第三讲 正方形的性质与判定例题精讲和练习题及答案---侯老师 -
F
E
D C
B
A
第三讲 正方形的性质与判定
一、知识要点
1．正方形的定义：
有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形．
2．正方形的性质
正方形是特殊的平行四边形、矩形、菱形．它具有前三者的所有性质： 1 边的性质：对边平行，四条边都相等． 2角的性质：四个角都是直角．
3 对角线性质：两条对角线互相垂直平分且相等，?每条对角线平分一组对角．
4 对称性：正方形是中心对称图形，也是轴对称图形． 平行四边形、矩形、菱形和正方形的关系：（如图） 3．正方形的判定
1：对角线相等的菱形是正方形
2：对角线互相垂直的矩形是正方形,正方形是一种特殊的矩形 3：四边相等,有一个角是直角的四边形是正方形 4：一组邻边相等的矩形是正方形
5：一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形
二、典型例题
例1 如图12-2-14，已知过正方形ABCD 对角线BD 上一点P ，作PE ⊥BC 于E ，作PF ⊥CD 于F ．试说明AP ＝EF ．
分析：由PE ⊥BC ，PF ⊥CD 知，四边形PECF 为矩形，故有EF ＝PC ，这时只需证AP ＝CP ，由正方形对角线互相垂直平分知AP ＝CP ．
解：连结AC 、PC ，
∵四边形ABCD 为正方形， ∴BD 垂直平分AC ， ∴AP ＝CP ．
正
方形
菱形
矩形平行四边形
∵PE⊥BC，PF⊥CD，∠BCD＝90°，
∴四边形PECF为矩形，
∴PC＝EF，
∴AP＝EF．
注意：①在正方形中，常利用对角线互相垂直平分证明线段相等．
②无论是正方形还是矩形经常通过连结对角线证题，这样可以使分散条件集中．
思考：由上述条件是否可以得到AP⊥EF．
提示：可以，延长AP交EF于N，由PE∥AB，有∠NPE＝∠BAN．
又∠BAN＝∠BCP，而∠BCP＝∠PFE，故∠NPE＝∠PFE，
而∠PFE＋∠PEF＝90°，所以∠NPE＋∠PEF＝90°，则AP⊥EF．
例2如图12-2-15，△ABC中，∠ABC＝90°，BD平分∠ABC，DE⊥BC，DF⊥AB，试说明四边形BEDF是正方形．
解：∵∠ABC＝90°，DE⊥BC，
∴DE∥AB，同理，DF∥BC，
∴BEDF是平行四边形．
∵BD平分∠ABC，DE⊥BC，DF⊥AB，
∴DE＝DF．
又∵∠ABC＝90°，BEDF是平行四边形，
∴四边形BEDF是正方形．
思考：还有没有其他方法？
提示：(有一种方法可以证四边形DFBE为矩形，然后证BE＝DE，可得．另一种方法，可证四边形DFBE为菱形，后证一个角为90°可得)
注意：灵活选择正方形的识别方法．
例3 如图12-2-16所示，四边形ABCD是正方形，△ADE是等边三角形，求∠BEC的大小．
分析：等边三角形和正方形都能提供大量的线段相等和角相等，常能产生一些等腰三角形，十分便于计算．在本题中，必须注意等边三角形与正方形不同的位置关系．在(1)图中，△ABE和△DCE都是等腰三角形，顶角都是150°，可得底角∠AEB与∠DEC都是15°，则∠BEC为30°．而在(2)图中，等边三角形在正方形内部，△ABE和△DCE是等腰三角形，顶角是30°，可得底角∠AEB和∠DEC为75°，再利用周角可求得∠BEC＝150°．解：(1)当等边△ADE在正方形ABCD外部时，AB＝AE，∠BAE＝90°＋60°＝150°，所以∠AEB＝15°．同理可得∠DEC＝15°，则∠BEC＝60°－15°－15°＝30°．
(2)当等边△ADE在正方形ABCD内部时，AB＝AE，∠BAE＝90°－60°＝30°，所以∠AEB＝75°．同理可得∠DEC＝75°，则∠BEC＝360°－75°－75°－60°＝150°．
【中考考点】
会用正方形的性质来解决有关问题，并能用正方形的定义来判断四边形是否为正方形．
【命题方向】
本节出题比较灵活，填空题、选择题、证明题均可出现．
正方形是特殊的平行四边形，考查正方形的内容，实质上是对平行四边形知识的综合，涉及正方形知识的题型较多，多以证明题形式出现．
【常见错误分析】
已知如图12-2-18，△ABC中，∠C＝90°，分别以AC和BC为边向外作正方形ACFH和正方形BCED，HM⊥BA的延长线于M，DK⊥AB的延长线于K．试说明AB＝DK＋HM．
错解：延长DK到S，使KS＝HM，连结SB．
∵∠2＝∠3，∠2＋∠4＝90°，
∴∠3＋∠4＝90°．
在△ABC和△SDB中，
∵∠ACB＝∠SBD＝90°，
BC＝BD，
∠2＝90°－∠4＝∠5
∴△ABC与△SDB重合，
∴AB＝SD＝SK＋DK，
即AB＝HM＋DK．
分析指导：由于S、B、C三点共线未经证明，所以∠2＝∠3的理由是不充足的，因此又犯了思维不严密的错误．
正解：如图12-2-18，延长DK交CB延长线于S，下面证KS＝MH．
在△ACB和△SBD中，
∵BD＝BC，∠SBD＝∠ACB＝90°，
又∠2＝∠3＝∠5，
∴△ACB与△SBD重合，
∴AB＝DS，BS＝AC＝AH．
在△BKS和△AMH中，
∵∠1＝∠2＝∠3，∠AMH＝∠SKB＝90°，BS＝AH，
∴△BKS与△AMH重合，
∴KS＝HM，
∴AB＝DK＋HM．
【学习方法指导】
正方形是最特殊的平行四边形，它既是一组邻边相等的矩形，又是有一个角为直角的菱形，所以它的性质最多，易混淆．故最好把平行四边形、矩形、菱形、正方形列表写出它们的定义、性质、判定，这样更容易记忆和区分．
三、作业
正方形的判定
一．选择题（共8小题）
1．已知四边形ABCD是平行四边形，再从①AB=BC，②∠ABC=90°，③AC=BD，④AC⊥BD 四个条件中，选两个作为补充条件后，使得四边形ABCD是正方形，现有下列四种选法，其中错误的是（）
A．选①②B．选②③C．选①③D．选②④
2．下列说法中，正确的是（）
A．相等的角一定是对顶角
B．四个角都相等的四边形一定是正方形
C．平行四边形的对角线互相平分
D．矩形的对角线一定垂直
3．下列命题中是假命题的是（）
A．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
B．一组对边相等且有一个角是直角的四边形是矩形
C．一组邻边相等的平行四边形是菱形
D．一组邻边相等的矩形是正方形
4．已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中不正确的有（）
①当AB=BC时，它是菱形；②当AC⊥BD时，它是菱形；③当∠ABC=90°时，它是矩形；
④当AC=BD时，它是正方形．
A．1组B．2组C．3组D．4组
5．四边形ABCD的对角线AC=BD，AC⊥BD，分别过A、B、C、D作对角线的平行线，所成的四边形EFMN是（）
A．正方形B．菱形 C．矩形 D．任意四边形
6．如果要证明平行四边形ABCD为正方形，那么我们需要在四边形ABCD是平行四边形的基础上，进一步证明（）
A．AB=AD且AC⊥BD B．AB=AD且AC=BDC．∠A=∠B且AC=BD D．AC和BD 互相垂直平分
7．下列命题中，真命题是（）
A．对角线相等的四边形是矩形
B．对角线互相垂直的四边形是菱形
C．对角线互相平分的四边形是平行四边形
D．对角线互相垂直平分的四边形是正方形
8．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BC的垂直平分线EF交BC于点D，交AB于点E，且BE=BF，添加一个条件，仍不能证明四边形BECF为正方形的是（）
A．BC=AC B．CF⊥BF C．BD=DF D．AC=BF
二．填空题（共6小题）
9．能使平行四边形ABCD为正方形的条件是_________（填上一个符合题目要求的条件即可）．
10．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，DE垂直平分AC，DF⊥BC，当△ABC满足条件
_________时，四边形DECF是正方形．
（要求：①不再添加任何辅助线，②只需填一个符合要求的条件）
11．如图，菱形ABCD的对角线相交于点O，请你添加一个条件：_________，使得该菱形为正方形．
12．如图，在四边形ABCD中，AB=BC=CD=DA，对角线AC与BD相交于点O，若不增加任何字母与辅助线，要使四边形ABCD是正方形，则还需增加一个条件是_________．
13．已知四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=90°，若添加一个条件即可判定该四边形是正方形，那么这个条件可以是_________．
14．要使一个菱形成为正方形，需添加一个条件为_________．
三．解答题（共8小题）
15．已知：如图，△ABC中，∠ABC=90°，BD是∠ABC的平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥BC 于点F．求证：四边形DEBF是正方形．
16．如图，在四边形ABCD中，AB=BC，对角线BD平分∠ABC，P是BD上一点，过点P 作PM⊥AD，PN⊥CD，垂足分别为M，N．
（1）求证：∠ADB=∠CDB；
（2）若∠ADC=90°，求证：四边形MPND是正方形．
17．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，过点C的直线MN∥AB，D为AB边上一点，过点D作DE⊥BC，交直线MN于E，垂足为F，连接CD、BE．
（1）求证：CE=AD；
（2）当D在AB中点时，四边形BECD是什么特殊四边形？说明你的理由；
（3）若D为AB中点，则当∠A的大小满足什么条件时，四边形BECD是正方形？请说明你的理由．
18．如图，在△ABC中，点D、E分别是边AB、AC的中点，将△ADE绕点E旋转180°得到△CFE．
（1）求证：四边形ADCF是平行四边形．
（2）当△ABC满足什么条件时，四边形ADCF是正方形？请说明理由．
19．如图，分别以线段AB的两个端点为圆心，大于AB的长为半径作弧，两弧交于M、N 两点，连接MN，交AB于点D、C是直线MN上任意一点，连接CA、CB，过点D作DE⊥AC 于点E，DF⊥BC于点F．
（1）求证：△AED≌△BFD；
（2）若AB=2，当CD的值为_________时，四边形DECF是正方形．
20．如图，AB是CD的垂直平分线，交CD于点M，过点M作ME⊥A C，MF⊥AD，垂足分别为E、F．
（1）求证：∠CAB=∠DAB；
（2）若∠CAD=90°，求证：四边形AEMF是正方形．
21．如图，△ABC中，点O是边AC上一个动点，过O作直线MN∥BC，设MN交∠ACB 的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F．
（1）探究：线段OE与OF的数量关系并加以证明；
（2）当点O运动到何处时，且△ABC满足什么条件时，四边形AECF是正方形？
（3）当点O在边AC上运动时，四边形BCFE_________是菱形吗？（填“可能”或“不可能”）
22．已知：如图，△ABC中，点O是AC上的一动点，过点O作直线MN∥AC，设MN交∠BCA的平分线于点E，交∠BCA的外角∠ACG的平分线于点F，连接AE、AF．
（1）求证：∠ECF=90°；
（2）当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？请说明理由；
（3）在（2）的条件下，△ABC应该满足条件：_________，就能使矩形AECF变为正方形．（直接添加条件，无需证明）
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．已知四边形ABCD是平行四边形，再从①AB=BC，②∠ABC=90°，③AC=BD，④AC⊥BD 四个条件中，选两个作为补充条件后，使得四边形ABCD是正方形，现有下列四种选法，其中错误的是（）
A．选①②B．选②③C．选①③D．选②④
考点：正方形的判定；平行四边形的性质．
分析：要判定是正方形，则需能判定它既是菱形又是矩形．
解答：解：A、由①得有一组邻边相等的平行四边形是菱形，由②得有一个角是直角的平行四边形是矩形，所以平行四边形ABCD是正方形，正确，故本选项不符合题意；
B、由②得有一个角是直角的平行四边形是矩形，由③得对角线相等的平行四边形是矩形，所以不能得出平行四边形ABCD是正方形，错误，故本选项符合题意；
C、由①得有一组邻边相等的平行四边形是菱形，由③得对角线相等的平行四边形是矩形，所以平行四边形ABCD是正方形，正确，故本选项不符合题意；
D、由②得有一个角是直角的平行四边形是矩形，由④得对角线互相垂直的平行四边形是菱形，所以平行四边形ABCD是正方形，正确，故本选项不符合题意．
故选：B．
点评：本题考查了正方形的判定方法：
①先判定四边形是矩形，再判定这个矩形有一组邻边相等；
②先判定四边形是菱形，再判定这个矩形有一个角为直角．
③还可以先判定四边形是平行四边形，再用1或2进行判定．
2．下列说法中，正确的是（）
A．相等的角一定是对顶角
B．四个角都相等的四边形一定是正方形
C．平行四边形的对角线互相平分
D．矩形的对角线一定垂直
考点：正方形的判定；对顶角、邻补角；平行四边形的性质；矩形的性质．
分析：根据对顶角的定义，正方形的判定，平行四边形的性质，矩形的性质对各选项分析判断利用排除法求解．
解答：解：A、相等的角一定是对顶角错误，例如，角平分线分成的两个角相等，但不是对顶角，故本选项错误；
B、四个角都相等的四边形一定是矩形，不一定是正方形，故本选项错误；
C、平行四边形的对角线互相平分正确，故本选项正确；
D、矩形的对角线一定相等，但不一定垂直，故本选项错误．
故选：C．
点评：本题考查了正方形的判定，平行四边形的性质，矩形的性质，对顶角的定义，熟记各性质与判定方法是解题的关键．
3．下列命题中是假命题的是（）
A．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
B．一组对边相等且有一个角是直角的四边形是矩形
C．一组邻边相等的平行四边形是菱形
D．一组邻边相等的矩形是正方形
考点：正方形的判定；平行四边形的判定；菱形的判定；矩形的判定．
专题：证明题．
分析：做题时首先熟悉各种四边形的判定方法，然后作答．
解答：解：A、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，（平行四边形判定定理）；正确．
B、一组对边相等且有一个角是直角的四边形是矩形，不一定是矩形，还可能是不规则四边形，错误．
C、一组邻边相等的平行四边形是菱形，正确；
D、一组邻边相等的矩形是正方形，正确．
故选B．
点评：本题主要考查各种四边形的判定，基础题要细心．
4．已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中不正确的有（）
①当AB=BC时，它是菱形；②当AC⊥BD时，它是菱形；③当∠ABC=90°时，它是矩形；
④当AC=BD时，它是正方形．
A．1组B．2组C．3组D．4组
考点：正方形的判定；平行四边形的性质；菱形的判定；矩形的判定．
分析：根据邻边相等的平行四边形是菱形可判断①正确；根据所给条件可以证出邻边相等，可判断②正确；根据有一个角是直角的平行四边形是矩形可判断③正确；根据
对角线相等的平行四边形是矩形可以判断出④错误．
解答：解：①根据邻边相等的平行四边形是菱形可知：四边形ABCD是平行四边形，当AB=BC时，它是菱形正确；
②∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BO=OD，
∵AC⊥BD，
∴AB2=BO2+AO2，AD2=DO2+AO2，
∴AB=AD，
∴四边形ABCD是菱形，故②正确；
③根据有一个角是直角的平行四边形是矩形可知③正确；
④根据对角线相等的平行四边形是矩形可知当AC=BD时，它是矩形，不是正方形，故④错误；
故不正确的有1个．
故选：A．
点评：此题主要考查了菱形的判定、矩形的判定、正方形的判定，关键是熟练掌握三种特殊平行四边形的判定定理．
5．四边形ABCD的对角线AC=BD，AC⊥BD，分别过A、B、C、D作对角线的平行线，所成的四边形EFMN是（）
A．正方形B．菱形C．矩形D．任意四边形
考点：正方形的判定．
分析：根据平行线的性质和判定得出∠NAO=∠AOD=∠N=90°，EN=NM=FM=EF，进而判断即可．
解答：证明：如图所示：
∵分别过A、B、C、D作对角线的平行线，
∴AC∥MN∥EF，EN∥BD∥MF，
∵对角线AC=BD，AC⊥BD，
∴∠NAO=∠AOD=∠N=90°，EN=NM=FM=EF，
∴四边形EFMN是正方形．
故选：A．
点评：此题主要考查了正方形的判定以及平行线的性质和判定等知识，熟练掌握正方形的判定定理是解题关键．
6．如果要证明平行四边形ABCD为正方形，那么我们需要在四边形ABCD是平行四边形的基础上，进一步证明（）
A．AB=AD且AC⊥BD B． AB=AD且AC=BDC．∠A=∠B且AC=BD D． AC和BD互相垂直平分
考点：正方形的判定．
分析：根据正方形的判定对各个选项进行分析从而得到最后的答案．
解答：解：A、根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形，或者对角线互相垂直的平行四边形是菱形，所以不能判断平行四边形ABCD是正方形；
B、根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形，对角线相等的平行四边形为矩形，所以能判断四边形ABCD是正方形；
C、一组邻角相等的平行四边形是矩形，对角线相等的平行四边形也是矩形，即只能证明四边形ABCD是矩形，不能判断四边形ABCD是正方形；
D、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，对角线互相平分的四边形是平行四边形，所以不能判断四边形ABCD是正方形．
点评：本题是考查正方形的判别方法，判别一个四边形为正方形主要根据正方形的概念，途经有两种：
①先说明它是矩形，再说明有一组邻边相等；
②先说明它是菱形，再说明它有一个角为直角．
7．下列命题中，真命题是（）
A．对角线相等的四边形是矩形
B．对角线互相垂直的四边形是菱形
C．对角线互相平分的四边形是平行四边形
D．对角线互相垂直平分的四边形是正方形
考点：正方形的判定；平行四边形的判定；菱形的判定；矩形的判定；命题与定理．分析：A、根据矩形的定义作出判断；
B、根据菱形的性质作出判断；
C、根据平行四边形的判定定理作出判断；
D、根据正方形的判定定理作出判断．
解答：解：A、两条对角线相等且相互平分的四边形为矩形；故本选项错误；
B、对角线互相垂直的平行四边形是菱形；故本选项错误；
C、对角线互相平分的四边形是平行四边形；故本选项正确；
D、对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形；故本选项错误；
故选C．
点评：本题综合考查了正方形、矩形、菱形及平行四边形的判定．解答此题时，必须理清矩形、正方形、菱形与平行四边形间的关系．
8．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BC的垂直平分线EF交BC于点D，交AB于点E，且BE=BF，添加一个条件，仍不能证明四边形BECF为正方形的是（）
A．BC=AC B．CF⊥BF C．BD=DF D．AC=BF
考点：正方形的判定；线段垂直平分线的性质．
分析：根据中垂线的性质：中垂线上的点到线段两个端点的距离相等，有BE=EC，BF=FC进而得出四边形BECF是菱形；由菱形的性质知，以及菱形与正方形的关系，进而分别分析得出即可．
解答：解：∵EF垂直平分BC，
∴BE=EC，BF=CF，
∴BE=EC=CF=BF，
∴四边形BECF是菱形；
当BC=AC时，
∵∠ACB=90°，
则∠A=45°时，菱形BECF是正方形．
∵∠A=45°，∠ACB=90°，
∴∠EBC=45°
∴∠EBF=2∠EBC=2×45°=90°
∴菱形BECF是正方形．
故选项A正确，但不符合题意；
当CF⊥BF时，利用正方形的判定得出，菱形BECF是正方形，故选项B正确，但不符合题意；
当BD=DF时，利用正方形的判定得出，菱形BECF是正方形，故选项C正确，但不符合题意；
当AC=BF时，无法得出菱形BECF是正方形，故选项D错误，符合题意．
故选：D．
点评：本题考查了菱形的判定和性质及中垂线的性质、直角三角形的性质、正方形的判定等知识，熟练掌握正方形的相关的定理是解题关键．
二．填空题（共6小题）
9．能使平行四边形ABCD为正方形的条件是AC=BD且AC⊥BD（填上一个符合题目要求的条件即可）．
考点：正方形的判定；平行四边形的性质．
专题：开放型．
分析：对角线互相垂直的平行四边形是菱形，对角线相等的平行四边形是矩形，矩形和菱形的结合体是正方形．
解答：解：可添加对角线相等且对角线垂直或对角线相等，且一组邻边相等；或对角线垂直，有一个内角是90°．答案不唯一，此处填：AC=BD且AC⊥BD．
点评：本题考查正方形的判定，需注意它是菱形和矩形的结合．
10．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，DE垂直平分AC，DF⊥BC，当△ABC满足条件AC=BC 时，四边形DECF是正方形．
（要求：①不再添加任何辅助线，②只需填一个符合要求的条件）
考点：正方形的判定．
专题：计算题；开放型．
分析：由已知可得四边形的四个角都为直角，因此再有四边相等即是正方形添加条件．此题可从四边形DECF是正方形推出．
解答：解：设AC=BC，即△ABC为等腰直角三角形，
∵∠C=90°，DE垂直平分AC，DF⊥BC，
∴∠C=∠CED=∠EDF=∠DFC=90°，
DF=AC=CE，
DE=BC=CF，
∴DF=CE=DE=CF，
∴四边形DECF是正方形，
故答案为：AC=BC．
点评：此题考查的知识点是正方形的判定，解题的关键是可从四边形DECF是正方形推出△ABC满足的条件．
11．如图，菱形ABCD的对角线相交于点O，请你添加一个条件：AC=BD或AB⊥BC，使得该菱形为正方形．
考点：正方形的判定；菱形的性质．
专题：压轴题．
分析：根据正方形判定定理进行分析．
解答：解：根据对角线相等的菱形是正方形，可添加：AC=BD；
根据有一个角是直角的菱形是正方形，可添加的：AB⊥BC；
故添加的条件为：AC=BD或AB⊥BC．
点评：本题答案不唯一，根据菱形与正方形的关系求解．
12．如图，在四边形ABCD中，AB=BC=CD=DA，对角线AC与BD相交于点O，若不增加任何字母与辅助线，要使四边形ABCD是正方形，则还需增加一个条件是AC=BD或AB⊥BC．
考点：正方形的判定；菱形的判定．
专题：开放型．
分析：根据菱形的判定定理及正方形的判定定理即可解答．
解答：解：∵在四边形ABCD中，AB=BC=CD=DA
∴四边形ABCD是菱形
∴要使四边形ABCD是正方形，则还需增加一个条件是：AC=BD或AB⊥BC．
点评：解答此题的关键是熟练掌握正方形的判定定理，即有一个角是直角的菱形是正方形．
13．已知四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=90°，若添加一个条件即可判定该四边形是正方形，那么这个条件可以是AB=AD或AC⊥BD等．
考点：正方形的判定；矩形的判定与性质．
专题：开放型．
分析：由已知可得四边形ABCD是矩形，则可根据有一组邻边相等或对角线互相垂直的矩形是正方形添加条件．
解答：解：由∠A=∠B=∠C=90°可知四边形ABCD是矩形，根据根据有一组邻边相等或对角线互相垂直的矩形是正方形，得到应该添加的条件为：AB=AD或AC⊥BD等．故答案为：AB=AD或AC⊥BD等．
点评：本题是考查正方形的判别方法，判别一个四边形为正方形主要根据正方形的概念，途经有两种：
①先说明它是矩形，再说明有一组邻边相等；
②先说明它是菱形，再说明它有一个角为直角．
14．要使一个菱形成为正方形，需添加一个条件为有一个角是直角或对角线相等．
考点：正方形的判定；菱形的性质．
专题：开放型．
分析：根据菱形的性质及正方形的判定进行分析，从而得到最后答案．
解答：解：要使一个菱形成为正方形，需添加一个条件为：有一个角是直角或对角线相等．
点评：解答此题的关键是熟练掌握正方形的判定定理：
（1）有一个角是直角的菱形是正方形；
（2）对角线相等的菱形是正方形．
三．解答题（共8小题）
15．已知：如图，△ABC中，∠ABC=90°，BD是∠ABC的平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥BC 于点F．求证：四边形DEBF是正方形．
考点：正方形的判定．
专题：证明题．
分析：由DE⊥AB，DF⊥BC，∠ABC=90°，先证明四边形DEBF是矩形，再由BD 是∠ABC的平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F得出DE=DF判定四边形DEBF是正方形．
解答：解：∵DE⊥AB，DF⊥BC，
∴∠DEB=∠DFB=90°，
又∵∠ABC=90°，
∴四边形BEDF为矩形，
∵BD是∠ABC的平分线，且DE⊥AB，DF⊥BC，
∴DE=DF，
∴矩形BEDF为正方形．
点评：本题考查正方形的判定、角平分线的性质和矩形的判定．要注意判定一个四边形是正方形，必须先证明这个四边形为矩形或菱形．
16．如图，在四边形ABCD中，AB=BC，对角线BD平分∠ABC，P是BD上一点，过点P 作PM⊥AD，PN⊥CD，垂足分别为M，N．
（1）求证：∠ADB=∠CDB；
（2）若∠ADC=90°，求证：四边形MPND是正方形．
考点：正方形的判定；全等三角形的判定与性质．
专题：证明题．
分析：（1）根据角平分线的性质和全等三角形的判定方法证明△ABD≌△CBD，由全等三角形的性质即可得到：∠ADB=∠CDB；
（2）若∠ADC=90°，由（1）中的条件可得四边形MPND是矩形，再根据两边相等的四边形是正方形即可证明四边形MPND是正方形．
解答：证明：（1）∵对角线BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠CBD，
在△ABD和△CBD中，
，
∴△ABD≌△CBD（SAS），
∴∠ADB=∠CDB；
（2）∵PM⊥AD，PN⊥CD，
∴∠PMD=∠PND=90°，
∵∠ADC=90°，
∴四边形MPND是矩形，
∵∠ADB=∠CDB，
∴∠ADB=45°
∴PM=MD，
∴四边形MPND是正方形．
点评：本题考查了全等三角形的判定和性质、角平分线的性质、矩形的判定和性质以及正方形的判定，解题的关键是熟记各种几何图形的性质和判定．
17．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，过点C的直线MN∥AB，D为AB边上一点，过点D作DE⊥BC，交直线MN于E，垂足为F，连接CD、BE．
（1）求证：CE=AD；
（2）当D在AB中点时，四边形BECD是什么特殊四边形？说明你的理由；
（3）若D为AB中点，则当∠A的大小满足什么条件时，四边形BECD是正方形？请说明你的理由．
考点：正方形的判定；平行四边形的判定与性质；菱形的判定．
专题：几何综合题．
分析：（1）先求出四边形ADEC是平行四边形，根据平行四边形的性质推出即可；（2）求出四边形BECD是平行四边形，求出CD=BD，根据菱形的判定推出即可；
（3）求出∠CDB=90°，再根据正方形的判定推出即可．
解答：（1）证明：∵DE⊥BC，
∴∠DFB=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠ACB=∠DFB，
∴AC∥DE，
∵MN∥AB，即CE∥AD，
∴四边形ADEC是平行四边形，
∴CE=AD；
（2）解：四边形BECD是菱形，
理由是：∵D为AB中点，
∴AD=BD，
∵CE=AD，
∴BD=CE，
∵BD∥CE，
∴四边形BECD是平行四边形，
∵∠ACB=90°，D为AB中点，
∴CD=BD，
∴四边形BECD是菱形；
（3）当∠A=45°时，四边形BECD是正方形，理由是：
解：∵∠ACB=90°，∠A=45°，
∴∠ABC=∠A=45°，
∴AC=BC，
∵D为BA中点，
∴CD⊥AB，
∴∠CDB=90°，
∵四边形BECD是菱形，
∴四边形BECD是正方形，
即当∠A=45°时，四边形BECD是正方形．
点评：本题考查了正方形的判定、平行四边形的性质和判定，菱形的判定，直角三角形的性质的应用，主要考查学生运用定理进行推理的能力．
18．如图，在△ABC中，点D、E分别是边AB、AC的中点，将△ADE绕点E旋转180°得到△CFE．
（1）求证：四边形ADCF是平行四边形．
（2）当△ABC满足什么条件时，四边形ADCF是正方形？请说明理由．
考点：正方形的判定；平行四边形的判定．
分析：（1）利用旋转的性质得出点A、E、C三点共线，点D、E、F三点共线，且AE=CD，DE=FE，即可得出答案；
（2）首先得出CD⊥AB，即∠ADC=90°，由（1）知，四边形ADCF是平行四边形，故四边形ADCF是矩形．进而求出CD=AD即可得出答案．
解答：（1）证明：∵△CFE是由△ADE绕点E旋转180°得到，
∴点A、E、C三点共线，点D、E、F三点共线，
且AE=CE，DE=FE，
故四边形ADCF是平行四边形．
（2）解：当∠ACB=90°，AC=BC时，四边形ADCF是正方形．
理由如下：
在△ABC中，∵AC=BC，AD=BD，
∴CD⊥AB，即∠ADC=90°．
而由（1）知，四边形ADCF是平行四边形，
∴四边形ADCF是矩形．
又∵∠ACB=90°，
∴，
故四边形ADCF是正方形．
点评：此题主要考查了平行四边形的判定以及正方形的判定等知识，得出四边形ADCF是矩形是解题关键．
19．如图，分别以线段AB的两个端点为圆心，大于AB的长为半径作弧，两弧交于M、N 两点，连接MN，交AB于点D、C是直线MN上任意一点，连接CA、CB，过点D作DE⊥AC 于点E，DF⊥BC于点F．
（1）求证：△AED≌△BFD；
（2）若AB=2，当CD的值为1时，四边形DECF是正方形．
考点：正方形的判定；全等三角形的判定．
分析：（1）先由作图知MN是线段AB的垂直平分线，根据垂直平分线的性质得出CA=CB，AD=BD，由等边对等角得到∠A=∠B，然后利用AAS即可证明△AED≌△BFD；（2）若AB=2，当CD的值为1时，四边形DECF是正方形．先由CD=AD=BD=1，MN⊥AB，得出△ACD与△BCD都是等腰直角三角形，则∠ACD=∠BCD=45°，∠ECF=90°，根据有三个角是直角的四边形是矩形证明四边形DECF是矩形，再由等角对等边得出ED=CE，从而得出矩形DECF是正方形．
解答：（1）证明：由作图知，MN是线段AB的垂直平分线，
∵C是直线MN上任意一点，MN交AB于点D，
∴CA=CB，AD=BD，
∴∠A=∠B．
在△AED与△BFD中，
，
∴△AED≌△BFD（AAS）；
（2）解：若AB=2，当CD的值为1时，四边形DECF是正方形．理由如下：
∵AB=2，
∴AD=BD=AB=1．
∵CD=AD=BD=1，MN⊥AB，
∴△ACD与△BCD都是等腰直角三角形，
∴∠ACD=∠BCD=45°，
∴∠ECF=∠ACD+∠BCD=90°，
∵∠DEC=∠DFC=90°，
∴四边形DECF是矩形，∠CDE=90°﹣45°=45°，
∴∠ECD=∠CDE=45°，
∴ED=CE，
∴矩形DECF是正方形．
故答案为1．
点评：本题考查了线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定，正方形的判定，等腰直角三角形的判定与性质，难度适中．
20．如图，AB是CD的垂直平分线，交CD于点M，过点M作ME⊥A C，MF⊥AD，垂足分别为E、F．
（1）求证：∠CAB=∠DAB；
（2）若∠CAD=90°，求证：四边形AEMF是正方形．
考点：正方形的判定；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定与性质．
菱形判定及性质练习题
菱形判定及性质练习题 1、 如果从边的角度,将平行四边形特殊化,让它一组邻边相等,这个特殊的四边形叫什么呢? 2、 ________________________________________叫菱形 3、 画图猜测：菱形的边有什么特殊性质？菱形的角有什么特殊性质？菱形的对角线有什么特殊性质？ 4、 菱形的性质（1）_______________________________________ （2）_______________________________________ （3）_______________________________________ 5、 已知四边形ABCD 是菱形 6、 A B C D O 1256 7 练习1.已知菱形的周长是12cm ，那么它的边长是______. 2.菱形ABCD 中∠ABC ＝60度，则∠BAC ＝_______. 3、菱形的两条对角线长分别为6cm 和8cm ，则菱形的边长是______. 5、四边形ABCD 是菱形，O 是两条对角线的交点，已知AB=5cm ，AO=4cm, 求对角线BD 的长。 6、菱形ABCD 两条对角线BD 、AC 长分别是6cm 和8cm ，求菱形的周长和面积 7、 如图，菱形花坛ABCD 的边长为20m ， ∠ABC ＝60度，沿着菱形的对角线修建了两条小路AC 和BD ，求两条小路的长和花坛的面积 3 4 8 图中相等的线段有：_______________________________________ 图中相等的角有：_______________________________________ 图中等腰三角形有：_______________________________________ 图中直角三角形有：_______________________________________ 图中全等三角形有：_______________________________________ 4、在菱形ABCD 中，AE ⊥BC ，AF ⊥CD ，E 、F 分别为BC ， CD 的中点，那么∠EAF 的度数是____________
九年级数学上册菱形的性质与判定
作品编号：51897654258769315745896 学校：密参录bwt市背合属镇丹面高小学* 教师：性设景* 班级：鹦鹉参班* 《第1章菱形的性质与判定》 一、选择题 1．菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是（） A．对边相等 B．对角相等 C．对角线互相平分D．对角线互相垂直 2．如图，菱形ABCD的周长为24cm，对角线AC、BD相交于O点，E是AD的中点，连接OE，则线段OE的长等于（） A．3cm B．4cm C．2.5cm D．2cm 3．如图，四边形ABCD的四边相等，且面积为120cm2，对角线AC=24cm，则四边形ABCD的周长为（）A．52cm B．40cm C．39cm D．26cm 4．如图，在?ABCD中，对角线AC与BD交于点O，若增加一个条件，使?ABCD成为菱形，下列给出的条件不正确的是（） A．AB=AD B．AC⊥BD C．AC=BD D．∠BAC=∠DAC 5．如图，菱形ABCD中，∠B=60°，AB=2cm，E、F分别是BC、CD的中点，连接AE、EF、AF，则△AEF的周长为（） A．2cm B．3cm C．4cm D．3cm 6．如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，若AB=2，∠ABC=60°，则BD的长为（）A．2 B．3 C． D．2 7．如图，在菱形ABCD中，AC=8，BD=6，则△ABD的周长等于（） A．18 B．16 C．15 D．14
8．某校的校园内有一个由两个相同的正六边形（边长为2.5m）围成的花坛，如图中的阴影部分所示，校方先要将这个花坛在原有的基础上扩建成一个菱形区域如图所示，并在新扩充的部分种上草坪，则扩建后菱形区域的周长为（） A．20m B．25m C．30m D．35m 9．如图，将△ABC沿BC方向平移得到△DCE，连接AD，下列条件能够判定四边形ACED为菱形的是（） A．AB=BC B．AC=BC C．∠B=60° D．∠ACB=60° 10．如图，四边形ABCD是菱形，AC=8，DB=6，DH⊥AB于H，则DH等于（） A． B． C．5 D．4 二、填空题 11．如图，在菱形ABCD中，对角线AC=6，BD=10，则菱形ABCD的面积为． 12．如图，在菱形ABCD中，AB=4，线段AD的垂直平分线交AC于点N，△CND的周长是10，则AC 的长为． 13．如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，请你添加一个适当的条件使其成为菱形（只填一个即可）． 14．如图，将两张长为9，宽为3的矩形纸条交叉，使重叠部分是一个菱形，容易知道当两张纸条垂直时，菱形的面积有最小值9，那么菱形面积的最大值是． 15．如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AC=8，BD=6，OE⊥BC，垂足为点E，则OE= ． 16．菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E，F分别是AD，CD边上的中点，连接EF．若EF=，BD=2，则菱形ABCD的面积为．
菱形性质和判定练习题
E O D C B A 菱形性质和判定练习题 班级__________姓名___________学号_________得分_________________ 1.(2010河北)如图，在□ABCD 中，AC 平分∠DAB ，AB = 3， 则□ABCD 的周长为 ( ) A ．6 B ．9 C ．12 D ．15 2.（2010天津）下列命题中正确的是 （ ） A ．对角线相等的四边形是菱形 B ．对角线互相垂直的四边形是菱形 C ．对角线相等的平行四边形是菱形 D ．对角线互相垂直的平行四边形是菱形 第1题 第3题 第5题 第6题 第10 题 3．（2010肇庆）菱形的周长为4，一个内角为60?，则较短的对角线长为 （ ） A ．2 B ． 3 C ．1 D ．2 3 4.(2010陕西)若一个菱形的边长为2，则这个菱形两条对角线的平方和为 （ ） A ．16 B ．8 C ．4 D ．1 5.（2009年杭州市）如图，在菱形ABCD 中，∠A=110°，E ，F 分别是边AB 和BC 的中点， EP ⊥CD 于点P ，则∠FPC= （ ） A ．35° B．45° C．50° D．55° 6.（2009青海）如图3，四边形ABCD 的对角线互相平分，要使它变为菱形，需要添加的 条件是__________________（只填一个你认为正确的即可）． 7.（2010绵阳）已知菱形ABCD 的两条对角线相交于点O ，若AB = 6，∠BDC = 30?，则菱 形的面积为_______________． 8. (2010株洲)四边形ABCD 是菱形，对角线AC 和BD 相交于点O ，AC=4，BD=8，则这个菱形 的面积是________． 9.菱形ABCD 的周长为40cm ，两条对角线AC ：BD=4：3，那么对角线AC=______cm. 10.如图，菱形ABCD 的两条对角线分别长6和8，点P 是对角线AC 上的一个动点，点M 、N 分别是边AB 、BC 的中点，则PM+PN 的最小值是_____________． 11、已知，如图，菱形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，DE ∥AC ，CE ∥BD 。求证：四边形 ABCD 是矩形。 12.（2009年广西梧州）如图，△ABC 中，AC 的垂直平分线MN 交AB 于点D ，交AC 于点O ， CE∥AB 交MN 于E ，连结AE 、CD ． （1）求证：AD ＝CE ；（2）填空：四边形ADCE 的形状是 ．
《我的老师》原文阅读及答案
《我的老师》原文阅读及答案 我的老师 ①春天又到了。 ②柳枝染上了嫩绿，在春风里尽情飘摆，舒展着自己的腰身。迎春花举起金黄的小喇叭，向着春天吹奏着生命之歌。蓝天上,—架架风筝在同白云戏耍,引得无数的人仰望天穹，让自己的心也飞上云端。 ③这时候，我就会情不自禁地想起我的刘老师，想起他放入天空的风筝。 ④刘老师教我们历史课。他有一条强壮的右腿，而左腿从膝以下全部截去，靠一根被用得油亮的圆木棍支撑。有一次，他讲课讲到女娲造人的时候，笑着对我们说：“女娲用手捏泥人捏得累了，便用树枝沾起泥巴向地上甩，甩到地上的泥巴也变成人。由于女娲甩的力量太大了，有的人甩丢了腿和胳膊。我就是那时候被她甩掉了一条腿的。”教室里自然腾起一片笑声，但笑过之后，每个学生的心头都泛起一股酸涩的感情，同时更增添了对刘老师的尊敬。 ⑤他只靠着健壮的右腿和一根木棍，一天站上好几个小时，为我们讲课。写板书的时候，他用木棍撑地，右腿离地，身体急速地一转，便转向黑板。写完了粗壮的粉笔字，又以拐杖为圆心再转向讲台。一个年过半百的老师，一天不知道要这样跳跃旋转多少次。而他每次的一转，都引起学生们一次激动的心跳。
⑥他的课讲得极好。讲到历代的民族英雄，他慷慨陈词，使我们激动得落泪。讲到祖国近代史上受屈辱的岁月，他常常哽咽，使我们沉重地低下头去。后来，我考入大学历史系，和刘老师 * 有极大的关系。 ⑦他喜欢在课堂上让学生们述说自己学习的心得。倘若有同学说得流畅、深刻，他便，静静地伫立在教室一角，微仰着头，眯起眼睛，细细地听，仿佛在品味一首美妙的乐曲。然后，又好像从沉醉中醒来，长舒一口气，满意地在记分册上写下分数，大声地说：“好!满分!”倘若有同学说得不好，他便瞪大眼睛，关切地瞧着同学，一边细声说：“别紧张，想想，想想，再好好想想。”一边不住地点头，好像那每一次点头都能给学生一些鼓励。这情景，今天想起来，依旧那么清晰，那么亲切。 ⑧然而，留给我印象最深的，还是刘老师每年春天放风筝的情景。 ⑨当一天的功课做完，暮色还没有笼罩校园上空的时候，常常有成群的学生到操场上来看他放风笋。他的腿自然不便于奔跑，然而，他绝不肯失去亲手把风筝送入蓝天的欢乐。他总是让学生远远地擎着风筝，他喊声：“起!”便不断扯动手中的线绳，那纸糊的燕子便抖起翅膀，翩翩起舞，直窜入云霄。他笑着，叫着，拄着拐杖，仰望白云，看那青黑的小燕在风中翱翔盘旋，脸上飘起得意十足的稚气，仿佛他的心也一齐跃上了蓝天。那时候，我常常站在他旁边，看着他的脸，我觉得他不是一位老人，而是一个同我一样的少年。年过五十的
菱形的性质与判定 填空题练习(含答案)
菱形的性质与判定填空题练习 1、一个菱形的周长为52cm，一条对角线长为10cm，则其面积为cm2． 2、已知菱形的周长为40cm,两条对角线之比3:4，则菱形面积为______________cm2． 3、如图，菱形ABCD的周长为8，对角线AC和BD相交于点O，AC：BD=1：2，则AO：BO= ，菱形ABCD的面积S= ． 4、如图，在菱形ABCD中，已知AB=10，AC=16，那么菱形ABCD的面积为_______． 5、如图，正方形ABCD中，以对角线AC为一边作菱形AEFC，则∠FAB= ． 6、如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，∠AOB=120°，CE∥BD，DE∥AC，若AD=4，则四边形CODE的周长． 7、已知菱形的周长为 40 cm ，两条对角线之比为3：4，则菱形的面积为_________． 8、如图，菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，H为AD边中点，菱形ABCD的周长为24，则OH 的长等于 .
9、如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，OA=OC，OB=OD，添加一个条件使四边形ABCD 是菱形，那么所添加的条件可以是____________(写出一个即可)． 10、如图，菱形ABCD中，对角线AC交BD于O， E是CD的中点，且OE=2，则菱形ABCD的周长等于． 11、如图，在菱形ABCD中，点E、F分别是BD、CD的中点，EF=6 cm，则AB=________cm. 12、两对角线分别是6cm和8cm的菱形面积是 cm2，周长是 cm． 13、如图，在RtΔABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，D为斜边AB上一点，以CD、CB为边作平行四边形CDEB，当AD= 时，平行四边形CDEB为菱形。 14、如图，在菱形ABCD中，∠B=60°，对角线BD=22，则点D到直线AB的距离DE= ，点D到直线BC的距离等于． 15、如图，在菱形ABCD中，AB=5，对角线AC=6，若过点A作AE⊥BC，垂足为E，则AE的长为．
18.2.2菱形的性质与判定练习题
第14题 F A D E B C 菱形的性质与判定练习题1 一、选择题 1、已知在菱形ABCD 中，下列说法错误的是（ ）． A. 两组对边分别平行 B. 菱形对角线互相平分 C. 菱形的对边相等 D. 菱形的对角线相等 2、菱形具有而矩形不一定具有的性质是（ ）． A ．对边相等 B ．对角相等 C ．对角线互相垂直 D ．对角线相等 3、能够找到一点使该点到各边距离相等的图形为（ ）． A ．平行四边形 B ．菱形 C ．矩形 D ．不存在 4、下列说法不正确的是（ ）． A ．菱形的对角线互相垂直 B ．菱形的对角线平分各内角 C ．菱形的对角线相等 D ．菱形的对角线交点到各边等距离 5、菱形的两条对角线分别是12cm 、16cm ，则菱形的周长是（ ）． A ．24cm B ．32cm C ．40 cm D ．60cm 6、菱形的周长为4，一个内角为60°，则较短的对角线长为（ ）． A ．2 B ．3 C ．1 D ． 2 1 7、菱形ABCD 中，AB=15，∠ADC=120°，则B 、D 两点之间的距离为（ ）． A ．15 B ． 32 15 C ．7.5 D ．315 8、菱形的两邻角之比为1：2，如果它的较短对角线为3cm ，则它的周长为（ ）． A ．8cm B ．9cm C ．12cm D ．15cm 9、菱形的周长为8cm ，高为1cm ，则该菱形两邻角度数比为（ ）． A ．3：1 B ．4：1 C ．5：1 二、填空 10、如图，菱形ABCD 的对角线AC 、BD 交于点O ，且AC=8，BD=6，过点O 作OH 丄AB ，垂足为H ，则点0到边AD 的距离为 _______． 11、如图，菱形ABCD 的边长是2cm ，E 是AB 的中点，且DE 丄AB ，则菱形ABCD 的面积为 cm 2 ． 1 A B C D O
《我的老师》的阅读练习及答案
《我的老师》的阅读练习及答案 ①春天又到了。 ②柳枝染上了嫩绿，在春风里尽情飘摆，舒展着自己的腰身。迎春花举起金黄的小喇叭，向着春天吹奏着生命之歌。蓝天上，—架架风筝在同白云戏耍，引得无数的人仰望天穹，让自己的心也飞上云端。 ③这时候，我就会情不自禁地想起我的刘老师，想起他放入天空的风筝。 ④刘老师教我们历史课。他有一条强壮的右腿，而左腿从膝以下全部截去，靠一根被用得油亮的圆木棍支撑。有一次，他讲课讲到女娲造人的时候，笑着对我们说：“女娲用手捏泥人捏得累了，便用树枝沾起泥巴向地上甩，甩到地上的泥巴也变成人。由于女娲甩的力量太大了，有的人甩丢了腿和胳膊。我就是那时候被她甩掉了一条腿的。”教室里自然腾起一片笑声，但笑过之后，每个学生的心头都泛起一股酸涩的感情，同时更增添了对刘老师的尊敬。 ⑤他只靠着健壮的右腿和一根木棍，一天站上好几个小时，为我们讲课。写板书的时候，他用木棍撑地，右腿离地，身体急速地一转，便转向黑板。写完了粗壮的粉笔字，又以拐杖为圆心再转向讲台。一个年过半百的老师，一天不知道要这样跳跃旋转多少次。而他每次的一转，都引起学生们一次激动的心跳。 ⑥他的课讲得极好。讲到历代的民族英雄，他慷慨陈词，使我们激动得落泪。讲到祖国近代史上受屈辱的岁月，他常常哽咽，使我
们沉重地低下头去。后来，我考入大学历史系，和刘老师的影响有极大的关系。 ⑦他喜欢在课堂上让学生们述说自己学习的心得。倘若有同学说得流畅、深刻，他便，静静地伫立在教室一角，微仰着头，眯起眼睛，细细地听，仿佛在品味一首美妙的乐曲。然后，又好像从沉醉中醒来，长舒一口气，满意地在记分册上写下分数，大声地说：“好!满分!”倘若有同学说得不好，他便瞪大眼睛，关切地瞧着同学，一边细声说：“别紧张，想想，想想，再好好想想。”一边不住地点头，好像那每一次点头都能给学生一些鼓励。这情景，今天想起来，依旧那么清晰，那么亲切。 ⑧然而，留给我印象最深的，还是刘老师每年春天放风筝的情景。 ⑨当一天的功课做完，暮色还没有笼罩校园上空的时候，常常有成群的学生到操场上来看他放风筝。他的腿自然不便于奔跑，然而，他绝不肯失去亲手把风筝送入蓝天的欢乐。他总是让学生远远地擎着风筝，他喊声：“起!”便不断扯动手中的线绳，那纸糊的燕子便抖起翅膀，翩翩起舞，直窜入云霄。他笑着，叫着，拄着拐杖，仰望白云，看那青黑的小燕在风中翱翔盘旋，脸上飘起得意十足的稚气，仿佛他的心也一齐跃上了蓝天。那时候，我常常站在他旁边，看着他的脸，我觉得他不是一位老人，而是一个同我一样的少年。年过五十的有残疾的老师，对生活有着那样纯朴、强烈的爱与追求，一个活泼泼的少年又该怎样呢?
菱形的性质和判定教案
个性化教学辅导 教学 内容 菱形 教学目标1、掌握菱形的定义和性质； 2、学会判定菱形； 3、平行四边形和菱形的区别和联系； 重点难点1、菱形的性质和判定的熟练掌握； 2、利用菱形的性质综合解决问题； 教学过程知识讲解 一、菱形的定义 如图，如果一个平行四边形有一组邻边相等，那么这个平行四边形会有怎样的变化？ 定义：叫做菱形。 二，菱形的性质。 菱形性质： 1．两条对角线互相垂直平分； 2．四条边都相等； 3．每条对角线平分一组对角； 4．菱形是一个中心对称图形，也是一个轴对称图形。
以上菱形的性质你能给出证明吗？ 练习：1、已知菱形的周长是12cm，那么它的边长是______。 2、菱形ABCD中∠ABC＝60度，则∠BAC＝_______。 3、菱形的两条对角线长分别为6cm和8cm，则菱形的边长是_______。 4、菱形的面积为24cm2，一条对角线的长为6cm，则另一条对角线长为_____cm，边长为_____cm， 高为_____cm。 三、菱形的判定 根据定义我们知道有一组邻边相等的平行四边形是菱形，还有别的判定方法吗？ 猜想1：如果一个平行四边形的两条对角线相互垂直，那么这个平行四边形是菱形。 已知：平行四边形ABCD中，对角线AC、BD互相垂直。 求证：四边形ABCD是菱形． 例1：如图，已知矩形ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD、BC分别交于点E、F，求证四边形AFCE 是菱形．
猜想2四条边都相等的四边形是菱形． 已知：如图，四边形ABCD，AB=BC=CD=DA 求证：四边形ABCD是菱形 猜想3：如果一个四边形的每条对角线平分一组对角，那么这个四边形是菱形。 已知：四边形ABCD，AC平分∠DAB和∠DCB，BD平分∠ABC和∠ADC 求证：四边形ABCD是菱形 总结：菱形的判定定理： 1、有一组邻边相等的平行四边形是菱形（定义） 2、对角线互相垂直的平行四边形是菱形．（根据对角线） 3、四条边都相等的四边形是菱形．（根据四条边） 4、每条对角线平分一组对角的四边形是菱形．（对角线和角的关系） 练习：1、用两个边长为a的等边三角形纸片拼成的四边形是（） Ａ、等腰梯形Ｂ、正方形Ｃ、矩形Ｄ、菱形 2、下列说法中正确的是（） Ａ、有两边相等的平行四边形是菱形。Ｂ、两条对角线互相垂直平分的四边形是菱形Ｃ、两条对角线相等且互相平分的四边形是菱形Ｄ、四个角相等的四边形是菱形
矩形,菱形的性质及判定专项练习
M N O D C B A 矩形，菱形的性质及判定专项练习 1.在下列命题中，真命题是（） Ａ．两条对角线相等的四边形是矩形 Ｂ．两条对角线互相垂直的四边形是菱形 Ｃ．两条对角线互相平分的四边形是平行四边形 Ｄ．两条对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 2.已知菱形的两条对角线长为10cm和24cm, 那么这个菱形的周长为_______, 面积为___________. 3.将两张长10cm宽3cm的长方形纸条叠放在一起, 使之成60度角, 那么重叠部分 的面积的最大值为________________. 4.一个菱形面积为80, 周长为40, 那么两条对角线长度之和为__________. 5.顺次连接一个特殊四边形的中点, 得到一个菱形. 那么这个特殊四边形是___________. 6.如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，OF⊥BC，CE⊥BD，OE：BE=1： 3，OF=4，求∠ADB的度数和BD的长。 7.如图所示，矩形ABCD中，M是BC的中点，且MA⊥MD，若矩形的周长为36cm，求此矩形的面积。 8.折叠矩形纸片ABCD，先折出折痕BD，再折叠使AD边与对角线BD重合，得折痕DG，如图，若AB=2， BC=1，求AG。 O F E D C B A G E D C B A
9. 已知：如图，平行四边形ABCD 的四个内角的平分线分别相交于点E ，F ，G ，H ，求证：四边形EFGH 是矩形。 10. 如图，在矩形ABCD 中，E 是AD 上一点，F 是AB 上一点，EF CE =，且,2EF CE DE cm ⊥=，矩 形ABCD 的周长为16cm ，求AE 与CF 的长． 11. 如图，在矩形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，（1），画出△AOB 平移后的三角形，其平移的方 向为射线AD 的方向，平移的距离为线段AD 的长。（2）观察平移后的图形，除了矩形ABCD 外还有哪一种特殊的平行四边形？并给出证明。 12. 如图所示，已知菱形ABCD 中，E 、F 分别在BC 和CD 上，且∠B=∠EAF=60°，∠BAE=15°，求∠CEF 的度数。
菱形的性质及判定
菱形的性质 及判定 知识点 A 要求 B 要求 Ｃ要求 菱形 会识别菱形 掌握菱形的概念、性质和判定，会用菱形的性质和 判定解决简单问题 会用菱形的知识解决有关问题 1．菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形． 2．菱形的性质 菱形是特殊的平行四边形，它具有平行四边形的所有性质，?还具有自己独特的性质： ① 边的性质：对边平行且四边相等． ② 角的性质：邻角互补，对角相等． ③ 对角线性质：对角线互相垂直平分且每条对角线平分一组对角． ④ 对称性：菱形是中心对称图形，也是轴对称图形． 菱形的面积等于底乘以高，等于对角线乘积的一半． 点评：其实只要四边形的对角线互相垂直，其面积就等于对角线乘积的一半． 3．菱形的判定 判定①：一组邻边相等的平行四边形是菱形． 判定②：对角线互相垂直的平行四边形是菱形． 判定③：四边相等的四边形是菱形． 重点是菱形的性质和判定定理。菱形是在平行四边形的前提下定义的，首先她是平行四边形，但它是特殊的平行四边形，特殊之处就是“有一组邻边相等”，因而就增加了一些特殊的性质和不同于平行四边形的判定方法。菱形的这些性质和判定定理即是平行四边形性质与判定的延续，又是以后要学习的正方形 重、难点 知识点睛 中考要求
的基础。 难点是菱形性质的灵活应用。由于菱形是特殊的平行四边形，所以它不但具有平行四边形的性质，同时还具有自己独特的性质。如果得到一个平行四边形是菱形，就可以得到许多关于边、角、对角线的条件，在实际解题中，应该应用哪些条件，怎样应用这些条件，常常让许多学生手足无措，教师在教学过程 中应给予足够重视。 板块一、菱形的性质 【例1】 ☆ ⑴菱形的两条对角线将菱形分成全等三角形的对数为 ⑵在平面上，一个菱形绕它的中心旋转，使它和原来的菱形重合，那么旋转的角度至少是 【例2】 ⑴如图2，一活动菱形衣架中，菱形的边长均为16cm 若墙上钉子间的距离16cm AB BC ==，则 1∠= 度． 图2 1 C B A ⑵如图，在菱形ABCD 中，60A ∠=?，E 、F 分别是AB 、AD 的中点，若2EF =，则菱形ABCD 的边长是______． 【例3】 如图，E 是菱形ABCD 的边AD 的中点，EF AC ⊥于H ，交CB 的延长线于F ，交AB 于P ， 证明：AB 与EF 互相平分． P H F E D C B A 【例4】 ☆ 如图1所示，菱形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，H 为AD 边中点，菱形ABCD 的 周长为24，则OH 的长等于 ． E F D B C A 例题精讲
菱形的性质和判定练习题
菱形检测题二 1．菱形的两条对角线长分别为16cm，12cm，那么这个菱形的高是_______． 2．已知菱形两邻角的比是1：2，周长是40cm，则较短对角线长是________． 3．菱形的面积为50cm2，一个内角为30°，则其边长为______． 4．菱形一边与两条对角线所构成两角之比为2：7，则它的各角为______． 5.如图，在四边形ABCD中，AB=CD，AD=BC，添加一个条件使四边 形ABCD是菱形，那么所添加的条件可以是__________(写出一个即 可). 6、已知在菱形ABCD中，下列说法错误的是（）． A. 两组对边分别平行 B.菱形对角线互相平分 C. 菱形的对边相等 D.菱形的对角线相等 7、菱形具有而矩形不一定具有的性质是（）． A．对边相等B．对角相等C．对角线互相垂直D．对角线相等 8、能够找到一点使该点到各边距离相等的图形为（）． A．平行四边形B．菱形C．矩形D．不存在 9、下列说法不正确的是（）． A．菱形的对角线互相垂直B．菱形的对角线平分各内角 C．菱形的对角线相等D．菱形的对角线交点到各边等距离 10、菱形的两条对角线分别是12cm、16cm，则菱形的周长是（）． A．24cm B．32cm C．40 cm D．60cm 11．菱形ABCD，若∠A：∠B=2：1，∠CAD的平分线AE和边CD之间的关系是（）．A．相等B．互相垂直且不平分 C．互相平分且不垂直D．垂直且平分 12．在菱形ABCD中，AE⊥BC于E，菱形ABCD面积等于24cm2，AE=6cm，则AB长为（）．A．12cm B．8cm C．4cm D．2cm 13．如图，在菱形ABCD中，E是AB的中点，作EF∥BC，交AC?于点F，如果EF=4，那么CD的长为（）． A．2 B．4 C．6 D．8 14.如图，已知菱形ABCD的边长为2，∠DAB＝60°，则对角线BD的长是( ) 15.菱形的两条对角线长分别是6和8，则此菱形的边长是( ) A.10 B.8 C.6 D.5
3《我的老师》同步练习及答案
3.我的老师 caijuyudonglixi [文笔精华]美文中散步，品尝心灵的鸡汤…… ◎辛勤的园丁,你是那智慧的工程师, 为祖国的未来架起了一座座坚固的桥梁…… [自主积累]积累中运用，构建知识的殿堂…… 1．给下列词语中加点的字注音。 天穹．（）女娲．（）哽咽 ．．（）（） 伫．立（）擎．着（）蜈蚣 ．．（）（） 抻．动（）翩．翩（）吁吁 ．．（）（） 2．根据拼音写汉字。 áoxiáng（）（） tǎng（）若 zhì（）气 kāngkǎi（）（）支chēng（）酸sa（） 3．注音组词。 （1）翘（）（2）撒（） （）（） 衬（）燥（） （3）忖（）（4）躁（） 肘（）噪（） 纣（）澡（） 4．揣摩语言。 （1）“春天又．到了。”句中的“又”可以删去吗？为什么？ （2）体会加点的词语的精妙之处。 ①“教室里自然腾起 ．．一股酸涩的感情，同．．一片笑声，但笑过之后，每个学生的心头都泛起 时更增加了对刘老师的尊敬。” ②倘若有的同学回答得不好，他就吃惊地瞪大 ．．地瞧着同学，一边细声说：“别紧 ．．眼睛，关切 张，想想，想想，再好好想想。”一边不住 ．．地点头，好像那每一次点头都能给学生一次启发。（3）“他将永远在我的记忆里行走、微笑，用那双写了无数粉笔字的手，放飞一架又一架理想的风筝。”应怎样理解“放飞一架又一架理想的风筝”？ 5．下列句中加点成语使用不正确的一项是（）（2分）（随州中考题） A．校园里的花开得很旺，姹紫嫣红 ．．．．，满园芬芳。 B．刘老师讲课抑扬顿挫 ．．．．，深深地吸引着每一位同学。 C．日本军国主义者侵略中国，犯下的惨绝人寰 ．．．．的暴行，已永远刻在历史的耻辱柱上。 D．在中考誓师大会上，李明信口雌黄 ．．．．地说：一定要考出好成绩回报父母和老师。 6.填空。 （1）《我的老师》选自《》，作者，作品多次获奖，有四部作品获“”工程奖。
菱形的性质与判定(培优辅导班试题)
全国中考真题解析考点汇编菱形的性质与判定 一、选择题 1.（2011江苏淮安，5，3分）在菱形ABCD 中，AB=5cm ，则此菱形的周长为（ ） A. 5cm B. 15cm C. 20cm D. 25cm 2.（2011云南保山，5，3分）如图，在菱形ABCD 中，∠BAD=60°，BD=4，则菱形ABCD 的周长是_______． 3. （2011?西宁）用直尺和圆规作一个菱形，如图，能得到四边形ABCD 是菱形的依据是（ ） A 、一组临边相等的四边形是菱形 B 、四边相等的四边形是菱形 C 、对角线互相垂直的平行四边形是菱形 D 、每条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形 4.（2011?青海）已知菱形ABCD 的对角线AC 、BD 的长度是6和8，则这个菱形的周长是（ ） A 、20 B 、14 C 、28 D 、24 5.（2011山东济南，7，3分）如图，菱形ABCD 的周长是16，∠A=60°，则对角线BD 的长度为（ ） A ．2 B ． C ．4 D ．6. （2010广东佛山，6，3分）依次连接菱形的各边中点，得到的四边形是（ ） A ．矩形 B ．菱形 C ．正方形 D ．梯形 7.（2011?包头，9，3分）已知菱形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O ，∠BAD=120°，AC=4，则该菱形的面积是（ ） A 、163 B 、16 C 、83 D 、8 8. （2011湖南衡阳，8，3分）如图所示，在平面直角坐标系中，菱形MNPO 的顶点P 的坐标是（3，4），则顶点M 、N 的坐标分别是（ ） A 、M （5，0），N （8，4） B 、M （4，0），N （8，4） C 、M （5，0），N （7，4） D 、M （4，0），N （7，4） 第3题 第2题 第5题 第8题 第9题 第10题
贾平凹《我的老师》阅读训练题及答案我的老师贾平凹
贾平凹《我的老师》阅读训练题及答案 我的老师贾平凹 我的老师 我的老师孙涵泊，是朋友的孩子，今年三岁半。他不漂亮，也少言语，平时不准父母杀鸡剖鱼，很有些良善，但对家里的所有来客却 不瞅不睬，表情木然，显得傲慢。开始我见他，只逗着他取乐，到 后来便不敢放肆，并认了他作我的老师。 幼儿园的阿姨领了孩子们去郊游，他也在其中。阿姨摘了一抱花分 给大家，轮到他，他不接，小眼睛翻着白，鼻翼一扇一扇的。阿姨问：“你不要？”他说：“花儿疼不疼？”人们对于美好的东西，往往 不加爱惜，只想占有，甚至加以残害。孙涵泊却视一切都有生命， 加以怜悯、爱惜和尊重。我想，他真该做我的老师。晚上看电视， 七点钟，当中央电视台开始播放国歌时，他就要站在椅了上，不管 在座的是大人还是小孩，是惊讶还是 a，目不旁视，双手打起节拍。……孙涵泊，孙老师，他真该做我的老师。 街上两人发生了争执，先是对骂，再是拳脚，一个脸上就流下血来，遂抓起了旁边肉店案上的砍刀，围观的人轰然走散。他爹牵他正好 经过，他便跑过立于两人之间，大喊：“不许打架！打架不是好孩子！”现在的人，多半是胆小怕事，事不关己，高高挂起。而孙涵泊 不顾个人安危，敢于挺身而出，显得十分神勇。一点不假，他真该 做我的老师。 有一次，我在他家书写条幅，许多人围着看，一片叫好，他也挤了 过来，头歪着，一手掏着耳朵。他爹问：“你来看什么？”他说：“看写。”再问：“写的什么？”说：“字。”又问：“什么字？”说：“黑字”。还有一次，朋友带了他去一个同事家拜年。同事家墙上新挂了印有 西方诸神油画的年历，神是裸着或半裸着，来客没人时都注目偷看，一有旁人就神情严肃。同事也觉得年历不好，用红纸剪了小裤兜贴 在那裸体上，大家都嗤嗤发笑起来。有人故意指着仍裸着的胸脯问他：“这是什么？”他玩变形金刚，玩得正起劲，看了一下，说：“妈 妈的奶！”说罢又忙他的操作。孙涵泊无视权威，不瞧脸色，不转弯 抹角，说话直奔事物的根本，没有丝毫的虚伪和做作，大大方方， 自自然然。的的确确，他真该做我的老师。
《菱形》练习题
18.2.2菱形 学习要求 理解菱形的概念，掌握菱形的性质定理及判定定理． 课堂学习检测 一、填空题： 1．菱形的定义：__________________的平行四边形叫做菱形．2．菱形的性质：菱形是特殊的平行四边形，它具有四边形和平行四边形的______：还有：菱形的四条边______；菱形的对角线______，并且每一条对角线平分______；菱形的面积等于__________________，它的对称轴是______________________________． 3．菱形的判定：一组邻边相等的______是菱形；四条边______的四边形是菱形；对角线___ ___的平行四边形是菱形． 4．已知菱形的周长为40cm，两个相邻角度数之比为1∶2，则较长对角线的长为______cm． 5．若菱形的两条对角线长分别是6cm，8cm，则它的周长为______cm，面积为______cm2． 二、选择题： 6．对角线互相垂直平分的四边形是()． (A)平行四边形(B)矩形(C)菱形(D)任意四边形7．顺次连结对角线相等的四边形各边中点，所得四边形是()．
2 (B)4 (A)矩形(B)平行四边形(C)菱形(D)任意四边形8．下列命题中，正确的是()． (A)两邻边相等的四边形是菱形 (B)一条对角线平分一个内角的平行四边形是菱形 (C)对角线垂直且一组邻边相等的四边形是菱形 (D)对角线垂直的四边形是菱形 9．如图，在菱形ABCD中，E、F分别是AB、AC的中点，如果EF ＝2，那么菱形ABCD的周长是()． (A)4 (C)12 (B)8 (D)16 10．菱形ABCD中，∠A∶∠B＝1∶5，若周长为8，则此菱形的高等于()． (A)1(C)1(D)2 综合、运用、诊断 一、解答题 11．如图，在菱形ABCD中，E是AB的中点，且DE⊥AB，AB＝4．求：(1)∠ABC的度数；(2)菱形ABCD的面积．
冰心《我的老师》阅读训练题及答案
我的老师冰心我永远忘不掉的，是T女士，我的老师。 我从小住在偏僻的乡村里，没有机会进小学，所以只在家塾里读书，国文读得很多，历史地理也还将就得过，吟诗作文都学会了，且还能写一两千字的文章。只是算术很落后，翻来覆去，只做到加减乘除，因为塾师自己的算学程度，也只到此为止。 十二岁到了北平，我居然考上了一个中学，因为考试的时候，校长只出一个“学而后知不足”的论说题目。这题目是我在家里做过的，当时下笔千言，一挥而就。校长先生大为惊奇赞赏，一下子便让我和中学一年级学生同班上课。上课两星期以后，别的功课我都能应付自如，作文还升了一班，只是算术把我难坏了。中学的算术是从代数做起的，我的算学底子太坏，脚跟站不牢，昏头眩脑，踏着云雾似的上课，T女士便在这云雾之中，飘进了我的生命中来。她是我们的代数和历史教员，那时也不过二十多岁罢。“螓首蛾眉，齿如编贝”这八个字，就恰恰的可以形容她。她是北方人，皮肤很白嫩，身体很窈窕，又很容易红脸，难为情或是生气，就立刻连耳带颈都红了起来。我最怕是她红脸的时候。 同学中敬爱她的，当然不止我一人，因为她是我们的女教师中间最美丽、最和平、最善诱导的一位。她的态度，严肃而又和蔼，讲述时简单又清晰。她善用譬喻，我们每每因着譬喻的有趣，而连带的牢记了原理。 第一个月考，我的历史得了九十九分，而代数却只得了五十二分，不及格！当我下课自己躲在屋角流泪的时候，觉得有只温暖的手，抚着我的肩膀，抬头却见T女士挟着课本，站在我的身旁。我赶紧擦了眼泪，站了起来。她温和地问我道：“你为什么哭？难道是我的分打错了？”我说：“不是的，我是气我自己的数学底子太差。你出的十道题目，我只明白一半。”她就款款温柔地坐下，仔细问我的过去。知道了我的家塾教育以后，她就恳切地对我说：“这不能怪你。你中间跳过了一大段！我看你还聪明，补习一定不难；以后你每天晚一点回家，我替你补习算术罢。” 这当然是她对我格外的爱护，因为算术不合格，很有留级的可能；而且她很忙，每天抽出一个钟头给我，是额外的恩惠。我当时连忙答允，又再三地道谢。回家去同母亲一说，母亲尤其感激，又仔细地询问T女士的一切，她觉得T女士是一位很好的老师。 从此我每天下课后，就到她的办公室，补习一个钟头的算术，把高小三年的课本，在半年以内赶完了。T女士逢人便称道我的神速聪明。但她不知道我每天回家后，用功直到半夜，因着习题的烦难，我曾流过许多焦急的眼泪，在眼泪模糊之中，灯影下往往涌现着T女士美丽慈和的脸，我就仿佛得了灵感似的。擦去眼泪，又赶紧往下做。那时我住在母亲的套间里，冬天的夜里，烧热了砖炕，点起一盏煤油灯，盘着两腿坐在炕桌边上，读书习算。到了夜深，母亲往往叫人送冰糖葫芦或是赛梨的萝卜，来给我消夜。直到现在，每逢看见孩子做算术。我就会看见T女士的笑脸，脚下觉得热烘烘的，嘴里也充满了萝卜的清甜气味！答案1．“飘”字不仅写出T女士的美丽形象，而且巧妙地与“云雾”相对应；“生命”一词写出T女士的出现，对于童年时代的作者具有多么重要的意义。第（2）句把“飘”换成“走”，把“生命”换成“生活”便不能产生第（1）句那样的表达效果。2．尊师爱生3．“因为她是我们的女教师中间最美丽、最和平、最善诱导的一位。……牢记了原理。”4．行动、语言描写。表现出T女士温柔、体贴、细心、诚恳的特点。5．T女士是一位品格高尚的人，她热诚为“我”补
九年级数学第一章第一节《菱形的性质与判定》练习题.doc
九年级数学第一章第一节《菱形的性质与判定》练习题 班级 一、填空、选择题： 1. 下列命题中，真命题是（） A. 对角线互相垂直且相等的四边形是菱形 B. 有一组邻边相等的平行四边形是菱形 C ?对角线互相平分且相等的四边形是菱形 D.对角线相等的四边形是菱形 2. 菱形的周长为12cm,相邻两角之比为5： 1,那么菱形对边间的距离是（） 3.在菱形ABCD 中，AE 丄BC 于点E, AF 丄CD 于点F,且E 、F 分别为BC 、CD 的中点，（如图） 则ZEAF 等于（） 4. 已知：如图，菱形ABCD 中，AE 丄BC 于E,若S ^AliC D=24,且AE=6f 则菱形的边长为（） A. 12 B ? 8 C. 4 D. 2 5. 菱形的边长是2 cm, 一条对角线的长是2 cm,则另一条对角线的长约是（） 6、 （2010?肇庆）菱形的周长为4, 一个内角为60。，则较短的对角线长为（） A. 2 B ?頁 C. 1 D. 7、 （2010?襄阳）菱形的周长为8cm,高为lcm,则该菱形两邻角度数比为（） A. 3： 1 B. 4： 1 C. 5： 1 D. 6： 1 8、如图，将一张矩形纸片对折后再对折，然后沿着图中的虚线剪下，得到①、②两部分，将①展开后得 （A ）矩形 （B ）平行四边形 （C ）梯形 （D ）菱形 第9题 9、如图，在菱形ABCD 中，ZABC=60° , AC=4,则BD 的长为（） 姓名 A. 6cm C. 3cm D. 0.75cm A. 75° D. 30° A. 4cm C. 3.4cm D 第4题
A、8V3 B、4的c、2的D、8
《我的老师》阅读练习题及答案
《我的老师》阅读练习题及答案 ①春天又到了。 ②柳枝染上了嫩绿，在春风里尽情飘摆，舒展着自己的腰身。迎春花举起金黄的小喇叭，向着春天吹奏着生命之歌。蓝天上,架架风筝在同白云戏耍,引得无数的人仰望天穹，让自己的心也飞上云端。 ③这时候，我就会情不自禁地想起我的刘老师，想起他放入天空的风筝。 ④刘老师教我们历史课。他有一条强壮的右腿，而左腿从膝以下全部截去，靠一根被用得油亮的圆木棍支撑。有一次，他讲课讲到女娲造人的时候，笑着对我们说：女娲用手捏泥人捏得累了，便用树枝沾起泥巴向地上甩，甩到地上的泥巴也变成人。由于女娲甩的力量太大了，有的人甩丢了腿和胳膊。我就是那时候被她甩掉了一条腿的。教室里自然腾起一片笑声，但笑过之后，每个学生的心头都泛起一股酸涩的感情，同时更增添了对刘老师的尊敬。 ⑤他只靠着健壮的右腿和一根木棍，一天站上好几个小时，为我们讲课。写板书的时候，他用木棍撑地，右腿离地，身体急速地一
转，便转向黑板。写完了粗壮的粉笔字，又以拐杖为圆心再转向讲台。一个年过半百的老师，一天不知道要这样跳跃旋转多少次。而他每次的一转，都引起学生们一次激动的心跳。 ⑥他的课讲得极好。讲到历代的民族英雄，他慷慨陈词，使我们激动得落泪。讲到祖国近代史上受屈辱的岁月，他常常哽咽，使我们沉重地低下头去。后来，我考入大学历史系，和刘老师的影响有极大的关系。 ⑦他喜欢在课堂上让学生们述说自己学习的心得。倘若有同学说得流畅、深刻，他便，静静地伫立在教室一角，微仰着头，眯起眼睛，细细地听，仿佛在品味一首美妙的乐曲。然后，又好像从沉醉中醒来，长舒一口气，满意地在记分册上写下分数，大声地说：好!满分!倘若有同学说得不好，他便瞪大眼睛，关切地瞧着同学，一边细声说：别紧张，想想，想想，再好好想想。一边不住地点头，好像那每一次点头都能给学生一些鼓励。这情景，今天想起来，依旧那么清晰，那么亲切。 ⑧然而，留给我印象最深的，还是刘老师每年春天放风筝的情景。
《菱形的性质与判定》教学设计
菱形的性质与判定》 《菱形的性质与判定》一课是继八年级下册“第三章图形的平移与旋转”和“第六章平 行四边形” 之后的一个学习内容。九年级的学生在学习菱形之前，已经掌握了简单图形平移旋转和平行四边形的性质和判定，学生完全能够借助图形的旋转平移和轴对称直观的理解菱形的定义和性质。教科书基于学生在平行四边形相关知识的基础上，提出了本课的具体学习任务：①掌握菱形的定义；②探索并掌握菱形是轴对称图形；③探索并证明菱形“四条边相等”、“对角线互相垂直”等性质，并能应用这些性质计算线段的长度。 在教学过程中，要利用学生对图形的直观感知、已掌握的平行四边形的相关知识和已有的逻辑推理能力为基础，探索菱形的定义和性质，又要尝试利用它们解题。所以在本节课的教学中，要帮助学生学会运用观察，分析，比较，归纳，概括等方法，得出解决问题的方法，使传授知识与培养能力融为一体，使学生不仅学到科学的探究方法，而且体验到探究的乐趣，体会到成功的喜悦。 【知识与能力目标】 1、掌握菱形的的定义，理解菱形与平行四边形的关系。 2、理解并掌握菱形的性质定理；在证明性质和运用性质解决问题的过程中进一步发展 学生的逻辑推理能力。 【过程与方法目标】 1、经历探索菱形的概念和性质的过程，发展学生合情推理的意识； 2、通过灵活运用菱形的性质解决有关问题，掌握几何思维方法。 【情感态度价值观目标】 1、在观察、操作、猜想、归纳、推理的过程中，体验数学活动充满探索性和创造性，感受证明的必要性，培养严谨的推理能力，体会逻辑推理的思维价值。 2、通过小组合作展示活动，培养学生的合作精神和学习自信心。 教学重点】
菱形的性质定理证明及运用。 教学难点】 菱形的性质定理证明、运用，生活数学与理论数学的相互转化。 课前布置学生复习平行四边形的性质，并每人准备好草稿纸、铅笔、直尺、菱形纸片； 教师准备课件，搜集好菱形的相关图片，三角板等。 、情景导入 1．复习回顾：什么样的四边形叫平行四边形？它有哪些性质？ 2．观察发现：观察下列图中的这些平行四边形，你能发现它们有什么样的共同特征？ 3．与一般的平行四边形相比较，这种平行四边形特殊在哪里？你能给菱形下定义吗？通过平行四边形演变为菱形的动态演示过程，引出本课题及矩形定义。 菱形：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。 菱形是特殊的平行四边形，它具有平行四边形的所有性质。但平行四边形不一定是菱形。 二、合作探究 1. 既然菱形是平行四边形，那么它具有平行四边形的哪些性质？