C++使用POST++例子介绍
C++使用POST++例子介绍
我们为大家收集整理了关于C++使用POST++例子，以方便大家参考。这里有几个POST++ 类和应用的例子。其中最简单的就是游戏猜动物”。这个游戏的算法非常简单并且结果看起来给人以深刻的印象(有些象人工智能)。此外这个游戏是一个非常好的例子，阐明了持久对象存储的好处。这个游戏的源代码在文件guess.cxx 中。创建这个游戏包含在缺省的make目标中。执行guess来运行它。
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?Unix specific: 当你准备和POST++ 库链接你的Unix应用并且持久对象中波阿含虚函数，请不要忘记重编译comptime.cxx 文件并包含在链接列表中。这个文件是必须的用于POST++ 提供可执行文件的时间戳，被放在存储器中用来判定什幺时候应用被改变并在需要的时候重新初始化对象内的虚函数表。Attention! 这个文件必须在你每次重新链接你的应用时被重新编译。我建议你让编译器为你调用链接程序并包含comptime.cxx 源文件在为运行映像目标文件提供的对象文件列表中(see makefile)。
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?调试POST++ 应用的细节
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?这一节的内容对使用了事务的应用是非常有意义的。POST++ 使用页面保护机制来提供当源页面修改时生成影子页面，当存储器打开或事务提交时所有文件页面的映像是只读保护的。所以任何试图修改分配在这些页面里对象的内容将导致一个访问违例异常。这个异常被指定的POST++ 句柄处理。但是如果你使用调试器，它将首先捕获这个异常并停止应用程序。如果你想调
混沌理论及其应用
混沌理论及其应用 摘要：随着科学的发展及人们对世界认识的深入，混沌理论越来越被人们看作是复杂系统的一个重要理论，它在各个行业的广泛应用也逐渐受到人们的青睐。本文给出了混沌的定义及其相关概念，论述了混沌应用的巨大潜力，并指明混沌在电力系统中的可能应用方向。对前人将其运用到电力系统方面所得出的研究成果进行了归纳。 关键词：混沌理论；混沌应用；电力系统 Abstract: With the development of science and the people of the world know the depth, chaos theory is increasingly being seen as an important theory of complex systems, it also gradually by people of all ages in a wide range of applications in various industries. In this paper, the definition of chaos and its related concepts, discusses the enormous application potential chaos, and chaos indicate the direction of possible applications in the power system. Predecessors applying it to respect the results of power system studies summarized. Keywords：Chaos theory;Application of ChaosElectric ;power systems 1 前言 混沌理论（Chaos theory）是一种兼具质性思考与量化分析的方法，用以探讨动态系统中（如：人口移动、化学反应、气象变化、社会行为等）无法用单一的数据关系，而必须用整体、连续的数据关系才能加以解释及预测之行为。混沌理论是对确定性非线性动力系统中的不稳定非周期性行为的定性研究（Kellert，1993）。混沌是非线性系统所独有且广泛存在的一种非周期运动形式,其覆盖面涉及到自然科学和社会科学的几乎每一个分支。近二三十年来,近似方法、非线性微分方程的数值积分法,特别是计算机技术的飞速发展, 为人们对混沌的深入研究提供了可能,混沌理论研究取得的可喜成果也使人们能够更加全面透彻地认识、理解和应用混沌。 2 混沌理论概念 混沌一词原指宇宙未形成之前的混乱状态，中国及古希腊哲学家对于宇宙之源起即持混沌论，主张宇宙是由混沌之初逐渐形成现今有条不紊的世界。混沌现象起因于物体不断以某种规则复制前一阶段的运动状态，而产生无法预测的随机效果。所谓“差之毫厘，失之千里”正是此一现象的最佳批注。具体而言，混沌现象发生于易变动的物体或系统，该物体在行动之初极为单纯，但经过一定规则的连续变动之后，却产生始料所未及的后果，也就是混沌状态。但是此种混沌状态不同于一般杂乱无章的的混乱状况，此一混沌现象经过长期及完整分析之后，可以从中理出某种规则出来。混沌现象虽然最先用于解释自然界，但是在人文及社会领域中因为事物之间相互牵引，混沌现象尤为多见。如股票市场的起伏、人生的平坦曲折、教育的复杂过程。 2.1 混沌理论的发展 混沌运动的早期研究可以追溯到1963年美国气象学家Lorenz对两无限平面间的大气湍流的模拟。在用计算机求解的过程中, Lorenz发现当方程中的参数取适当值时解是非周期的且具有随机性,即由确定性方程可得出随机性的结果,这与几百年来统治人们思想的拉普拉斯确定论相违背(确定性方程得出确定性结果)。随后, Henon和Rossler等也得到类似结论Ruelle,May, Feigenbaum 等对这类随机运动的特性进行了进一步研究,从而开创了混沌这一新的研究方向。 混沌理论解释了决定系统可能产生随机结果。理论的最大的贡献是用简单的模型获得明确的非周期结果。在气象、航空及航天等领域的研究里有重大的作用。混沌理论认为在混沌系统中，初始条件十分微小的变化，经过不断放大，对其未来状态会造成极其巨大的差别。在没
混沌原理与应用
课程论文课程系统科学概论 学生姓名 学号 院系 专业 二Ｏ一五年月日
混沌理论与应用 摘要：本文首先介绍了混沌理论的产生与背景。接着由混沌理论的产生引出了理解混沌系统需要注意的几个基本概念，并就两个容易混淆的概念进行了区分。然后本文对混沌系统的几个基本特征进行了阐述，而且详细解释了每个具体特征含义。在结尾部分本文简要叙述了混沌理论的应用前景。 关键词：混沌理论；混沌系统；基本特征；应用 1混沌理论的产生与背景 混沌一词很早就出现在人类的历史中，在世界的几个较为发达的古代文明中基本上都用自己的方式对混沌进行过描述，混沌基本就等同于未知。同时这些文明有一个对混沌有一个共同的观点，那就是：宇宙起源于混沌[1]，这种观点可以说在某些方面与现代的理论不谋而合。虽然古人的这些观点大部分是基于自己的想象而且其含义也局限于哲学方面，但是可以说这是人类早期对混沌状态的一种探索。 在此后的上千年中，一代又一代的研究者们探索了无数未知的领域。以至于在混沌理论之前，没有人怀疑过精确预测的能力是可以实现的，一般认为只要收集够足够的信息就可以实现。十八世纪法国数学家拉普拉斯甚至宣称，如果已知宇宙中每一个粒子的位置与速度，他就能预测宇宙在整个未来的状态。然而混沌现象的发现彻底打破了这一假设。混沌系统对初始条件的敏感性使得系统在其运动轨迹上几乎处处不稳定，初始条件的极小误差都会随着系统的演化而呈现指数形式的增长，迅速达到系统所在空间的大小，使得预测能力完全消失[2]。例如，著名的蝴蝶效应：上个世纪70年代，美国一个名叫洛伦兹的气象学家在解释空气系统理论时说，亚马逊雨林一只蝴蝶翅膀偶尔振动，也许两周后就会引起美国得克萨斯州的一场龙卷风[3]，可以说对天气的精准预测一直是人类未曾解决的问题。面对这样的问题，科学家们又用到了混沌这个词，看似又回到了起点，实际上今天的混沌理论与过去的说法已经有了天壤之别。 1903年，美国数学家J.H.Poincare在《科学与方法》一书中提到Poincare猜想，他把动力系统和拓扑学两大领域结合起来指出了混沌存在的可能性[4]。1963年美国气象学家爱德华·诺顿·洛伦茨提出混沌理论（Chaos），非线性系统具有的多样性和多尺度性。混沌理论解释了决定系统可能产生随机结果[5]。混沌也被认为是继量子力学和相对论之后，20世纪物理学界第三次重大革命，混沌也一样冲破了牛顿力学的教规。从此，混沌系统理论开始飞速发展，气象学、生理学、经济学中都发现了一种关于混沌的有序性。混沌理论正式诞生。
典型的混沌系统
典型的混沌系统 (1) 1.1 一维混沌系统 (1) §1.1.1 Logistic 映射 (1) §1.1.2 Chebyshev 映射 (2) §1.1.3 Logistic 映射与Chebyshev 映射 (3) §1.1.4 概率密度函数PDF 的作用 (3) 1.2二维混沌系统(≠超混沌系统) (3) §1.2.1 Henon 映射 (4) 典型的混沌系统 混沌现象是在非线性动力系统中表现的确定性、类随机的过程，这种过程既非周期又不收敛，并且对于初始值具有敏感的依赖性。 按照动力学系统的性质，混沌可以分成四种类型： ? 时间混沌； ? 空间混沌； ? 时空混沌； ? 功能混沌； 1.1 一维混沌系统 一个一维离散时间非线性动力学系统定义如下： )(1k k x x τ=+ 其中，x k ∈V ， k=0,1,2,3…，我们称之为状态。 而τ: V →V 是一个映射，将当前状态xk 映射到下一个状态xk+1。如果我们从一个初始值x0 开始，反复应用 τ ， 就得到一个序列{ xk ; k=0,1,2,3…..}。这一序列称为该离散时间动力系统的一条轨迹。 原始的虫口模型方程是（37文）： k k ax x =+1 体现了两代虫子的数量关系。 将此方程推导一下，可以得到如下方程： 0x a x k k = 可以得到第n 代虫子和第0代虫子的数量关系。 但是，从中不能表现自然的虫子变换关系，因为虫子的增长变化不是恒定的（考虑到很多负面影响，如虫子太多时，由于食物有限和生存空间有限，还由于疾病等多种原因，使得虫口数量减少），所以这个线性模型完全不能反映虫口的变化规律。 §1.1.1 Logistic 映射 一类非常简单却被广泛研究的动力系统是logistic 映射，它起源于虫口模型。其定义有
混沌系统的自适应控制综述
混沌系统的自适应控制综述 摘要：本文主要介绍了混沌系统的自适应控制方法，并通过对具体系统进行理论分析和数值仿真，验证自适应控制方法对混沌系统的有效性。最后，对混沌系统的自适应控制方法进行了展望。 关键词：混沌，自适应控制，稳定性 1、 引言 混沌系统的控制问题一直是混沌理论研究中的一个重要课题。在很多实际问题中，混沌运动是有害的，例如等离子体混沌会导致等离子体失控；强流离子加速器中的束晕——混沌导致严重的放射性剂量超标；半导体激光阵列中混沌运动会减弱输出光的相干性；电路系统中的混沌行为导致高幅度噪声和不稳定行为等。显然，对于这些有害的混沌运动，对其进行必要的控制是非常重要的。 控制混沌的含义非常广泛。一般来说，混沌系统的控制是指改变系统的混沌性态使之呈现和接近周期性动力学行为。具体而言，控制混沌有三方面的含义：其一是混沌的抑制，即消除系统的混沌运动，而无需考虑所产生运动的具体形式；其二是混沌轨道的引导，即在相空间中将混沌轨线引入事先指定的点和周期性轨道的小领域内；其三是跟踪问题，即通过施加控制使混沌系统呈现事先要求的周期性动力学行为。 自从1990年Ott ，Grebogi 和Yorke 提出OGY 混沌控制方法以来，混沌控制研究得到了蓬勃发展，大量的混沌控制方法被提出，如时滞反馈控制方法、脉冲控制方法、参数共振微扰法、线性反馈法、神经网络法，以及自适应控制方法等。在这些控制方法中，自适应控制方法作为一种重要的先进运动控制方法，在有干扰和模型不精确的情况下，仍然能有效的实现控制混沌的目的。自适应控制混沌运动是由B.A.Huberman 等人提出的，后来S.Sinha 等人进一步发展了这种方法。它是通过参量的调整来控制系统，使其达到所需要的运动状态，而这种调节是依靠目标输出与实际输出之间的差信号来实现，通常是将差信号与系统的某个控制参量联系起来进行调节，逐步使实际输出量与预定的目标输出量的差值趋近于零。 2、混沌系统的自适应控制 2.1、混沌系统的参数自适应控制方法 混沌系统的参数自适应控制方法是由Huberman 最先提出的，Huberman 设计了一个简单的参数自适应控制算法，并将其应用到具有复杂振荡状态的混沌系统，它是通过目标输出与实际输出之间的关系来控制参数，使系统从混沌运动转变到规则的运动。Huberman 采用了误差 n e 和对应n k 导数的复合函数关系
典型混沌系统和混沌同步的简介
2典型混沌系统和混沌同步的简介 2.1典型混沌系统的介绍 混沌从表述形式上大体包括两大类：以微分方程表述的时间连续函数和以状态方程表述的时间离散函数。时间离散系统多用于扩频通信，而时间连续函数多见于保密通信之中。介于本文主要考虑连续系统在保密通信之中的应用，这里就重点介绍连续时间混沌系统中的典型模型：Lorenz 系统、蔡氏电路、统一混沌系统。 2.1.1 Lorenz 系统 混沌的最早实例是由美国麻省理工学院的气象学家洛伦兹在1963年研究大气运动时描述的。他提出了著名的Lorenz 方程组： () ??? ????----cz xy y xz bx y x y a x ＝ｚ＝＝。。 。 (2-1) 这是一个三阶常微分方程组。它以无限平板间流体热对流运动的简化模型为基础，由于它的变量不显含时间t ，一般称作自治方程。式中x 表示对流强度，y 表示向上流和向下流在单位元之间的温度差，z 表示垂直方向温度分布的非线性强度，-xz 和xy 为非线性项，b 是瑞利数，它表示引起对流和湍流的驱动因素 (如贝纳对流上下板的温度差△T)和抑制对流因素 (如(Prandtl)数粘性)之比，是系统 (2-1)的主要控制参数。k v a =是普朗特数(v 和k 分别为分子粘性系数和热传导系数)，c 代表与对流纵横比有关的外形比，且a 和c 为无量纲常数。在参数范围为)1/()3(--++?>c a c a a b 时，Lorenz 系统均处于混沌态。 在混沌区域内选择系统参数a=10, b=28，c=8/3，取系统的初始状态为[x(0), y(0), z(0)]=[10, 10, 10]，此时，系统为一混沌系统，系统的三维吸引子如图2.1所示，二维吸引子如图2.3所示，图2.2所示分别为分量x 、y 随时间t 的变化情况。 图2.1 Lorenz 系统的吸引子
混沌系统
贝塔朗菲定义1：系统是相互联系、相互作用着的诸元素的集，或统一体。 钱学森定义1：什么叫系统，系统就是有许多部分组成的整体，所以系统的概念就是要强调整体，强调整体是由相互关联、相互制约的各个部分所组成的。 定义1强调：（1）元素间的相互联系、相互作用及系统的整体性，系统不是诸部分无组织的拼合物，而是由各部分组织而成的统一的整体。（2）系统是由元素集和关系集共同决定的，元素间的相互关系与元素本身一样重要，不可忽略。（3）系统内不存在独立于相互关系的孤立部分（或孤立元）。 根据该定义，确定整体性与组织性（或相关性）是系统最基本的特征，它们是由系统本身的规定性所决定，也是区别于以往科学研究对象的最明显的特征。整体性是系统最突出、最基本的特征之一。系统指的是"整体"即"有组织的统一体"，系统之所以为系统就是因为系统是作为一个有机整体而不是各部分的简单相加而存在的，是否具有整体性，即"有组织的统一体"是区分系统与非系统的判据。系统内部的组织性是系统具有整体性的原因。系统论中组织性主要指各部分间的相关性，系统论强调组成系统的各部分之间的相互关系和相互作用。 贝塔朗菲定义2：系统是"处于一定的相互关系中并与环境发生关系的各部分组成部分的总体（或集）"。 钱学森定义2：系统是由相互作用和相互依赖的若干组称各部分合成的具有特定功能的有机整体，而且这个系统本身又是它所从属的一个更大系统的组成部分。 定义2强调：（1）系统的功能，即系统与环境的相互联系和作用。系统不仅具有整体性的"组织"，即整体结构，而且具有整体性的行为和功能。（2）系统的开放性。（3）系统的多级层次性。 定义2明确规定了系统与环境不可分割的关系，从而表明了系统科学与经典科学的另一重要差别。系统科学不再遵循系统的孤立原则，"把现象隔离于狭窄的封闭或孤立状态中，而开始考察它们之间的相互作用并考察越来越大的自然界对象"。系统科学不仅考虑同一层次间各部分的相互作用，而且考虑不同层次间的相互作用。
混沌发展史
中国和希腊的神话故事是最早出现“混沌”一词的，从此之后随着人类文明的进步，文化和科技的发展，中外的文学、艺术、宗教典籍和科学著作早已不断采用“混沌”一词。“混沌”的英文翻译为“chaos”。到了近代，特别是近几十年，混沌”一词在各类报刊文章、文献中出现的频率极高。 很多学者认为二十世纪继相对论、量子力学之后的又一次物理学革命就数混沌学了。法国伟大的数学、物理学家庞加莱（H. Poincare）是研究混沌的第一人, 他在研究太阳系的稳定问题时，猜想能否用数学来证明，从而发现了即使只有三个星体的模型，还是能够产生明显的随机结果。于是，庞加莱在1903年提出了庞加莱猜想。庞加莱把拓扑学和动力系统有机地结合，并提出了三体问题在一定范围内，其解是随机的。 到1954，前苏联的概率论大师柯尔莫哥洛夫（Kolmogorov）发表的《哈密顿（Hamilton）函数中微小变化时条件周期运动的保持》一文成为了KAM定理的雏形。到了1963 年, 柯尔莫哥洛夫的学生，年轻的、具有超群才华的V.I.Arnold 对此给出了严格的数学证明, 基本上在同一时间, 瑞士数学家J.Moser 对此给出了改进表述, 并独立地作出了数学证明。此文的思想为混沌未发生之初，在保守系统中如何出现混沌提供了信息。这也为早期明确不仅好散系统有混沌，而且保守系统也有混沌的理论铺平了道路。 1963 年，美国的气象学家、物理学家E.N.Lorenz，对描述大气对流模型的一个完全确定的三阶常微分方程组进行数值仿真时，发现在某些条件下可以出现非周期的无规则行为。这一结果解释了长期天气预报为什么始终没有获得成功的原因，其根本原因为有一种混沌运动存在于确定非线性动力系统中。E.N.Lorenz 不仅发觉了第一个奇怪吸引子——Lorenz吸引子，而且还揭示了混沌运动的其他一些基本特征。这个三阶常微分方程组即著名的洛仑兹系统方程组：（1963 年，美国气象学家 E.N.Lorenz发表了著名的论文《确定性非周期流》， 他在论文中指出：在三阶非线性自治系统中可能出现非周期的无规则行为。他对天气预报进行一种极端的简化，得到大气在温度梯度作用下的自然对流系统，即著名的洛仑兹系统：） 这是一个三阶常微分方程组。其中三个参数为如果取参数改变参数：若，其解的性质趋于无对流式的稳态；若，其解为非周期的看起来很混乱；这就是在耗散系统中，一个确定的微分方程却可能有混沌解的第一个实例。到了2000年，“The Lorenz Attractor Exists”一文首次从数学上证明了Lorenz吸引子在自然界存在。在这里要指出的是：KAM定理研究的是保守系统，而洛仑兹方程研究的是耗
混沌系统介绍及例子
专业学术讲座 报告 班级：信计12-2 学号：201211011060 姓名：凌雷 二零一五年六月二十二日
目录 1.混沌系统概念 2.典型混沌系统介绍 3.混沌金融系统的线性与非线性反馈同步 4.混沌研究的发展方向及意义
一、混沌系统概念 混沌（chaos ）是指确定性动力学系统因对初值敏感而表现出的不可预测的、类似随机性的运动。又称浑沌。英语词Chaos 源于希腊语，原始 含义是宇宙初开之前的景象，基本含义主要指混乱、无序的状态。作为科学术语，混沌一词特指一种运动形态。 动力学系统的确定性是一个数学概念，指系统在任一时刻的状态被初始状态所决定。虽然根据运动的初始状态数据和运动规律能推算出任一未来时刻的运动状态，但由于初始数据的测定不可能完全精确，预测的结果必然出现误差，甚至不可预测。运动的可预测性是一个物理概念。一个运动即使是确定性的，也仍可为不可预测的，二者并不矛盾。牛顿力学的成功，特别是它在预言海王星上的成功，在一定程度上产生误解，把确定性和可预测性等同起来，以为确定性运动一定是可预测的。20世纪70年代后的研究表明，大量非线性系统中尽管系统是确定性的，却普遍存在着对运动状态初始值极为敏感、貌似随机的不可预测的运动状态——混沌运动。 混沌是指现实世界中存在的一种貌似无规律的复杂运动形态。共同特征是原来遵循简单物理规律的有序运动形态，在某种条件下突然偏离预期的规律性而变成了无序的形态。混沌可在相当广泛的一些确定性动力学系统中发生。混沌在统计特性上类似于随机过程，被认为是确定性系统中的一种内禀随机性。 二、典型混沌系统介绍 Lorenz 系统 混沌的最早实例是由美国麻省理工学院的气象学家洛伦兹在1963年研究大气运动时描述的。他提出了著名的Lorenz 方程组： 。 这是一个三阶常微分方程组。它以无限平板间流体热对流运动的简化模型为基础，由于它的变量不显含时间t ，一般称作自治方程。式中x 表示对流强度，y 表示向上流和向下流在单位元之间的温度差，z 表示垂直方向温度分布的非线性强度，-xz 和xy 为非线性项，b 是瑞利数，它表示引起对流和湍流的驱动因素 (如贝纳对流上下板的温度差△T)和抑制对流因素 (如(Prandtl)数粘性)之比，是系统(2-1)的主要控制参数。k v a =是普朗特数(v 和k 分别为分子粘性系数和热传导系数)，c 代表与对流纵横比有关的外形比，且a 和c 为无量纲常数。在参数范围为1)3(--++?≥c a c a a b 时，Lorenz 系统均处于混沌态。 在混沌区域内选择系统参数a=10, b=28，c=8/3，取系统的初始状态为 [x(0), y(0), z(0)]=[10, 10, 10]，此时，系统为一混沌系统，系统的三维吸引子如图2.1所12121213331210(),28,8/3,x x x x x x x x x x x x =-??=--??=-+?
浅谈混沌理论及其在生活中的应用
浅谈混沌理论及其在生活中的应用 摘要：随着科学技术的不断发展以及科学研究的不断加深，最近几十年混沌学开始兴起。在非线性科学上，混沌现象指的是一种确定的但不可预测的运动状态。它的外在表现和纯粹的随机运动很相似，即都不可预测。但和随机运动不同的是，混沌运动在动力学上是确定的，它的不可预测性是来源于运动的不稳定性。或者说混沌系统对无限小的初值变动和微扰也具于敏感性，无论多小的扰动在长时间以后，也会使系统彻底偏离原来的演化方向。本文将简单讨论一下混沌理论及其在生活中的应用。 关键词：混沌理论生活中的应用 1、混沌理论的提出 美国麻省理工学院气象学家爱德华·罗伦兹（Edward N.Lorentz）为了预报天气，他用计算机求解仿真地球大气的13个方程式，意图是利用计算机的高速运算来提高长期天气预报的准确性。1963年的一次试验中，为了更细致地考察结果，在科学计算时，洛伦兹对初始输入数据的小数点后第四位进行了四舍五入。他把一个中间解0.506取出，提高精度到0.506127再送回。而当他喝了杯咖啡以后，回来再看时大吃一惊：本来很小的差异，前后计算结果却偏离了十万八千里!前后结果的两条曲线相似性完全消失了。再次验算发现计算机并没有毛病，洛伦兹发现，由于误差会以指数形式增长，在这种情况下，一个微小的误差随着不断推移造成了巨大的后果。后来，洛伦兹在一次演讲中提出了这一问题。他认为，在大气运动过程中，即使各种误差和不确定性很小，也有可能在过程中将结果积累起来，经过逐级放大，形成巨大的大气运动。于是，洛伦兹认定，他发现了新的现象：事物发展的结果，对初始条件具有极为敏感的依赖性。 1979年12月，洛伦兹在华盛顿的美国科学促进会的一次讲演中提出：一只蝴蝶在巴西扇动翅膀，有可能会在美国的德克萨斯引起一场龙卷风。他的演讲和结论给人们留下了极其深刻的印象。时至今日，这一论断仍为人津津乐道，更重要的是，它激发了人们对混沌学的浓厚兴趣。 从科学的角度来看，“蝴蝶效应”反映了混沌运动的一个重要特征：系统的长期行为对初始条件的敏感依赖性。 经典动力学的传统观点认为：系统的长期行为对初始条件是不敏感的，即初
混沌理论综述
混沌理论综述 摘要：混沌运动是非线性动力学系统所产生的复杂的不规则行为，它普遍存在于自然界的各个领域中。该文介绍了混沌的产生、特点及混沌控制的发展以及研究思想，给出了混沌的定义及其相关概念，深入浅出地阐明了混沌运动的基本性质和基本规律，概括介绍了混沌学及混沌控制，最后论述了混沌应用的巨大潜力。关键词：混沌混沌运动混沌控制 引言 混沌是非线性系统所独有且广泛存在的一种非周期运动形式,其覆盖面涉及到自然科学和社会科学的几乎每一个分支。混沌运动的早期研究可以追溯到1963年美国气象学家Lorenz对两无限平面间的大气湍流的模拟。在用计算机求解的过程中,Lorenz发现当方程中的参数取适当值时,解是非周期的且具有随机性,即由确定性方程可得出随机性的结果,这与几百年来统治人们思想的拉普拉斯确定论相违背(确定性方程得出确定性结果)。随后, Henon和Rossler等也得到类似结论。Ruelle,May,Feigenbaum等对这类随机运动的特性进行了进一步研究,从而开创了混沌这一新的研究方向。近二三十年来,近似方法、非线性微分方程的数值积分法,特别是计算机技术的飞速发展,为人们对混沌的深入研究提供了可能,混沌理论研究取得的可喜成果也使人们能够更加全面透彻地认识、理解和应用混沌。本文将介绍与混沌有关的基本概念和基本理论以及混沌应用研究的最新进展,希望能起到抛砖引玉的作用[2]。 背景 我国着名的混沌学家、中国科学院院士郝柏林指出:“混沌,这个在中外文化渊源悠久的词儿,正在成为具有严格定义的科学概念,成为一门新科学的名字,它正在促使整个现代知识体系成为新科学。”他还指出:“越来越多的人认识到,这是相
经典混沌入门
第25卷总第289期2007年第4期(上半月) 物 理 教 学 探 讨 Journal of Physics Teaching Vol.25 No.289 (S) 4.2007 .1 . 专 家 论 坛经典混沌入门 李秀林1,袁国勇2,王光瑞3 1、呼伦贝尔学院物理系,内蒙古自治区呼伦贝尔021008 2、河北师范大学物理科学与信息工程学院,河北省石家庄市050016 3、北京应用物理与计算数学研究所,北京市100088 摘 要:物理规律乃至其它一些自然现象或社会现象一般来讲都很复杂,它们的动力学规律往往都需用非线性方程表示,正是如此,很多大学都成立了非线性研究中心或研究所。非线性理论主要包括三个重要的方面:混沌、分形和孤立子。经过几十年的研究,混沌的研究领域已包括很多分支:耗散系统中的混沌,保守系统的混沌、时空混沌、量子混沌、混沌同步、混沌控制等等。本文主要以三体问题、天气预报问题、生态演化问题来介绍混沌理论的提出以及混沌的一些特征,并以三体引力问题为例较为详细地讲述低维经典系统中混沌的一些特征。 关键词:三体问题;混沌;逻辑斯蒂映像;洛伦兹方程 中图分类号:G633.7 文献标识码:A 文章编号:1003-6148(2007)4(S)-0001-3 1 引言 物理学中,混沌一词有着专门的含义,不同于我们日常生活中的“混沌”用语。对于物理学家来讲,混沌运动并不意味着这个系统变化多么“剧烈”,一个混沌系统可以按着某种光滑与有序的方式演化。混沌涉及到一个确定系统是否能长期预测的问题。很久以来,人们都相信物理规律反应了自然界中的因果关系,总是设想只要知道初始条件就可以做长期精确的预测。大约在100年前,自然界中混沌系统的发现好象破坏了这种观点。物质世界的确定性可以追溯到几千年前的古希腊,大约在公元1500年左右,因果律完全支配物质世界所有运动与结构,这种确定性开始进入现代科学。现代科学中确定性的一位关键性人物是牛顿,他发现了一系列简明的原理、定律。他向我们显示了在众多系统中能够在一个很高的精度内预测物体的运动,例如可以精确地预测行星绕太阳的运动轨道、地球上射弹路径的形状以及海洋潮汐的时间表等。现代科学重要的一点就是可以通过把物理属性表示为量化测量来理解物质世界的规律,也就是说用数值术语,而不是仅仅用语言描述,这样物理规律最终可以用数学方程来描述,而不单是用语言描述。另一方面,实验科学的一个基本事实就是实际测量不可能无限精确,而是必然包含着不确定。可以这样来理解,为了无限小精度的记录一个测量,设备需要有一个显示无限数字的输出能力。用更精确的测量仪器,测量的不确定可以达到我们希望那样小,但是永远不可能完全将其消除,所以初始条件不可能完全精确的描述。在牛顿规律描述的运动中,一个系统初始条件的不精确会产生以后任意时刻预测的不精确,不过,通常认为由于初始条件不精确性而导致的最终动力学预测的不精确会减小,越来越接近真实结果。在二十世纪,这种观念受到了挑战,人们发现对于某些系统、对于某些反应物理规律的数学方程,相差很小的初始值会导致以后非常大的偏差。正是因为如此,有些人认为“混沌”的出现是继相对论、量子力学后的第三次革命。几十年来,人们对混沌理论的研究不断深入,已包含耗散系统中的混沌,保守系统的混沌、时空混沌、量子混沌、混沌同步、混沌控制等众多分支[1-5]。在本文中,主要以三体问题、天气预报问题、生态演化问题来介绍混沌理论的提出及其特征,并以三体引力问题为例较为详细地讲述低维经典系统中混沌的一些特征。 2 经典混沌的提出及其特征 混沌学的出现,是现代科学和现代技术、特别是计算机技术相结合的产物。应该说从天文地理到数理化生,从宇宙到基本粒子,它是无处不在的。对混沌的探讨可以追溯到19世纪末庞加莱关于“三体问题”的讨论,它是确定论的试金石。根据牛顿力学,我们知道一体问题很简单(一个物体在固定的中心力场中运动);两体物体也