高中椭圆讲义

椭圆

1．椭圆的概念

平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．

集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c<2a，其中a>0，c>0，且a，c为常数．

2．椭圆的标准方程和几何性质

－a≤x≤a－b≤x≤b

概念方法微思考

1．在椭圆的定义中，若2a＝|F1F2|或2a<|F1F2|，动点P的轨迹如何？

提示当2a＝|F1F2|时动点P的轨迹是线段F1F2；当2a<|F1F2|时动点P的轨迹是不存在的．2．椭圆的离心率的大小与椭圆的扁平程度有怎样的关系？

提示 由e ＝c

a ＝

1－????b a 2知，当a 不变时，e 越大，b 越小，椭圆越扁；e 越小，b 越大，

椭圆越圆．

题组一 思考辨析

1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)椭圆是轴对称图形，也是中心对称图形．( )

(2)椭圆上一点P 与两焦点F 1，F 2构成△PF 1F 2的周长为2a ＋2c (其中a 为椭圆的长半轴长，c 为椭圆的半焦距)．( )

(3)方程mx 2＋ny 2＝1(m >0，n >0，m ≠n )表示的曲线是椭圆．( ) (4)x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)与y 2a 2＋x 2

b 2＝1(a >b >0)的焦距相等．( ) 题组二 教材改编

2．椭圆x 210－m ＋y 2m －2＝1的焦距为4，则m 等于( )

A ．4

B ．8

C ．4或8

D ．12

3．过点A (3，－2)且与椭圆x 29＋y 2

4＝1有相同焦点的椭圆的方程为( )

A.x 215＋y 2

10＝1 B.x 225＋y 2

20＝1 C.x 210＋y 2

15＝1 D.x 220＋y 2

15

＝1

4．已知点P 是椭圆x 25＋y 2

4＝1上y 轴右侧的一点，且以点P 及焦点F 1，F 2为顶点的三角形

的面积等于1，则点P 的坐标为__________________．

题组三 易错自纠

5．若方程x 25－m ＋y 2

m ＋3＝1表示椭圆，则m 的取值范围是( )

A ．(－3,5)

B ．(－5,3)

C ．(－3,1)∪(1,5)

D ．(－5,1)∪(1,3)

6．已知椭圆x 25＋y 2m ＝1(m >0)的离心率e ＝10

5

，则m 的值为________．

7．设点P (x ，y )在椭圆4x 2＋y 2＝4上，则5x 2＋y 2－6x 的最大值为________，最小值为________．

第1课时 椭圆及其性质

椭圆的定义及其应用

1．(2019·保定模拟)与圆C 1：(x ＋3)2＋y 2＝1外切，且与圆C 2：(x －3)2＋y 2＝81内切的动圆圆心P 的轨迹方程为________．

2.如图，△ABC 的顶点B ，C 在椭圆x 23＋y 2

＝1上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另

外一个焦点在BC 边上，则△ABC 的周长是________．

3．设点P 为椭圆C ：x 2a 2＋y 2

4＝1(a >2)上一点，F 1，F 2分别为C 的左、右焦点，且∠F 1PF 2＝

60°，则△PF 1F 2的面积为________．

4．已知F 是椭圆5x 2＋9y 2＝45的左焦点，P 是此椭圆上的动点，A (1,1)是一定点，则|P A |＋|PF |的最大值为________，最小值为________．

椭圆的标准方程

命题点1 定义法

例1 (1)(2020·湖北“荆、荆、襄、宜”四地七校联考)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2

b 2＝1(a >b >0)的左、

右焦点分别为F 1，F 2，离心率为1

2，过F 2的直线与椭圆C 交于A ，B 两点，若△F 1AB 的周

长为8，则椭圆方程为( ) A.x 24＋y 2

3

＝1 B.x 216＋y 2

12

＝1 C.x 22＋y 2＝1 D .x 24＋y 22＝1

(2)(2019·全国Ⅰ)已知椭圆C 的焦点为F 1(－1,0)，F 2(1,0)，过F 2的直线与C 交于A ，B 两点．若|AF 2|＝2|F 2B |，|AB |＝|BF 1|，则C 的方程为( ) A.x 22

＋y 2

＝1 B.x 23＋y 2

2

＝1 C.x 24＋y 23＝1 D.x 25＋y 2

4＝1

命题点2 待定系数法

例2 (1)已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点????－32，5

2，(3，5)，则椭圆方程为__________．

(2)过点(3，－5)，且与椭圆y 225＋x 2

9＝1有相同焦点的椭圆的标准方程为________．

跟踪训练1 (1)(2019·福建泉州模拟)已知椭圆的两个焦点为F 1(－5，0)，F 2(5，0)，M 是

椭圆上一点，若MF 1⊥MF 2，|MF 1|·|MF 2|＝8，则该椭圆的方程是( ) A.x 27＋y 2

2

＝1 B.x 22＋y 2

7

＝1 C.x 29＋y 24＝1 D .x 24＋y 29＝1

(2)与椭圆x 24＋y 2

3＝1有相同离心率且经过点(2，－3)的椭圆标准方程为________．

椭圆的几何性质

命题点1 离心率

例3 (1)已知F 1，F 2是椭圆C ：x 2a 2＋y 2

b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，A 是C 的左顶点，点P 在

过A 且斜率为

3

6

的直线上，△PF 1F 2为等腰三角形，∠F 1F 2P ＝120°，则C 的离心率为( ) A.23 B.12 C.13 D.14

(2)若椭圆上存在三点，使得这三点与椭圆中心恰好是一个正方形的四个顶点，则该椭圆的离心率为( ) A.5－12 B.33 C.22 D.6

3

(3)已知F 1，F 2是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，若椭圆上存在点P ，使∠F 1PF 2＝90°，

则椭圆的离心率的取值范围是________．

命题点2 与椭圆有关的范围(最值)

例4 (1)已知椭圆x 24＋y 2

b 2＝1(0

B 两点，若|BF 2|＋|AF 2|的最大值为5，则b 的值是________．

(2)设A ，B 是椭圆C ：x 23＋y 2

m ＝1长轴的两个端点．若C 上存在点M 满足∠AMB ＝120°，则

m 的取值范围是( )

A ．(0,1]∪[9，＋∞)

B ．(0，3]∪[9，＋∞)

C ．(0,1]∪[4，＋∞)

D ．(0，3]∪[4，＋∞)

跟踪训练2 (1)正方形ABCD 的四个顶点都在椭圆x 2a 2＋y 2

b 2＝1(a >b >0)上，若椭圆的焦点在正

方形的内部，则椭圆的离心率的取值范围是( ) A.? ????5－12，1 B.?

????0，

5－12 C.? ????3－12，1 D.?

????0，

3－12

(2)已知点P (0,1)，椭圆x 24＋y 2＝m (m >1)上两点A ，B 满足AP →＝2PB →

，则当m ＝________时，

点B 横坐标的绝对值最大．

1．已知中心在原点的椭圆C 的右焦点为F (1,0)，离心率等于1

2，则C 的方程是( )

A.x 23＋y 2

4

＝1 B.x 24＋y 2

3

＝1 C.x 24＋y 22＝1 D .x 24＋y 2

3

＝1

2．若椭圆C ：x 2a 2＋y 2

b 2＝1(a >b >0)的短轴长等于焦距，则椭圆的离心率为( )

A.12

B.33

C.22

D.24

3．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2

b 2＝1(a >b >0)，若长轴的长为6，且两焦点恰好将长轴三等分，则此椭

圆的标准方程为( ) A.x 236＋y 2

32

＝1 B.x 29＋y 2

8

＝1 C.x 29＋y 25＝1 D .x 216＋y 212＝1

4．(2020·湖北八市重点高中联考)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2

b 2＝1(a >b >0)的右焦点为F ，过点F 作圆

x 2＋y 2＝b 2的切线，若两条切线互相垂直，则椭圆C 的离心率为( ) A.12 B.22 C.23 D.63

5．已知F 1，F 2分别是椭圆的左、右焦点，现以F 2为圆心作一个圆恰好经过椭圆中心并且交椭圆于点M ，N ，若过F 1的直线MF 1是圆F 2的切线，则椭圆的离心率为( ) A.3－1 B ．2－ 3 C.22 D.32

6．(2020·广东华附、省实、广雅、深中联考)设F 1，F 2分别是椭圆x 2a 2＋y 2

b 2＝1(a >b >0)的左、

右焦点，若在直线x ＝a 2

c 上存在点P ，使线段PF 1的中垂线过点F 2，则椭圆离心率的取值范

围是( ) A.?

???0，

22 B.?

???0，3

3 C.????22，1 D.???

?33，1

7．(多选)某颗人造地球卫星的运行轨道是以地球的中心F 为一个焦点的椭圆，如图所示，已知它的近地点A (离地面最近的点)距地面m 千米，远地点B (离地面最远的点)距地面n 千米，并且F ，A ，B 三点在同一直线上，地球半径约为R 千米，设该椭圆的长轴长、短轴长、焦距分别为2a ,2b ,2c ，则( )

A ．a －c ＝m ＋R

B ．a ＋c ＝n ＋R

C ．2a ＝m ＋n

D ．b ＝(m ＋R )(n ＋R )

8．(多选)已知椭圆C 的中心为坐标原点，焦点F 1，F 2在y 轴上，短轴长等于2，离心率为6

3

，过焦点F 1作y 轴的垂线交椭圆C 于P ，Q 两点，则下列说法正确的是( ) A ．椭圆C 的方程为y 23＋x 2

＝1

B ．椭圆

C 的方程为x 23＋y 2

＝1

C ．|PQ |＝23

3

D ．△PF 2Q 的周长为43

9．焦距是8，离心率等于4

5的椭圆的标准方程为________________．

10．已知椭圆x 29＋y 2

25＝1上的一点P 到两焦点的距离的乘积为m ，当m 取最大值时，点P 的

坐标是________．

11．已知点P 是圆F 1：(x ＋1)2＋y 2＝16上任意一点(F 1是圆心)，点F 2与点F 1关于原点对称．线段PF 2的垂直平分线m 分别与PF 1，PF 2交于M ，N 两点．求点M 的轨迹方程．

12．如图所示，已知椭圆x 2a 2＋y 2

b 2＝1(a >b >0)，F 1，F 2分别为椭圆的左、右焦点，A 为椭圆的

上顶点，直线AF 2交椭圆于另一点B .

(1)若∠F 1AB ＝90°，求椭圆的离心率；

(2)若椭圆的焦距为2，且AF 2→＝2F 2B →

，求椭圆的方程．

13．在平面直角坐标系xOy 中，P 是椭圆y 24＋x 2

3＝1上的一个动点，点A (1,1)，B (0，－1)，

则|P A |＋|PB |的最大值为( ) A ．5 B ．4 C ．3 D ．2

14．(2019·浙江)已知椭圆x 29＋y 2

5＝1的左焦点为F ，点P 在椭圆上且在x 轴的上方．若线段

PF 的中点在以原点O 为圆心，|OF |为半径的圆上，则直线PF 的斜率是________．

15．(2019·衡水模拟)阿基米德(公元前287年－公元前212年)不仅是著名的物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积．若椭圆C 的对称轴为坐标轴，焦点在y 轴上，且椭圆C 的离心率为7

4

，面积为12π，则椭圆C 的方程为( ) A.x 29＋y 2

16＝1 B.x 23＋y 2

4＝1 C.x 218＋y 2

32＝1 D.x 24＋y 2

36

＝1

16．已知椭圆x 2a 2＋y 2

b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1(－c,0)，F 2(c,0)，若椭圆上存在点P

使1－cos 2∠PF 1F 21－cos 2∠PF 2F 1＝a 2c 2，求该椭圆的离心率的取值范围．