，且b －a ＝1，a ，b ∈N *，则a ＋b ＝________. 10．设函数f(x)＝ax 2＋bx ＋b －1(a ≠0)． (1)当a ＝1，b ＝－2时，求函数f(x)的零点； (2)若对任意b ∈R ，函数f(x)恒有两个不同零点，求实数a 的取值范围． 11．已知函数f(x)＝－x 2 ＋2ex ＋m －1，g(x)＝x ＋e 2 x (x>0)． (1)若g(x)＝m 有实数根，求m 的取值范围； (2)确定m 的取值范围，使得g(x)－f(x)＝0有两个相异实根． 12．是否存在这样的实数a ，使函数f(x)＝x 2＋(3a －2)x ＋a －1在区间[－1,3]上与x 轴有且只有一个交点．若存在，求出a 的范围，若不存在，说明理由． [冲击名校] 1．已知函数f(x)满足f(x)＋1＝ 1 f x ＋1 ，当x ∈[0,1]时，f(x)＝x ，若 在区间(－1,1]内，函数g(x)＝f(x)－mx －m 有两个零点，则实数m 的取值范围是( ) A.??????0，12 B.??????12，＋∞ C.??????0，13 D.? ? ???0，12 2．已知函数f(x)＝?? ? kx ＋1，x ≤0，ln x ，x>0，则下列关于函数y ＝f(f(x))＋1的 零点个数的判断正确的是( ) 集合 1、集合的含义 把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集)． 2、集合中元素的三个特征 (1)确定性：给定集合A ，对于某个对象x ，“x ∈A ”或“x ?A ”这两者必居其一且仅居其一． (2)互异性：集合中的元素互不相同． (3)无序性：在一个给定的集合中，元素之间无先后次序之分． 3、集合的表示 (1)把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合的方法称为列举法． (2)把集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合的方法称为描述法．常 用形式是：{x |p }，竖线前面的x 叫做集合的代表元素，p 表示元素x 所具有的公共属性． (3)用平面上一段封闭的曲线的内部表示集合，这种图形称为Venn 图．用Venn 图、数 轴上的区间及直角坐标平面中的图形等表示集合的方法称为图示法． 4、元素与集合的关系 如果x 是集合A 中的元素，则说x 属于集合A ，记作x ∈A ；若x 不是集合A 中的元素，就说x 不属于集合A ，记作x ?A ． 5、常用数集的符号表示 6、有限集与无限集 含有有限个元素的集合叫有限集，含有无限个元素的集合叫无限集． 例1：若集合A ＝{x ∈R |ax 2－3x ＋2＝0}中只有一个元素，则a ＝( ) A.92 B ．98 C ．0 D ．0或 9 8 例2：说出下列三个集合的含义：①{x |y ＝x 2}；②{y |y ＝x 2}；③{(x ，y )|y ＝x 2}． 1．子集 例如：A＝{0,1,2}，B＝{0,1,2,3}，则A、B的关系是A?B或B?A． 2．真子集 A B(或 B A) 例如：A＝{1,2}, B＝{1,2,3}，则A、B的关系是A B(或B A) 3．相等 若集合A中的元素与集合B中的元素完全相同，则称集合A与集合B相等，记作A＝B. 例如：若A＝{0,1,2}，B＝{x,1,2}，且A＝B，则x＝0. 4．空集 没有任何元素的集合叫空集，记为?. 空集是任何集合的子集 空集是任何非空集合的真子集 2019届中考数学一轮复习讲义 考点二十九：尺规作图 1．尺规作图的作图工具限定只用圆规和没有刻度的直尺 2．基本作图 (1)作一条线段等于已知线段，以及线段的和﹑差； (2)作一个角等于已知角，以及角的和﹑差； (3)作角的平分线； (4)作线段的垂直平分线； (5)过一点作已知直线的垂线． 3．利用基本作图作三角形 (1)已知三边作三角形； (2)已知两边及其夹角作三角形； (3)已知两角及其夹边作三角形； (4)已知底边及底边上的高作等腰三角形； (5)已知一直角边和斜边作直角三角形． 4．与圆有关的尺规作图 (1)过不在同一直线上的三点作圆(即三角形的外接圆)； (2)作三角形的内切圆； (3)作圆的内接正方形和正六边形． 5．有关中心对称或轴对称的作图以及设计图案是中考的常见类型 6．作图的一般步骤 尺规作图的基本步骤： (1)已知：写出已知的线段和角，画出图形； (2)求作：求作什么图形，它符合什么条件，一一具体化； (3)作法：应用“五种基本作图”，叙述时不需重述基本作图的过程，但图中必须保留基本作图的痕迹； (4)证明：为了验证所作图形的正确性，把图作出后，必须再根据已知的定义、公理、定理等，结合作法来 证明所作出的图形完全符合题设条件； (5)讨论：研究是不是在任何已知的条件下都能作出图形；在哪些情况下，问题有一个解、多个解或者没有解； (6)结论：对所作图形下结论． 名师点睛☆典例分类 考点典例一、应用角平分线、线段的垂直平分线性质画图 【例1】（2018?济宁模拟）如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，以点A为圆心，任意长为半径画弧分别交AB，AC于点M和N，再分别以点M，N为圆心画弧，两弧交于点P，连结AP并延长交BC于点D，则下列说法中正确的个数是（） ①AD是∠BAC的平分线 ②∠ADC=60° ③△ABD是等腰三角形 ④点D到直线AB的距离等于CD的长度． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 因为∠C=90°，∠B=30°，则∠BAC=60°，而AD平分∠BAC，则∠DAB=30°，所以∠A DC=∠DAB+∠B=60°，所以②正确； 因为∠DAB=∠B=30°，所以△ABD是等腰三角形，所有③正确； 因为AD平分∠BAC，所以点D到AB与AC的距离相等，而DC⊥AC，则点D到直线AB的距离等于CD 的长度，所以④正确． 专题18 概率初步 一、确定事件和随机事件 1、确定事件 必然发生的事件：在一定的条件下重复进行试验时，在每次试验中必然会发生的事件。 不可能发生的事件：有的事件在每次试验中都不会发生，这样的事件叫做不可能的事件。 2、随机事件： 在一定条件下，可能发生也可能不放声的事件，称为随机事件。 二、随机事件发生的可能性 一般地，随机事件发生的可能性是有大小的，不同的随机事件发生的可能性的大小有可能不同。 对随机事件发生的可能性的大小，我们利用反复试验所获取一定的经验数据可以预测它们发生机会的大小。要评判一些游戏规则对参与游戏者是否公平，就是看它们发生的可能性是否一样。所谓判断事件可能性是否相同，就是要看各事件发生的可能性的大小是否一样，用数据来说明问题。 三、概率的意义与表示方法 1、概率的意义 一般地，在大量重复试验中，如果事件A 发生的频率 m n 会稳定在某个常数p 附近，那么这个常数p 就叫做事件A 的概率。 2、事件和概率的表示方法 一般地，事件用英文大写字母A，B，C，…，表示事件A的概率p，可记为P(A)=P 四、确定事件和随机事件的概率之间的关系 1、确定事件概率 (1)当A是必然发生的事件时，P(A)=1 (2)当A是不可能发生的事件时，P(A)=0 2、确定事件和随机事件的概率之间的关系 事件发生的可能性越来越小 0 1概率的值 不可能发生必然发生 事件发生的可能性越来越大 五、列表法求概率 1、列表法 用列出表格的方法来分析和求解某些事件的概率的方法叫做列表法。 2、列表法的应用场合 当一次试验要设计两个因素，并且可能出现的结果数目较多时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用列表法。 六、树状图法求概率 1、树状图法 就是通过列树状图列出某事件的所有可能的结果，求出其概率的方法叫做树状图法。 2、运用树状图法求概率的条件 当一次试验要设计三个或更多的因素时，用列表法就不方便了，为了不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树状图法求概率。 【例1】(2019?上海)一枚材质均匀的骰子，六个面的点数分别是1，2，3，4，5，6，投这个骰子，掷的点数大于4的概率是． 二轮复习——解析几何 一．专题内容分析 解析几何：解析几何综合问题（椭圆或抛物线）及基本解答策略+圆锥曲线的定义和几何性质+直线与圆+极坐标、参数方程+线性规划 二．解答策略与核心方法、核心思想 圆锥曲线综合问题的解答策略： 核心量的选择： 常见的几何关系与几何特征的代数化： ①线段的中点：坐标公式 ②线段的长：弦长公式；解三角形 ③三角形面积： 2 1底×高，正弦定理面积公式 ④夹角：向量夹角；两角差正切；余弦定理；正弦定理面积公式 ⑤面积之比，线段之比：面积比转化为线段比，线段比转化为坐标差之比 ⑥三点共线：利用向量或相似转化为坐标差之比 ⑦垂直平分：两直线垂直的条件及中点坐标公式 ⑧点关于直线的对称，点关于点，直线关于直线对称 ⑨直线与圆的位置关系 ⑩等腰三角形，平行四边形，菱形，矩形，正方形，圆等图形的特征 代数运算：设参、消参 重视基本解题思路的归纳与整理但不要模式化，学会把不同类型的几何问题转化成代数形式． 三．典型例题分析 1.（海淀区2017.4）已知椭圆C ：22 221(0)x y a b a b +=>>的左、右顶点分别为A ，B ，且||4AB =，离心率为12 . （Ⅰ）求椭圆C 的方程； （Ⅱ）设点(4,0)Q , 若点P 在直线4x =上，直线BP 形APQM 为梯形？若存在，求出点P 解法1：（Ⅰ）椭圆C 的方程为22 143 x y +=. （Ⅱ）假设存在点,P 使得四边形APQM 为梯形. 由题可知，显然,AM PQ 不平行，所以AP 与MQ AP MQ k k =. 设点0(4,)P y ，11(,)M x y ，06 AP y k =，114MQ y k x = -, ∴ 01164y y x =-① ∴直线PB 方程为0(2)2 y y x =-， 由点M 在直线PB 上，则0 11(2)2 y y x = -② ①②联立，0 101(2) 264y x y x -=-，显然00y ≠，可解得11x =. 又由点M 在椭圆上，211143y + =，所以132y =±，即3 (1,)2 M ±， 将其代入①，解得03y =±，∴(4,3)P ±. 解法2：（Ⅰ）椭圆C 的方程为22 143 x y +=. （Ⅱ）假设存在点,P 使得四边形APQM 为梯形. 由题可知，显然,AM PQ 不平行，所以AP 与MQ 平行, AP MQ k k =， 显然直线AP 斜率存在，设直线AP 方程为(2)y k x =+. 由(2)4y k x x =+??=? ，所以6y k =，所以(4,6)P k ，又(2,0)B ，所以632PB k k k ==. ∴直线PB 方程为3(2)y k x =-，由22 3(2) 34120 y k x x y =-?? +-=?，消y ， 得2222(121)484840k x k x k +-+-=. 考点三十七 直线及其方程 知识梳理 1．直线的倾斜角 (1)定义：在平面直角坐标系中，对于一条与x 轴相交的直线l ，把x 轴(正方向)按逆时针方向绕着交点旋转到和直线l 重合所成的角，叫作直线l 的倾斜角．当直线l 和x 轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°. (2)倾斜角的范围为[0°，180°)． 2．直线的斜率 (1)定义：当直线l 的倾斜角α≠π 2时，其倾斜角α的正切值tan α叫做这条直线的斜率，斜率 通常用小写字母k 表示，即k ＝tan α. (2)过两点的直线的斜率公式：经过两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2) (x 1≠x 2)的直线的斜率公式为k ＝y 2－y 1x 2－x 1 . (3) 直线的倾斜角α和斜率k 之间的对应关系 每条直线都有倾斜角，但不是每条直线都有斜率，倾斜角是90°的直线斜率不存在．它们之间的关系如下： 3．直线方程的五种形式 4．过P 1(11222(1)若x 1＝x 2，且y 1≠y 2时，直线垂直于x 轴，方程为x ＝x 1； (2)若x 1≠x 2，且y 1＝y 2时，直线垂直于y 轴，方程为y ＝y 1； (3)若x 1＝x 2＝0，且y 1≠y 2时，直线即为y 轴，方程为x ＝0； (4)若x 1≠x 2，且y 1＝y 2＝0时，直线即为x 轴，方程为y ＝0. 5．线段的中点坐标公式 若点P 1、P 2的坐标分别为(x 1，y 1)、(x 2，y 2)，且线段P 1P 2的中点M 的坐标为(x ，y )，则??? x ＝x 1＋x 2 2y ＝y 1 ＋y 2 2 ，此公式为线段P 1P 2的中点坐标公式． 典例剖析 题型一 直线的倾斜角和斜率 例1 已知两点A (－3，3)，B (3，－1)，则直线AB 的倾斜角等于__________． 答案 56π 解析 斜率k ＝ －1－33－(－3) ＝－3 3， 又∵θ∈[0，π)， ∴θ＝5 6 π. 变式训练 经过两点A (4,2y ＋1)，B (2，－3)的直线的倾斜角为3π 4，则y ＝__________． 答案 －3 解析 由2y ＋1－(－3)4－2＝2y ＋4 2＝y ＋2， 得y ＋2＝tan 3π 4＝－1.∴y ＝－3. 解题要点 求斜率的常见方法： 1．若已知倾斜角α或α的某种三角函数值，一般根据k ＝tan α求斜率． 2．若已知直线上两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，一般根据斜率公式k ＝y 2－y 1 x 2－x 1(x 1≠x 2)求斜率． 3．若已知直线的一般式方程ax ＋by ＋c ＝0，一般根据公式k ＝－a b 求斜率． 题型二 直线方程的求解 例2 已知△ABC 的三个顶点分别为A (－3,0)，B (2，1)，C (－2,3)，求： (1)BC 边所在直线的方程； (2)BC 边上中线AD 所在直线的方程； (3)BC 边的垂直平分线DE 的方程． 解析 (1)因为直线BC 经过B (2,1)和C (－2,3)两点，由两点式得BC 的方程为y －13－1＝x －2 －2－2， 即x ＋2y －4＝0. 选修4经典回顾 主讲教师：丁益祥 北京陈经纶中学数学特级教师 开篇语 选修系列4在高考中主要考查4—1中的几何证明选讲、4—4中的坐标系与参数方程、4—5中的不等式选讲三个专题内容．围绕着三部分内容的试题，既有选择题和填空题，又有解答题．因此在第一轮复习中必须围绕上述核心考点，选择相关的问题进行求解训练，提高解决不等式问题能力 开心自测 题一：不等式|21|35x x -++≤的解集是_______________． 题二：如图，,AB CD 是半径为a 的圆O 的两条弦，他们相交于AB 的中点P ，23a PD = ，30OAP ∠=?，则CP ＝_________． 考点梳理 选修4—1几何证明选讲部分： 1．垂径定理： 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧． D 2．圆周角定理： 在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半． 3．圆内接四边形的性质定理： 圆内接四边形的对角互补；外角等于它的内角的对角． 4．圆内接四边形的判定定理： 如果一个四边形的对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆．推论：如果一个四边形的外角等于它的内角的对角，那么这个四边形的四个顶点共圆． 5．切线长定理： 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等． 6．弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角． 7．相交弦定理： 圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等． 8．切割线定理： 从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项． 选修4—4中的坐标系与参数方程部分： 1. 极坐标与直角坐标的关系 设点M的直角坐标为(x，)y，极坐标为(ρ，)θ， 则 cos, sin. x y ρθ ρθ = ? ? = ? 或 222, tan(0). x y y x x ρ θ ?=+ ? ? =≠ ?? 专题28 梯形 1、梯形的相关概念 一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫做梯形。 梯形中平行的两边叫做梯形的底，通常把较短的底叫做上底，较长的底叫做下底。 梯形中不平行的两边叫做梯形的腰。 梯形的两底的距离叫做梯形的高。 两腰相等的梯形叫做等腰梯形。 一腰垂直于底的梯形叫做直角梯形。 一般地，梯形的分类如下： 一般梯形 梯形直角梯形 特殊梯形 等腰梯形 2、梯形的判定 (1)定义：一组对边平行而另一组对边不平行的四边形是梯形。 (2)一组对边平行且不相等的四边形是梯形。 3、等腰梯形的性质 (1)等腰梯形的两腰相等，两底平行。 (2)等腰梯形的底角相等 (3)等腰梯形的对角线相等。 (4)等腰梯形是轴对称图形，它只有一条对称轴，即两底的垂直平分线。 4、等腰梯形的判定 (1)定义：两腰相等的梯形是等腰梯形 (2)定理：在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形 (3)对角线相等的梯形是等腰梯形。 5、梯形的面积 (1)如图，DE AB CD S ABCD ?+=)(2 1梯形 (2)梯形中有关图形的面积： ①BAC ABD S S ??=； ②BOC AOD S S ??=； ③BCD ADC S S ??= 6、梯形中位线定理 梯形中位线平行于两底，并且等于两底和的一半。 【例1】(2018?青浦区一模)在梯形ABCD 中，//AD BC ，下列条件中，不能判断梯形ABCD 是等腰梯形的是( ) A ．ABC DC B ∠=∠ B ．DB C ACB ∠=∠ C ．DAC DBC ∠=∠ D ．ACD DAC ∠=∠ 【分析】等腰梯形的判定定理有：①有两腰相等的梯形是等腰梯形，②对角线相等的梯形是等腰梯形，③在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形，根据以上内容判断即可． 【解答】解：A 、ABC DCB ∠=∠Q ， BD BC ∴=， ∴四边形ABCD 是等腰梯形，故本选项错误； B 、DA C DBC ∠=∠Q ，//A D BC ， ADB DBC ∴∠=∠，DAC ACB ∠=∠， OBC OCB ∴∠=∠，OAD ODA ∠=∠ OB OC ∴=，OD OA =， AC BD ∴=， ∴四边形ABCD 是等腰梯形，故本选项错误； C 、ADB DAC ∠=∠Q ，//A D BC ， ADB DAC DBC ACB ∴∠=∠=∠=∠， OA OD ∴=，OB OC =， AC BD ∴=， //AD BC Q ， ∴四边形ABCD 是等腰梯形，故本选项错误； D 、根据ACD DAC ∠=∠，不能推出四边形ABCD 是等腰梯形，故本选项正确． 故选：D ． 【例2】(2019?浦东新区二模)已知梯形的上底长为5厘米，下底长为9厘米，那么这个梯形的中位线长等于 厘米． 【分析】根据梯形中位线定理计算，得到答案． 【解答】解：梯形的中位线长1(59)72 =?+=(厘米) 故答案为：7． 【例1】 设O 为坐标原点，(1,1)A ，若点B 满足2222101212x y x y x y ?+--+????≥≤≤≤≤， 则OA OB ?u u u v u u u v 的最小值为（ ） A ．2 B ．2 C ．3 D ．22+ 【例2】 已知变量,x y 满足120x y x y ????-? ≥≤≤，则x y +的最小值为（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 【例3】 不等式组0,10, 3260x x y x y ??--??--?≥≥≤所表示的平面区域的面积等于 ． 典例分析 线性规划 【例4】设变量,x y满足约束条件 3 1 x y x y + ? ? -- ? ≥ ≥ ，则目标函数2 z y x =+的最小值为（） A．1B．2C．3D．4 【例5】设变量,x y满足 0, 10 3260 y x y x y ? ? -- ? ?-- ? ≥ ≥ ≤ ，则该不等式组所表示的平面区域的面积等 于，z x y =+的最大值为． 【例6】目标函数2 z x y =+在约束条件 30 20 x y x y y +- ? ? - ? ? ? ≤ ≥ ≥ 下取得的最大值是________． 【例7】下面四个点中，在平面区域 4 y x y x <+ ? ? >- ? 内的点是（） A．(0,0)B．(0,2)C．(3,2) -D．(2,0) - 【例8】已知平面区域 1 ||1 (,)0,(,) 1 y x y x x y y M x y y x ?? + ? ?? -+ ? ?? ??? Ω== ?????? ? ?? ????? ? ?? ≤ ≤ ≥ ≥ ≤ ，向区域Ω内 随机投一点P，点P落在区域M内的概率为（） A．1 4 B． 1 3 C． 1 2 D． 2 3 【例9】若x，y满足约束条件 30 03 x y x y x + ? ? -+ ? ? ? ≥ ≥ ≤≤ ，则2 z x y =-的最大值为． 【例10】已知不等式组 y x y x x a ? ? - ? ? ? ≤ ≥ ≤ ，表示的平面区域的面积为4，点() , P x y在所给平面区 域内，则2 z x y =+的最大值为______． 最新整理高三数学高三数学第一轮复习讲义 高三数学第一轮复习讲义直线的方程 一．复习目标： 1．深化理解倾斜角、斜率的概念，熟练掌握斜率公式； 2．掌握直线方程的点斜式、斜截式、两点式、截距式和一般式，并能熟练写出直线方程．二．知识要点： 1．过两点、的直线斜率公式：． 2．直线方程的几种形式：点斜式：；斜截式：； 两点式：；截距式：；一般式：．三．课前预习： 1．设，则直线的倾斜角为（） 2．已知，则过不同三点，，的直线的条数为（） 多于 3．已知的顶点 , ，重心，则边所在直线方程为；经过点且与轴、轴围成的三角形面积是的直线方程是 ；过点，且它的倾斜角等于已知直线的倾斜角的一半的直线的方程是 . 4．若直线的方向向量是 ,则直线的倾斜角是；若点，，直线过点且与线段相交，则直线的斜率k的取值范围为 . 四．例题分析：例1．已知直线的方程为，过点作直线，交轴于点，交于点，且，求的方程. 例2．⑴已知，试求被直线所分成的比λ；⑵已知，，若直线与直 线相交于点，不与重合，求证：点分的比 . 例3．过点引一条直线，使它在两条坐标轴上的截距都是正数，且它们的和最小，求直线的方程. 例4．的一个顶点，两条高所在直线方程为和，求三边所在直线方程．五．课后作业：班级学号姓名1．若，则过点与的直线的倾斜角的取值范围是（） 2．以原点为中心，对角线在坐标轴上，边长为的正方形的四条边的方程为（） 3．已知三点，，在同一直线上，则的值为． 4．过点的直线与轴、轴分别交于、两点，点分有向线段所成的比为，则直线的斜率为，直线的倾斜角为 . 5．设，，则直线的倾斜角为． 6．不论为何实数，直线恒过定点． 7．设过点作直线l交x轴的正半轴、y轴的正半轴于A、B两点，（1）当取得最小值时，求直线l的方程．（2）当取得最小值时，求直线l的方程．8．对直线上任意一点，点也在直线上，求直线的方程． 9．求过点P(0，1)的直线l，使它包含在两已知直线l1：2x＋y－8＝0和l2：x－3y＋10＝0间的线段被点P所平分． 10．设同在一个平面上的动点、的坐标分别是、，并且坐标间存在关系，，当动点在不平行于坐标轴的直线上移动时，动点在与直线垂直且通过的直线上移动，求直线的方程． 专题31 相似的有关概念 【例1】(2020?闵行区一模)如果线段4 c=厘米，那么线段a、c的比例中项b= a=厘米，9 厘米． 【分析】根据比例中项的定义得到:: =，然后利用比例性质计算即可． a b b c 【解答】解：Q线段a和c的比例中项为b， ∴=， :: a b b c 即4::9 b b =， ∴=±(负值舍去)． 6 b 故答案为：6． 【例2】(2020?黄浦区一模)如果点P 是线段AB 的黄金分割点()AP BP >，那么 BP AP 的值是 ． 【分析】把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫 【解答】解：Q 点P 是线段AB 的黄金分割点()AP BP >， ∴ BP AP AP AB == ． 【例3】(2020?徐汇区一模)已知：::2:3:5a b c = (1)求代数式 323a b c a b c -++-的值； (2)如果324a b c -+=，求a ，b ，c 的值． 【分析】(1)根据比例设2a k =，3b k =，5(0)c k k =≠，然后代入比例式进行计算即可得解； (2)先设2a k =，3b k =，5(0)c k k =≠，然后将其代入324a b c -+=，即可求得a 、b 、c 的值． 【解答】解：(1)::2:3:5a b c =Q ， ∴设2a k =，3b k =，5(0)c k k =≠， 则 3635123495a b c k k k a b c k k k -+-+==+-+-； (2)设2a k =，3b k =，5(0)c k k =≠，则 63524k k k -+=， 解得3k =． 则26a k ==， 39b k ==， 515c k ==． 1．(2020?嘉定区一模)下列选项中的两个图形一定相似的是( ) 题型一：数学归纳法基础 【例1】已知n 为正偶数，用数学归纳法证明111 111112()234 1242n n n n -+-++ =+++-++L L 时，若已假设2(≥=k k n 为偶数）时命题为真，则还需要用归纳假设再证 （ ） A ．1+=k n 时等式成立 B ．2+=k n 时等式成立 C ．22+=k n 时等式成立 D ．)2(2+=k n 时等式成立 【例2】已知n 是正偶数，用数学归纳法证明时，若已假设n=k （2≥k 且为偶数）时命 题为真，，则还需证明（ ） A.n=k+1时命题成立 B. n=k+2时命题成立 C. n=2k+2时命题成立 D. n=2（k+2）时命题成立 【例3】某个命题与正整数n 有关，如果当)(+∈=N k k n 时命题成立，那么可推得当 1+=k n 时命题也成立. 现已知当7=n 时该命题不成立，那么可推得 （ ） A ．当n=6时该命题不成立 B ．当n=6时该命题成立 C ．当n=8时该命题不成立 D ．当n=8时该命题成立 【例4】利用数学归纳法证明 “*),12(312)()2)(1(N n n n n n n n ∈-???????=+???++ ”时，从“k n =”变到“1+=k n ”时，左边应增乘的因式是 （ ） A 12+k B 112++k k C 1)22)(12(+++k k k D 1 3 2++k k 【例5】用数学归纳法证明),1(1112 2 *+∈≠--=++++N n a a a a a a n n Λ，在验证n=1时，典例分析 板块三.数学归纳法 左边计算所得的式子是（ ） A. 1 B.a +1 C.21a a ++ D. 421a a a +++ 【例6】用数学归纳法证明n n n n n 2)()2)(1(=+++Λ))(12(31*∈+????N n n Λ，从“k 到k+1”左端需乘的代数式是（ ） A.2k+1 B.)12(2+k C. 112++k k D.1 3 2++k k 【例7】用数学归纳法证明：1+ 21+3 1+)1,(,121 >∈<-+*n N n n n Λ时，在第二步证明 从n=k 到n=k+1成立时，左边增加的项数是（ ） A.k 2 B.12-k C.12-k D.12+k 【例8】设 )1()2()1()(-++++=n f f f n n f Λ，用数学归纳法证明 “)()1()2()1(n nf n f f f n =-++++Λ”时，第一步要证的等式是 【例9】用数学归纳法证明“)12(212)()2)(1(-????=+++n n n n n n ΛΛ”（+∈N n ） 时，从 “n k =到1n k =+”时，左边应增添的式子是__ __。 【例10】用数学归纳法证明不等式 24 13 12111> ++++++n n n n Λ的过程中，由k 推导到k+1时，不等式左边增加的式子是 【例11】是否存在常数c b a ,,是等式22222421(1)2(2)()n n n n n an bn c ?-+?-+???+?-=++对 一切)*N n ∈成立？证明你的结论。 题型二：证明整除问题 【例12】若存在正整数m ，使得)(93)72()(*∈+-=N n n n f n 能被m 整除，则m = 【例13】证明：)(,)3(1*∈+-N n x n 能被2+x 整除 【例14】已知数列{}n a 满足1201a a ==，，当*n ∈N 时，21n n n a a a ++=+． 第一章 集合与简易逻辑 第1课时 集合的概念及运算 【考点导读】 1. 了解集合的含义，体会元素与集合的属于关系；能选择自然语言，图形语言，集合语言描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用． 2. 理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集；了解全集与空集的含义． 3. 理解两个集合的交集与并集的含义，会求两个集合的交集与并集；理解在给定集合中一个子集补集的含义，会求给定子集的补集；能使用文氏图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用． 4. 集合问题常与函数，方程，不等式有关，其中字母系数的函数，方程，不等式要复杂一些，综合性较强，往往渗透数形思想和分类讨论思想． 【基础练习】 1. 集 合 {(, )0 2,02,,} x y x y x y Z ≤≤≤<∈用列举法表示{ ( , ) , ( 0,． 2.设集合{21,}A x x k k Z ==-∈，{2,}B x x k k Z ==∈，则A B ?=?． 3.已知集合{0,1,2}M =，{2,}N x x a a M ==∈，则集合M N ?=_______． 4.设全集{1,3,5,7,9}I =，集合{1,5,9}A a =-，{5,7}I C A =，则实数a 的值为____8 或2___． 【范例解析】 例.已知R 为实数集，集合2{320}A x x x =-+≤.若R B C A R ?=， {01R B C A x x ?=<<或23}x <<，求集合B . 分析：先化简集合A ，由R B C A R ?=可以得出A 与B 的关系；最后，由数形结合，利用数轴直观地解决问题. 解：（1） {12}A x x =≤≤，{1R C A x x ∴=<或2}x >.又R B C A R ?=， R A C A R ?=， 可得A B ?. {0,2} 考点48 基本不等式(讲解) 【思维导图】 【常见考法】 考法一：直接型 1．若，则取最大值时的值是 。 103x << ()13x x -x 2．已知正数a 、b 满足，则ab 的最大值为 。 23a b += 3的最大值为 。 )63a -≤≤ 考法二：换1型 1．已知实数，则的最小值为 。 0,0,31x y x y >>+=11x y + 2．已知,则的最小值是 。 0,0,1x y x y >>+=11x y + 3．已知，，且，若恒成立，则实数的取值范围是______. 0x >0y >211x y +=222x y m m +>+m 考法三：配凑型 1．已知，则的最小值为 。 1x >41x x +- 2．已知，且 ，则的最小值为 。 1,1a b >>11111a b +=--4a b + 3．函数的最小值为 。 233(1)1 x x y x x ++=>-+ 4．若a 、b 、c >0且a (a ＋b ＋c )＋bc ＝4－，则2a ＋b ＋c 的最小值为 。 考法四：消元型 1．若正数满足，则的最小值是 。 ,x y 220x xy +-=3x y + 2．若正数满足，则的最小值为 。 ,a b 111a b +=1411a b +-- 3．若实数满足，则的最大值为 、 ,x y 0xy > 考法五：求参数 1．设、、都是正实数，且、满足，则使恒成立的的范围是。 a b c a b 191a b +=a b c +≥c 2．已知，，且，若不等式恒成立，则实数的范围是 。 0x >0y >280x y xy +-=a x y ≤+a 考法六： 综合运用 1．已知中，角，，的对边分别为，，，且，，成等比数列，则角ABC A B C a b c sin A sin B sin C 的取值范围为 。 B 2．已知正项等比数列满足：，若存在两项、，则的最{}n a 7652a a a =+m a n a 14a =14m n +小值为 。 3．已知直线ax ＋by ＋c －1＝0(b ，c >0)经过圆x 2＋y 2－2y －5＝0的圆心，则 ＋的最小值是 。 4b 1c 4．若直线过△的重心，且，，其中，，则的 MN ABC G AM mAB = AN nAC = 0m >0n >2m n +最小值是 。如何学好数学 新修订高中阶段原创精品配套教材 高三数学第一轮复习讲义 教材定制 / 提高课堂效率 /内容可修改 Lecture notes for the first round of senior high school mathematics 教师：风老师 风顺第二中学 编订：FoonShion教育 高三数学第一轮复习讲义 高三数学第一轮复习讲义空间的距离一．复习目标：1．理解点到直线的距离的概念，掌握两条直线的距离，点到平面的距离，直线和平面的距离，两平行平面间的距离；2．掌握求空间距离的常用方法和各距离之间的相互转化．二．知识要点：1．点到平面的距离：． 2．直线到平面的距离：． 3．两个平面的距离：． 4．异面直线间的距离：．三．课前预习：1．在中，，所在平面外一点到三顶点的距离都是，则到平面的距离是（） 2．在四面体中，两两垂直，是面内一点，到三个面的距离分别是，则到的距离是（） 3．已知矩形所在平面，，，则到的距离为，到的距离为．4．已知二面角为，平面内一点到平面的距离为，则到平面的距离为． 四．例题分析：例1．已知二面角为，点和分别在平面和平面内，点在棱上，，（1）求证：；（2）求点到平面的距离；（3）设是线段上的一点，直线与平面所成的角为，求的长． 例2．在直三棱柱中，底面是等腰直角三角形，，侧棱，分别是，与的中点，点在平面上的射影是的重心，（1）求与平面所成角的正弦值；（2）求点到平面的距离．例3．已知正四棱柱, 点为的中点，点为的中点，（1）证明：为异面直线的公垂线；（2）求点到平面的距离． 五．课后作业：班级学号姓名1．已知正方形所在平面，，点到平面的距离为，点到平面的距离为，则（） 2．把边长为的正三角形沿高线折成的二面角，点到的距离是（）3．四面体的棱长都是，两点分别在棱上，则与的最短距离是（）4．已知二面角为，角，，则到平面的距离为．5．已知长方体中，，那么直线到平面的距离是．6．如图，已知是边长为的正方形，分别是的中点，，，（1）求证：；（2）求点到面的距离． 7．在棱长为1的正方体中，（1）求：点到平面的距离；（2）求点到平面的距离；（3）求平面与平面的 题型一：任意角与弧度制 【例1】 下列各对角中终边相同的角是（ ）。 A 2π和2()2Z k k ππ-+∈ B 3π-和22 3 C 79π-和119π D 203π和1229π 【例2】 若角α、β的终边相同，则αβ-的终边在 . A.x 轴的非负半轴上 B.y 轴的非负半轴上 C.x 轴的非正半轴上 D.y 轴的非正半轴上 【例3】 当角α与β的终边互为反向延长线，则αβ-的终边在 . A.x 轴的非负半轴上 B.y 轴的非负半轴上 C.x 轴的非正半轴上 D.y 轴的非正半轴上 【例4】 时钟经过一小时，时针转过了（ ）。 A 6 rad π B 6 rad π - C 12 rad π D 12 rad π - 【例5】 两个圆心角相同的扇形的面积之比为1:2，则两个扇形周长的比为（ ） A 1:2 B 1:4 C 1:2 D 1:8 典例分析 板块一.三角函数的基本概念 【例6】 下列命题中正确的命题是（ ） A 若两扇形面积的比是1:4，则两扇形弧长的比是1:2 B 若扇形的弧长一定，则面积存在最大值 C 若扇形的面积一定，则弧长存在最小 D 任意角的集合可以与实数集R 之间建立一种一一对应关系 【例7】 一个半径为R 的扇形，它的周长是4R ，则这个扇形所含弓形的面积是（ ） A. 21 (2sin1cos1)2R -? B 21 sin1cos12 R ? C 2 12 R D 2(1sin1cos1)R -? 【例8】 下列说法正确的有几个（ ） （1）锐角是第一象限的角；（2）第一象限的角都是锐角； （3）小于90o 的角是锐角；（4）090o o :的角是锐角。 A 1个 B 2个 C 3个 D 4个 【例9】 已知角的顶点与坐标系原点重合，始边落在x 轴的正半轴上，则角855o 是第 （ ）象限角。 A 第一象限角 B 第二象限角 C 第三象限角 D 第四象限角 【例10】 下面四个命题中正确的是（ ） A.第一象限的角必是锐角 B.锐角必是第一象限的角 C.终边相同的角必相等 D.第二象限的角必大于第一象限的角 【例11】 已知角α的终边经过点(3P -，则与α终边相同的角的集合是 . A.2π2π3x x k k ?? =+∈???? Z ， B.5π2π6x x k k ?? =+∈???? Z ， C.5ππ6x x k k ?? =+∈???? Z ， D.2π2π3x x k k ?? =-∈???? Z ， 【例12】 若α是第四象限角，则180α-o 是（ ） A 第一象限角 B 第二象限角 C 第三象限角 D 第四象限角 【例13】 若α与β的终边互为反向延长线，则有（ ）全国卷一高三数学一轮复习讲义
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