3.3 垂径定理(1)
9下§3.3垂径定理（1）（垂径定理）
课题组
一、不能遗忘的记忆（思维混乱源自记忆模糊，遗忘就意味着多用10倍的时间纠错.）
1.垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧；
2. 垂径定理解读：
（1）条件：“弦”可以是直径；
（2）结论：“平分弧”既意味着平分弦所对的劣弧，也意味着平分弦所对的优弧；
3. 垂径定理的三种语言：
文字语言 图形语言 几何语言
是直径（AB 过圆心）
二、不能忽视的归纳（深度学习离不开归纳.没有归纳的学习一定是低效的，甚者是无效的.）
1.回顾（补充）学习：
轴对称图形：一个图形沿一条直线对折，两部分能够完全重合.
2.垂径定理证明方法:构造等腰三角形,由垂直于弦得出平分弦;由圆心角相等得出弧相等.
3.有关圆的常用辅助线: 连接圆心与弦一端点(半径),过圆心作弦的垂线段(弦心距),再由半
径、弦心距、半弦构成直角三角形，利用勾股定理解答. 三、必须分享的智慧（没有知识的活用，没有方法的迁移，就谈不上智慧.）
【典例】如图，已知圆O 的半径为mm 30，弦AB =mm 36，求点O 到AB 的距离及OAB
∠的正弦值．
一读：关键词：半径,弦.
二联：重要结论：过圆心的垂线平分弦.
重要方法：半径、半弦、弦心距构造直角三角形.
三解：解： 过 圆心O 作 于M
;DM AM =∴;AD AC =;BD BC =AB M CD AB ,于⊥ 18362121=?==∴AB AM A B
O M AB OM ⊥
在 中，
由勾股定理得： 在 中，
所以，点 到AB 的距离为mm 24，OAB ∠的正弦值为
四悟：解决有关圆中相关数量问题时，常通过连接半径，作出弦心距，利用垂径定理构造
直角三角形解答.
四、金题核思点拨（学习抓关键，思维抓核心，学必须学的.）
1. 已知圆O 的直径是m c 50，圆O 的两条平行弦cm AB 40= ，cm CD 48=，求弦AB 与
CD 之间的距离.
核思点拨: 弦CD AB //,但不知两弦与圆心的位置关系,所以分两种情况讨论:
圆心在两弦之间或圆心在两弦同侧.再由垂径定理及勾股定理解答.
答案：过点 作 于 ，则 于
连接 由垂径定理得,
在 中,
由勾股定理得: OAM RT ?OAM RT ?
O 15
22=-=BF OB OF OBF RT ?2421,2021====CD DE AB BF OD
OB 、AB OF ⊥18,300==AM A 2422=-=AM OA OM 54302400sin ===A M A .54CD OE ⊥E O F .25,20==OB BF
同理在 中,
两弦在圆心同侧时，两弦距离
两弦在圆心异侧时，两弦距离
2. 如图，F 是圆O 直径AB 上一点，且cm AB 9=，垂直于AB 的弦cm CD 12=，垂足为F ，延长CB 到E ，使CB BE =，连接DE ．求DE 的长．
核思点拨: 条件中已有了弦心距OF 与半弦CF ,连半径r OC =，
由垂径定理知6=CF r OF -=9，在直角三角形中用 勾股解答求出r ，从而求出 值，由三角形中位线得，
答案： 连接 直径 弦
在 中，由勾股定理得：
cm OE OF EF 22=+=∴DOE RT ?BF 2
226)9r r =+-∴（OCF RT ?6122121=?==∴CD CF ⊥AB OC
7
22=-=DE OD OE cm OE OF EF 8=-=∴.2BF DE = CD
222OC CF OF =+
解得：
是 的中位线
132==∴BF DE CDE ?CB
BE =CF
DF = 5.6=r FB ∴