15．等差数列{a n }中，15a =-，它的前11项的平均值是5，若从中抽取1项，余下10项的平均值是4，则抽取的是 （ A ） A ．11a B.10a C.9a D.8a 16．一条曲线是用以下方法画成：ABC ?是边长为1的
正三角形，曲线11223CA A A A A 、、分别以A
B C 、、为圆心，12AC BA CA 、、为半径画的弧， 123CA A A 为曲线的第1圈，然后又以A 为圆心，3AA 为半径画弧 ，这样画到第n 圈，则所得曲线
123
3
23
1n n n
C A A A A
A
A
-- 的总长度n S 为（ A ）
A ．(31)n n π+
B ．
(1)3
n n π
+ C ．2(31)n π- D ．(1)n n π+ 三、解答题（本大题满分52分，8+8+12+12+12）本大题共有5小题，解答下列各题必须写出必
要的步骤。
17.在2与9之间插人两个数，使前三项成等差数列，后三个数成等比数列，试写出这个数列。（课本p22例3）
解：设插入的两个数依次为a 和b ，那么a 和b 应满足方程组：2229b a b a +=??=?
………..4分
A
解得46a b =??=?或143
2
a b ?=
????=-?? …………………6分
当4,6a b ==时，所求数列为2，4，6，9。 当13,42a b =
=- 时，所求数列为13
2,,,942
- ………………. 8分 18.已知数列{}n a 的通项公式313n a n =-，求数列{}n a 的前n 项和n H 。（一课一练p13(9)） 解：由0n a ≥解出11n ≥， …………………….2分
当10n ≤时，2359
22n n H S n n =-=-
+ …………. ……… 4分 当11n ≥时，210359
229022
n n H S S n n =-=-
+ ……………………7分 22359
,(10)22
359290,(11)22
n n n n H n n n -?+≤??∴=??-+≥?? …………………………….8分
19．等比数列{}n a ，0n a >，它的前k 项和80k S =，123,,,,k a a a a ???中最大的一项是54，且前2k 项的和26560k S =。求：（1）数列的通项()n a f n =；（2）lim
n
n n
a S →∞
解：（1）由题意可知q>1,所以123,,,,k a a a a ???中最大项是k a ，1154k k a a q -=?=…..3分
211211
11k
k k k a a q S q a a q S q ?-=
?-?
?-?=?-?
解方程组得到113,2,23n n q a a -===?；………………8分 （2）1232(13)
3113
n n n n S a a a a -=+++???+=
=--， …………………. 10分 1232lim lim 313n n n n n n
a S -→∞→∞?==- …………………………….12分 20. 设{}n a 是正数组成的数列，其前n 项的和为n S ，并且对于所有的自然数n ，存在正数t ，使n a 与t 的等差中项等于n S 与t 的等比中项．（1）求 {}n a 的通项公式；（2）若
n=3时，2n n S t a -?取得最小值，求t 的取值范围。 解：（1）由题意：
n n
tS a t =+2
即n n a t tS +=2
当n =1时，2111,0,t a t a a t =+=+∴== ……..3分
当n ≥2时，2242(1)n n n n t a tS t ta a =+∴=++22
11142(2)n n n tS t ta a ---=++ （1）-（2）得2211422()n n n n n ta ta ta a a --=-+-
1112()()()n n n n n n t a a a a a a ---+=+-，110,2n n n n a a a a t --+≠∴-= {}n a ∴是以t 为首项，2t 为公差的等差数列，(21)n a n t =- ……….8分
（2）2n S tn ∴=， t n a nt tS t a n n n )12(,22-=∴==+
222222(21)242n n S t a tn n t tn t n t -?=--?=-+，
设2
2
2
()42f x tx t x t =-+， 当x 取3 时有最大值，对称轴2457
2[,]222
t t t =∈ 57
[,]44
t ∴∈ …………12分
21.已知函数1(),(,)f x x R x a
∈≠满足()(),(0)a x f x abx f x a ??=+≠，(1)1,f =若使()2f x x =成立的x 只有一个:（1）求()f x 的解析式；
（2）若数列{}n a 满足*1121
,(),1,()3n n n n
a a f a
b n N a +=
==-∈，证明数列{}n b 是等比数列，并求出{}n b 的通项公式；
（3）在（2）的条件下，证明11221
12n n n
a b a b a b ++???+<-
解： （1）
()1abx f x ax =-；由
21abx x ax =-解得122
0,2ab x x a
+==， ……….1 分
因为方程只有一个根，所以： 1
）
2
0,2,(1)11,1,2,2ab ab f a ab a b a
+==-==+=-=又因为得2()1x
f x x =+ ………..3分 2）
11
,0,(1)11,12ab ab f a ab a a a +====+=又因为得，但是由1
x a
≠且(1)f 有意义说
明
1
1,1a a
≠≠，矛盾，舍去。………..4分 （2）1
21n n n a a a +=
+，111
212n n n n
n n b a a b a a +-+=?=-，112b =
所以{}n b 是以
1
2
为首项，
1
2
为公比的等比数列。
12n
n b ??= ?
??
………….8 分
（3） 221
n
n n a =+，121n n n a b ?=+，
112222111111112121212222
n n n n n a b a b a b ++???+=
++???+<++???+=-+++ .….12分
