初中数学中的解方程.doc

代数部分

第三章：方程和方程组

基础知识点：

一、方程有关概念

1、方程：含有未知数的等式叫做方程。

2、方程的解：使方程左右两边的值相等的未知数的值叫方程的解，含有一个未知数的方程的解也叫做方程的根。

3、解方程：求方程的解或方判断方程无解的过程叫做解方程。

4、方程的增根：在方程变形时，产生的不适合原方程的根叫做原方程的增根。 二、一元方程 1、一元一次方程

（ 1）一元一次方程的标准形式： ax+b=0 （其中 x 是未知数， a 、b 是已知数， a ≠ 0）

（ 2）一元一次方程的最简形式： ax=b （其中 x 是未知数， a 、 b 是已知数， a ≠ 0）

（ 3）解一元一次方程的一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项和系数化为

1。

（ 4）一元一次方程有唯一的一个解。

例题 ：.解方程： （ 1）

1 x 1 x

2 x 1

x

x

3 3

（ 2）

3

2 2

解：

解：

（ 3）【05 湘潭】 关于 x 的方程 mx+4=3x+5 的解是 x=1 ，则 m=

。

2、一元二次方程

（ ） 一般形式： 2

bx c 0

a

1

ax

（ 2） 解法：直接开平方法、因式分解法、配方法、公式法

求根公式 ax 2

bx

c 0 a 0

x

bb 2

4ac b 2

4ac 0

2a

错误 !未找到引用源。 、 解下列方程：

（ 1） x 2

－2x ＝ 0； （2）45－x 2＝0；

（ 3） (1－3x)2＝1； （ 4） (2x ＋ 3)2－25＝0. （ 5）（t －2）（t+1） =0；

（6）x 2＋8x －2＝0

(7 )2x 2

－6x －3＝0；

（8）3（x － 5） 2

＝2（5－x ）

解：

错误 !未找到引用源。 填空：

（ 1） x 2 ＋6x ＋（ ）＝（ x ＋ ）2 ；

（ 2） x 2 －8x ＋（ ）＝（ x － ）2 ；

（ 3） x 2 ＋ 3

x ＋（ ）＝（ ＋ ）2

x 2

（ 3） 判别式△＝ b2－4ac 的三种情况与根的关系

当 0 时 有两个不相等的实数根 ， 当 0 时 有两个相等的实数根

当

0 时 没有实数根。 当△≥0时

有两个实数根

例题． 一、一元二次方程的解法

例 1、解下列方程：

（ 1） 1

( x 3)2

2 ；（ 2） 2x 2 3x 1；（3） 4(x 3) 2

25( x 2) 2

2

例 2、解下列方程：

（1） x 2

a(3x 2a b) 0( x 为未知数 ) ；

（ 2）

x 2

2

ax 8

2

a

（．无锡市）若关于 x 的方程 x 2＋2x ＋ k ＝ 0 有两个相等的实数根，则 k 满足 (

)

3

A.k ＞1

B.k

≥1

C.k

＝1

D.k ＜1

4.（常州市）关于 x 的一元二次方程 x 2

(2k 1)x k

1 0 根的情况是（ ）

（ A ）有两个不相等实数根（ B ）有两个相等实数根（ C ）没有实数根（ D ）根的情况无法判定

5．（浙江） 已知方程

x 2

2 px

q

有两个不相等的实数根， 则

p

、q

满

足的关系式（ ）

A 、p 2

4q 0

B 、p 2

q 0

C 、p 2

4q 0

D 、p 2

q 0

6.根与系数的关系： x 1＋x 2=

b

，x 1x 2=

c

a a

例题：（浙江富阳市）已知方程 3x 2 2x 11 0 的两根分别为 x 1 、x 2 ，则

1

1

x 1

x 2

的值是（ ）

A 、 2

B 、 11

C 、

2

D 、 11

11

2

11

2

例 3、求作一个一元二次方程，使它的两个根分别比方程

x

2

x 5

的两个根小 3

根的判别式及根与系数的关系

例 4、已知关于 x 的方程： ( p 1)x 2

2 px p

3 0 有两个相等的实数根，求

p 的值。

x 22x 10

（1）a2 b 2；（2）

11

a b

分式方程的解法步骤：

（1）一般方法：选择最简公分母、去分母、解整式方程，检验

（2）换元法

例题：错误! 未找到引用源。、解方程： 4 1 1 的解为

x 2 x

4 2

x 2 4

0 根为

x2 5x 6

错误 ! 未找到引用源。、【北京市海淀区】当使用换元法解方程

( x )2 2( x ) 3 0 时，若设y

x

，则原方程可变形为（）A．y2＋x

x 1 x 1 y＋＝．y 1 ． y2－ y－＝y＋＝． y2－2＋y－＝

2 30B 2 30C 2 30D 2

3 0

（ 3）、用换元法解方程x2 3x

x2 3 4 时，设y x2 3x ，则原方程可化为（）3x

（ A）

3

4 0

3 1 1

y （） 4 0 （） 4 0 （）y 4 0 y B y y C y 3y D 3y

例、解下列方程：

（2） 2 1

1 1；（2）

x

2

2 6x 5

1 x

2 x x x 2 2

6、应用：

（1）分式方程（行程、工作问题、顺逆流问题）（2）一元二次方程（增长率、

面积问题）（ 3）方程组实际中的运用

例题：错误 ! 未找到引用源。轮船在顺水中航行 80 千米所需的时间和逆水航行

60 千米所需的时间相同 .已知水流的速度是 3 千米 /时，求轮船在静水中的速度 . （提示：顺水速度 =静水速度 +水流速度，逆水速度 =静水速度 -水流速度）

解：

错误 !未找到引用源。乙两辆汽车同时分别从A、B 两城沿同一条高速公路驶向 C 城 .已知 A、C 两城的距离为 450 千米， B、 C 两城的距离为 400 千米，甲车比乙

车的速度快 10

千米 /时，结果两辆车同时到达 C 城 .求两车的速度

解

错误 !未找到引用源。某药品经两次降价，零售价降为原来的一半 .已知两次降价的

百分率一样，求每次降价的百分率 .（精确到 0.1%）

解

错误 !未找到引用源。【 05 绵阳】 已知等式

(2A- 7B) x+(3 A- 8B)=8 x+10 对一切实数 x 都成

立，求 A 、 B 的值

解

错误 !未找到引用源。【 05 南通】某校初三（

2）班 40 名同学为“希望工程”捐款 ,共捐款

100 元 .捐款情况如下表：

捐款（元） 1 23

4 人

数

6

7

表格中捐款 2 元和 3 元的人数不小心被墨水污染已看不清楚.

若设捐款 2 元的有 x 名同学 ,捐款 3 元的有 y 名同学 ,根据题意 ,可得方程组

x y 27 x y 27 x y 27

x y 27

A 、

3y

B 、

2 x

3 y 100

C 、

2y

66 D 、

2 y 100

2x 66

3x 3x

解

错误 !未找到引用源。 已知三个连续奇数的平方和是 371，求这三个奇数 .

错误 !未找到引用源。 一块长和宽分别为 60 厘米和 40 厘米的长方形铁皮，要在它的四角截去四个相等的小正方形， 折成一个无盖的长方体水槽， 使它的底面积

为 800 平方米 .求截去正方形的边长 .

解：

四、方程组

代入消元 4、 方程组 ： 三元一次方程组

二元一次方程组

加减消元

二元 (三元 )一次方程组的解法：代入消元、加减消元

x

y

7, x 2 y 0

例题：解方程组

y

8.

3x 2 y 8

2 x 例 7、解下列方程组：

2x 3y 3 x y 2z 1 （ 2） 2x y z 5

（1）

2 y

；

x 5

x y

3z 4

例 8、解下列方程组：

代入消元 加减消元 一元一次方程

x y 1

1

2 3

3x 2 y 10

x y 7 3x 2 xy 4 y 2 3x 4 y 0

（1）

； （ 2）

2 y 2

25

xy 12

x

列方程（组）解应用题

知识点：

一、列方程（组）解应用题的一般步骤 1、审题： 2、设未知数；

3、找出相等关系，列方程（组） ；

4、解方程（组） ；

5、检验，作答；

二、列方程（组）解应用题常见类型题及其等量关系； 1、工程问题

（ 1）基本工作量的关系：工作量 =工作效率×工作时间

（ 2）常见的等量关系：甲的工作量 +乙的工作量 =甲、乙合作的工作总量

（ 3）注意：工程问题常把总工程看作“1”，水池注水问题属于工程问题 2、行程问题

（ 1）基本量之间的关系：路程 =速度×时间

（ 2）常见等量关系： 相遇问题：甲走的路程

+乙走的路程 =全路程

追及问题（设甲速度快）：

同时不同地：甲的时间 =乙的时间；甲走的路程–乙走的路程 =原来甲、乙相距路程同

地不同时：甲的时间 =乙的时间–时间差；甲的路程 =乙的路程

3、水中航行问题：

顺流速度 =船在静水中的速度+水流速度；

逆流速度 =船在静水中的速度–水流速度

4、增长率问题：

常见等量关系：增长后的量=原来的量 +增长的量；增长的量=原来的量×（ 1+增长率）；

5、数字问题：

基本量之间的关系：三位数 =个位上的数 +十位上的数× 10+ 百位上的数× 100 三、

列方程解应用题的常用方法

1、译式法：就是将题目中的关键性语言或数量及各数量间的关系译成代数式，然后

根据代数之间的内在联系找出等量关系。

2、线示法：就是用同一直线上的线段表示应用题中的数量关系，然后根据线段长度

的内在联系，找出等量关系。

3、列表法：就是把已知条件和所求的未知量纳入表格，从而找出各种量之间的关系。

4、图示法：就是利用图表示题中的数量关系，它可以使量与量之间的关系更为直观，

这种方法能帮助我们更好地理解题意。

例题：

例 1、甲、乙两组工人合作完成一项工程，合作 5 天后，甲组另有任务，由乙组再

单独工作 1 天就可完成，若单独完成这项工程乙组比甲组多用 2 天，求甲、乙两组单独完成

这项工程各需几天？

例 2、某部队奉命派甲连跑步前往90 千米外的 A 地， 1 小时 45 分后，因任务需要，又

增派乙连乘车前往支援，已知乙连比甲连每小时快28 千米，恰好在全程的1

处追上甲连。3

求乙连的行进速度及追上甲连的时间

例 3、某工厂原计划在规定期限内生产通讯设备60 台支援抗洪，由于改进了操作技术；

每天生产的台数比原计划多 50%，结果提前 2 天完成任务，求改进操作技术后每天生产通讯设

备多少台？

例 4、某商厦今年一月份销售额为60 万元，二月份由于种种原因，经营不善，销售额

下降 10%，以后经加强管理，又使月销售额上升，到四月份销售额增加到96 万元，求三、四月份平均每月增长的百分率是多少？

例 5、一年期定期储蓄年利率为 2.25%，所得利息要交纳 20%的利息税，例如存入一年期

100 元，到期储户纳税后所得到利息的计算公式为：

税后利息 = 100 2.25% 100 2.25% 20% 100 2.25%(1 20%)

已知某储户存下一笔一年期定期储蓄到期纳税后得到利息是450 元，问该储户存入了多少本金？

例 6、某商场销售一批名牌衬衫，平均每天售出20 件，每件盈利 40 元，为了扩大销售，增加盈利，减少库存，商场决定采取适当的降低成本措施，经调查发现，如果每件衬

衫每降价 1 元，商场平均每天可多售出 2 件。若商场平均每天要盈利1200 元，每件衬衫应降价多少元？